第八节一般周期的函数的傅里叶级数一、以 2 l 为周期的函数的傅里叶展开机动 目录 上页 下页 返回 结束二、傅里叶级数的复数形式第十一章一、以 2 l 为周期的函数的傅里叶展开周期为 2l 函数 f (x)
周期为 2? 函数 F(z)
变量代换 l
xz
将 F(z) 作傅氏展开
f (x) 的傅氏展开式机动 目录 上页 下页 返回 结束设周期为 2l的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,
则它的傅 里 叶展开式为
(在 f (x) 的连续点处 )
na
xl xnxflb l ln dsin)(1
其中定理,
l
1 x
l
xnxfl
l dc o s)(

),2,1,0(n
),2,1(n
机动 目录 上页 下页 返回 结束证明,令 l
xz
,则令,)(?
zlf?
则
))2(()2( zlfzF )2( lzlf
)(?zlf?
所以 且它满足收敛定理 条件,将它展成傅 里 叶级数,
( 在 F(z) 的连续点处 )
)(xf
变成是以 2?为周期的周期函数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
zznzFa n dc o s)(1
其中 zznzFb
n ds in)(1

令 l
xz
lan
1?
xl xnxflb l ln dsin)(1
),2,1,0(n
),3,2,1(n
),2,1,0(n
),3,2,1(n
( 在 f (x) 的 连续点处 )
xl xnxfl l dc o s)(
证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
),2,1(ds i n)( nxl xnxfb n?其中
(在 f (x) 的连续点处 )
如果 f (x) 为 偶函数,则有
(在 f (x) 的连续点处 )
),2,1,0(dc o s)( nxl xnxfa n?其中注,无论哪种情况,在 f (x) 的间断点 x 处,傅 里 叶级数收敛于如果 f (x) 为 奇函数,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(tf
to
0 d)1s in ()1s in ( ttntn
例 1,交流电压 经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解,这个半波整流函数
2,它在
na
0 dc o ss i n ttntE
傅 里 叶级数,
上的表达式为

的周期是
2
2?

机动 目录 上页 下页 返回 结束
0

0

0 d2s i n tt
时1?n

0 d)1s in ()1s in ( ttntn2Ea n?


tnn )1c o s()1(
1


2
E
0

tnn )1c o s()1(
1






1
1
1
)1(
1
1
1
)1(
2
1
nnnn
E nn

)1(
1)1(
2
1

n
En
,)41( 2 2?kE? kn 2?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
tttEb ds i ns i n01
ttntnE d)1c o s ()1c o s (2 0


)1(
)1s i n (
2 n
tnEb
n 0)1(
)1s i n (
0


n
tn
02
2s i n
2



ttE
n > 1 时机动 目录 上页 下页 返回 结束由于半波整流函数 f ( t )
Etf )(?tE?si n2 tkk
E
k
2c o s
41
12
1
2?

直流部分说明,
交流部分由收收敛定理可得
2 k 次谐波的振幅为 k 越大振幅越小,
因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近 f (x)了,
to?2
2?

)(tf
上述级数可分解为直流部分与交流部分的和,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,把 展开成
(1) 正弦级数 ; (2) 余弦级数,
解,(1) 将 f (x) 作 奇 周期延拓,则有
2o
y
x 2022 xb n xxn d2si n?

0
22
2s i n
2
2c o s
2 xn
n
xnx
n

nn c o s4

1
4)(
n
xf?
2s i n
)1( 1 xn
n
n
)20( x
在 x = 2 k 处级数收敛于何值?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2o
y
x
(2) 将 作 偶 周期延拓,
2022 xa n xxn d2c o s?

