四,旋转体的侧面积 (补充 )
三、已知平行截面面积函数的立体体积第二节一,平面图形的面积二,平面曲线的弧长机动 目录 上页 下页 返回 结束定积分在几何学上的应用第 六 章一、平面图形的面积
1,直角坐标情形设曲线 与直线及 x 轴所围曲则
xxfA d)(d?
xbao
y )( xfy?
x xx d?
xxfA ba d)(
机动 目录 上页 下页 返回 结束边梯形面积为 A,
右下图所示图形面积为
y
o b xa
)(2 xfy? )(1 xfy?
xxfxfA ba d)()( 21 x xx d?
例 1,计算两条抛物线 在第一象限所围所围图形的面积,
x
xy?2
o
y
2xy?
x xx d?
解,由得交点 )1,1(,)0,0( )1,1(
1
xxxA dd 2
3
1?
10A
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
xy 22?
o
y
4 xy
例 2,计算抛物线 xy 22?与直线的面积,
解,由 得交点
)4,8(,)2,2(? )4,8(
yyyA d)4(d 221
18?
4 xy 所围图形
)2,2(?
为简便计算,选取 y 作积分变量,
则有
y yy d?
42A
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a
b
xo
y
x
例 3,求椭圆解,利用对称性,xyA dd?
所围图形的面积,
有?
a xyA 0 d4
利用椭圆的参数方程
)20(s i nc o s ttby tax
应用定积分换元法得?
20 2 ds i n4
ttba
ba4? 21? 2 ba 当 a = b 时得圆面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束
xx d?
一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,按 顺时针方向 规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积,
)c o s1( tadA解,tta d)c o s1(
tta d)c o s1(20 22
tta d2sin4 20 42
)2( tu?令 uua dsin8 0 42
uua dsi n16 20 42
23 a
20A
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
o a?2
2,极坐标情形求由曲线 及围成的曲边扇形的面积,
)(r
x?
d
在区间 上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
d(21d 2?A
所求曲边扇形的面积为
d)(21 2A
机动 目录 上页 下页 返回 结束
对应? 从 0 变例 5,计算阿基米德螺线解,xa?2o?
d
d)(21 2a20A
2
2a
331?
0
2?
23
3
4 a
点击图片任意处播放开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束到 2?所围图形面积,
tta dc o s8 20 42
例 6,计算心形线 所围图形的面积,
解,
xa2o?
d
d)c o s1(21 22?a
02a d2c o s4 4
(利用对称性 )
2t令
28a?43?21 2? 223 a
心形线 目录 上页 下页 返回 结束
2c o sc o s21
)2c o s1(21
a a2o x
y
d)c o s1(21 22 a
例 7,计算心形线 与圆所围图形的面积,
解,利用对称性,
2? 221 aA
2221 aa d)2c o s21c o s223(
所求面积
)243(21 22 aa
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a
2s i n2a?
例 8,求双纽线 所围图形面积,
解,利用对称性,
d2c o s21 2a
402?a )2(d2c o s
则所求面积为
2a?
思考,用定积分表示该双纽线与圆?s in2ar?
所围公共部分的面积,
2?A
dsi n 2
0
26? a
d2c o s2
14
6
2 a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
o x
4
4
答案,
二、平面曲线的弧长定义,若在弧 AB 上任意作内接折线,
0M?
1?iM iM
nM?
A
B
y
o
x
当折线段的最大边长?→ 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限,
此极限为曲线弧 AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的,
ii MM 1?
定理,任意光滑曲线弧都是可求长的,
(证明略 )
n
i 1 0
lims
机动 目录 上页 下页 返回 结束则称
sdy
xa bo
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出,
)( xfy?弧长元素 (弧微分 ),
x xx d?
xy d1 2
因此所求弧长
xys ba d1 2
xxfba d)(1 2
(P168)
22 )(d)(dd yxs
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 曲线弧由参数方程给出,
弧长元素 (弧微分 ),
因此所求弧长
ttts d)()( 22
ttt d)()( 22
22 )(d)(dd yxs
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3) 曲线弧由极坐标方程给出,
,s in)(,c o s)( ryrx令因此所求弧长
d)()( 22 rrs
d)]([)]([ 22 yx
d)()( 22 rr
则得
sd
弧长元素 (弧微分 ),
(自己验证 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)ch(?cxc cxcc sh1
例 9,两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,
)(ch bxbcxcy
成悬链线,
求这一段弧长,
解,
xcx dsh1 2 xcx dch?
b xcxs 0 dch2 cxc sh2 0b
c
bc sh2?
