二、第二类换元法第二节一、第一类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束换元积分法第 四 章第二类换元法第一类换元法基本思路机动 目录 上页 下页 返回 结束设,)()( ufuF 可导,
CxF?)]([?
)(d)( xuuuf
)()( xuCuF
)]([d xF? xxxf d)()]([
则有一、第一类换元法定理 1.,)( 有原函数设 uf,)( 可导xu 则有换元公式?
uuf d)( )(xu
)(d))(( xxf
(也称 配元法即 xxxf d)()]([
,凑微分法 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求解,令,bxau 则,dd xau?故原式 =? mu uad
1
a
1? Cu
m
m?
1
1
1
注,当 时机动 目录 上页 下页 返回 结束
22 )(1 d1
a
x
x
a
例 2,求解,
,axu?令 则 xau d1d?
21 uuda1 Cua a rc t a n1
想到公式?
21 u
u
Cu a rc ta n)(ax
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求
21
d
u
u
想到 Cu?a r c s in
解, 2)(1
d
a
xa
x
)(d))(( xxf (直接配元 ) xxxf d)()]([
2)(1
)(d
a
x
a
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求解,? xx
x d
c o s
si n
x
x
c o s
c o sd
x xxsi n dc o s xxsi nsi nd
机动 目录 上页 下页 返回 结束类似
Cax axa ln21
例 5,求解,
22
1
ax ))(( axax
)()( axaxa21? )11(21 axaxa
∴ 原式 =
a2
1
ax
x
ax
x dd
a2
1?
ax
ax )(d?
a21? ax?ln ax?ln? C?
ax ax )(d
机动 目录 上页 下页 返回 结束常用的几种配元形式,
xbxaf d)()1( )(d bxa?a1
xxxf nn d)()2( 1nxdn1
xxxf n d1)()3( nxdn1 nx1
万能凑幂法
xxxf dc o s)(s i n)4( xsind
xxxf ds i n)(c o s)5( xcosd?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xxxf ds e c)(t a n)6( 2xtand
xeef xx d)()7( xed
xxxf d1)(l n)8( xlnd
例 6,求
xln21 xlnd解,原式 = xln2121 )ln21(d x?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,求,d
3
xxe
x
解,原式 = xe x d2 3? )3d(3
2 3 xe x
Ce x 332
例 8,求,dse c 6 xx?
解,原式 = xdxx 222 s e c)1(t a n xtand
xxx t a nd)1t a n2(t a n 24
x5ta n51? x3ta n32? xtan? C?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 9,求,1
d?
xe
x
解法 1 x
e
ee
x
xx
d
1
)1(?
xd
x
x
e
e
1
)1(d
x? Ce x )1ln (
解法 2 x
e
e
x
x
d
1
x
x
e
e
1
)1(d
Ce x )1ln (
)]1(ln [)1ln ( xxx eee两法结果一样机动 目录 上页 下页 返回 结束
xx s i n1
1
s i n1
1
2
1?
例 10.求解法 1 x
x
x d
c o s
c o s
2 x
x
2si n1
si nd
xsind
xsi n1ln21 Cx s in1ln
Cxx s i n1 s i n1ln21
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xx t a nse c
解法 2 xx t a ns e c? )ta n( s e c xx?
xxx xxx dt a ns e c t a ns e cs e c
2
)ta n( s e cd xx?
同样可证?
xxdcsc Cxx c o tc s cln
或 C
x
2t a nln (P196 例 16 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2
22 d)(2
1
23
x
ax
例 11.求
.d
)( 2322
3
xax x
解,原式 =
2
3
)( 22 ax
22 dxx
2
1 222 )( aax
21)(21 22 ax )(d 22 ax?
23)(2 22
2
axa )(d 22 ax?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)2c o s2c o s21( 241 xx
例 12,求解,224 )( c o sc o s xx
2)
2
2c o s1( x
)2c o s21( 2 4c o s141 xx
)4c o s2c o s2( 212341 xx
xx dc o s 4 xxx d)4c o s2c o s2( 212341
xd23 )2d(2c o s xx)4(d4c o s81 xx
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 13.求解,?xx 3c o ss in 22? 221 )]2s i n4(s i n[ xx?
xxxx 2s i n2s i n4s i n24s i n 24141241
)8c o s1(81 x xx 2c o s2s in 2? )4c o s1(81 x
∴ 原式 =? xd41 )8d(8c o s641 xx
)2(s i nd2s i n 221 xx )4d(4c o s321 xx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xexex xx dd xex x d)1(
例 14.求解,原式 =
xe
xe
)1(
1
xx xexe?
