第三节一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件机动 目录 上页 下页 返回 结束格林公式及其应用第十章
L
D区域 D 分类单 连通区域 ( 无,洞” 区域 )多 连通区域 ( 有,洞” 区域 )域 D 边界 L 的 正向,域的内部靠左定理 1.设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,
则有
LD
yQxPyx
y
P
x
Q dddd
( 格林公式 )
函数在 D 上具有连续一阶偏导数,
LD
yx yQxPyx
QP
dddd
或一,格林公式机动 目录 上页 下页 返回 结束证明,1) 若 D 既是 X - 型区域,又是 Y - 型区域,且
bxa
xyxD )()(,21
则 yxx
Q
D dd
dc yyyQ d)),(( 2?
)( )(21 dyy xxQ
C B E yyxQ d),( E A C yyxQ d),(
dc yyQ d)),(1?
dc yd
d
c
y
xo
E
C
BA
ba
D
定理 1 目录 上页 下页 返回 结束即同理可证
①
②
①,②两式相加得,
LD yQxPyxyPxQ dddd
定理 1 目录 上页 下页 返回 结束
y
xo
L
2) 若 D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割
1D
nD
2D
n
k D
yxyPxQ
k1
dd
yxyPxQD dd
n
k D k
yQxP
1
dd
L yQxP dd
为有限个上述形式的区域,如图
)( 的正向边界表示 kk D?
证毕定理 1 目录 上页 下页 返回 结束推论,正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积?
L xyyxA dd21
格林公式
LD
yQxPyx
y
P
x
Q dddd
例如,椭圆
20,
s i n
c o s,
by
axL
所围面积
20 22 d)s i nc o s(21 ababab
定理 1 目录 上页 下页 返回 结束例 1,设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明
0dd2 2 yxxyxL
证,令,,2 2xQyxP 则利用格林公式,得
yxxyxL dd2 2
D
yx dd00?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,计算 其中 D 是以 O(0,0),A(1,1),
B(0,1) 为顶点的三角形闭域,
解,令,则 2,0 yexQP
利用格林公式,有?
D
y yex d2
yexOA y d2 yey y d10 2
)1(21 1 e
xy?
o
y
x
)1,1(A)1,0(B
D
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,计算 其中 L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线,
解,令
,022 时则当 yx
设 L 所围区域为 D,,)0,0( 时当 D?由格林公式知 y
xo
L
机动 目录 上页 下页 返回 结束
ds i nc o s20 2
2222
r rr?2?
,)0,0( 时当 D?在 D 内作圆周,,222 ryxl取逆时针方向,1D,对区域 1D应用格
l yx xyyx 22 dd
lL yx xyyx 22 dd 0dd0
1
yxD
L
1D
lo
y
x
记 L 和 lˉ 所围的区域为林公式,得机动 目录 上页 下页 返回 结束二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理 2,设 D 是单连通域,在 D 内具有一阶连续偏导数,
(1) 沿 D 中任意光滑闭曲线 L,有,0ddL yQxP
(2) 对 D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分
(3)
yQxPyxu dd),(d
(4) 在 D 内每一点都有,x
Q
y
P
L yQxP dd
与路径无关,只与起止点有关,
函数则以下四个条件等价,
在 D 内是某一函数 的全微分,
即机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,积分与路径无关时,曲线积分可记为证明 (1) (2)
设 21,LL
21 dddd LL yQxPyQxP
21 ddLL yQxPA
B
1L
2L
2 ddL yQxP
为 D 内 任意 两条由 A 到 B 的有向分段光滑曲线,则
(根据条件 (1))
BA yQxP ddAB yQxP dd
定理 2 目录 上页 下页 返回 结束证明 (2) (3)
在 D内取定点 因曲线积分
),(),( yxuyxxuux则
),( yxP? x
u
x
u x
x?
0
l i m ),(l i m yxxP
x
),( ),( ddyxx yx yQxP ),( ),( dyxx yx xP
xyxxP ),(?
同理可证 y
u
),,( yxQ? 因此有 yQxPu ddd
和任一点 B( x,y ),
与路径无关,),( yxxC),( yxB
),( 00 yxA
有函数定理 2 目录 上页 下页 返回 结束证明 (3) (4)
设存在函数 u ( x,y ) 使得
yQxPu ddd
则 ),(),,( yxQy
uyxP
x
u?
P,Q 在 D 内具有连续的偏导数,
从而在 D内每一点都有
x
Q
y
P
定理 2 目录 上页 下页 返回 结束证明 (4) (1)
设 L为 D中任一分段光滑闭曲线,DD
(如图 ),上因此在 D?
x
Q
y
P
利用 格林公式,得 yx
x
Q
x
QyQxP
L D dd)(dd?
