第五节一、有向曲面及曲面元素的投影二,对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系机动 目录 上页 下页 返回 结束对坐标的曲面积分第十章一、有向曲面及曲面元素的投影
曲面分类 双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束其方向用 法向量指向方向余弦?cos?cos?cos
> 0 为前侧
< 0 为后侧封闭曲面
> 0 为右侧
< 0 为左侧
> 0 为上侧
< 0 为下侧外侧内侧
设? 为有向曲面,
,)( yxS?
S?
yxS )(
侧的规定
指定了侧的曲面叫 有向曲面,
表示,
其面元 在 xoy 面上的投影记为的面积为 则规定
,)( yx
,)( yx
,0
时当 0c o s
时当 0c o s
时当 0c o s
类似可规定
zxyz SS )(,)(
机动 目录 上页 下页 返回 结束二,对坐标的曲面积分的概念与性质
1,引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面? 的流量?,
S?
分析,若? 是面积为 S 的平面,
则流量法向量,
流速为常向量,
n v
机动 目录 上页 下页 返回 结束
对一般的 有向曲面?,
用,大化小,常代变,近似和,取极限”?
n
i 10
lim
0lim
n
i 1? iiiiP c o s),,(
iiiiR c o s),,(?
0lim
n
i 1
iiiiQ c o s),,(
iS?
对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得
in iv
iii Snv
)c o s,c o s,( c o s iiiin设
,则机动 目录 上页 下页 返回 结束设? 为光滑的有向曲面,在? 上定义了一个意分割 和在局部面元上 任意取点,
n
i 1
xziiii SQ ))(,,(
分,
yxRxzQzyP dddddd
记作
P,Q,R 叫做 被积函数 ;?叫做 积分曲面,
或 第二类曲面积分,
下列极限都存在向量场 )),,,(),,,(),,,(( zyxRzyxQzyxPA? 若对?的 任则称此极限为向量场 A 在有向曲面上 对坐标的曲面积
2,定义,
机动 目录 上页 下页 返回 结束引例中,流过有向曲面? 的流体的流量为
zyP dd
称为 Q 在有向曲面?上 对 z,x 的曲面积分 ;
yxR dd称为 R 在有向曲面?上 对 x,y 的曲面积分,
称为 P 在有向曲面?上 对 y,z 的曲面积分 ;
yxRxzQzyP dddddd
若记? 正侧 的单位法向量为令
)c o s,c o s,c o s(n
)dd,dd,d(ddd yxxzzySnS
)),,(,),,(,),,(( zyxRzyxQzyxPA?
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,性质
(1) 若 之间无公共内点,则
(2) 用?ˉ 表示? 的反向曲面,则
SA di SA d
yxRxzQzyP dddddd
SnA d SA d
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、对坐标的曲面积分的计算法定理,设光滑曲面 取上侧,
是? 上的连续函数,则
yxzyxR dd),,( ),,( yxD yxR),( yxz yx dd
证,0lim
n
i 1
yxiS )( yxi )(∵? 取上侧,),(
iii z
0lim
n
i 1 ),,( iiR yxi )( yxx,yzyxR
yxD
dd))(,,(
yxzyxR dd),,(
机动 目录 上页 下页 返回 结束
若 则有
zyzyxP dd),,( ),( zy,PzyD ),( zyx zy dd
若 则有
xzzyxQ dd),,( ) z,,( xzD xQ),( xzy xzdd
(前正后负 )
(右正左负 )
说明,如果积分曲面? 取下侧,则
yxzyxR dd),,( ),,( yxD yxR),( yxz yx dd
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,计算 yxxzxzzyzyyx dd)(dd)(dd)(
其中? 是以原点为中心,边长为 a 的正立方体的整个表面的 外侧,
解,利用对称性,
原式 yxxz dd)(3
的顶部 ),(,2221 aaa yxz 取上侧
的底部 ),(,2222 aaa yxz 取下侧?
yxxz
2
dd)(?
yxxa
yxD
dd)2(
yxD yxa dd3
x
z
y
机动 目录 上页 下页 返回 结束解,把? 分为上下两部分
221 1,yxz
根据对称性 0dd yxxyz
思考,下述解法是否正确,
例 2,计算曲面积分,dd yxxyz其中? 为球面?2x
外侧在第一和第八卦限部分,
o
z
yx 1
1?
2?
yxD
0,0
1:),( 22
yx
yxDyx
yx
222 1,yxz
122 zy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
yxD yxyxyx dd 12 22
22 1c o ss i n2 rr
yxD
rrr d1 210 3
152?
20 d2sino
z
yx 1
1?
