第八章
*二、全微分在数值计算中的应用应用第三节一元函数 y = f (x) 的微分
)( xoxAy
xxfy )(d 近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束本节内容,
一,全微分的定义全微分一,全微分的定义定义,如果函数 z = f ( x,y )在定义域 D 的内点 ( x,y )
可表示成
,)(?oyBxAz
其中 A,B 不依赖于? x,? y,仅与 x,y 有关，
称为函数 ),( yxf
在点 (x,y) 的 全微分,记作
yBxAfz dd
若函数在域 D 内各点都可微,
则称函数
f ( x,y ) 在点 ( x,y) 可微,
机动 目录 上页 下页 返回 结束处全增量则称此函数 在 D内可微,
(2) 偏导数连续
),(),( yxfyyxxfz
)()(lim 0 oyBxA
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系,
(1) 函数可微函数 z = f (x,y) 在点 (x,y) 可微
),(lim
0
0
yyxxf
y
x
由微分定义,
得
z
y
x
0
0
lim 0?
),( yxf?
函数在该点连续机动 目录 上页 下页 返回 结束偏导数存在函数可微即定理 1(必要条件 )若函数 z = f (x,y) 在点 (x,y) 可微,
则该函数在该点偏导数
yyzxxzzd
x
z
同样可证,By
z?
证,由全增量公式,0 y令
)( xoxA
必存在,且有得到对 x 的偏增量
xx x
因此有
x
zx
x?
0
l i mA?
机动 目录 上页 下页 返回 结束反例,函数?),( yxf
易知,0)0,0()0,0( yx ff 但
])0,0()0,0([ yfxfz yx
因此,函数在点 (0,0) 不可微,)(?o?
注意,定理 1 的逆定理不成立,
22 )()( yx
yx
22 )()( yx
yx
0
偏导数存在函数 不一定可微 !
即,
0,2222
yx
yx
yx
0,0 22 yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
] ),([ yyxxf
定理 2 (充分条件 ) y
z
x
z
,
证,),(),( yxfyyxxfz
)1,0( 21
xyxf x ]),([
yyyxf y ),( 2 xyyxxf x ),( 1?
),( yyxf
)],( [ yxf ),( yyxf
yyxf y ]),([
若函数 的偏导数
,),( 连续在点 yx则函数在该点 可微分,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0lim
0
0
y
x
,0l i m
0
0
y
x
z
yyxfxyxf yx ),(),(
yyxfxyxfz yx ),(),(
yx
所以函数
yx
在点 可微,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0lim
0
0
y
x
,0l i m
0
0
y
x
注意到,故有
)(?o?
xxu
推广,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题,
例如,三元函数 ),,( zyxfu?
ud
习惯上把自变量的增量用微分表示,
ud
记作故有下述叠加原理
uuuu zyx dddd
称为 偏微分,
zzu d
uzd
的全微分为
yyu zzu
于是机动 目录 上页 下页 返回 结束
uuu zyx d,d,d
例 1,计算函数 在点 (2,1) 处的全微分,
解,
x
z
22 2
)1,2(,)1,2( ey
ze
x
z?
例 2,计算函数 的全微分,
解,?ud yy d) c o s( 221?
yz,yxey yxex
zyez
机动 目录 上页 下页 返回 结束可知当
*二、全微分在数值计算中的应用
1,近似计算由全微分定义
)(),(),(?oyyxfxyxfz yx
),( yyxxf yyxfxyxf yx ),(),(
较小时,
yyxfxyxfzz yx ),(),(d
zd
及 有近似等式,
),( yxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(可用于近似计算 ; 误差分析 )
(可用于近似计算 )
半径由 20cm 增大解,已知
V
,1 00,20 hr
)1(2005.0100202 2V
即受压后圆柱体体积减少了例 3,有一圆柱体受压后发生形变,
到 20.05cm,
则
rrh2 hr 2?
1,05.0 hr
)cm(2 0 0 3
高度由 100cm 减少到 99cm,
体积的近似改变量,
机动 目录 上页 下页 返回 结束求此圆柱体例 4.计算 的近似值,
解,设 yxyxf?),( 则
),( yxf x
取,2,1 yx
则 )02.2,04.1(04.1 02.2 f?