2ch
xx ee
x
)(c h x
2sh
xx ee
x
)(s h x
xsh
xch
机动 目录 上页 下页 返回 结束
c
xb? bo
y 下垂悬链线方程为例 10.求连续曲线段解,,0c o s?x? 22 x
xys d1 22
2
的弧长,
xx d)c o s(12 20 2
xx d2c o s22 20
0s i n222 22?x?
4?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 11.计算摆线 一拱的弧长,
解,ts tytx d)()(d 2dd2dd
)c o s1( 22 ta ta 22 s in? td
tta d)c o s1(2 tta d
2si n2?
ttas d2sin220 2c o s22 ta 02? a8?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
o a?2
d222 aa
例 12.求阿基米德螺线 相应于 0≤?≤2?
一段的弧长,
解,
)0( aar?
xa?2o
ar?
d)()( 22 rrsd
d1 2 a
d120 2 as(P349 公式 39)
21
2?
a
21ln
2
1
0
2?
小结 目录 上页 下页 返回 结束三,已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于 x轴的截面面积为 A(x),
则对应于小区间 的体积元素为
xxAV d)(d?
因此所求立体体积为
xxAV ba d)(
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xa bx
)(xA
上连续,
x
y
o a b
)( xfy?
特别,当考虑连续曲线段
2)]([ xf?
轴旋转一周围成的立体体积时,有
xd baV
当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
2)]([ y yd d
cV
x
xo
y
)( yx
c
d
y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a
y
x
b
例 13.计算由椭圆 所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积,
解,方法 1 利用直角坐标方程则
xxaab a d)(2 20 22
2
(利用对称性 )
32
2
2
3
12 xxa
a
b?
0
a
2
3
4 ab
o
aV 02 xy d2?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
方法 2 利用椭圆参数方程则 xyV
a d2
0
2 ttab ds i n2 32
22 ab 32?
2
3
4 ab 1?
特别当 b = a 时,就得半径为 a 的球体的体积,3
4 3a?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
o a?2
例 14.计算摆线 的一拱与 y＝ 0
所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转而成的立体体积,
解,绕 x 轴旋转而成的体积为
xyV ax d20 2
利用对称性
2
0
22 )c o s1( ta tta d)c o s1(?
tta d)c o s1(2 0 33 tta d2s i n16 0 63
uua ds i n32 20 63 332 a65?43?21 2?
325 a
a?y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)2( tu?令
x
y
o a?2a?绕 y 轴旋转而成的体积为
a2
22 )sin( tta? tta ds in2
)(2 yxx?
22 )s i n( tta? tta ds in?0?
注意上下限 !
20 23 ds i n)s i n( tttta
注注 目录 上页 下页 返回 结束
)(1 yxx?
柱壳体积说明,
x xx d?
y
柱面面积机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 )s in( tta )c o s1( ta?
偶函数
ttatta d)c o s1()s i n(2 2220
20 43 d2s i n)s i n(8 tttta
2
tu?令
0 43 ds i n)2s i n2(16 uuuua
2
uv令
vvvva dc o s)2sin2(16 43 2
2
奇 函数机动 目录 上页 下页 返回 结束例 15.设 在 x≥0 时为连续的非负函数,且形绕直线 x＝ t 旋转一周所成旋转体体积,证明,
证,
x
)(xf
xo
y
t xx d?
利用柱壳法
xxfxtV d)()(2d
则 xxfxttV
t d)()(2)(
0xxft t d)(2
0 xxfx
t d)(2
0 xxftV t d)(2)(
0)(2 tft )(2 tft
)(2)( tftV
机动 目录 上页 下页 返回 结束故
例 16.一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成? 角,
222 Ryx
解,如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于 x 轴 的截面是直角三角形,其面积为
t a n)(21)( 22 xRxA )( RxR
R xxRV 0 22 dt a n)(212?
32 31t a n2 xxR0R
利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
o
R x
y
x
o
R x
y
思考,可否选择 y 作积分变量?
此时截面面积函数是什么?
如何用定积分表示体积?
),( yx?)( yA
提示,
ta n2 yx?