2?
yxD
yxzyx dd 2 dd yxzyx 1 dd yxzyx
yxD yxxy dd )1( 22 yx
yxD
yxxy dd 221 yx
dd rr
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,设 S 是球面 的外侧,计算
S xx
zyI
2c o s
dd2
解,利用 轮换对称性,有 0
c o s
dd
c o s
dd
22
SS z
yx
y
xz
S zz
yxI
2c o s
dd
1
0
222 1c o s1
d
rr
rr?
1
0
22
2
1c o s
1d4
r
r?
1ta n4
zz
yx
2c s
dd?
,
c o s
dd2
2
S zz
yx
1
22222
22 1c o s1
dd
yx yxyx
yx
2
0
d2
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束四、两类曲面积分的联系
n
i 1? zyiiii SP ))(,,( xziiii SQ ))(,,(
yxRxzQzyP dddddd
yxiiii SR ))(,,(
0lim
0lim
n
i 1
SRQP dc o sc o sc o s
曲面的方向用法向量的方向余弦刻画机动 目录 上页 下页 返回 结束令
yxRxzQzyP dddddd
SRQP dc o sc o sc o s
SA n d
向量形式
),,,( RQPA? )c o s,c o s,( c o sn
)dd,dd,d(ddd yxxzzySnS
SA d
nAA n
SnA d
( A 在 n 上的投影 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为解,
S
r
q d
2 SR
q
d2
。q
求 E 通过球面?,r = R 外侧的电通量?,
SE d
SnE dSrr d rr
q
3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
yx
z
1
1
1
例 5,设 是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角,计算解, SzI dc o s2?
rrr d)1(d 21020
yxD yxyx dd)1( 22
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
221c o s yx
x
例 6,计算曲面积分 其中?
解,利用两类曲面积分的联系,有
zyxz dd)(
2
)( 2 xz Sdcos? yx dd
c o s
c o s
o y
x
z
2
∴ 原式 = )( x )(
2 xz? yxz dd?
,dddd)( 2 yxzzyxz
旋转抛物面 介于平面 z= 0
及 z = 2 之间部分的下侧,
)( 2 xz 221
1c o s
yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)( xx
yxD
222 )(41 yx?
o y
x
z
2
原式 =
)( 2221 yx
yxyxx
yxD
dd)( 22212
rrrr d)c o s( 221220 220 d
8?
yx dd
得代入将,)( 2221 yxz
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结定义,
Szyxf d),,( iii
n
i
i Sf
),,(lim
10
yxRxzQzyP dddddd
zyiiii
n
i
SP
),,(lim
10
yxiiii SR ),,(
1,两类曲面积分及其联系
xziiii SQ ),,(
机动 目录 上页 下页 返回 结束性质, yxRxzQzyP dddddd
yxRxzQzyP dddddd
联系, yxRxzQzyP dddddd
SRQP dc o sc o sc o s
思考,
的方向有关,上述联系公式是否矛盾?
两类曲线积分的定义一个与? 的 方向无关,一个与?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,常用计算公式及方法面积分 第一类 (对面积 )第二类 (对坐标 ) 二重积分
(1) 统一积分变量 代入曲面方程
(方程不同时分片积分 )
(2) 积分元素投影 第一类,面积投影第二类,有向投影
(4) 确定积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面注,二重积分是第一类曲面积分的特殊情况,
转化机动 目录 上页 下页 返回 结束当 时,yxzzyxzyxfSzyxf
yxD
yx dd1)),(,,(d),,(
22
yxyxzyxRyxzyxR
yxD
dd)),(,,(dd),,(
（上侧取,+”,下侧取,?” )
类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式,
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,P167 题 2
提示,设 则
取上侧时,
yxD
yxyxR dd),,(0
取下侧时,
yxD
yxyxR dd),,(0?
2,P184 题 1
3,P167 题 3(3)
机动 目录 上页 下页 返回 结束是平面在第四卦限部分的上侧,计算
zyxzyxfI dd),,(
yxzzyxf dd),,(
提示,求出? 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分
P167 题 3(3),设作业
P167 3 (1),(2),(4) ; 4 (1),(2)
SzyxI d)(31 Sd31
yx x d3d 0 11031 21?
第六节 目录 上页 下页 返回 结束
,dddddd z yxy xzx zyI备用题 求
1,2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
取外侧,
解, z
yx dd
d x d y
c yxD
b
y
a
x
,
2
2
2
2
1
11
d x d y
c yxD
b
y
a
x
,
2
2
2
2
1
11
,s in,c o s rbyraxdddd rrbayx?
r
r
rab
c d1d
2 1
0 2
2
0
2
1
c
cba?4?
