一阶线性微分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束第四节一、一阶线性微分方程二、伯努利方程第十二章一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式,)()(d
d xQyxP
x
y
若 Q(x)? 0,
0)(dd yxPxy
若 Q(x)? 0,称为 非齐次方程,
1,解齐次方程分离变量两边积分得 CxxPy lnd)(ln
故通解为 xxPeCy d)(
称为 齐次方程 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束对应齐次方程通解 xxPeCy d)(
齐次方程通解 非齐次方程特解
xxPCe d)(
2,解非齐次方程 )()(d
d xQyxP
x
y
用 常数变易法,,)()( d)( xxPexuxy 则
xxPeu d)( )(xP xxPeu d)( )(xQ?
故原方程的通解
xexQe xxPxxP d)( d)(d)(
CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(
y即即作变换
xxPeuxP d)()(
CxexQu xxP d)( d)(两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,解方程解,先解,01
2
d
d?
x
y
x
y
即 1
d2d
x
x
y
y
积分得 即 2)1( xCy
用 常数变易法 求特解,令,)1()( 2 xxuy 则
)1(2)1( 2 xuxuy
代入非齐次方程得解得 Cxu 2
3)1(
3
2
故原方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求方程 的通解,
解,注意 x,y 同号,,d2
d,0 x
x
xx 时当
yyP 2
1)(
yyQ
1)(
由一阶线性方程 通解公式,得
ex ey
1
故方程可变形为
0d2d 3 yyxyyxx
y1? lnd Cy?
所求通解为 )0( CCey y
x
这是以 x为因变量,y为自变量的一阶线性方程机动 目录 上页 下页 返回 结束在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0
例 3,有一电路如图所示,
电阻 R 和电
～
L E
R
K
解,列方程,
已知经过电阻 R 的电压降为 R i
经过 L的电压降为 t
iL
d
d
因此有,0d
d iR
t
iLE
即 L
tEi
L
R
t
i m?s in
d
d
初始条件,00ti
由回路电压定律,
其中电源求电流感 L 都是常量,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
～
L
E
R
K
解方程,
L
tEi
L
R
t
i m?s in
d
d
00ti
CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(
由初始条件,00ti 得
C?
利用一阶线性方程解的公式可得机动 目录 上页 下页 返回 结束
tLRm
e
LR
LEti?
222)(
)c o ss i n(222 tLtRLR E m
t
L
R
m e
LR
LEti?
222)(
)s i n (222
t
LR
E m
暂态电流 稳态电流则令,a rc t a n R L
～
L
E
R
K
因此所求电流函数为解的意义,
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、伯努利 ( Bernoulli )方程伯努利方程的标准形式,
)()(dd 1 xQyxPxyy nn
令,1 nyz x
yyn
x
z n
d
d)1(
d
d则
)()1()()1(dd xQnzxPnxz
求出此方程通解后,
除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解,
解法,
(线性方程 )
伯努利 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求方程 的通解,
解,令,1 yz 则方程变形为 xa
x
z
x
z ln
d
d
其通解为 ez?
将 1 yz
xx d1 exa )ln( xx d1Cx?d
2)ln(2 xaCx
代入,得原方程通解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,一阶线性方程方法 1 先解齐次方程,再用常数变易法,
方法 2 用通解公式
CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(
,1 nyu令 化为线性方程求解,
2,伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习判别下列方程类型,
x
yyxy
x
yx
d
d
d
d)1(
)ln(l ndd)2( xyyxyx
0d2d)()3( 3 yxxxy
0d)(d2)4( 3 yxyxy
yxxyxy dd)2ln()5(
提示,
x
xy
y
y dd1
可分离变量方程
x
y
x
y
x
y ln
d
d?
齐次方程
22
1
d
2x
yxxy 线性方程
22
1
d
d 2yx
yy
x
线性方程
2si n2
d
d y
x
xy
xx
y
伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束
P281 1 (3),(6),(9) ; 2 (5) ; 6 ;
7 (3),(5)
作业第五节 目录 上页 下页 返回 结束备用题
1,求一连续可导函数 使其满足下列方程,
提示,
令 txu
uufxxf x d)(s i n)( 0
则有 xxfxf c o s)()( 0)0(?f
利用公式可求出
)sin(c o s21)( xexxxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设有微分方程,)( xfyy 其中
)(xf 10,2 x1,0?x
试求此方程满足初始条件 的连续解,
解,1) 先解定解问题 10,2 xyy 00xy
利用通解公式,得
xey d1d d2 Cxe x
)2( 1Cee xx xeC 12
利用 00xy 得 21C
故有 )10(22 xey x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2) 再解定解问题
1,0 xyy
11 22)1( eyy x
此齐次线性方程的通解为 )1(2 xeCy x
利用衔接条件得 )1(22 eC
因此有 )1()1(2 xeey x
3) 原问题的解为
y 10),1(2 xe x
1,)1(2 xee x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
d xQyxP
x
y
若 Q(x)? 0,
0)(dd yxPxy
若 Q(x)? 0,称为 非齐次方程,
1,解齐次方程分离变量两边积分得 CxxPy lnd)(ln
故通解为 xxPeCy d)(
称为 齐次方程 ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束对应齐次方程通解 xxPeCy d)(
齐次方程通解 非齐次方程特解
xxPCe d)(
2,解非齐次方程 )()(d
d xQyxP
x
y
用 常数变易法,,)()( d)( xxPexuxy 则
xxPeu d)( )(xP xxPeu d)( )(xQ?
