微分方程第十二章
yxfy 求已知,)(— 积分问题
yy 求及其若干阶导数的方程已知含,
— 微分方程问题推广微分方程的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第十二章引例 1,一曲线通过点 (1,2),在该曲线上任意点处的解,设所求曲线方程为 y = y(x),则有如下关系式,
xxy 2dd? ①
(C为任意常数 )
由 ② 得 C = 1,.12 xy因此所求曲线方程为
21xy ②
由 ① 得切线斜率为 2x,求该曲线的方程,
机动 目录 上页 下页 返回 结束引例 2,列车在平直路上以 的速度行驶,制动时获得加速度 求制动后列车的运动规律,
解,设列车在制动后 t 秒行驶了 s 米,
已知,0
0ts
由前一式两次积分,可得 2122.0 CtCts
利用后两式可得因此所求运动规律为 tts 202.0 2
说明,利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程,
即求 s = s (t),
机动 目录 上页 下页 返回 结束常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做 微分方程,
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
(本章内容 )
0),,,,( )( nyyyxF?
),,,,( )1()( nn yyyxfy?( n 阶 显式 微分方程 )
微分方程的基本概念一般地,n 阶常微分方程的形式是的 阶,
分类或机动 目录 上页 下页 返回 结束
,00ts 200ddtts引例 2
4.022ddx y
— 使方程成为恒等式的函数,
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程
)1(00)1(0000 )(,,)(,)( nn yxyyxyyxy?
— 确定通解中任意常数的条件,
n 阶方程的 初始条件 (或初值条件 ):
的阶数相同,
特解
xxy 2dd?
21xy引例 1
Cxy 2 2122.0 CtCts通解,
tts 202.0 212 xy特解,
微分方程的 解
— 不含任意常数的解,
定解条件其图形称为 积分曲线,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,验证函数是微分方程 的解,
,0 Ax t 00d
d?
tt
x
的特解,
解,
)c o ss in( 212 tkCtkCk
这说明 tkCtkCx s inc o s 21 是方程的解,
是两个独立的任意常数,
),( 21 为常数CC
利用初始条件易得,故所求特解为
tkAx c o s?
故它是方程的通解,
并求满足初始条件机动 目录 上页 下页 返回 结束求所满足的微分方程,
例 2,已知曲线上点 P(x,y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
P
Q x
y
o x
解,如图所示,
令 Y = 0,得 Q 点的横坐标即 02 xyy
点 P(x,y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分,
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
P263 (习题 12-1)
1 ; 2 (3),(4); 3 (2); 4 (2),(3) ; 6
思考与练习
yxfy 求已知,)(— 积分问题
yy 求及其若干阶导数的方程已知含,
— 微分方程问题推广微分方程的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第十二章引例 1,一曲线通过点 (1,2),在该曲线上任意点处的解,设所求曲线方程为 y = y(x),则有如下关系式,
xxy 2dd? ①
(C为任意常数 )
由 ② 得 C = 1,.12 xy因此所求曲线方程为
21xy ②
由 ① 得切线斜率为 2x,求该曲线的方程,
机动 目录 上页 下页 返回 结束引例 2,列车在平直路上以 的速度行驶,制动时获得加速度 求制动后列车的运动规律,
解,设列车在制动后 t 秒行驶了 s 米,
已知,0
0ts
由前一式两次积分,可得 2122.0 CtCts
利用后两式可得因此所求运动规律为 tts 202.0 2
说明,利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程,
即求 s = s (t),
机动 目录 上页 下页 返回 结束常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做 微分方程,
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
(本章内容 )
0),,,,( )( nyyyxF?
),,,,( )1()( nn yyyxfy?( n 阶 显式 微分方程 )
微分方程的基本概念一般地,n 阶常微分方程的形式是的 阶,
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,00ts 200ddtts引例 2
4.022ddx y
— 使方程成为恒等式的函数,
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程
)1(00)1(0000 )(,,)(,)( nn yxyyxyyxy?
— 确定通解中任意常数的条件,
n 阶方程的 初始条件 (或初值条件 ):
的阶数相同,
特解
xxy 2dd?
21xy引例 1
Cxy 2 2122.0 CtCts通解,
tts 202.0 212 xy特解,
微分方程的 解
— 不含任意常数的解,
定解条件其图形称为 积分曲线,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,验证函数是微分方程 的解,
,0 Ax t 00d
d?
tt
x
的特解,
解,
)c o ss in( 212 tkCtkCk
这说明 tkCtkCx s inc o s 21 是方程的解,
是两个独立的任意常数,
),( 21 为常数CC
利用初始条件易得,故所求特解为
tkAx c o s?
故它是方程的通解,
并求满足初始条件机动 目录 上页 下页 返回 结束求所满足的微分方程,
例 2,已知曲线上点 P(x,y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
P
Q x
y
o x
解,如图所示,
令 Y = 0,得 Q 点的横坐标即 02 xyy
点 P(x,y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分,
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思考与练习