22t a n2 yRy
V R0t a n2? yyRy d22?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a b
co垂直 x 轴的截面是椭圆 1
)1()1( 2
2
2
2 2
2
2
2
a
x
a
x c
z
b
y
例 17,计算由曲面 所围立体 (椭球体 )
解,
它的面积为因此椭球体体积为
xbc ax d)1( 22 bc?2? 0a bca?34?
特别当 a = b = c 时就是球体体积,
aV 02
x
233 axx?
机动 目录 上页 下页 返回 结束的体积,
o x1 2
y B
C
3
A
例 18.求曲线 13 2 xy 与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y＝ 3 旋转得的旋转体体积,(94 考研 )
解,利用对称性,
y 10 x,22?x
21 x,4 2x?
故旋转体体积为
V 43 2 xx d)]2(3[2 10 22
xx d)1(236 10 22 xx d)1(2 21 22 xx d)1(2 20 22154 48?
在第一象限机动 目录 上页 下页 返回 结束
xx d)]4(3[2 21 22
x
y
o a b
四、旋转体的侧面积 (补充 )
设平面光滑曲线 求
syS d2d
积分后得旋转体的侧面积
xxfxfS ba d)(1)(2 2
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积,
取侧面积元素,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)( xfy?
x
x
y
o
)( xfy?
a bx syS d2d
侧面积元素
xy d2?
sd
xd
xy d2?因为的线性主部,
若光滑曲线由参数方程给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△ S 的
)(2 t ttt d)()( 22S
机动 目录 上页 下页 返回 结束注意,
侧面积为
xR
y
o
例 19.计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S,
解,对曲线弧应用公式得
212 xxS? 22 xR?
2
1 22 xR x xd
21 d2 xx xR? )(2 12 xxR
当球台高 h＝ 2R 时,得球的表面积公式
24 RS
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1x 2x
o
z
y
x
例 20.求由星形线一周所得的旋转体的表面积 S,
解,利用对称性 2
022
S
ta 3sin
22 tta s inc o s3 2? td
20 42 dc o ssin12 ttta
ta 52 s i n
5
112?
2
5
12 a
tta c o ss i n3 2
绕 x 轴旋转星形线 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,平面图形的面积边界方程 参数方程极坐标方程
2,平面曲线的弧长曲线方程 参数方程方程极坐标方程
22 )(d)(dd yxs弧微分,
d)()(d 22 rrs
直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意,求弧长时积分上下限必须 上大下小机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积
2)( yxA绕 x 轴,
4,旋转体的侧面积
syS d2d侧面积元素为
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式 )
yxxA?2)(?绕 y 轴,(柱壳法 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s,
提示,交点为,)3,9(,)1,1(?
yA d 3 1
2yx?
032 yxy
xo1?
3
y
)32(?y 2y? 332?
yd 31 241 y? yd 3 1弧线段部分 直线段部分?s
机动 目录 上页 下页 返回 结束以 x 为积分变量,则要分两段积分,故以 y 为积分变量,
2,试用定积分求圆 绕 x 轴
o x
y
R
b
R?
上 半圆为下?
222 )( xRb RV 02 xd
bR 222
求体积,
提示,
方法 1 利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束旋转而成的环体体积 V 及表面积 S,
方法 2 用柱壳法
R
b
R?
Vd x2? yd?
Rb RbV?4
o x
y
ybyRy d)( 22
y
说明,上式可变形为
2RV
机动 目录 上页 下页 返回 结束上 半圆为下
此式反映了环体微元的另一种取法 (如图所示 ),
求侧面积,
o x
y
R
b
R?
R02 )(2 22 xRb xy d1 2
R02 )(2 22 xRb xy d1 2
相同二者 2y?
Rb 08? xy d1 2
利用对称性
RS?2?
S
机动 目录 上页 下页 返回 结束上式也可写成上 半圆为下
它也反映了环面微元的另一种取法,
作业
P279 2 (1),(3) ; 3; 4; 5 (2),(3) ;
8 (2) ; 9; 10; 22; 25; 27 ; 30
第三节 目录 上页 下页 返回 结束面积及弧长部分,
体积及表面积部分：
P279 13; 14 ; 15 (1),(4); 17; 18
补充题,设有曲线,1 xy 过原点作其切线,求由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积,
备用题解：
1,求曲线 所围图形的面积,
显然 1ln,1ln yx y
o x
e
1
e1
e1
1 e
eyeexe 11,
xln
,ln x
,ln x?
ex1
11 xe
yln,ln y,ln y? ey1 11 ye
11 xe
11 ye
面积为同理其它,
eyx 1?
exy?
exy?
exy?
