第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束一,偏导数概念及其计算二,高阶偏导数偏 导 数第八章一,偏导数定义及其计算法引例,研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度,就是
),( txu
0xo x
u
中的 x 固定于 求一阶导数与二阶导数,
x0 处,
),( 0 txu
关于 t 的机动 目录 上页 下页 返回 结束将振幅定义 1,),( yxfz? 在点存在,xyxyxfz 对在点 ),(),( 00?
的偏导数，记为
),( 00 y的某邻域内;),(
00 yxx
f
xx0 0x
则称此极限为函数极限设函数
)( 0xf
)()( 00 xfxxf
x?0
limx
x?;),( 00 yxxz
0d
d
xxx
y

.),( 001 yxf?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
yxfyxxf
x?


),(),(lim 0000
0),( 00 yxf x注意,
同样可定义对 y 的偏导数
lim
0
y),( 00 yxf y
若函数 z = f ( x,y ) 在域 D 内每一点 ( x,y ) 处对 x
则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,
),(,),( 2 yxfyxf y?
),( 0xf ),( 0xf?
y?
记为
yy0 0y
机动 目录 上页 下页 返回 结束或 y 偏导数存在,
,,,yzyfyz
例如,三元函数 u = f (x,y,z) 在点 (x,y,z) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数,
x?
xx
),,(?zyxf y
),,(?zyxf z
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束偏导数定义为
(请自己写出 )
二元函数偏导数的几何意义,
0
0 ),(d
d
0
0
xxyxfxx
f
xx
yy?

0
),(
yy
yxfz
xTM0
0
0 ),(d
d
0
0
yyyxfyy
f
xx
yy?
是曲线 yTM0
在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率,
在点 M0 处的切线斜率,
是曲线
y
x
z
0x
yT
o
xT
0y
0M
机动 目录 上页 下页 返回 结束对 y 轴的函数在某点各偏导数都存在,
显然例如,?



0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
yx
yxfz
0?
0?
注意：
但在该点 不一定连续,
上节例 目录 上页 下页 返回 结束在上节已证 f (x,y) 在点 (0,0)并不连续 !
例 1,求 22 3 yyxxz
解法 1,
x
z
)2,1(x
z

解法 2:
)2,1(x
z
在点 (1,2) 处的偏导数,
)2,1(y
z
,32 yx
y
z
yx 23?
)2,1(y
z
462 xx
1?xz 231 yy
2?yz
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,设,）且 1,0( xxxz y z
y
z
xx
z
y
x 2
ln
1?

证,
y
z
xx
z
y
x


ln
1
例 3,求 的偏导数,(P14 例 4)
解,
x
r
求证
z2?
2222 zyxx2 r
x?
r
z
z
r?
机动 目录 上页 下页 返回 结束偏导数记号是一个例 4,已知理想气体的状态方程求证,1


p
T
T
V
V
p
证,,V
TRp?
,pTRV?
pTTVVp
说明,
(R 为常数 ),
Vp 2VTR?
TV pR
Vp
TR?
1
不能看作分子与分母的商 !
此例表明,
机动 目录 上页 下页 返回 结束整体记号,
二、高阶偏导数设 z = f (x,y)在域 D 内存在连续的偏导数 ),(,),( yxf
y
zyxf
x
z
yx

若这两个偏导数仍存在偏导数，
)( xz
)( yzx
)( xzy
),()( 2
2
yxf
y
z
y
z
y yy

则称它们是 z = f ( x,y )
的 二阶偏导数,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导
2
2
x
z

);,( yxf xx? yx
z

2
),( yxf yx?
);,(
2
yxfxy z xy
x?
机动 目录 上页 下页 返回 结束数,
类似可以定义更高阶的偏导数,
例如,z = f (x,y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x,y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数,再关于 y 的一阶
) (y yx
z
n
n


1
机动 目录 上页 下页 返回 结束偏导数为
yxe 22
例 5,求函数 yxez 2
.2
3
xy
z

解,
x
z
2
2
x
z
) (
2
2
3
xy
z
xxy
z



yz
xy z
2
yx z
2
2
2
y
z
注意,此处,
22
xy
z
yx
z



但这一结论并不总成立,
yxe 2? yxe 22?
yxe 2? yxe 22?
yxe 22? yxe 24?
机动 目录 上页 下页 返回 结束的二阶偏导数及
0,
)(
4 22
222
4224

yx
yx
yyxxx
y
fyf xx
y?


)0,0(),0(lim
0
),( yxf y
例如,
),( yxf x
)0,0(yxf
x
fxff yy
xxy?


)0,0()0,(lim)0,0(
0
二者不等
y
y
y?

0
l i m 1
x
x
x?

0
lim1?
),( yxf
0,0 22 yx
0,
)(
4 22
222
4224

yx
yx
yyxxy
0,0 22 yx
0,2222
22

yx
yx
yxyx
0,0 22 yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,证明函数 满足拉普拉斯
02
2
2
2
2
2


z
u
y
u
x
u
证：
2
2
x
u
利用对称性,有
,31 5
2
32
2
r
y
ry
u
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u



u方程
3
1
r? x
r
r
x

4
3
5
2
3
31
r
x
r

5
2
32
2 31
r
z
rz
u
5
222
3
)(33
r
zyx
r

2r?
0?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,),()()( 00 连续都在点和若 yxx,yfx,yf xyyx
),(),( 0000 yxfyxf xyyx?
则证明 目录 上页 下页 返回 结束定理,
例如,对三元函数 u = f (x,y,z),
说明,
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立,
函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序,
因为初等函数的偏导数仍为初等函数,
当三阶混合偏导数在点 (x,y,z) 连续 时,有而初等
(证明略 )
内容小结
1,偏导数的概念及有关结论
定义 ; 记号 ; 几何意义
函数在一点偏导数存在 函数在此点连续
混合偏导数连续 与求导顺序无关
2,偏导数的计算方法
求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义
求高阶偏导数的方法 逐次求导法
(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习解答提示,P73 题 5
，时当 022 yx?


22
2
),(
yx
yx
xyxf x
22
2
),(
yx
yx
yyxf y
0)0,(d
d)0,0(
xxfxf x
0),0(d
d)0,0(
yyfyf y
P73 题 5,6
222
222
)(
)(
yx
yxx

即 x＝ y＝ 0 时,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P73 题 6
(1),
1
2yxx
z

2
2
yx
y
y
z

,
)(
1
222
2
yxx
z

,
)(
2
22
2
yx
y
yx
z


22
2
2
2
)(
)(2
yx
yx
y
z

(2),
1
yxy
x
z xx
y
z y ln?
,)1( 2.2
2

yxyy
x
z xxy
yx
z yy ln1.12

xx
y
z y 2
2
2
ln?
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P18 1（ 4）,（ 6）,（ 8） ； 3； 5；
6（ 3） ； 7； 8； 9（ 2）
第三节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 设 方程确定 u 是 x,y 的函数,
连续,且 求解,
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