)(d)
1
11( x
xx exexex
)1(
1
xx
xx
xexe
xexe
xexln? xex 1ln C?
Cexxx x 1lnln
机动 目录 上页 下页 返回 结束分析,
例 15.求解,原式
)( )( xf xf
x
xf
xfxf
xf
xf d
)(
)()(1
)(
)(
2
x
xf
xfxfxf d
)(
)()()(
2
2
Cxf xf
2
)(
)(
2
1
))( )(d( xf xf?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)( )( xf xf
小结 常用简化技巧,
(1) 分项积分,
(2) 降低幂次,
(3) 统一函数,利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元等xx 22 c o ss in1
万能凑幂法
xxxf nn d)( 1 nnn xxf d)(1?
xxxf n d1)( nxnn xxf n d)( 11?
机动 目录 上页 下页 返回 结束利用积化和差 ; 分式分项 ;
利用倍角公式,如思考与练习 1,下列各题求积方法有何不同?
xx4 d)1( 24 d)2( xx
xxx d4)3( 2
x
x
x d
4
)4( 2
2
24 d)5( xx
24 d)6( xx x
2
2
2
1
4
)4(d
x
x
xx 2
1
2
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,求提示,
法 1
法 2
法 3
10) x?
10d x
10
1
10(x
10d?x
10
1?
作业 目录 上页 下页 返回 结束二、第二类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束第一类换元法解决的问题难求 易求
xxxf d)()]([ uuf d)(
)(xu
若所求积分
xxxf d)()]([ 易求,
则得第二类换元积分法,
难求，? uuf d)(
CxF )(
)()]([)( ttft
定理 2,设 是单调可导函数,且具有原函数,
.)()(1 的反函数是其中 txxt
证,的原函数为设 )()]([ ttf,)(t? 令
])([)( 1 xxF
则 )(xF td
d?
x
t
d
d?
)()]([ ttf )(
1
t )(xf?
xxf d)( Cx )]([ 1?
Ct ][ )(1 xt )(1d)()]([ xttttf
机动 目录 上页 下页 返回 结束则有换元公式例 16.求,)0(d22 axxa
解,令,),(,s i n 22 ttax 则
taaxa 22222 s in ta cos?
ttax dc o sd?
∴ 原式 ta c o s tta dc o s? tta dc o s 22
Ca 24 2si n2 tt?
a x
22 xa?
t
a
xarcsi n Cxax 22
2
1
2
2a
ttt c o ss i n22s i n?2? ax? a
xa 22
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 17.求解,令,),(,t a n 22 ttax 则
22222 ta n ataax ta sec?
ttax ds e cd 2?
∴ 原式
ta 2sec
tasec td tt dse c
1t a ns e cln Ctt
a
x
22 ax?
t
ln? 22 ax?
)ln( 1 aCC
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xa? 1C?
例 18.求解,,时当 ax?令,),0(,s e c 2 ttax 则
22222 s e c ataax ta ta n?
xd ttta dta ns e c
∴ 原式 t d
tta ta ns e c
tatan tt dse c
1t a ns e cln Ctt
22 ax?
t
1 ln C
)ln( 1 aCC
机动 目录 上页 下页 返回 结束
22 ax?
a?
x
a
,时当 ax令,ux,au?则 于是
22d au u 122ln Cauu
122ln Caxx
122
2
ln C
axx
a?
)ln2( 1 aCC
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
被积函数含有 时,除采用
1shch 22 tt
采用双曲代换 tax sh?
消去根式,所得结果一致,
( 参考书上 P201-P202 )
tax ch?或
22 ax?或机动 目录 上页 下页 返回 结束三角代换外,还可利用公式原式 2
1)1( 22 ta
22
1
a
例 19.求,d4
22
xx xa
解,令,1tx? 则原式 tt d
1
2
ttta d)1(
2122
4
2
1
12
t
t
a?
C
a
ta
2
22
3
)1( 2
3
当 x < 0 时,类似可得同样结果,
)1(d 22?ta
机动 目录 上页 下页 返回 结束小结,
1,第二类换元法常见类型,
,d),()1( xbaxxf n令 n bat
,d),()2( xxf n dxc bxa令 n dxc bxat
,d),()3( 22 xxaxf令 tax s in? 或 tax c o s?
,d),()4( 22 xxaxf令 tax ta n? 或 tax sh?
,d),()5( 22 xaxxf令 tax s e c? 或 tax ch?
机动 目录 上页 下页 返回 结束第四节讲机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,常用基本积分公式的补充 (P203)
(7) 分母中因子次数较高时,可试用 倒代换
,d)()6(? xaf x令 xat?
