第五节一、近似计算二、欧拉公式函数幂级数展开式的应用机动 目录 上页 下页 返回 结束第十一章一、近似计算
mxx m 1)1( 2!2 )1( xmm nxn nmmm ! )1()1(
)11( x
例 1,计算 5 240,10 4?
32r? 82 3
1
!25
41?
123 3
1
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941?
164 3
1
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81
18 1
1
3
1
25
6
)31511(32 4 0 45 9 9 2 6.20 0 7 4 1.03
的近似值,精确到
2
82 81
1
81
11
3
1
!25
413
4105.0
13 43151 82 31!25 41 123 3 1!35 941
解,55 3243240 514 )1(3 31
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)11(432)1ln (
432
xxxxxx?
例 2,计算 2ln 的近似值,使准确到,10 4?
解,已知故 )1l n ()1l n (1
1ln xx
x
x
53 51312 xxx
令 21
1?
x
x
得
753 3 1713 1513 1313122ln
,31?x 于是有机动 目录 上页 下页 返回 结束
94 3
1
9
12
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1
3
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753 3 1713 1513 1313122ln 6931.0?
113
1
11
1
133
1
13
1
934
1
4
102.078732 1
在上述展开式中取前四项,
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,在展开式中,令 12
1
nx
53 )12 1(51)12 1(3112 121ln nnnnn
得
)1ln ( n
具此递推公式可求出任意正整数的对数,如
53 )91(51)91(319122ln25ln 6094.1?
( n为自然数 ),
53 )12 1(51)12 1(3112 12ln nnnn
53 51312 xxx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
753 )20(!71)20(!51)20(!312020s i n
例 3,利用 求误差,
解,先把角度化为弧度9 (弧度 )
5
2 )20(!5
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1? 510
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1
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1
2020s i n
误差不超过 510?
的近似值,并估计
15643.0?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
( 取例 4,计算积分 的近似值,精确到
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解,12 xe
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2
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x n
n
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
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1
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1 2
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则所求积分近似值为欲使截断误差
5205.0?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,计算积分 的近似值,精确到解,由于,1
s i nl i m
0
x
x
x 故所给积分不是广义积分,
若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1,则它在积分区间
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2642
n
xxxx
x
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n
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0 0 1 6 7.00 5 5 5 6.01
上连续,且有幂级数展开式,
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机动 目录 上页 下页 返回 结束二、欧拉 (Euler)公式则称 ① 收敛,且其和为
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1
n
n
n viu
绝对收敛
,
1
n
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n
n
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1
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1
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若对复数项级数
,22 nnn vuu 22 nnn vuv
①
1n
nv绝对收敛则称 ① 绝对收敛,
由于,故知欧拉 目录 上页 下页 返回 结束定义,复变量 的指数函数为易证它在整个复平面上绝对收敛,
当 y = 0 时,它与实指数函数 xe
当 x = 0 时, nyi yi
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的幂级数展式一致,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
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（欧拉公式）
（也称欧拉公式）
利用欧拉公式可得复数的指数形式 r
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则机动 目录 上页 下页 返回 结束据此可得
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(德莫弗公式 )
利用幂级数的乘法,不难验证
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特别有
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作业 P229 1(2),(4) ; 2 (2)
第六节 目录 上页 下页 返回 结束
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81
18 1
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)31511(32 4 0 45 9 9 2 6.20 0 7 4 1.03
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2
82 81
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81
11
3
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413
4105.0
13 43151 82 31!25 41 123 3 1!35 941
解,55 3243240 514 )1(3 31
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)11(432)1ln (
432
xxxxxx?
例 2,计算 2ln 的近似值,使准确到,10 4?
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x
x
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令 21
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x
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在上述展开式中取前四项,
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得
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具此递推公式可求出任意正整数的对数,如
53 )91(51)91(319122ln25ln 6094.1?
( n为自然数 ),
53 )12 1(51)12 1(3112 12ln nnnn
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
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例 3,利用 求误差,
解,先把角度化为弧度9 (弧度 )
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误差不超过 510?
的近似值,并估计
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则所求积分近似值为欲使截断误差
5205.0?
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x 故所给积分不是广义积分,
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由于,故知欧拉 目录 上页 下页 返回 结束定义,复变量 的指数函数为易证它在整个复平面上绝对收敛,
当 y = 0 时,它与实指数函数 xe
当 x = 0 时, nyi yi
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
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（欧拉公式）
（也称欧拉公式）
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利用幂级数的乘法,不难验证
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