习题课级数的收敛、求和与展开机动 目录 上页 下页 返回 结束三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数和付式级数展开法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法第十一章求和展开
(在收敛域内进行 )
基本问题,判别敛散； 求收敛域；
求和函数； 级数展开,
为傅立叶级数,为傅氏系数 ) 时,
时为数项级数 ;
时为幂级数 ;
nn ba,(
机动 目录 上页 下页 返回 结束一、数项级数的审敛法
1,利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2,正项级数审敛法必要条件 0lim nn u 不满足 发 散满足比值审敛法
lim
n
1?nu
nu
根值审敛法 n nn uli m
1
收 敛 发 散
1 不定 比较审敛法用它法判别 积分判别法部分和极限
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,任意项级数审敛法为收敛级数
Leibniz判别法,若 且则交错级数 收敛,
概念,
且余项若 收敛,称 绝对收敛若 发散,称 条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,若级数 均收敛,且证明级数 收敛,
证,nnnn abac0?,),2,1(n 则由题设)(
1
n
n
n ab
收敛
)(
1
n
n
n ac
收敛 ])[(
1
nn
n
n aac
)(
1
n
n
n ac
1n
na收敛练习题,P257 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
机动 目录 上页 下页 返回 结束解答提示,
P257 题 2,判别下列级数的敛散性,
提示,(1),1lim nn n?
11 n n
据比较判别法,原级数发散,因调和级数发散,
,,0 N
机动 目录 上页 下页 返回 结束利用比值判别法,可知原级数发散,
用比值法,可判断级数因 n 充分大时,ln
11
10 nn?
∴ 原级数发散,
:
2
c o s
)3(
1
3
2
n
n
nn?
:)0,0()5(
1

sa
n
a
n
s
n
用比值判别法可知,
时收敛 ;
时,与 p 级数比较可知时收敛 ;1?s
时发散,
再由比较法可知原级数收敛,
1?s
1?a 时发散,1?a
1?a
发散,
收敛,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P257 题 3,设正项级数 和也收敛,
提示,因,0limlim nnnn vu?存在 N > 0,
又因
)(2 22 nn vu
利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确,
都收敛,证明级数当 n >N 时机动 目录 上页 下页 返回 结束
P257 题 4,设级数 收敛,且是否也收敛？说明理由,
但对任意项级数却不一定收敛,
问级数提示,对 正项级数,由比较判别法可知级数 收敛,
n
n
n u
v

lim
收敛,
级数 发散,
n
n
n
)1(l i m1
1?
例如,取
nnv
n
n
1)1(
机动 目录 上页 下页 返回 结束;1ln)1()3(
1

n
n
n
n
P257 题 5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性,;s i n)1()2(
1
1
11?

n
n
nn
提示,(1) P >1 时,绝对收敛 ;
0 < p ≤1 时,条件收敛 ;
p≤0 时,发散,
(2) 因各项取绝对值后所得强级数原级数绝对收敛,
故机动 目录 上页 下页 返回 结束
,1
1
1 收敛?
n
n?

1
1ln)1()3(
n
n
n
n
因 单调递减,且但 n
n
n
1ln
1




n
kn
kk
1
ln)1l n (lim
)1l n (lim nn
所以原级数仅 条件收敛,
由 Leibniz判别法知级数 收敛 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束

1
1
!)1()1()4(
n
n
n
n
n
因?
n
n
u
u 1
1)
1
11(
1
2?

n
nn
nn
所以原级数绝对收敛,
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、求幂级数收敛域的方法
标准形式幂级数,先求收敛半径 R,再讨论 Rx
非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性,
P257 题 7,求下列级数的敛散区间,
练习,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1?
解,
n
n
n n
n n
a )11(limlim