机动 目录 上页 下页 返回 结束解,原式 xx d2)1(
1
2 2)2( )1(d?x
2
1? arctan
2
1?x C?
(P203 公式 (20) )
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 20.求例 21.求解,
22
3)2(
)2(d
2
1
x
xI
Cxx 942ln21 2
(P203 公式 (23) )
例 22.求解,原式 = 22 )()(
)(d
21?x
(P203 公式 (22) )
25
21?x
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 23.求解,原式
x
x
e
e
21
d
Ce xa r c s in
(P203 公式 (22) )
例 24.求解,令,1tx? 得原式 tta
t d
122
1 )1(d2 1 22
22
2 ta
ta
a Ctaa 1
1 22
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
t
t
t
t
d)1(
1 21
3
2
例 25.求解,原式
1)1()1(
d
23 xx
x
令 tx 11
t
t
t d
1 2
2
t
t
t d
1
1)1(
2
2
tt d1 2 tt d1 1 2
例 16 ttt a rc s in1 21221 Ct a r c s i n
Cxx xx 1121)1( 221 a rc s i n22
例 16 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,下列积分应如何换元才使积分简便?
令 令令机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,已知 求解,两边求导,得 则
)1( xt?令
1( 1)?
(代回原变量 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P204
2 (4),(5),(8),(9),(11),(16),(18),
(19),(21),(25),(28),(29),(30),
(32),(33),(35),(36),(40)
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
x
x
x d
1
1)1
3
2?
备用题 1,求下列积分,
)1(d
1
1
3
1 3
3 xx
Cx 132 3
x
xx
x d
21
32)2
2
x
x
d
21 2
5)22( x
2
2
21
)21d(
xx
xx?
5 2)1(2 x)1d(?x
2212 xx Cx 2 1a rc s i n5
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,求不定积分解：
.d
s i n2
s i n1c o ss i n2
2
2
x
x
xxx?
利用 凑微分法,
xx2
2
s i n2
s i n1
原式 = )s in1(d 2 x?
令 xt 2s in1
ttt d1 2 2
2
tt d)1 11(2 2
t2? Ct a rc ta n2
Cxx 22 s i n1a rc t a ns i n12
得机动 目录 上页 下页 返回 结束分子分母同除以
3,求不定积分解,令,sin tx?,s in11 22 tx ttx dc o sd
原式
t2cos
22
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
CxF?)]([?
)(d)( xuuuf
)()( xuCuF
)]([d xF? xxxf d)()]([
则有一、第一类换元法定理 1.,)( 有原函数设 uf,)( 可导xu 则有换元公式?
uuf d)( )(xu
)(d))(( xxf
(也称 配元法即 xxxf d)()]([
,凑微分法 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,求解,令,bxau 则,dd xau?故原式 =? mu uad
1
a
1? Cu
m
m?
1
1
1
注,当 时机动 目录 上页 下页 返回 结束
22 )(1 d1
a
x
x
a
例 2,求解,
,axu?令 则 xau d1d?
21 uuda1 Cua a rc t a n1
想到公式?
21 u
u
Cu a rc ta n)(ax
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求
21
d
u
u
想到 Cu?a r c s in
解, 2)(1
d
a
xa
x
)(d))(( xxf (直接配元 ) xxxf d)()]([
2)(1
)(d
a
x
a
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求解,? xx
x d
c o s
si n
x
x
c o s
c o sd
x xxsi n dc o s xxsi nsi nd
机动 目录 上页 下页 返回 结束类似
Cax axa ln21
例 5,求解,
22
1
ax ))(( axax
)()( axaxa21? )11(21 axaxa
∴ 原式 =
a2
1
ax
x
ax
x dd
a2
1?
ax
ax )(d?
a21? ax?ln ax?ln? C?
ax ax )(d
机动 目录 上页 下页 返回 结束常用的几种配元形式,
xbxaf d)()1( )(d bxa?a1
xxxf nn d)()2( 1nxdn1
xxxf n d1)()3( nxdn1 nx1
万能凑幂法
xxxf dc o s)(s i n)4( xsind
xxxf ds i n)(c o s)5( xcosd?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xxxf ds e c)(t a n)6( 2xtand
xeef xx d)()7( xed
xxxf d1)(l n)8( xlnd
例 6,求
xln21 xlnd解,原式 = xln2121 )ln21(d x?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,求,d
3
xxe
x
解,原式 = xe x d2 3? )3d(3
2 3 xe x
Ce x 332
例 8,求,dse c 6 xx?
