第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 结束对面积的曲面积分第十章
o
x y
z
一、对面积的曲面积分的概念与性质引例,设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得?
n
k 1?M
),,( kkk
求质
“大化小,常代变,近似和,求极限”
的方法,?
量 M.
其中,? 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者 ),
机动 目录 上页 下页 返回 结束
SzyxM d),,(
定义,设? 为光滑曲面,
“乘积 和式极限”
都存在,
的 曲面积分
Szyxf d),,(
其中 f (x,y,z) 叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为
f (x,y,z) 是定义在? 上的一个有界 函数,
记作或 第一类曲面积分,
若对? 做 任意分割 和局部区域 任意取点,
则称此极限为函数 f (x,y,z) 在曲面? 上 对面积函数,? 叫做积分曲面,
机动 目录 上页 下页 返回 结束则对面积的曲面积分存在,
对积分域的可加性,
,,21 则有
Szyxf d),,(
1
d),,( Szyxf
Szyxgkzyxfk d),,(),,( 21? 线性性质,
SzyxgkSzyxfk d),,(d),,( 21
在光滑曲面? 上连续,
对面积 的曲面积分与 对弧长 的曲线积分性质类似,
积分的存在性,
若? 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束
o
x y
z定理,设有光滑曲面
f (x,y,z) 在? 上连续,
存在,且有 Szyxf d),,(
yxD yxf ),,(
二、对面积的曲面积分的计算法则 曲面积分证明,由定义知?
n
k 10
lim
yxD
),,( kkk yxk )(
机动 目录 上页 下页 返回 结束
yxyxzyxz
yxk yx
dd),(),(1)( 22
yxkkkykkx zz )(),(),(1 22
yxkkkykkx zz )(),(),(1 22
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yxyxzyxzyxf yxD
yx
dd),(),(1),,( 22
)),(,,( kkkk zf
)),(,,( kkkk zf
Szyxf d),,(
而
(?光滑 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
zyDzyzyxx ),(),,(
zxDzxzxyy ),(),,(或可有类似的公式,
1) 如果曲面方程为
2) 若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下 dS
的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分,(见本节后面的例 4,例 5)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
yxD
例 1,计算曲面积分 其中?是球面被平面 截出的顶部,
解,
2222,hayxD yx
221 yx zz
zSd20 da
0)l n (2
12 2222 haraa?
yxD yxa yxa 222 dd220 22 dha ra rr
o
x
z
y
h
a
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考,
若? 是球面 被平行平面 z =± h 截出的上下两部分,) (d
z
S
) (d
z
S
0
hln4
aa?
则
h
h?
o
x
z
y
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,计算 其中?是由平面坐标面所围成的四面体的表面,
o
z
y
x
1
11
解,设上的部分,则
4321,,,
4 d Szyx
,1:4 yxz 10 10:),( x xyDyx yx
x yyxy10 d)1(1203?
与
1 d3 xx
4321 Szyx d原式 =
分别表示?在平面机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
o
z
y
例 3,设 2222,azyx
计算,d),,( SzyxfI
解,锥面 22 yxz 的222 yxaz
1?设,),( 2
2122 ayxyxD yx
与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的投影域为
1?
yxD
则
1 d)( 22 SyxI
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1 d)( 22 SyxI
yxD yx )( 22
rr
ra
raa dd 2
0 22
22
0
2
1
)258(61 4 a?
222 yxa
a
yx dd
x
o
z
y
1?
yxD
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考,若例 3 中被积函数改为计算结果如何?
例 4,求半径为 R 的均匀半球壳? 的重心,
解,设? 的方程为利用对称性可知重心的坐标,0 yx 而
用球坐标
c o sRz dds ind 2RS?
20 03 2 dc o ss i ndR
20 0 2 ds i ndR
思考题,例 3 是否可用球面坐标计算?
例 3 目录 上页 下页 返回 结束例 5,计算,,2222 Rzyx
解,取球面坐标系,则
0 c o s
)c o sd(2
R
RR
0
2
d
c o s
s i n
R
R2
0
d
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,计算 其中? 是球面 22 yx?