当 ex
1
因此级数在端点发散,
en n 1)11(
n
n eu

nn)11(?
)(01 ne
.)1,1( ee?
e?
时,
,1eR exe 11即 时原级数收敛,
故收敛区间为机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(
)(l i m 1
xu
xu
n
n
n
解,因 2
2x
,12
2
x当 时，即 22 x
,2 时当x
故收敛区间为,)2,2(?
级数收敛 ;
一般项 nu n?不趋于 0,
nlim
级数发散 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2.
解,分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在∵ 原级数 =
∴ 其收敛半径 4121 },m i n { RRR
注意,
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求部分和式极限三、幂级数和函数的求法求和
映射变换法逐项求导或求积分
n
n
n xa?
0
)(* xS对和式积分或求导)(xS
难直接求和,直接变换,
间接求和,转化成幂级数求和,再代值求部分和等
初等变换法,分解、套用公式
（在收敛区间内）
数项级数求和机动 目录 上页 下页 返回 结束
n
n
n xa?
0
例 3,求幂级数法 1 易求出级数的收敛域为
x
,c o s2sin21 xxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束法 2 先求出收敛区间 则
2
1
xx si n2?
,c o s2s i n21)( xxxxS
设和函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束练习,
解,(1) )(
2
1 12
1

n
n
n x原式
)120(
2
x

1
2 )
2(
1
n
x
x


2
2
2
2
1
1
x
x
x
22 xx 22
2
)2(
2
x
x

显然 x = 0 时上式也正确,
故和函数为而在 2x
x≠0
P258 题 8,求下列幂级数的和函数：
级数发散,
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(4)
n
n
xnn
1
11
1
原式

x
n
n
tt
x 01
d1
t
t
t
x
x
d
1
1
0

0?x
)1(ln11 xx
)1(ln)11(1 xx
)10( x
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,)1(ln)11(1 xx
显然 x = 0 时,和为 0 ;
根据和函数的连续性,有
10 x
x =?1 时,级数也收敛,
即得机动 目录 上页 下页 返回 结束

00 !)12(
)1(
!)2(
)1(
2
1
n
n
n
n
nn
练习,
解,原式 =?

0 !)12(
)1(
n
n
n
1[c o s21?
的和,
1)12(n
2
1
]1sin?
P258 题 9(2),求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束四、函数的幂级数和付式级数展开法
直接展开法
间接展开法练习,
1,将函数 展开成 x 的幂级数,
— 利用已知展式的函数及幂级数性质
— 利用泰勒公式解,
xx 2
1
)2(
1
2
21
1
2
1
x

0 22
1
n
n
nx
,
22
1
1
1
n
n
nxn
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1,函数的幂级数展开法
2,设,将 f (x)展开成
x 的幂级数,的和,( 01考研 )
解,21
1
x
,)1(
0
2

n
nn x
)1,1(x
xa r c ta n
x
x
x0 2
d
1
1
,12 )1(
0
12?

n
n
n
xn ]1,1[x
)(xf?


1
2
12
)1(1
n
n
n
xn?

0
22
12
)1(
n
n
n
xn于是并求级数机动 目录 上页 下页 返回 结束

0
22
12
)1(
n
n
n
xn

1
2
1
12
)1(
n
n
n
xn
)(xf?


1
2
12
)1(1
n
n
n
xn


1
2
12
1(1
n
nx
n



1
2
12
1
12
1)1(1
n
nn x
nn
,
41
)1(21
1
2
2?


n
n
n
x
n
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2,函数的付式级数展开法系数公式及计算技巧 ; 收敛定理 ; 延拓方法练习,
x
y
o
),[
上的表达式为将其展为傅氏级数,
na?1 xnxe x dc o s021
)c o ss i n(1
n
nxnxne x

0
),2,1,0(1 1)1(1 2 nne
n?
P258 题 11,设 f (x)是周期为 2?的函数,它在解答提示
xnxeb xn ds i n1 021 )c o s(s i n1 n nxnnxe
x

0
),2,1(1 )1(1 2 nnen
n?
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2
1)( exf
1
1
n? ),2,1,0,( kkx?
思考,如何利用本题结果求级数根据付式级数收敛定理,当 x = 0 时,有
2
1?e
1
1
n? 2
)0()0( ff
2
1?提示,
P257 6 (2); 7 (3); 8 (2),(3) ;
9(1) ; 10 (1) ; 12
作业机动 目录 上页 下页 返回 结束