D D? L
0?
所围区域为证毕定理 2 目录 上页 下页 返回 结束
y
x
说明,根据定理 2,若在某区域内,x
Q
y
P
则
2) 求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,
3) 可用积分法求 d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数,
Dyx?),( 00 及动点,),( Dyx? yyxQxyxPyxu yx
yx d),(d),(),(
),(
),( 00
xx xyxP
0
d),( 0
或
y
y yyxQyxu 0 d),(),( 0
0y
0x
则原函数为
yy yyxQ0 d),(
xx xyxP0 d),(
若积分路径不是闭曲线,可 添加辅助线 ;
取定点
1) 计算曲线积分时,可选择方便的积分路径 ;
定理 2 目录 上页 下页 返回 结束
y
A xo
L
例 4,计算 其中 L 为上半从 O (0,0) 到 A (4,0).
解,为了使用格林公式,添加辅助线段,AO
D
它与 L 所围原式 yxyxyxAOL d)(d)3( 22
D yx dd4
OA yxyxyx d)(d)3( 22
40 2 xx3
648
圆周区域为 D,则机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,验证 是某个函数的全微分,并求出这个函数,
证,设,,22 yxQyxP 则 x
Qyx
y
P
2
由定理 2 可知,存在函数 u (x,y) 使
yyxxyxu ddd 22
。
)0,0(
。),( yx
)0,(x
x xx
0 d0
yyxy d0 2
yyxy d0 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,验证 22
dd
yx
xyyx
在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函数,并求出它,
证,令 2222,yx
xQ
yx
yP
则
)0(
)( 222
22
x
y
Q
yx
xy
x
P
由 定理 2 可知存在原函数
x x1 d0
o x
y
y yx yx 0 22 d
)0,(x)0,1(
),( yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
o x
y
)0,(x)0,1(
),( yx?
y
y
y
0 21
d
y
xa rct a n
2
或
),1( y
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,设质点在力场 作用下沿曲线 L,
由 )2,0(
A
移动到 求力场所作的功 W
解,)dd(2 L yxxyr
k
令 则有
)0()( 224
22
yx
r
yxk
y
P
x
Q
可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关,
L
B
A y
o x
sFW L d
机动 目录 上页 下页 返回 结束
:AB
)dd(2 yxxy
r
kW
AB
)02:(s i n2,c o s2 yx
k2
思考,积分路径是否可以取?OBAO?
取圆弧
L
B
A y
o x
为什么？
注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,格林公式L yQxP dd
2,等价条件在 D 内与路径无关,
y
P
x
Q
在 D 内有 yQxPu ddd
yxyPxQD dd
L yQxP dd
对 D 内任意闭曲线 L 有 0dd L yQxP
在 D 内有设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,设且都取正向,问下列计算是否正确
l yx
xyyx
22
d4d
l xyyx d4d41
D
o 2
y
1 x
2
L
l
D?d541?5?
l yx xyyx 22 dd
l xyyx dd41 D?d241
2?
提示,时022 yx
y
P
x
Q
)1(
y
P
x
Q
)2(
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设提示,?),(d yxu xxyx d)4( 34? yyyx d)56( 422
y
o x
),( yx
)0,(x
xxx d0 4 yyyxy d)56(0 422
C?
5
5
1 x? 322 yx? Cy 5
xxyx d)4( 34? yyyx d)56( 422
C?
作业
P153 2 (1); 3 ; 4 (3) ;
5 (1),(4) ; 6 (2),(5)
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
CCC D
y
xo
a
a?
C
备用题 1,设 C 为沿
yxaxyxax
xa
y
C
d)l n (2d 2222
2
222 ayx从点 ),0( a依逆时针
),0( a?的半圆,计算解,添加辅助线如图,利用格林公式,
原式 =
aa yay d)ln2(
D 222 xa y yx dd
C?