利用对称性可知
SzSySx ddd
SzyxI d)(32 222 Szyx d)(34
Sx d4 Sx d4
解,显然球心为,)1,1,1( 半径为 3
x
利用重心公式
Sx d
Sd
).(22 zyxz
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z zd
例 7,计算 其中? 是介于平面之间的圆柱面分析,若将曲面分为前后 (或左右 )
则
H
zR
zRI
0 22
d2?
R
Ha rc t a n2 o
H
x y
z
解,取曲面面积元素两片,则计算较繁,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
o y
x
z
L
例 8,求椭圆柱面 位于 xoy 面上方及平面
z = y 下方那部分柱面? 的侧面积 S,
解,
取
SS d
szL d
tt c o sdc o s453 0 2
sd
z
szS dd?
syL d
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 9,设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度
h = 36000 km,
机动 目录 上页 下页 返回 结束运行的角速度与地球自转角速度相同,
试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比,
(地球半径 R = 6400 km )
解,
y
z
x
o?
hR?
R
建立坐标系如图,覆盖曲面? 的半顶角为?,利用球坐标系,则 dds i nd 2RS?
卫星覆盖面积为
SA d 0202 dds inR
)c o s1(2 2 R hR
R
c o s hR hR 22?
机动 目录 上页 下页 返回 结束故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为
24 R
A
)(2 hR
h
6
6
10)4.636(2
1036
%5.40?
由以上结果可知,卫星覆盖了地球
31 以上的面积,故使用三颗相隔 32?
角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面,
说明,此题也可用二重积分求 A (见下册 P109 例 2),
y
z
x
o?
hR?
R
内容小结
1,定义,iiii Sf?),,(
n
i 10
lim
2,计算,设,),(,),(,yxDyxyxzz 则
yxD yxf,,(),( yxz ) 221 yx zz yx dd
(曲面的其他两种情况类似 )
注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧,
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
P158 题 1； 3； 4(1) ; 7
解答提示,
P158 题 1.
P158 题 3.
yxD yxyxfSzyxf dd),,(d),,(
设 则
0
P184 题 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P158 题 4(1).
o y
x
z2
在 xoy 面上的投影域为
yxzzS yx dd1d 22
yxDS yxyxS dd)(41d 22
这是? 的面积 !
2xyD
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P159 题 7,如图所示,有
yxyxyxSz
yxD
dd1)(21d 2222
354
21 rt令
o
2
1
yxD
z
y
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P184 题 2,设 在第为 1
一卦限中的部分,则有 ( ).;d4d)(
1
SxSyB;d4d)(
1
SxSzC
C
( 2000 考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P158 4(3); 5(2);
6(1),(3),(4);
8
第五节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 1,已知曲面壳求此曲面壳在平面 z＝ 1以上部分?的的面密度质量 M,
解,? 在 xoy 面上的投影为,2,22 yxD yx 故
SM d
rrr d41d3 22020
)41d(41816 220 2 rr
yxyx
yxD
dd)(413 22
13?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设? 是四面体 的表0,0,0,1 zyxzyx
面,计算解,在四面体的四个面上
yxz 1 x dd3 xyxD yx 10,10:
1
z
yx1
1
o
0?y xzdd zxzD xz 10,10:
同上平面方程 Sd 投影域机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
y
z z d
)1(
1d 1
0 2
1
0
x
x
z z d
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0 2
1
0
2ln)13(2 33
y
yx
xI x d
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1d)13( 1
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1
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
o
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一、对面积的曲面积分的概念与性质引例,设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得?
n
k 1?M
),,( kkk
求质
“大化小,常代变,近似和,求极限”
的方法,?
量 M.
