*第五节一、被积函数含参变量的积分二、积分限含参变量的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束含参变量的积分第九章一、被积函数含参变量的积分
],[],[),( baRyxf 是矩形域设 上的连续函数,
则积分?
yyxf d),(确定了一个定义在 [a,b]上的函数,
记作
yyxfx d),()(
x 称为参变量,上式称为含参变量的积分,
含参积分的性质定理 1.(连续性 ) ],[],[),( baRyxf 在矩形域若上连续,则由 ① 确定的含参积分在 [a,b]上连续,
— 连续性,可积性,可微性,
①
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,),( yxf由于 在闭区域 R上连续,所以一致连续,即
,0任给,0存在,),(,),( 2211 yxyxR 内任意两点对只要 2121,yyxx
就有 ),(),( 2211 yxfyxf
,0,任给因此,0存在,时当 x就有
)()( xxx yyxfyxxf d)],(),([
yyxfyxxf d),(),(
这说明,],[)( 上连续在 bax?
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 1 表明,定义在 闭矩形域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可交换的,,],[0 bax?即对任意
yyxfxx d),(l i m 0 yyxfxx d),(lim 0
同理可证,上连在矩形域若 ],[],[),( baRyxf
续,?
ba xyxfy d),()(?
则含参变量的积分
.],[ 上连续也在
机动 目录 上页 下页 返回 结束由连续性定理易得下述可积性定理,
定理 2,(可积性 ) ],[],[),( baRyxf 在矩形域若上连续,
yyxfx d),()(则 且上可积在,],[ ba
D yxyxf dd),(
同样,
b
a xyxfy d),()(? 且上可积在,],[
D yxyxf dd),(
推论,在定理 2 的条件下,累次积分可交换求积顺序,
即机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 3,(可微性 ) ),(),( yxfyxf x及其偏导数若 都在
,],[],[ 上连续矩形域 baR
yyxfx d),()(则 且上可微在,],[ ba
yyxfxx d),(d d)( yyxf x d),(
证,令,d),()(
yyxfxg x 上的连续是则 ],[)( baxg
函数,,],[ 时故当 bax?
xa xxg d)( xyyxf xxa dd),(
yxyxfxa x dd),(
机动 目录 上页 下页 返回 结束
yyafyxf d),(),(
)()( ax
因上式左边的变上限积分可导,因此右边,可微)( x? 且有
)()( xgx
xa xxg d)(
yyxf x d),(
此定理说明,被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时,求导与求积运算是可以交换顺序的,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1.,)0(dln
1
0 baxx
xxI ab求解,
yxba y d?
由被积函数的特点想到积分,
a
by
x
x
ln x
xx ab
ln
yxxI ba y dd10
xxy yba dd 10 yy
xb
a
y
d1
0
11
yyba d11 11ln ab
)],[]1,0[( 上连续在 bax y?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2.,d1
)1l n (1
0 2 xx
xI?
求解,考虑含参变量 t 的积分所确定的函数
.d1 )1l n ()( 10 2 xx xt t
显然,,]1,0[]1,0[1
)1l n (
2 上连续在
x
xt
,)1(,0)0( I
由于 xxtx
xt d
)1)(1()(
1
0 2
xxttxtxxt d1111 1 210 22
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)1l n (a rc t a n)1l n (211 1 22 xtxtxt 01
)1l n (42ln211 1 2 ttt
)0()1(I tttt d)1l n (42ln2
1
1
1
2
1
0
0
1a rc t a n2ln
2
1 t?
0
12 )1l n (
8 t
t
t
t d
1
)1l n (1
0 2
I 2ln4?
故
2ln8I因此得机动 目录 上页 下页 返回 结束二、积分限含参变量的积分在实际问题中,常遇到积分限含参变量的情形,例如,
),( yxf设 为定义在区域
bxa
上的连续函数,
)()( xyx
xo
y
ba
)(xy
)(xy
D
则也是参变量 x 的函数,
)( )( d),()( xx yyxfx
:D
其定义域为 [ a,b ],
利用前面的定理可推出这种含参积分的性质,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 4.(连续性 ) 在区域若 ),( yxf
}),()(),{(,bxaxyxyxD
上连续,,],[)(),( 上的连续函数为其中 baxx则函数
)( )( d),()( xx yyxfx
.],[ 上连续在 ba
证,令,]1,0[,)]()([)( txxtxy则?
10 ),()( xfx?
由于被积函数在矩形域 ]1,0[],[?ba 上连续,由定理 1知,
上述积分确定的函数,],[)( 上连续在 bax?