到点机动 目录 上页 下页 返回 结束
D
2,质点 M 沿着以 AB为直径的半圆,从 A(1,2) 运动到
D yx dd2
点 B(3,4),
到原点的距离,
解,由图知 故所求功为
AB
yxxy dd
22
锐角,
其方向垂直于 OM,且与 y 轴正向夹角为
)dd( yxxy
)1(2 13 34 xy
AB 的方程
F
求变力 F 对质点 M 所作的功,( 90考研 )
,),( xyF
F 的大小 等于点 M 在此过程中受力 F 作用,
sFW d
),( yxM
B
A
y
xo
机动 目录 上页 下页 返回 结束
L
D区域 D 分类单 连通区域 ( 无,洞” 区域 )多 连通区域 ( 有,洞” 区域 )域 D 边界 L 的 正向,域的内部靠左定理 1.设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,
则有
LD
yQxPyx
y
P
x
Q dddd
( 格林公式 )
函数在 D 上具有连续一阶偏导数,
LD
yx yQxPyx
QP
dddd
或一,格林公式机动 目录 上页 下页 返回 结束证明,1) 若 D 既是 X - 型区域,又是 Y - 型区域,且
bxa
xyxD )()(,21
则 yxx
Q
D dd
dc yyyQ d)),(( 2?
)( )(21 dyy xxQ
C B E yyxQ d),( E A C yyxQ d),(
dc yyQ d)),(1?
dc yd
d
c
y
xo
E
C
BA
ba
D
定理 1 目录 上页 下页 返回 结束即同理可证
①
②
①,②两式相加得,
LD yQxPyxyPxQ dddd
定理 1 目录 上页 下页 返回 结束
y
xo
L
2) 若 D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割
1D
nD
2D
n
k D
yxyPxQ
k1
dd
yxyPxQD dd
n
k D k
yQxP
1
dd
L yQxP dd
为有限个上述形式的区域,如图
)( 的正向边界表示 kk D?
证毕定理 1 目录 上页 下页 返回 结束推论,正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积?
L xyyxA dd21
格林公式
LD
yQxPyx
y
P
x
Q dddd
例如,椭圆
20,
s i n
c o s,
by
axL
所围面积
20 22 d)s i nc o s(21 ababab
定理 1 目录 上页 下页 返回 结束例 1,设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明
0dd2 2 yxxyxL
证,令,,2 2xQyxP 则利用格林公式,得
yxxyxL dd2 2
D
yx dd00?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,计算 其中 D 是以 O(0,0),A(1,1),
B(0,1) 为顶点的三角形闭域,
解,令,则 2,0 yexQP
利用格林公式,有?
D
y yex d2
yexOA y d2 yey y d10 2
)1(21 1 e
xy?
o
y
x
)1,1(A)1,0(B
D
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,计算 其中 L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线,
解,令
,022 时则当 yx
设 L 所围区域为 D,,)0,0( 时当 D?由格林公式知 y
xo
L
机动 目录 上页 下页 返回 结束
ds i nc o s20 2
2222
r rr?2?
,)0,0( 时当 D?在 D 内作圆周,,222 ryxl取逆时针方向,1D,对区域 1D应用格
l yx xyyx 22 dd
lL yx xyyx 22 dd 0dd0
1
yxD
L
1D
lo
y
x
记 L 和 lˉ 所围的区域为林公式,得机动 目录 上页 下页 返回 结束二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理 2,设 D 是单连通域,在 D 内具有一阶连续偏导数,
(1) 沿 D 中任意光滑闭曲线 L,有,0ddL yQxP
(2) 对 D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分
(3)
yQxPyxu dd),(d
(4) 在 D 内每一点都有,x
Q
y
P
L yQxP dd
与路径无关,只与起止点有关,
函数则以下四个条件等价,
在 D 内是某一函数 的全微分,
即机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,积分与路径无关时,曲线积分可记为证明 (1) (2)
设 21,LL
21 dddd LL yQxPyQxP
21 ddLL yQxPA
B
1L
2L
2 ddL yQxP
为 D 内 任意 两条由 A 到 B 的有向分段光滑曲线,则
(根据条件 (1))
BA yQxP ddAB yQxP dd
定理 2 目录 上页 下页 返回 结束证明 (2) (3)
在 D内取定点 因曲线积分
),(),( yxuyxxuux则
),( yxP? x
u
x
u x
x?
0
l i m ),(l i m yxxP
x
),( ),( ddyxx yx yQxP ),( ),( dyxx yx xP
xyxxP ),(?
同理可证 y
u
),,( yxQ? 因此有 yQxPu ddd
和任一点 B( x,y ),
与路径无关,),( yxxC),( yxB
),( 00 yxA
有函数定理 2 目录 上页 下页 返回 结束证明 (3) (4)
设存在函数 u ( x,y ) 使得
yQxPu ddd
则 ),(),,( yxQy
uyxP
x
u?
P,Q 在 D 内具有连续的偏导数,
从而在 D内每一点都有
x
Q
y
P
定理 2 目录 上页 下页 返回 结束证明 (4) (1)
设 L为 D中任一分段光滑闭曲线,DD
(如图 ),上因此在 D?
x
Q
y
P
利用 格林公式,得 yx
x
Q
x
QyQxP
L D dd)(dd?