解,原式 = xdxx 222 s e c)1(t a n xtand
xxx t a nd)1t a n2(t a n 24
x5ta n51? x3ta n32? xtan? C?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 9,求,1
d?
xe
x
解法 1 x
e
ee
x
xx
d
1
)1(?
xd
x
x
e
e
1
)1(d
x? Ce x )1ln (
解法 2 x
e
e
x
x
d
1
x
x
e
e
1
)1(d
Ce x )1ln (
)]1(ln [)1ln ( xxx eee两法结果一样机动 目录 上页 下页 返回 结束
xx s i n1
1
s i n1
1
2
1?
例 10.求解法 1 x
x
x d
c o s
c o s
2 x
x
2si n1
si nd
xsind
xsi n1ln21 Cx s in1ln
Cxx s i n1 s i n1ln21
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xx t a nse c
解法 2 xx t a ns e c? )ta n( s e c xx?
xxx xxx dt a ns e c t a ns e cs e c
2
)ta n( s e cd xx?
同样可证?
xxdcsc Cxx c o tc s cln
或 C
x
2t a nln (P196 例 16 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2
22 d)(2
1
23
x
ax
例 11.求
.d
)( 2322
3
xax x
解,原式 =
2
3
)( 22 ax
22 dxx
2
1 222 )( aax
21)(21 22 ax )(d 22 ax?
23)(2 22
2
axa )(d 22 ax?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)2c o s2c o s21( 241 xx
例 12,求解,224 )( c o sc o s xx
2)
2
2c o s1( x
)2c o s21( 2 4c o s141 xx
)4c o s2c o s2( 212341 xx
xx dc o s 4 xxx d)4c o s2c o s2( 212341
xd23 )2d(2c o s xx)4(d4c o s81 xx
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 13.求解,?xx 3c o ss in 22? 221 )]2s i n4(s i n[ xx?
xxxx 2s i n2s i n4s i n24s i n 24141241
)8c o s1(81 x xx 2c o s2s in 2? )4c o s1(81 x
∴ 原式 =? xd41 )8d(8c o s641 xx
)2(s i nd2s i n 221 xx )4d(4c o s321 xx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xexex xx dd xex x d)1(
例 14.求解,原式 =
xe
xe
)1(
1
xx xexe?
)(d)
1
11( x
xx exexex
)1(
1
xx
xx
xexe
xexe
xexln? xex 1ln C?
Cexxx x 1lnln
机动 目录 上页 下页 返回 结束分析,
例 15.求解,原式
)( )( xf xf
x
xf
xfxf
xf
xf d
)(
)()(1
)(
)(
2
x
xf
xfxfxf d
)(
)()()(
2
2
Cxf xf
2
)(
)(
2
1
))( )(d( xf xf?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)( )( xf xf
小结 常用简化技巧,
(1) 分项积分,
(2) 降低幂次,
(3) 统一函数,利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元等xx 22 c o ss in1
万能凑幂法
xxxf nn d)( 1 nnn xxf d)(1?
xxxf n d1)( nxnn xxf n d)( 11?
机动 目录 上页 下页 返回 结束利用积化和差 ; 分式分项 ;
利用倍角公式,如思考与练习 1,下列各题求积方法有何不同?
xx4 d)1( 24 d)2( xx
xxx d4)3( 2
x
x
x d
4
)4( 2
2
24 d)5( xx
24 d)6( xx x
2
2
2
1
4
)4(d
x
x
xx 2
1
2
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,求提示,
法 1
法 2
法 3
10) x?
10d x
10
1
10(x
10d?x
10
1?
作业 目录 上页 下页 返回 结束二、第二类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束第一类换元法解决的问题难求 易求
xxxf d)()]([ uuf d)(
)(xu
若所求积分
xxxf d)()]([ 易求,
则得第二类换元积分法,
难求，? uuf d)(
CxF )(
)()]([)( ttft
定理 2,设 是单调可导函数,且具有原函数,
.)()(1 的反函数是其中 txxt
证,的原函数为设 )()]([ ttf,)(t? 令
])([)( 1 xxF
则 )(xF td
d?
x
t
d
d?
)()]([ ttf )(
1
t )(xf?
xxf d)( Cx )]([ 1?
Ct ][ )(1 xt )(1d)()]([ xttttf
机动 目录 上页 下页 返回 结束则有换元公式例 16.求,)0(d22 axxa
解,令,),(,s i n 22 ttax 则
taaxa 22222 s in ta cos?
ttax dc o sd?