08.102.0004.021
),( yxf y,1?yxy xx y ln
02.0,04.0 yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束分别表示 x,y,z 的绝对误差界,
2,误差估计利用 yyxfxyxfz yx ),(),(
令
z 的绝对误差界约为
yyxxz yxfyxf δ),(δ),(δ
z 的相对误差界约为
y
y
x
xz
yxf
yxf
yxf
yxf
z δ),(
),(δ
),(
),(
机动 目录 上页 下页 返回 结束则特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形,
xzz δ
δ
y
x
yδy
x
乘除后的结果相对误差变大
很小的数不能做除数机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,利用公式
1.030,01.03.8,01.05.12 Cba
求计算面积时的绝对误差与相对误差,
解,aS a
S δδ
aCb δsi n2
1?
1 8 0 0δ,01.0δδ,30,3.8,5.12
CbaCba
故绝对误差约为又所以 S 的相对误差约为
30s i n3.85.1221
bCa δsi n2
1?
CCab δc o s2
1?
94.25?
计算三角形面积,现测得机动 目录 上页 下页 返回 结束
bb
S δ
cc
S δ
例 6.在直流电路中,测得电压 U = 24 伏,
解,由欧姆定律可知 46
24
I
UR
( 欧 )
所以 R 的相对误差约为
IUR IUR δδδ 0.3? + 0.5?
R 的绝对误差约为
RRδ 0.8?
0.3?;
定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差,
相对误差为测得电流 I = 6安,相对误差为 0.5?,
= 0.032 ( 欧 )
= 0.8?
机动 目录 上页 下页 返回 结束求用欧姆内容小结
1,微分定义,
z
zd yyxfxyxf yx d),(d),(?
22 )()( yx
2,重要关系,
)(?o?
函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,微分应用
近似计算
估计误差
yyxfxyxf yx ),(),(
yyxfxyxf yx ),(),(
绝对误差相对误差
yyxxz yxfyxf δ),(δ),(δ
y
y
x
xz
yxf
yxf
yxf
yxf
z δ),(
),(δ
),(
),(δ
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习 1,P72 题 1 (总习题八 )
函数 ),( yxfz? 在 ),( 00 yx 可微的充分条件是 ( );),(),()( 00 连续在 yxyxfA
),(),(,),()( 00 yxyxfyxfB yx 在的某邻域内存在 ;
yyxfxyxfzC yx ),(),()(
0)()( 22 yx当 时是无穷小量 ;
22 )()(
),(),()(
yx
yyxfxyxfzD yx
0)()( 22 yx当 时是无穷小量,
2,选择题 D
机动 目录 上页 下页 返回 结束答案,z?
03.0,1
01.0,2
yy
xx
02.0?
zd 03.0,1 01.0,2 yy xx 03.0?
也可写作,
当 x = 2,y =1,△ x = 0.01,△ y = 0.03 时
△ z = 0.02,d z = 0.03
3,P73 题 7
机动 目录 上页 下页 返回 结束
zfyfxff zyy d)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(d )0,0,0(
4,设解,x
xxf
c o s3)0,0,(
0c o s3)0,0,0(?
xx
xf
x4
1?
利用轮换对称性,可得
4
1)0,0,0()0,0,0(
zy ff
)dd(d41 zyx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
( L,P245 例 2 )注意,x,y,z 具有轮换对称性答案,
作业
P24 1 (3),(4) ; 3 ; 5 ;
8 ; 10
5,已知第四节 目录 上页 下页 返回 结束在点 (0,0) 可微,
备用题在点 (0,0) 连续且偏导数存在,
续,),( yxf而证,1) 因 22
1s i n
yx
xy
0),(l i m
0
0
yxf
y
x )0,0(f?
故函数在点 (0,0) 连续 ;
但偏导数在点 (0,0) 不连机动 目录 上页 下页 返回 结束证明函数
xy? 2
22 yx?
所以
),( yxf x
,)0,0(),( 时当?yx
,0)0,(?xf? ;0)0,0( xf,0)0,0(?yf同理
22
1s i n
yx?
322
2
)( yx
yx
),(li m )0,0(),( yxf xxx?
极限不存在,),( yxf x? 在点 (0,0)不连续 ;
同理,),( yxf y 在点 (0,0)也不连续,
xx (lim0 ||2
1s i n
x? 3
3
||22 x
x?
)||21c o s x?
