机动 目录 上页 下页 返回 结束第十一节微分方程的幂级数解法一、一阶微分方程问题二、二阶齐次线性微分方程问题微分方程解法,
积分法 — 只能解一些特殊类型方程幂级数法 — 本节介绍数值解法 — 计算数学内容本节内容,
第十二章一、一阶微分方程问题
),(dd yxfxy?
00 yy xx
.),( 00 的多项式及是其中 yyxxyxf
幂级数解法,
202010 )()( xxaxxayy
将其代入原方程,比较同次幂系数可定常数,,,21?aa
由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解,
①
设所求解为本质上是 待定系数法
nn xxa )( 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,
解,根据初始条件,设所求特解为代入原方程,得比较同次幂系数,得故所求解的幂级数前几项为机动 目录 上页 下页 返回 结束二、二阶齐次线性微分方程定理,
则在－ R < x < R 内方程②必有幂级数解,
②
设 P(x),Q(x) 在 (－ R,R ) 内可展成 x 的幂级数,
(证明略 )
此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用,很多重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,42 )()2( xyyxxyx求方程 的一个特解,
解,设特解为 代入原方程整理得 4
1
2
00 )2()2)(1(2 xxanannxaa
n
nn
n

比较系数得,,00?a 126 34 aa
)4,2(0)2()2)(1( 1 nnanann nn
可任意取值,因是求特解,故取,021 aa
从而得 6
1,0
43 aa
当 n > 4 时,
11
1
nn ana 44)2)(1(
1 a
nn !)1(
1
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束因此 n
n
x
n?

4 !)1(
1
,
!
1
0
n
n
x x
n
e?
)211( 2xxexy x
注意到,此题的上述特解即为机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 目录 上页 下页 返回 结束例 3.
解,内都可在 )1,1(?
求解勒让德 (Legendre) 方程展成幂级数,满足定理条件 (因其特点不用具体展开它 ).
设方程的解为,
0
k
k
k
xay?
代入③,
③
2
2
)1(?
kk
k
xakk kk
k
xakk?

2
)1(
k
k
k
xak?
1
2 0)1(
0

k
k
k
xann
整理后得, 0)1)(()1)(2(
2
0

kkk
k
xaknknakk
比较系数,得 ),1,0()1)(2(
)1)((
2

kakk
knkna
kk
例如,
02 !2
)1( anna
13 !3
)2)(1( anna
24 43
)2)(2( anna

0!4
)3)(1()2( annnn
35 54
)4)(3( anna

1!5
)4)(2)(1)(3( annnn

机动 目录 上页 下页 返回 结束于是得勒让德方程的通解,



42
0 !4
)3)(1()2(
!2
)1(1 xnnnnxnnay
31 !3 )2)(1( xnnxa

5
!5
)4)(2)(1)(3( xnnnn
)11( x
上式中两个级数都在 (－ 1,1 )内收敛,
10,aa 可以任意取,
它们是方程的两个线性无关特解,作业 P323 1
(1),(4); 2(2)
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