三、环流量与旋度斯托克斯公式环流量与旋度第七节一、斯托克斯公式
*二、空间曲线积分与路径无关的条件
*四、向量微分算子机动 目录 上页 下页 返回 结束第十章
yo
z
x
一,斯托克斯 ( Stokes ) 公式定理 1,设光滑曲面? 的边界?是分段光滑曲线,
zRyQxP ddd (斯托克斯公式 )
个空间域内具有连续一阶偏导数,
的侧与? 的正向符合 右手法则,在包含?在内的一证,情形 1? 与平行 z 轴的直线只交于一点,设其方程为
yxDyxyxfz ),(,),(:
n
为确定起见,不妨设?取上侧 (如图 ),yx
D C
则有简介 目录 上页 下页 返回 结束则 xP d C xyxzyxP d)),(,,(
(利用格林公式 ) yxyxzyxPyyxD dd)),(,,(
yxyzzPyP
yxD
dd
SfzPyP y dc o s
,c o s 221 1
yx ff
,c o s 221
yx
y
ff
f
c o s
c o s
yf
yo
z
x
n
yxD C
定理 1 目录 上页 下页 返回 结束因此 Sz
P
y
PxP dc o s
c o s
c o sd?
SyPzP dc o sc o s
yxyPxzzP dddd
同理可证 yQ d zyz
Qyx
x
Q dddd
xR d xzxRzyyR dddd
三式相加,即得斯托克斯公式 ;
定理 1 目录 上页 下页 返回 结束情形 2 曲面?与平行 z 轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把? 分成与 z 轴只交于一点的几部分,
在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立,
注意,如果? 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例,
证毕定理 1 目录 上页 下页 返回 结束为便于记忆,斯托克斯公式还可写作,
RQP
zyx
yxxzzy dddddd
zRyQxP ddd
或用第一类曲面积分表示,
S
RQP
zyx
d
c o sc o sc o s
zRyQxP ddd
定理 1 目录 上页 下页 返回 结束
yxz
yxxzzy
zyx?
ddddddz
x
y
1
1 1
o
例 1,利用斯托克斯公式计算积分其中?为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个解,记三角形域为?,取上侧,则边界,方向如图所示,
yxxzzy dddddd
利用对称性
yxD yx dd3 23?
yxD
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,? 为柱面 与平面 y = z 的交线,从 z
轴正向看为顺时针,计算
o
z
2
y
x
解,设?为平面 z = y 上被? 所围椭圆域,且取下侧,
利用斯托克斯公式得 SI d
0?
则其法线方向余弦
c o sc o sc o s
zyx
zxyxy 2
公式 目录 上页 下页 返回 结束
zRyQxPu dddd
*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理 2,设 G 是空间一维单连通域,内在函数 GRQP,,
具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价,
(1) 对 G内任一分段光滑闭曲线?,有
0ddd zRyQxP
(2) 对 G内任一分段光滑曲线?, zRyQxP ddd
与路径无关
(3) 在 G内存在某一函数 u,使
(4) 在 G内处处有
z
P
x
R
y
R
z
Q
x
Q
y
P
,,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
),,( ),,( 000 ddd),,( zyx zyx zRyQxPzyxu
证,)1()4(?由斯托克斯公式可知结论成立 ;
)2()1(?(自证 )
)3()2(?设函数则 x
u
),,( ),,(0 ddd1lim zyxx zyxx zRyQxPx0
lim x x zyxuzyxxu ),,(),,(
xxxx xPx d1lim 0 ),,(lim 0 zyxxpx
),,( zyxP?
定理 2 目录 上页 下页 返回 结束同理可证故有 zRyQxPu dddd
)4()3(?若 (3)成立,则必有
RzuQyuPxu,,
因 P,Q,R 一阶偏导数连续,故有
yx
u
y
P
2
x
Q
同理 z
P
x
R
y
R
z
Q
,
证毕定理 2 目录 上页 下页 返回 结束
zyxyxzxzy d)(d)(d)(
与路径无关,并求函数 zyxyxzxzyzyxu zyx d)(d)(d)(),,( ),,(
)0,0,0(
解,令 yxRxzQzyP,,
,1 xQyP,1 yRzQ yPxR 1
积分与路径无关,
zyxxy )(
yx
y
d
0
zyx
z
d)(
0
zxyzxy x
z
yo
),,( zyx
)0,,( yx)0,0,(x
因此例 3,验证曲线积分定理 2 目录 上页 下页 返回 结束三,环流量与旋度斯托克斯公式
zRyQxP ddd
设曲面? 的法向量为曲线?的单位切向量为则斯托克斯公式可写为
sRQP d)c o sc o sc o s(
)c o s,c o s,( c o sn
)c o s,c o s,( c o s
机动 目录 上页 下页 返回 结束令,引进一个向量 ),,( RQPA?