注意 ± 号 1:
2
2
2
2
, b
y
a
xD
yx
其中机动 目录 上页 下页 返回 结束
z yx dd 21c? cba?4?
利用轮换对称性
x zy dd 21a? cba?4?
y xz dd 21b? cba?4?
222 111 cba cbaI?4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
曲面分类 双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带 曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束其方向用 法向量指向方向余弦?cos?cos?cos
> 0 为前侧
< 0 为后侧封闭曲面
> 0 为右侧
< 0 为左侧
> 0 为上侧
< 0 为下侧外侧内侧
设? 为有向曲面,
,)( yxS?
S?
yxS )(
侧的规定
指定了侧的曲面叫 有向曲面,
表示,
其面元 在 xoy 面上的投影记为的面积为 则规定
,)( yx
,)( yx
,0
时当 0c o s
时当 0c o s
时当 0c o s
类似可规定
zxyz SS )(,)(
机动 目录 上页 下页 返回 结束二,对坐标的曲面积分的概念与性质
1,引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面? 的流量?,
S?
分析,若? 是面积为 S 的平面,
则流量法向量,
流速为常向量,
n v
机动 目录 上页 下页 返回 结束
对一般的 有向曲面?,
用,大化小,常代变,近似和,取极限”?
n
i 10
lim
0lim
n
i 1? iiiiP c o s),,(
iiiiR c o s),,(?
0lim
n
i 1
iiiiQ c o s),,(
iS?
对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得
in iv
iii Snv
)c o s,c o s,( c o s iiiin设
,则机动 目录 上页 下页 返回 结束设? 为光滑的有向曲面,在? 上定义了一个意分割 和在局部面元上 任意取点,
n
i 1
xziiii SQ ))(,,(
分,
yxRxzQzyP dddddd
记作
P,Q,R 叫做 被积函数 ;?叫做 积分曲面,
或 第二类曲面积分,
下列极限都存在向量场 )),,,(),,,(),,,(( zyxRzyxQzyxPA? 若对?的 任则称此极限为向量场 A 在有向曲面上 对坐标的曲面积
2,定义,
机动 目录 上页 下页 返回 结束引例中,流过有向曲面? 的流体的流量为
zyP dd
称为 Q 在有向曲面?上 对 z,x 的曲面积分 ;
yxR dd称为 R 在有向曲面?上 对 x,y 的曲面积分,
称为 P 在有向曲面?上 对 y,z 的曲面积分 ;
yxRxzQzyP dddddd
若记? 正侧 的单位法向量为令
)c o s,c o s,c o s(n
)dd,dd,d(ddd yxxzzySnS
)),,(,),,(,),,(( zyxRzyxQzyxPA?
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,性质
(1) 若 之间无公共内点,则
(2) 用?ˉ 表示? 的反向曲面,则
SA di SA d
yxRxzQzyP dddddd
SnA d SA d
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、对坐标的曲面积分的计算法定理,设光滑曲面 取上侧,
是? 上的连续函数,则
yxzyxR dd),,( ),,( yxD yxR),( yxz yx dd
证,0lim
n
i 1
yxiS )( yxi )(∵? 取上侧,),(
iii z
0lim
n
i 1 ),,( iiR yxi )( yxx,yzyxR
yxD
dd))(,,(
yxzyxR dd),,(
机动 目录 上页 下页 返回 结束
若 则有
zyzyxP dd),,( ),( zy,PzyD ),( zyx zy dd
若 则有
xzzyxQ dd),,( ) z,,( xzD xQ),( xzy xzdd
(前正后负 )
(右正左负 )
说明,如果积分曲面? 取下侧,则
yxzyxR dd),,( ),,( yxD yxR),( yxz yx dd
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,计算 yxxzxzzyzyyx dd)(dd)(dd)(
其中? 是以原点为中心,边长为 a 的正立方体的整个表面的 外侧,
解,利用对称性,
原式 yxxz dd)(3
的顶部 ),(,2221 aaa yxz 取上侧
的底部 ),(,2222 aaa yxz 取下侧?
yxxz
2
dd)(?
yxxa
yxD
dd)2(
yxD yxa dd3
x
z
y
机动 目录 上页 下页 返回 结束解,把? 分为上下两部分
221 1,yxz
根据对称性 0dd yxxyz
思考,下述解法是否正确,
例 2,计算曲面积分,dd yxxyz其中? 为球面?2x
外侧在第一和第八卦限部分,
o
z
yx 1
1?