定理 5,(可微性 ) ),(),( yxfyxf x及其偏导数若 都在
,],[],[ 上连续矩形域 dcbaR为定义在)(),( xx
上],[ ba
)( )( d),()( xx yyxfx
且，上可微在 ],[ ba
中的可微函数,则
)( )( d),()( xx x yyxfx )())(,( xxxf
)())(,( xxxf
证,,)( 看作复合函数把 x? 令
),,()( xHx?,d),( yyxf )(),( xx
],[ dc其值域含于机动 目录 上页 下页 返回 结束利用复合函数求导法则及变限积分求导,得
),,()( xHx?,d),( yyxf )(),( xx
)()()( xHxHxHx
)( )( d),(xx x yyxf )())(,( xxf
)())(,( xxxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,).(,d
s i n)( 2 xy
y
xyx x
x 求设解, )(x? yyx
x
x dc o s
2
xx x 2sin 2
3
1si n
2
xx
x
x
x
yx 2sin
x
x 3si n2?
x
x 2si n?
x
xx 23 s i n2s i n3
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4.,0)( 的某邻域内连续在设?xxf 充验证当 x
分小时,函数
x n ttftx
nx 0
1 d)()(
!)1(
1)(?
的 n 阶导数存在,且,)()()( xfxn
证,令,)()(),( 1 tftxtxF n ),(),(,txFtxF x及显然在原点的某个闭矩形邻域内连续,由定理 5 可得
x n ttftxn
nx 0
2 d)())(1(
!)1(
1)(?
)()(!)1( 1 1 xfxxn n
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x n ttftxnx 0 2 d)()(!)2( 1)(?即同理,d)()(!)3(
1)(
0
3
x n ttftx
nx
xn ttfx 0)1( d)()(?
)()()( xfxn于是作业 (*习题 9-5)
P123 1(2),(3) ; 2 (2),(4) ;
3 ; 4 (1) ; 5 (1)
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],[],[),( baRyxf 是矩形域设 上的连续函数,
则积分?
yyxf d),(确定了一个定义在 [a,b]上的函数,
记作
yyxfx d),()(
x 称为参变量,上式称为含参变量的积分,
含参积分的性质定理 1.(连续性 ) ],[],[),( baRyxf 在矩形域若上连续,则由 ① 确定的含参积分在 [a,b]上连续,
— 连续性,可积性,可微性,
①
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,),( yxf由于 在闭区域 R上连续,所以一致连续,即
,0任给,0存在,),(,),( 2211 yxyxR 内任意两点对只要 2121,yyxx
就有 ),(),( 2211 yxfyxf
,0,任给因此,0存在,时当 x就有
)()( xxx yyxfyxxf d)],(),([
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这说明,],[)( 上连续在 bax?
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 1 表明,定义在 闭矩形域上的连续函数,其极限运算与积分运算的顺序是可交换的,,],[0 bax?即对任意
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同理可证,上连在矩形域若 ],[],[),( baRyxf
续,?
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则含参变量的积分
.],[ 上连续也在
机动 目录 上页 下页 返回 结束由连续性定理易得下述可积性定理,
定理 2,(可积性 ) ],[],[),( baRyxf 在矩形域若上连续,
yyxfx d),()(则 且上可积在,],[ ba
D yxyxf dd),(
同样,
b
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推论,在定理 2 的条件下,累次积分可交换求积顺序,
即机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 3,(可微性 ) ),(),( yxfyxf x及其偏导数若 都在
,],[],[ 上连续矩形域 baR
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yyxfxg x 上的连续是则 ],[)( baxg
函数,,],[ 时故当 bax?
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因上式左边的变上限积分可导,因此右边,可微)( x? 且有
)()( xgx
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此定理说明,被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时,求导与求积运算是可以交换顺序的,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1.,)0(dln
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由被积函数的特点想到积分,
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0 2 xx
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求解,考虑含参变量 t 的积分所确定的函数
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显然,,]1,0[]1,0[1
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2 上连续在
x
xt
,)1(,0)0( I
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上的连续函数,
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)(xy
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则也是参变量 x 的函数,
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机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 4.(连续性 ) 在区域若 ),( yxf
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10 ),()( xfx?
由于被积函数在矩形域 ]1,0[],[?ba 上连续,由定理 1知,
上述积分确定的函数,],[)( 上连续在 bax?
定理 5,(可微性 ) ),(),( yxfyxf x及其偏导数若 都在
,],[],[ 上连续矩形域 dcbaR为定义在)(),( xx
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且，上可微在 ],[ ba
中的可微函数,则
)( )( d),()( xx x yyxfx )())(,( xxxf
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),,()( xHx?,d),( yyxf )(),( xx
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),,()( xHx?,d),( yyxf )(),( xx
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分小时,函数
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