Arot记作向量 rot A 称为向量场 A 的
RQP
kji
zyx?
称为向量场 A定义,sAzRyQxP dddd
沿有向闭曲线?的 环流量,
sASnA ddro t
或 sASA n dd)(ro t①
于是得斯托克斯公式的向量形式,
旋度,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
o
z
x y
l
设某刚体绕定轴 l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,
M
则
),,( zyxr?
角速度为?,
r),,0,0(点 M 的线速度为
rv
vrot
zyx
kji
00?
)0,,( xy
0xy
kji
zyx
)2,0,0(2?
(此即“旋度”一词的来源 )
旋度的力学意义,
机动 目录 上页 下页 返回 结束向量场 A 产生的旋度场穿过? 的通量 注意? 与? 的方向形成右手系 !
sASA n dd)(ro t
为向量场 A 沿
的环流量斯托克斯公式①的物理意义,
例 4,求电场强度 rr
qE
3? zyx
kji
E
r o t
的旋度,
解,)0,0,0(? (除原点外 )
这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋,
3r
xq
3r
yq
3r
zq
机动 目录 上页 下页 返回 结束
zyx
kji
A
r o t
的外法向量,计算解,)1,0,0(?
SI dc o s8?
232 zxy
例 5,设
.dro t SnAI
为n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
*四、向量微分算子定义向量微分算子,
kji zyx
它又称为 ▽ ( Nabla )算子,或哈密顿 ( Hamilton ) 算子,
),,,()1( zyxuu?设 则
kjiu zuyuxu ugrad?
uu 2 ug r a d
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
u
机动 目录 上页 下页 返回 结束
A
,),,(),,(),,()2( kzyxRjzyxQizyxPA则
z
R
y
Q
x
P
Adiv?
A RQP
kji
zyx?
SAvA n dd
Arot?
高斯公式与斯托克斯公式可写成,
sASA n dd)(
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,斯托克斯公式
zRyQxP ddd
RQP
yxxzzy
zyx
dddddd
S
RQP
zyx
d
c o sc o sc o s
机动 目录 上页 下页 返回 结束
zRyQxP ddd在?内与路径无关在?内处处有在?内处处有
),,(r o t RQP
x
Q
y
P
,
y
R
z
Q
,
z
P
x
R
2,空间曲线积分与路径无关的充要条件设 P,Q,R 在?内具有一阶连续偏导数,则
RQP
kji
zyx?
0?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
zuyuxu,,
3,场论中的三个重要概念设,),,( zyxuu?,),,( RQPA
梯度,?uradg u
,,,zyx
z
R
y
Q
x
P
RQP
kji
zyx?
Arot A
Adiv A
机动 目录 上页 下页 返回 结束散度,
旋度,
则思考与练习,222 zyxr设 则
.)ra dg(ro t;)ra dg(d i v rr
提示,?rradgr
z
r
y
r
x,,
)( rxx 2r?r rxx,3 22r xr )( ryy 3 22 r yr
)( rzz 3 22r zr
)0,0,0(?