2)
3)
题目 目录 上页 下页 返回 结束
,)()( 22 yx
4) 下面证明 )0,0(),( 在点yxf 可微,
yfxff yx )0,0()0,0(
说明,此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件,
令 则题目 目录 上页 下页 返回 结束
*二、全微分在数值计算中的应用应用第三节一元函数 y = f (x) 的微分
)( xoxAy
xxfy )(d 近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束本节内容,
一,全微分的定义全微分一,全微分的定义定义,如果函数 z = f ( x,y )在定义域 D 的内点 ( x,y )
可表示成
,)(?oyBxAz
其中 A,B 不依赖于? x,? y,仅与 x,y 有关，
称为函数 ),( yxf
在点 (x,y) 的 全微分,记作
yBxAfz dd
若函数在域 D 内各点都可微,
则称函数
f ( x,y ) 在点 ( x,y) 可微,
机动 目录 上页 下页 返回 结束处全增量则称此函数 在 D内可微,
(2) 偏导数连续
),(),( yxfyyxxfz
)()(lim 0 oyBxA
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系,
(1) 函数可微函数 z = f (x,y) 在点 (x,y) 可微
),(lim
0
0
yyxxf
y
x
由微分定义,
得
z
y
x
0
0
lim 0?
),( yxf?
函数在该点连续机动 目录 上页 下页 返回 结束偏导数存在函数可微即定理 1(必要条件 )若函数 z = f (x,y) 在点 (x,y) 可微,
则该函数在该点偏导数
yyzxxzzd
x
z
同样可证,By
z?
证,由全增量公式,0 y令
)( xoxA
必存在,且有得到对 x 的偏增量
xx x
因此有
x
zx
x?
0
l i mA?
机动 目录 上页 下页 返回 结束反例,函数?),( yxf
易知,0)0,0()0,0( yx ff 但
])0,0()0,0([ yfxfz yx
因此,函数在点 (0,0) 不可微,)(?o?
注意,定理 1 的逆定理不成立,
22 )()( yx
yx
22 )()( yx
yx
0
偏导数存在函数 不一定可微 !
即,
0,2222
yx
yx
yx
0,0 22 yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
] ),([ yyxxf
定理 2 (充分条件 ) y
z
x
z
,
证,),(),( yxfyyxxfz
)1,0( 21
xyxf x ]),([
yyyxf y ),( 2 xyyxxf x ),( 1?
),( yyxf
)],( [ yxf ),( yyxf
yyxf y ]),([
若函数 的偏导数
,),( 连续在点 yx则函数在该点 可微分,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0lim
0
0
y
x
,0l i m
0
0
y
x
z
yyxfxyxf yx ),(),(
yyxfxyxfz yx ),(),(
yx
所以函数
yx
在点 可微,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0lim
0
0
y
x
,0l i m
0
0
y
x
注意到,故有
)(?o?
xxu
推广,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题,
例如,三元函数 ),,( zyxfu?
ud
习惯上把自变量的增量用微分表示,
ud
记作故有下述叠加原理
uuuu zyx dddd
称为 偏微分,
zzu d
uzd
的全微分为
yyu zzu
于是机动 目录 上页 下页 返回 结束
uuu zyx d,d,d
例 1,计算函数 在点 (2,1) 处的全微分,
解,
x
z
22 2
)1,2(,)1,2( ey
ze
x
z?
例 2,计算函数 的全微分,
解,?ud yy d) c o s( 221?
yz,yxey yxex
zyez
机动 目录 上页 下页 返回 结束可知当
*二、全微分在数值计算中的应用
1,近似计算由全微分定义
)(),(),(?oyyxfxyxfz yx
),( yyxxf yyxfxyxf yx ),(),(
较小时,
yyxfxyxfzz yx ),(),(d
zd
及 有近似等式,
),( yxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(可用于近似计算 ; 误差分析 )
(可用于近似计算 )
半径由 20cm 增大解,已知
V
,1 00,20 hr
)1(2005.0100202 2V
即受压后圆柱体体积减少了例 3,有一圆柱体受压后发生形变,
到 20.05cm,
则
rrh2 hr 2?
1,05.0 hr
)cm(2 0 0 3
高度由 100cm 减少到 99cm,
体积的近似改变量,
机动 目录 上页 下页 返回 结束求此圆柱体例 4.计算 的近似值,
解,设 yxyxf?),( 则
),( yxf x
取,2,1 yx
则 )02.2,04.1(04.1 02.2 f?