∴ 原式 ta c o s tta dc o s? tta dc o s 22
Ca 24 2si n2 tt?
a x
22 xa?
t
a
xarcsi n Cxax 22
2
1
2
2a
ttt c o ss i n22s i n?2? ax? a
xa 22
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 17.求解,令,),(,t a n 22 ttax 则
22222 ta n ataax ta sec?
ttax ds e cd 2?
∴ 原式
ta 2sec
tasec td tt dse c
1t a ns e cln Ctt
a
x
22 ax?
t
ln? 22 ax?
)ln( 1 aCC
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xa? 1C?
例 18.求解,,时当 ax?令,),0(,s e c 2 ttax 则
22222 s e c ataax ta ta n?
xd ttta dta ns e c
∴ 原式 t d
tta ta ns e c
tatan tt dse c
1t a ns e cln Ctt
22 ax?
t
1 ln C
)ln( 1 aCC
机动 目录 上页 下页 返回 结束
22 ax?
a?
x
a
,时当 ax令,ux,au?则 于是
22d au u 122ln Cauu
122ln Caxx
122
2
ln C
axx
a?
)ln2( 1 aCC
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
被积函数含有 时,除采用
1shch 22 tt
采用双曲代换 tax sh?
消去根式,所得结果一致,
( 参考书上 P201-P202 )
tax ch?或
22 ax?或机动 目录 上页 下页 返回 结束三角代换外,还可利用公式原式 2
1)1( 22 ta
22
1
a
例 19.求,d4
22
xx xa
解,令,1tx? 则原式 tt d
1
2
ttta d)1(
2122
4
2
1
12
t
t
a?
C
a
ta
2
22
3
)1( 2
3
当 x < 0 时,类似可得同样结果,
)1(d 22?ta
机动 目录 上页 下页 返回 结束小结,
1,第二类换元法常见类型,
,d),()1( xbaxxf n令 n bat
,d),()2( xxf n dxc bxa令 n dxc bxat
,d),()3( 22 xxaxf令 tax s in? 或 tax c o s?
,d),()4( 22 xxaxf令 tax ta n? 或 tax sh?
,d),()5( 22 xaxxf令 tax s e c? 或 tax ch?
机动 目录 上页 下页 返回 结束第四节讲机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,常用基本积分公式的补充 (P203)
(7) 分母中因子次数较高时,可试用 倒代换
,d)()6(? xaf x令 xat?
机动 目录 上页 下页 返回 结束解,原式 xx d2)1(
1
2 2)2( )1(d?x
2
1? arctan
2
1?x C?
(P203 公式 (20) )
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 20.求例 21.求解,
22
3)2(
)2(d
2
1
x
xI
Cxx 942ln21 2
(P203 公式 (23) )
例 22.求解,原式 = 22 )()(
)(d
21?x
(P203 公式 (22) )
25
21?x
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 23.求解,原式
x
x
e
e
21
d
Ce xa r c s in
(P203 公式 (22) )
例 24.求解,令,1tx? 得原式 tta
t d
122
1 )1(d2 1 22
22
2 ta
ta
a Ctaa 1
1 22
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
t
t
t
t
d)1(
1 21
3
2
例 25.求解,原式
1)1()1(
d
23 xx
x
令 tx 11
t
t
t d
1 2
2
t
t
t d
1
1)1(
2
2
tt d1 2 tt d1 1 2
例 16 ttt a rc s in1 21221 Ct a r c s i n
Cxx xx 1121)1( 221 a rc s i n22
例 16 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,下列积分应如何换元才使积分简便?
令 令令机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,已知 求解,两边求导,得 则
)1( xt?令
1( 1)?
(代回原变量 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P204
2 (4),(5),(8),(9),(11),(16),(18),
(19),(21),(25),(28),(29),(30),
(32),(33),(35),(36),(40)
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
x
x
x d
1
1)1
3
2?
备用题 1,求下列积分,
)1(d
1
1
3
1 3
3 xx
Cx 132 3
x
xx
x d
21
32)2
2
x
x
d
21 2
5)22( x
2
2
21
)21d(
xx
xx?
5 2)1(2 x)1d(?x
2212 xx Cx 2 1a rc s i n5
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,求不定积分解：
.d
s i n2
s i n1c o ss i n2
2
2
x
x
xxx?
利用 凑微分法,
xx2
2
s i n2
s i n1
原式 = )s in1(d 2 x?
令 xt 2s in1
ttt d1 2 2
2
tt d)1 11(2 2
t2? Ct a rc ta n2
Cxx 22 s i n1a rc t a ns i n12
得机动 目录 上页 下页 返回 结束分子分母同除以
3,求不定积分解,令,sin tx?,s in11 22 tx ttx dc o sd
原式
t2cos
22
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