0
22
2c o s
2
2s i n
2 xn
n
xnx
n

1)1(4 22 nn?
xxf )(
200 d22 xxa 则有
1 22 2
)12(c o s
)12(
181
k
xk
k
)20( x
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,此式对 也成立,
8)12(
1 2
1
2


k k
由此还可导出
1
2
1
n n 8
2?
6
1 2
1
2

n n

1
22 2
)12(c o s
)12(
181)(
k
xk
k
xxf?
)20( x
据此有 2o
y
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束当函数定义在 任意有限区间 上时,
方法 1
令,2
abzx
即 2
abxz
zabzfxfzF,)2()()(2,2 abab
在2,2
abab
上展成傅 里 叶级数)(zF
周期延拓将 2
abxz
在代入展开式上的傅 里 叶级数其傅 里 叶展开方法,
机动 目录 上页 下页 返回 结束方法 2
令
zazfxfzF,)()()(ab?,0
在ab?,0 上展成 正弦 或 余弦 级数)(zF
奇 或 偶 式周期延拓将 代入展开式 axz
在即 axz
上的 正弦 或 余弦 级数机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(zF
z55?
例 3,将函数 展成傅 里 叶级数,
解,令 设
)55( )10()()( zzzfxfzF
将 F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数,
理 条件,由于 F(z) 是奇函数,故
5052 zb n zzn d5si nnn 10)1( ),2,1(n
则它满足收敛定
5s i n
)1(10)(
1
zn
nzF n
n?


)55( z
机动 目录 上页 下页 返回 结束利用 欧拉公式二、傅里叶级数的复数形式设 f (x)是周期为 2 l 的周期函数,则
l
xnb
l
xnaaxf
nn
n
s i nc o s
2)( 1
0

2
1c o s?
l
xn
l
xn
l
xn ii ee
2si n il xnl xnl xn ii ee



1
0
22)( n
naaxf?


2
nbi?


1
0
22 n
nn biaa
2
nn bia

l xnie? l xnie0c
nc nc?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
ll xfl )(21
ll xxfl d)(21200 ac?
l l xl xnxfl dc o s)(121?nnn biac
l l xl xnxfli dsin)(?
l l xl xnil xnxfl dsinc o s)(21
ll xfl )(21 ),2,1(dnxl xnie
注意到
2
nnn bac xd
同理 ),2,1(nl
xni
e
机动 目录 上页 下页 返回 结束傅里叶级数的复数形式,
xexf
l
c T
xni
l
ln
d)(
2
1 2

T
xni
n
n ecxf
2
)(?


),2,1,0(n
因此得机动 目录 上页 下页 返回 结束式 的傅 里 叶级数,
例 4,把宽为?,高为 h,周期为 T 的矩形波展成复数形解,在一个周期它的复数形式的傅 里 叶系数为
T
h
内矩形波的函数表达式为
0 2
2
d)(1
T
T ttuTc
2

2
To
y
x2?2T?
h
机动 目录 上页 下页 返回 结束
tetuT T
tni
d)(1
2
2
2


2
2
2
d1
tehT T
tni
T
n
n
h
si n? ),2,1(n
Thtu?)(?h
T
tni
n
e
T
n
n
2
si n1?

0?n



2 in
T
T
h



T
ni
T
ni
ee
in
h
2
1
T
tni
e
2? 2?
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束为正弦 级数,
内容小结
1,周期为 2l 的函数的傅 里 叶级数展开公式
)(xf 20a
(x?间断点 )
其中
xl xnxfl l l dc o s)(1
xl xnxfl l l dsi n)(1
),1,0(n
),2,1(n
当 f (x)为奇 函数时,(偶 ) (余弦 )
2,在任意有限区间上函数的傅 里 叶展开法 变换延拓
3,傅 里 叶级数的复数形式 利用欧拉公式导出机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,将函数展开为傅 里 叶级数时为什么最好先画出其图形?
答,易看出奇偶性及间断点,
2,计算傅 里 叶系数时哪些系数要单独算?
答,用系数公式计算 如分母中出现因子 n－ k
作业,P256 1 (1),(3) ; 2 (2) ; 3
从而便于计算系数和写出收敛域,
,,时nn ba
kk ba 或则 必须单独计算,
习题课 目录 上页 下页 返回 结束备用题期的傅立叶级数,并由此求级数 (91 考研 )
解,y
1o x1?
2
为偶函数,
1)1(2 22 nn?
因 f (x) 偶延拓后在展开成以 2为周
]1,1[x
的和,
故得机动 目录 上页 下页 返回 结束得故 8)12(
1 2
1
2


k k
1
2
1
n n 6
2?
机动 目录 上页 下页 返回 结束