08.102.0004.021
),( yxf y,1?yxy xx y ln
02.0,04.0 yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束分别表示 x,y,z 的绝对误差界,
2,误差估计利用 yyxfxyxfz yx ),(),(
令
z 的绝对误差界约为
yyxxz yxfyxf δ),(δ),(δ
z 的相对误差界约为
y
y
x
xz
yxf
yxf
yxf
yxf
z δ),(
),(δ
),(
),(
机动 目录 上页 下页 返回 结束则特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形,
xzz δ
δ
y
x
yδy
x
乘除后的结果相对误差变大
很小的数不能做除数机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,利用公式
1.030,01.03.8,01.05.12 Cba
求计算面积时的绝对误差与相对误差,
解,aS a
S δδ
aCb δsi n2
1?
1 8 0 0δ,01.0δδ,30,3.8,5.12
CbaCba
故绝对误差约为又所以 S 的相对误差约为
30s i n3.85.1221
bCa δsi n2
1?
CCab δc o s2
1?
94.25?
计算三角形面积,现测得机动 目录 上页 下页 返回 结束
bb
S δ
cc
S δ
例 6.在直流电路中,测得电压 U = 24 伏,
解,由欧姆定律可知 46
24
I
UR
( 欧 )
所以 R 的相对误差约为
IUR IUR δδδ 0.3? + 0.5?
R 的绝对误差约为
RRδ 0.8?
0.3?;
定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差,
相对误差为测得电流 I = 6安,相对误差为 0.5?,
= 0.032 ( 欧 )
= 0.8?
机动 目录 上页 下页 返回 结束求用欧姆内容小结
1,微分定义,
z
zd yyxfxyxf yx d),(d),(?
22 )()( yx
2,重要关系,
)(?o?
函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,微分应用
近似计算
估计误差
yyxfxyxf yx ),(),(
yyxfxyxf yx ),(),(
绝对误差相对误差
yyxxz yxfyxf δ),(δ),(δ
y
y
x
xz
yxf
yxf
yxf
yxf
z δ),(
),(δ
),(
),(δ
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习 1,P72 题 1 (总习题八 )
函数 ),( yxfz? 在 ),( 00 yx 可微的充分条件是 ( );),(),()( 00 连续在 yxyxfA
),(),(,),()( 00 yxyxfyxfB yx 在的某邻域内存在 ;
yyxfxyxfzC yx ),(),()(
0)()( 22 yx当 时是无穷小量 ;
22 )()(
),(),()(
yx
yyxfxyxfzD yx
0)()( 22 yx当 时是无穷小量,
2,选择题 D
机动 目录 上页 下页 返回 结束答案,z?
03.0,1
01.0,2
yy
xx
02.0?
zd 03.0,1 01.0,2 yy xx 03.0?
也可写作,
当 x = 2,y =1,△ x = 0.01,△ y = 0.03 时
△ z = 0.02,d z = 0.03
3,P73 题 7
机动 目录 上页 下页 返回 结束
zfyfxff zyy d)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(d )0,0,0(
4,设解,x
xxf
c o s3)0,0,(
0c o s3)0,0,0(?
xx
xf
x4
1?
利用轮换对称性,可得
4
1)0,0,0()0,0,0(
zy ff
)dd(d41 zyx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
( L,P245 例 2 )注意,x,y,z 具有轮换对称性答案,
作业
P24 1 (3),(4) ; 3 ; 5 ;
8 ; 10
5,已知第四节 目录 上页 下页 返回 结束在点 (0,0) 可微,
备用题在点 (0,0) 连续且偏导数存在,
续,),( yxf而证,1) 因 22
1s i n
yx
xy
0),(l i m
0
0
yxf
y
x )0,0(f?
故函数在点 (0,0) 连续 ;
但偏导数在点 (0,0) 不连机动 目录 上页 下页 返回 结束证明函数
xy? 2
22 yx?
所以
),( yxf x
,)0,0(),( 时当?yx
,0)0,(?xf? ;0)0,0( xf,0)0,0(?yf同理
22
1s i n
yx?
322
2
)( yx
yx
),(li m )0,0(),( yxf xxx?
极限不存在,),( yxf x? 在点 (0,0)不连续 ;
同理,),( yxf y 在点 (0,0)也不连续,
xx (lim0 ||2
1s i n
x? 3
3
||22 x
x?
)||21c o s x?
2)
3)
题目 目录 上页 下页 返回 结束
,)()( 22 yx
4) 下面证明 )0,0(),( 在点yxf 可微,
yfxff yx )0,0()0,0(
说明,此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件,
令 则题目 目录 上页 下页 返回 结束