故原方程的通解
xexQe xxPxxP d)( d)(d)(
CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(
y即即作变换
xxPeuxP d)()(
CxexQu xxP d)( d)(两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,解方程解,先解,01
2
d
d?
x
y
x
y
即 1
d2d
x
x
y
y
积分得 即 2)1( xCy
用 常数变易法 求特解,令,)1()( 2 xxuy 则
)1(2)1( 2 xuxuy
代入非齐次方程得解得 Cxu 2
3)1(
3
2
故原方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求方程 的通解,
解,注意 x,y 同号,,d2
d,0 x
x
xx 时当
yyP 2
1)(
yyQ
1)(
由一阶线性方程 通解公式,得
ex ey
1
故方程可变形为
0d2d 3 yyxyyxx
y1? lnd Cy?
所求通解为 )0( CCey y
x
这是以 x为因变量,y为自变量的一阶线性方程机动 目录 上页 下页 返回 结束在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0
例 3,有一电路如图所示,
电阻 R 和电
～
L E
R
K
解,列方程,
已知经过电阻 R 的电压降为 R i
经过 L的电压降为 t
iL
d
d
因此有,0d
d iR
t
iLE
即 L
tEi
L
R
t
i m?s in
d
d
初始条件,00ti
由回路电压定律,
其中电源求电流感 L 都是常量,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
～
L
E
R
K
解方程,
L
tEi
L
R
t
i m?s in
d
d
00ti
CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(
由初始条件,00ti 得
C?
利用一阶线性方程解的公式可得机动 目录 上页 下页 返回 结束
tLRm
e
LR
LEti?
222)(
)c o ss i n(222 tLtRLR E m
t
L
R
m e
LR
LEti?
222)(
)s i n (222
t
LR
E m
暂态电流 稳态电流则令,a rc t a n R L
～
L
E
R
K
因此所求电流函数为解的意义,
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、伯努利 ( Bernoulli )方程伯努利方程的标准形式,
)()(dd 1 xQyxPxyy nn
令,1 nyz x
yyn
x
z n
d
d)1(
d
d则
)()1()()1(dd xQnzxPnxz
求出此方程通解后,
除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解,
解法,
(线性方程 )
伯努利 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求方程 的通解,
解,令,1 yz 则方程变形为 xa
x
z
x
z ln
d
d
其通解为 ez?
将 1 yz
xx d1 exa )ln( xx d1Cx?d
2)ln(2 xaCx
代入,得原方程通解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,一阶线性方程方法 1 先解齐次方程,再用常数变易法,
方法 2 用通解公式
CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(
,1 nyu令 化为线性方程求解,
2,伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习判别下列方程类型,
x
yyxy
x
yx
d
d
d
d)1(
)ln(l ndd)2( xyyxyx
0d2d)()3( 3 yxxxy
0d)(d2)4( 3 yxyxy
yxxyxy dd)2ln()5(
提示,
x
xy
y
y dd1
可分离变量方程
x
y
x
y
x
y ln
d
d?
齐次方程
22
1
d
2x
yxxy 线性方程
22
1
d
d 2yx
yy
x
线性方程
2si n2
d
d y
x
xy
xx
y
伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束
P281 1 (3),(6),(9) ; 2 (5) ; 6 ;
7 (3),(5)
作业第五节 目录 上页 下页 返回 结束备用题
1,求一连续可导函数 使其满足下列方程,
提示,
令 txu
uufxxf x d)(s i n)( 0
则有 xxfxf c o s)()( 0)0(?f
利用公式可求出
)sin(c o s21)( xexxxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设有微分方程,)( xfyy 其中
)(xf 10,2 x1,0?x
试求此方程满足初始条件 的连续解,
解,1) 先解定解问题 10,2 xyy 00xy
利用通解公式,得
xey d1d d2 Cxe x
)2( 1Cee xx xeC 12
利用 00xy 得 21C
故有 )10(22 xey x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2) 再解定解问题
1,0 xyy
11 22)1( eyy x
此齐次线性方程的通解为 )1(2 xeCy x
利用衔接条件得 )1(22 eC
因此有 )1()1(2 xeey x
3) 原问题的解为
y 10),1(2 xe x
1,)1(2 xee x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
