第八章第七节一、方向导数机动 目录 上页 下页 返回 结束二、梯度三、物理意义方向导数与梯度
l
),,( zyxP
一、方向导数定义,若函数 ),,( zyxf

f?
0
lim
则称 l
f
l
f
为函数在点 P 处沿方向 l 的 方向导数,

),,(),,(lim
0
zyxfzzyyxxf
在点 ),,( zyxP 处沿方向 l (方向角为,,) 存在下列极限,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P?
记作
,),,(),,( 处可微在点若函数 zyxPzyxf
),,( zyxP
l
定理,
则函数在该点 沿任意方向 l 的方向导数存在,

f
l
f
0
l i m
c o sc o sc o s zfyfxflf
证明,由函数 ),,( zyxf
)(?ozzfyyfxxff

且有
)(?o?
在点 P 可微,得机动 目录 上页 下页 返回 结束
P?
故 c o sc o sc o s z
f
y
f
x
f


机动 目录 上页 下页 返回 结束对于二元函数,),( yxf
为?,? ) 的方向导数为方处沿方向在点 (),( lyxP

),(),(lim
0
yxfyyxxf
l
f
c o s),(c o s),( yxfyxf yx P
l
x
y
o
x
f
l
f

特别,
当 l 与 x 轴同向 有时,2,0

当 l 与 x 轴反向 有时,2,

x
f
l
f

l
向角例 1,求函数 在点 P(1,1,1) 沿向量
3) 的方向导数,

Pl
u
14
22?zyx?

14
32 yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束解,向量 l 的方向余弦为例 2,求函数 在点 P(2,3)沿曲线朝 x 增大方向的方向导数,
解,将已知曲线用参数方程表示为
2)2,1(?xx它在点 P 的 切向量为,
17
1c o s
17
60?
xo
y
2
P


1
2xy
xx
)4,1(?
17
4c o s 1?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,设 是曲面n 在点 P(1,1,1 )处指向外侧的法向量,
解,
方向余弦为,14
2c o s,
14
3c o s
14
1c o s
而 Px
u

Pn
u同理得
)1,3,2(2?
方向 的方向导数,
Pzyx )2,6,4(
14
6?
7
111143826
14
1
Pyxz
x
22 86
6
在点 P 处沿求函数机动 目录 上页 下页 返回 结束
n
n
二、梯度方向导数公式 c o sc o sc o s z
f
y
f
x
f
l
f



令向量这说明 方向,f 变化率最大的方向模,f 的最大变化率之值方向导数取最大值：
机动 目录 上页 下页 返回 结束
zfyfxfG,,
)c o s,c o s,(c o s0l
,0 方向一致时与当 Gl
:G
Glfm a x
1,定义
,fadrg 即同样可定义二元函数 ),( yxP
称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度
zfyfxf,,
记作
(gradient),
在点 处的梯度机动 目录 上页 下页 返回 结束
G
说明,函数的 方向导数 为梯度在该方向上的投影,
向量
2,梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面 (或等值线 ),
机动 目录 上页 下页 返回 结束面上的投在曲线 x o yCz yxfz ),(
CyxfL?),(:*影 称为函数 f 的 等值线,
,,不同时为零设 yx ff 则 L*上点 P 处的法向量为
Pyx ff ),( Pfg ra d?
o
y
x1cf?
2cf?
3cf?
)( 321 ccc设
P同样,对应函数有等值面 (等量面 )
当各偏导数不同时为零时,其上点 P处的法向量为,g ra d Pf
,),( yxfz?对函数指向函数增大的方向,
3,梯度的基本运算公式
uCuC g r a d)(g r a d( 2)?
uvvuvu g r a dg r a d)(g r a d( 4)
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4.
证,)(rf
yrf )(
)( g r a d rf?
)(1)( kzjyixrrf
rrrf?1)(
r
zrf
z
rf )()(
0)( rrf
jyrf )( kzrf )(
222 zyx
x

P
x
o
z
y
,)( ryrf?
ixrf )(
试证
r
xrf )(
机动 目录 上页 下页 返回 结束处矢径 r 的模,
r
三、物理意义函数
(物理量的分布 )
数量场 (数性函数 )
场向量场 (矢性函数 )
可微函数 )(Pf 梯度场 )(g r a d Pf
( 势 )
如,温度场,电位场等如,力场,速度场等
(向量场 )
注意,任意一个向量场不一定是梯度场,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
),(4 222 zyxrrqu试证证,利用例 4的结果这说明场强,
处所产生的电位为垂直于等位面,
且指向电位减少的方向,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Eug r a d )4(
0
2 rrεπ
qE?场强
04g ra d rrqu 024 rrq E
0)()(g ra d rrfrf
内容小结
1,方向导数
三元函数 在点 沿方向 l (方向角
),,为 的方向导数为 c o sc o sc o s
z
f
y
f
x
f
l
f



二元函数 在点
), 的方向导数为
c o sc o s yfxflf
沿方向 l (方向角为机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,梯度
三元函数 在点 处的梯度为
zfyfxff,,g ra d
二元函数 在点 处的梯度为
)),(,),((g ra d yxfyxff yx?
3,关系方向导数存在 偏导数存在
可微机动 目录 上页 下页 返回 结束
0g ra d lf
l
f
梯度在方向 l 上的投影,
思考与练习
1,设函数
(1) 求函数在点 M ( 1,1,1 ) 处沿曲线在该点切线方向的方向导数 ;
(2) 求函数在 M( 1,1,1 ) 处的 梯度 与 (1)中 切线方向的夹角?,
2,P73 题 16
机动 目录 上页 下页 返回 结束曲线1,(1) 在点
)1,1,1(c o sc o sc o s zyx
M
ffflf
解答提示,
机动 目录 上页 下页 返回 结束函数沿 l 的方向导数
l
M (1,1,1) 处切线的方向向量
)0,1,2(g ra d)2(?Mf
M
M
f
l
f
g rad
130
6a rc c o s
机动 目录 上页 下页 返回 结束
l c o s
l
4
2
0
4
2
0
4
2
0
2
0
02
0
02
0
0
2
2
2
2
2
2
2
0
c
z
b
y
a
x
c
z
z
b
y
y
a
x
x
n
u
M


4
2
0
4
2
0
4
2
0
2
c
z
b
y
a
x

2,P73 题 16
P51 2,3,6,7,8,9,10
作业第八节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 1,函数 在点处的梯度解,
则注意 x,y,z 具有轮换对称性
)2,2,1(92
)2,2,1(92?(92考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束指向 B( 3,－ 2,2) 方向的方向导数是,
在点 A( 1,0,1) 处沿点 A2,函数 )ln ( 22 zyxu
提示,则
}c o s,c o s,{c o s
)1ln (?x
)11l n ( 2 y
(96考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
21
2
1?