2?
yxD
0,0
1:),( 22
yx
yxDyx
yx
222 1,yxz
122 zy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
yxD yxyxyx dd 12 22
22 1c o ss i n2 rr
yxD
rrr d1 210 3
152?
20 d2sino
z
yx 1
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yxD
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yxD yxxy dd )1( 22 yx
yxD
yxxy dd 221 yx
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机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,设 S 是球面 的外侧,计算
S xx
zyI
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解,利用 轮换对称性,有 0
c o s
dd
c o s
dd
22
SS z
yx
y
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S zz
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yx yxyx
yx
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机动 目录 上页 下页 返回 结束四、两类曲面积分的联系
n
i 1? zyiiii SP ))(,,( xziiii SQ ))(,,(
yxRxzQzyP dddddd
yxiiii SR ))(,,(
0lim
0lim
n
i 1
SRQP dc o sc o sc o s
曲面的方向用法向量的方向余弦刻画机动 目录 上页 下页 返回 结束令
yxRxzQzyP dddddd
SRQP dc o sc o sc o s
SA n d
向量形式
),,,( RQPA? )c o s,c o s,( c o sn
)dd,dd,d(ddd yxxzzySnS
SA d
nAA n
SnA d
( A 在 n 上的投影 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为解,
S
r
q d
2 SR
q
d2
。q
求 E 通过球面?,r = R 外侧的电通量?,
SE d
SnE dSrr d rr
q
3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
yx
z
1
1
1
例 5,设 是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角,计算解, SzI dc o s2?
rrr d)1(d 21020
yxD yxyx dd)1( 22
n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
221c o s yx
x
例 6,计算曲面积分 其中?
解,利用两类曲面积分的联系,有
zyxz dd)(
2
)( 2 xz Sdcos? yx dd
c o s
c o s
o y
x
z
2
∴ 原式 = )( x )(
2 xz? yxz dd?
,dddd)( 2 yxzzyxz
旋转抛物面 介于平面 z= 0
及 z = 2 之间部分的下侧,
)( 2 xz 221
1c o s
yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)( xx
yxD
222 )(41 yx?
o y
x
z
2
原式 =
)( 2221 yx
yxyxx
yxD
dd)( 22212
rrrr d)c o s( 221220 220 d
8?
yx dd
得代入将,)( 2221 yxz
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结定义,
Szyxf d),,( iii
n
i
i Sf
),,(lim
10
yxRxzQzyP dddddd
zyiiii
n
i
SP
),,(lim
10
yxiiii SR ),,(
1,两类曲面积分及其联系
xziiii SQ ),,(
机动 目录 上页 下页 返回 结束性质, yxRxzQzyP dddddd
yxRxzQzyP dddddd
联系, yxRxzQzyP dddddd
SRQP dc o sc o sc o s
思考,
的方向有关,上述联系公式是否矛盾?
两类曲线积分的定义一个与? 的 方向无关,一个与?
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2,常用计算公式及方法面积分 第一类 (对面积 )第二类 (对坐标 ) 二重积分
(1) 统一积分变量 代入曲面方程
(方程不同时分片积分 )
(2) 积分元素投影 第一类,面积投影第二类,有向投影
(4) 确定积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面注,二重积分是第一类曲面积分的特殊情况,
转化机动 目录 上页 下页 返回 结束当 时,yxzzyxzyxfSzyxf
yxD
yx dd1)),(,,(d),,(
22
yxyxzyxRyxzyxR
yxD
dd)),(,,(dd),,(
（上侧取,+”,下侧取,?” )
类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式,
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,P167 题 2
提示,设 则
取上侧时,
yxD
yxyxR dd),,(0
取下侧时,
yxD
yxyxR dd),,(0?
2,P184 题 1
3,P167 题 3(3)
机动 目录 上页 下页 返回 结束是平面在第四卦限部分的上侧,计算
zyxzyxfI dd),,(
yxzzyxf dd),,(
提示,求出? 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分
P167 题 3(3),设作业
P167 3 (1),(2),(4) ; 4 (1),(2)
SzyxI d)(31 Sd31
yx x d3d 0 11031 21?
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,dddddd z yxy xzx zyI备用题 求
1,2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
取外侧,
解, z
yx dd
d x d y
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b
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2
2
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1
11
d x d y
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11
,s in,c o s rbyraxdddd rrbayx?
r
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2 1
0 2
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1
c
cba?4?
注意 ± 号 1:
2
2
2
2
, b
y
a
xD
yx
其中机动 目录 上页 下页 返回 结束
z yx dd 21c? cba?4?
利用轮换对称性
x zy dd 21a? cba?4?
y xz dd 21b? cba?4?
222 111 cba cbaI?4
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