其中,? 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者 ),
机动 目录 上页 下页 返回 结束
SzyxM d),,(
定义,设? 为光滑曲面,
“乘积 和式极限”
都存在,
的 曲面积分
Szyxf d),,(
其中 f (x,y,z) 叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为
f (x,y,z) 是定义在? 上的一个有界 函数,
记作或 第一类曲面积分,
若对? 做 任意分割 和局部区域 任意取点,
则称此极限为函数 f (x,y,z) 在曲面? 上 对面积函数,? 叫做积分曲面,
机动 目录 上页 下页 返回 结束则对面积的曲面积分存在,
对积分域的可加性,
,,21 则有
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1
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Szyxgkzyxfk d),,(),,( 21? 线性性质,
SzyxgkSzyxfk d),,(d),,( 21
在光滑曲面? 上连续,
对面积 的曲面积分与 对弧长 的曲线积分性质类似,
积分的存在性,
若? 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束
o
x y
z定理,设有光滑曲面
f (x,y,z) 在? 上连续,
存在,且有 Szyxf d),,(
yxD yxf ),,(
二、对面积的曲面积分的计算法则 曲面积分证明,由定义知?
n
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
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而
(?光滑 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
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1) 如果曲面方程为
2) 若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下 dS
的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分,(见本节后面的例 4,例 5)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
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例 1,计算曲面积分 其中?是球面被平面 截出的顶部,
解,
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解,设上的部分,则
4321,,,
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例 3,设 2222,azyx
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与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的投影域为
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例 4,求半径为 R 的均匀半球壳? 的重心,
解,设? 的方程为利用对称性可知重心的坐标,0 yx 而
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思考题,例 3 是否可用球面坐标计算?
例 3 目录 上页 下页 返回 结束例 5,计算,,2222 Rzyx
解,取球面坐标系,则
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利用对称性可知
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Sx d4 Sx d4
解,显然球心为,)1,1,1( 半径为 3
x
利用重心公式
Sx d
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例 7,计算 其中? 是介于平面之间的圆柱面分析,若将曲面分为前后 (或左右 )
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
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z = y 下方那部分柱面? 的侧面积 S,
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h = 36000 km,
机动 目录 上页 下页 返回 结束运行的角速度与地球自转角速度相同,
试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比,
(地球半径 R = 6400 km )
解,
y
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x
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建立坐标系如图,覆盖曲面? 的半顶角为?,利用球坐标系,则 dds i nd 2RS?
卫星覆盖面积为
SA d 0202 dds inR
)c o s1(2 2 R hR
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24 R
A
)(2 hR
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6
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10)4.636(2
1036
%5.40?
由以上结果可知,卫星覆盖了地球
31 以上的面积,故使用三颗相隔 32?
角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面,
说明,此题也可用二重积分求 A (见下册 P109 例 2),
y
z
x
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R
内容小结
1,定义,iiii Sf?),,(
n
i 10
lim
2,计算,设,),(,),(,yxDyxyxzz 则
yxD yxf,,(),( yxz ) 221 yx zz yx dd
(曲面的其他两种情况类似 )
注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧,
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
P158 题 1； 3； 4(1) ; 7
解答提示,
P158 题 1.
P158 题 3.
yxD yxyxfSzyxf dd),,(d),,(
设 则
0
P184 题 2
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P158 题 4(1).
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在 xoy 面上的投影域为
yxzzS yx dd1d 22
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这是? 的面积 !
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P159 题 7,如图所示,有
yxyxyxSz
yxD
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354
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P184 题 2,设 在第为 1
一卦限中的部分,则有 ( ).;d4d)(
1
SxSyB;d4d)(
1
SxSzC
C
( 2000 考研 )
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P158 4(3); 5(2);
6(1),(3),(4);
8
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解,? 在 xoy 面上的投影为,2,22 yxD yx 故
SM d
rrr d41d3 22020
)41d(41816 220 2 rr
yxyx
yxD
dd)(413 22
13?
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2,设? 是四面体 的表0,0,0,1 zyxzyx
面,计算解,在四面体的四个面上
yxz 1 x dd3 xyxD yx 10,10:
1
z
yx1
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同上平面方程 Sd 投影域机动 目录 上页 下页 返回 结束
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