D D? L
0?
所围区域为证毕定理 2 目录 上页 下页 返回 结束
y
x
说明,根据定理 2,若在某区域内,x
Q
y
P
则
2) 求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,
3) 可用积分法求 d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数,
Dyx?),( 00 及动点,),( Dyx? yyxQxyxPyxu yx
yx d),(d),(),(
),(
),( 00
xx xyxP
0
d),( 0
或
y
y yyxQyxu 0 d),(),( 0
0y
0x
则原函数为
yy yyxQ0 d),(
xx xyxP0 d),(
若积分路径不是闭曲线,可 添加辅助线 ;
取定点
1) 计算曲线积分时,可选择方便的积分路径 ;
定理 2 目录 上页 下页 返回 结束
y
A xo
L
例 4,计算 其中 L 为上半从 O (0,0) 到 A (4,0).
解,为了使用格林公式,添加辅助线段,AO
D
它与 L 所围原式 yxyxyxAOL d)(d)3( 22
D yx dd4
OA yxyxyx d)(d)3( 22
40 2 xx3
648
圆周区域为 D,则机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,验证 是某个函数的全微分,并求出这个函数,
证,设,,22 yxQyxP 则 x
Qyx
y
P
2
由定理 2 可知,存在函数 u (x,y) 使
yyxxyxu ddd 22
。
)0,0(
。),( yx
)0,(x
x xx
0 d0
yyxy d0 2
yyxy d0 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,验证 22
dd
yx
xyyx
在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函数,并求出它,
证,令 2222,yx
xQ
yx
yP
则
)0(
)( 222
22
x
y
Q
yx
xy
x
P
由 定理 2 可知存在原函数
x x1 d0
o x
y
y yx yx 0 22 d
)0,(x)0,1(
),( yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
o x
y
)0,(x)0,1(
),( yx?
y
y
y
0 21
d
y
xa rct a n
2
或
),1( y
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,设质点在力场 作用下沿曲线 L,
由 )2,0(
A
移动到 求力场所作的功 W
解,)dd(2 L yxxyr
k
令 则有
)0()( 224
22
yx
r
yxk
y
P
x
Q
可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关,
L
B
A y
o x
sFW L d
机动 目录 上页 下页 返回 结束
:AB
)dd(2 yxxy
r
kW
AB
)02:(s i n2,c o s2 yx
k2
思考,积分路径是否可以取?OBAO?
取圆弧
L
B
A y
o x
为什么？
注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,格林公式L yQxP dd
2,等价条件在 D 内与路径无关,
y
P
x
Q
在 D 内有 yQxPu ddd
yxyPxQD dd
L yQxP dd
对 D 内任意闭曲线 L 有 0dd L yQxP
在 D 内有设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,设且都取正向,问下列计算是否正确
l yx
xyyx
22
d4d
l xyyx d4d41
D
o 2
y
1 x
2
L
l
D?d541?5?
l yx xyyx 22 dd
l xyyx dd41 D?d241
2?
提示,时022 yx
y
P
x
Q
)1(
y
P
x
Q
)2(
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设提示,?),(d yxu xxyx d)4( 34? yyyx d)56( 422
y
o x
),( yx
)0,(x
xxx d0 4 yyyxy d)56(0 422
C?
5
5
1 x? 322 yx? Cy 5
xxyx d)4( 34? yyyx d)56( 422
C?
作业
P153 2 (1); 3 ; 4 (3) ;
5 (1),(4) ; 6 (2),(5)
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
CCC D
y
xo
a
a?
C
备用题 1,设 C 为沿
yxaxyxax
xa
y
C
d)l n (2d 2222
2
222 ayx从点 ),0( a依逆时针
),0( a?的半圆,计算解,添加辅助线如图,利用格林公式,
原式 =
aa yay d)ln2(
D 222 xa y yx dd
C?
到点机动 目录 上页 下页 返回 结束
D
2,质点 M 沿着以 AB为直径的半圆,从 A(1,2) 运动到
D yx dd2
点 B(3,4),
到原点的距离,
解,由图知 故所求功为
AB
yxxy dd
22
锐角,
其方向垂直于 OM,且与 y 轴正向夹角为
)dd( yxxy
)1(2 13 34 xy
AB 的方程
F
求变力 F 对质点 M 所作的功,( 90考研 )
,),( xyF
F 的大小 等于点 M 在此过程中受力 F 作用,
sFW d
),( yxM
B
A
y
xo
机动 目录 上页 下页 返回 结束
