习题课一,求不定积分的基本方法机动 目录 上页 下页 返回 结束二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法第 四 章一,求不定积分的基本方法
1,直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法,
2,换元积分法第一类换元法第二类换元法
(注意常见的换元积分类型 )
(代换,) )(tx
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3,分部积分法
vuxvu d
使用原则,
1) 由 v? 易求出 v ;
2) 比 xvu d 好求,
一般经验,按,反,对,幂,指,三,的顺序,排前者取为 u,排后者取为,v?
计算格式,列表计算
xvu d
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xvu n d)1( xvuvu nn d)()(
)1()( nn vuvu xvu n d)1(

)2()1()( nnn vuvuvu xvu nn d)1( )1(1
多次分部积分的 规 律机动 目录 上页 下页 返回 结束
)2()1()( nnn vuvuvu xvu n d)2(
快速计算表格,
)(ku
)1( knv
u u? u )(nu
)1(?nv )(nv )1(?nv? v?
n)1(?
)1(?nu
v?
1)1( n
特别,当 u 为 n 次多项式时,,0)1(nu 计算大为简便,
例 1,求解,原式 xxx
xx
d
23
32
22
xx
x
d
)(1
)(
2
3
2
3
2

x
x
2
3
2
3
2
3
2 )(1
)(d
ln
1
xaaa xx dlnd?
C
x
3ln2ln )a rc t a n ( 3
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求解,
21]5)1l n ([ 2xx原式
]5)1l n ([d 2 xx 21 xx
xxx d)1( 212 2
21
d
x
x
32? 5)1ln ( 2 xx? C23
机动 目录 上页 下页 返回 结束分析,
]5)1l n ([d 2 xx
例 3,求解,
原式
x
x
xx
x
d
2
c o s2
2
c o s
2
si n2
2
2t a nd xx xx d2t a n
Cxx 2t a n 分部积分机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,设解,
令,tyx
求积分即 txy
,12
3
t
tx,
12 t
ty
而
t
t
ttx d
)1(
)3(d
22
22

1原式 tt
tt d
)1(
)3(
22
22
12
3
t
t
1
3
2 t
t
Cyx 1)(ln 221
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,求解, xea rc t a n原式 xe?d
xx ee a rc t a n xe xe
e
x
x
d
1 2?
xx ee a rc t a n xe
ee
x
xx
d
1
)1(
2
22

xx ee a rc t a n x? Ce x )1(ln 221
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,求解,取
23 xx 13 2?x x6 6 0
xe2 xe221 xe241 xe281 xe2161

xe 2 原式 )2( 321 xx )13( 241 x x681?
Cxxxe x )7264( 23281
6161 C?
x
xa
xa
e
xP
xk
n d
c o s
si n)(?


机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,此法特别适用于如下类型的积分,
例 7,设证,
证明递推公式,
)2(12t a ns e c11 22 nInnxxnI nnn
xI nn 2se c
xn 2s e c
xxxn n t a ns e cs e c)2( 3
xxn t a ns e c 2 xxxn n d)1(s e cs e c)2( 22
xxn ta ns e c 2 nIn )2( 2)2( nIn
xx dsec 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 8,求解,设 1)( xxF 1?x,1?x 1?x,1 x?
则 1,1
221 xCxx
1,2221 xCxx
因 连续,得
21 2
111
2
1 CC
221121 CC 记作 C
得 1,2
1221 xCxx
1,21221 xCxx
,)1( 221 Cx
,)1( 221 Cx
利用机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 9,设解,
为 的原函数,且求由题设,)()( xfxF 则故即
,因此故又机动 目录 上页 下页 返回 结束二、几种特殊类型的积分
1,一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,需要注意的问题
(1) 一般方法不一定是最简便的方法,
(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数,
要注意综合使用各种基本积分法,简便计算,
因此不一定都能积出,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例如,
,)10(ds in1 22 kxxk
例 10.求
.
1
d
632
xxx eee x
解,令,6
xet?
则,ln6 tx? tx t dd 6?
原式 tttt
t
)1(
d6
23 ttt
t
)1)(1(
d6
2
td
tln6? 1ln3 t )1l n (23 2 t Ct a rc ta n3
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 11.求解,令 xx s i nc o s3?
xBAxBA s in)(c o s)(
比较同类项系数 3 BA 1 BA,故 2,1 BA
∴ 原式

xx
xxx
s i nc o s
)s i nd (c o s2d
Cxxx s inc o sln
说明,此技巧适用于形为
x
xdxc
xbxa d
sinc o s
sinc o s
的积分,
)s in( c o s)s in( c o s xxBxxA
xbxa s inc o s?令
)s inc o s()s inc o s( xdxcBxdxcA
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 12.
解,
xxbxa xI dsinc o s sin1求因为
.dsinc o s c o s2 xxbxa xI及
xxbxa xbxa dsinc o s sinc o s
xxbxa xaxb dsinc o s sinc o s
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 13,求不定积分解,原式
)1)(2( 1 2uu A?2 1?uB 1uC
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 14,)()s i n ()s i n (
d?kba
bxax
xI
求
xbxax d)s i n ()s i n ( )]()s in[ ( bxax)si n ( 1 ba?
xbxaxba d)s i n ()s i n ()s i n ( 1 )s in ( ax? )c o s ( bx? )c o s ( ax s in ( bx?
)si n ( 1 ba x
bx
bx d
)si n (
)c o s(?
x
ax
ax d
)si n (
)c o s(?

Caxbxba )s i n (ln)s i n (ln)s i n ( 1
Cax bxba )s i n ( )s i n (ln)s i n ( 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束解,I =
例 15.求解,?
n
bx
axbxax
xI
)()(
d( n 为自然数 )
令则 xbx
battn n d
)(
d 21

2dt tba n Ctab n 1
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P222 6,9,18,19,28,31,
38,39
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