r2
)r a dg(r o t r
三式相加即得 )r a dg(d iv r
r
z
r
y
r
x
zyx
kji
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P183 1 (1),(3),(4) ; 2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ; 6
补充题,证明
0)()1( u )0)r o t(g r a d(?u即
0)()2( A )0)r o t(d iv(?A即习题课 目录 上页 下页 返回 结束
*二、空间曲线积分与路径无关的条件
*四、向量微分算子机动 目录 上页 下页 返回 结束第十章
yo
z
x
一,斯托克斯 ( Stokes ) 公式定理 1,设光滑曲面? 的边界?是分段光滑曲线,
zRyQxP ddd (斯托克斯公式 )
个空间域内具有连续一阶偏导数,
的侧与? 的正向符合 右手法则,在包含?在内的一证,情形 1? 与平行 z 轴的直线只交于一点,设其方程为
yxDyxyxfz ),(,),(:
n
为确定起见,不妨设?取上侧 (如图 ),yx
D C
则有简介 目录 上页 下页 返回 结束则 xP d C xyxzyxP d)),(,,(
(利用格林公式 ) yxyxzyxPyyxD dd)),(,,(
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同理可证 yQ d zyz
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三式相加,即得斯托克斯公式 ;
定理 1 目录 上页 下页 返回 结束情形 2 曲面?与平行 z 轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把? 分成与 z 轴只交于一点的几部分,
在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立,
注意,如果? 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例,
证毕定理 1 目录 上页 下页 返回 结束为便于记忆,斯托克斯公式还可写作,
RQP
zyx
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zRyQxP ddd
或用第一类曲面积分表示,
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定理 1 目录 上页 下页 返回 结束
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o
例 1,利用斯托克斯公式计算积分其中?为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个解,记三角形域为?,取上侧,则边界,方向如图所示,
yxxzzy dddddd
利用对称性
yxD yx dd3 23?
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机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,? 为柱面 与平面 y = z 的交线,从 z
轴正向看为顺时针,计算
o
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2
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解,设?为平面 z = y 上被? 所围椭圆域,且取下侧,
利用斯托克斯公式得 SI d
0?
则其法线方向余弦
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zyx
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公式 目录 上页 下页 返回 结束
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*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理 2,设 G 是空间一维单连通域,内在函数 GRQP,,
具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价,
(1) 对 G内任一分段光滑闭曲线?,有
0ddd zRyQxP
(2) 对 G内任一分段光滑曲线?, zRyQxP ddd
与路径无关
(3) 在 G内存在某一函数 u,使
(4) 在 G内处处有
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
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)2()1(?(自证 )
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定理 2 目录 上页 下页 返回 结束同理可证故有 zRyQxPu dddd
)4()3(?若 (3)成立,则必有
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因 P,Q,R 一阶偏导数连续,故有
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与路径无关,并求函数 zyxyxzxzyzyxu zyx d)(d)(d)(),,( ),,(
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因此例 3,验证曲线积分定理 2 目录 上页 下页 返回 结束三,环流量与旋度斯托克斯公式
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设曲面? 的法向量为曲线?的单位切向量为则斯托克斯公式可写为
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Arot记作向量 rot A 称为向量场 A 的
RQP
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称为向量场 A定义,sAzRyQxP dddd
沿有向闭曲线?的 环流量,
sASnA ddro t
或 sASA n dd)(ro t①
于是得斯托克斯公式的向量形式,
旋度,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
o
z
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设某刚体绕定轴 l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,
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则
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角速度为?,
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(此即“旋度”一词的来源 )
旋度的力学意义,
机动 目录 上页 下页 返回 结束向量场 A 产生的旋度场穿过? 的通量 注意? 与? 的方向形成右手系 !
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为向量场 A 沿
的环流量斯托克斯公式①的物理意义,
例 4,求电场强度 rr
qE
3? zyx
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E
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的旋度,
解,)0,0,0(? (除原点外 )
这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋,
3r
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*四、向量微分算子定义向量微分算子,
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它又称为 ▽ ( Nabla )算子,或哈密顿 ( Hamilton ) 算子,
),,,()1( zyxuu?设 则
kjiu zuyuxu ugrad?
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2
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高斯公式与斯托克斯公式可写成,
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机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,斯托克斯公式
zRyQxP ddd
RQP
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2,空间曲线积分与路径无关的充要条件设 P,Q,R 在?内具有一阶连续偏导数,则
RQP
kji
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
zuyuxu,,
3,场论中的三个重要概念设,),,( zyxuu?,),,( RQPA
梯度,?uradg u
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机动 目录 上页 下页 返回 结束散度,
旋度,
则思考与练习,222 zyxr设 则
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4 (2) ; 6
补充题,证明
0)()1( u )0)r o t(g r a d(?u即
0)()2( A )0)r o t(d iv(?A即习题课 目录 上页 下页 返回 结束
