全微分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束第五节一、全微分方程二、积分因子法第十二章判别,P,Q 在某单连通域 D内有连续一阶偏导数,
① 为全微分方程则求解步骤,
方法 1 凑微分法 ;
方法 2 利用积分与路径无关的条件,
1,求原函数 u (x,y)
2,由 d u = 0 知通解为 u (x,y) = C,
一、全微分方程使若存在 ),( yxu yyxQxyxPyxu d),(d),(),(d
则称 0d),(d),( yyxQxyxP
为 全微分方程 ( 又叫做 恰当方程 ),
①
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),( yxy
xo
例 1,求解
0d)33(d)35( 222324 yyyxyxxyyxx
解,因为
y
P
236 yyx?,x
Q

故这是全微分方程,
,0,0 00 yx取 则有
xxyxu x d5),( 0 4 yyyxyxy d)33(0 222
5x? 2223 yx? 3yx? 331 y?
因此方程的通解为
Cyyxyxx 33225 3123 )0,(x
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求解解,2
1
xy
P?

∴ 这是一个全微分方程,
用凑微分法求通解,将方程改写为
0ddd 2 x xyyxxx
即,0d2
1d 2
x
yx
故原方程的通解为
021d 2 xyx或
Cxyx221
,xQ
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、积分因子法思考,如何解方程这不是一个全微分方程,,
1
2x
就化成例 2 的方程,
,0),( yx 使为全微分方程,),( yx?则称在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的 积分因子,
但若在方程两边同乘若存在连续可微函数积分因子,
例 2 目录 上页 下页 返回 结束常用微分倒推公式,)(ddd)1 yxyx? )(ddd)2 xyyxyx
)(ddd)3 yyxx )( 2221 y?
)(ddd)4 2y yxxyyx )(ddd)5 2
x
yxxy
x
y?
)(ddd)6yx yxxyyxln
)(ddd)7 22?
yx
yxxy
y
xarctan
)(ddd)8 22?
yx
yyxx
22 yx?
积分因子 不一定唯一,
0dd?yxxy例如,对可取机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求解解,分项组合得 )dd( yxxy?
即 0)
dd()(d 22
y
y
x
xyxyx
选择积分因子,),( 221yxyx 同乘方程两边,得
0dd)( )d( 2 yyxxyx yx
即 0)lnd()lnd(
1d yx
yx
因此通解为,lnln
1 C
y
x
yx
即
yxeC
y
x
1
因 x = 0 也是方程的解,故 C 为任意常数,
0)dd( yxxyyx
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P285 1(2),(4),(7); 2(2),(5);
4
习题课 1 目录 上页 下页 返回 结束备用题 解方程解法 1 积分因子法,原方程变形为取积分因子 21y
故通解为此外,y = 0 也是方程的解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束解法 2 化为齐次方程,原方程变形为积分得将 x
yu?
代入,得通解此外,y = 0 也是方程的解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束解法 3 化为线性方程,原方程变形为其通解为
y xxPe d)(CxexQ xxP d)( d)(
即此外,y = 0 也是方程的解,
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