11 de x e x1 d
机动 目录 上页 下页 返回 结束又故在区域分析曲线特点
2.
)1( xxy
o
y
x?
解,
4
1)( 2
2
1 x
1A
)1( xxy 与 x 轴所围面积
1
101 d)1( xxxA 61?
,0时
2A
12 d)1( xxxA
,21 AA?由
6
1
2
1
3
1 23
,0)2131(2得
0,23 21
由图形的对称性,
21
1,21 43 也合于所求,
为何值才能使 )1( xxy
.)1( 轴围成的面积及与于 xxxxy
与 x 轴围成的面积等机动 目录 上页 下页 返回 结束故
,0)(2r令
3,求曲线图形的公共部分的面积,
解,
与 所围成
)s in( c o s2 ar得所围区域的面积为
4
0
4
)1(2a
4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
c o s1 ar?
o
设平面图形 A 由 xyx 222 与 x? 所确定,求图形 A 绕直线 x＝ 2 旋转一周所得旋转体的体积,
提示,选 x 为积分变量,
旋转体的体积为
V10 2 d)2)(2(2 xxxxx?
3221 2
y
o x21
1
4.
机动 目录 上页 下页 返回 结束若选 y 为积分变量,则
V10 22 d)11(2 yy 10 2 d)2( yy?
xy
三、已知平行截面面积函数的立体体积第二节一,平面图形的面积二,平面曲线的弧长机动 目录 上页 下页 返回 结束定积分在几何学上的应用第 六 章一、平面图形的面积
1,直角坐标情形设曲线 与直线及 x 轴所围曲则
xxfA d)(d?
xbao
y )( xfy?
x xx d?
xxfA ba d)(
机动 目录 上页 下页 返回 结束边梯形面积为 A,
右下图所示图形面积为
y
o b xa
)(2 xfy? )(1 xfy?
xxfxfA ba d)()( 21 x xx d?
例 1,计算两条抛物线 在第一象限所围所围图形的面积,
x
xy?2
o
y
2xy?
x xx d?
解,由得交点 )1,1(,)0,0( )1,1(
1
xxxA dd 2
3
1?
10A
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
xy 22?
o
y
4 xy
例 2,计算抛物线 xy 22?与直线的面积,
解,由 得交点
)4,8(,)2,2(? )4,8(
yyyA d)4(d 221
18?
4 xy 所围图形
)2,2(?
为简便计算,选取 y 作积分变量,
则有
y yy d?
42A
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a
b
xo
y
x
例 3,求椭圆解,利用对称性,xyA dd?
所围图形的面积,
有?
a xyA 0 d4
利用椭圆的参数方程
)20(s i nc o s ttby tax
应用定积分换元法得?
20 2 ds i n4
ttba
ba4? 21? 2 ba 当 a = b 时得圆面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束
xx d?
一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,按 顺时针方向 规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积,
)c o s1( tadA解,tta d)c o s1(
tta d)c o s1(20 22
tta d2sin4 20 42
)2( tu?令 uua dsin8 0 42
uua dsi n16 20 42
23 a
20A
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
o a?2
2,极坐标情形求由曲线 及围成的曲边扇形的面积,
)(r
x?
d
在区间 上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
d(21d 2?A
所求曲边扇形的面积为
d)(21 2A
机动 目录 上页 下页 返回 结束
对应? 从 0 变例 5,计算阿基米德螺线解,xa?2o?
d
d)(21 2a20A
2
2a
331?
0
2?
23
3
4 a
点击图片任意处播放开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束到 2?所围图形面积,
tta dc o s8 20 42
例 6,计算心形线 所围图形的面积,
解,
xa2o?
d
d)c o s1(21 22?a
02a d2c o s4 4
(利用对称性 )
2t令
28a?43?21 2? 223 a
心形线 目录 上页 下页 返回 结束
2c o sc o s21
)2c o s1(21
a a2o x
y
d)c o s1(21 22 a
例 7,计算心形线 与圆所围图形的面积,
解,利用对称性,
2? 221 aA
2221 aa d)2c o s21c o s223(
所求面积
)243(21 22 aa
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a
2s i n2a?
例 8,求双纽线 所围图形面积,
解,利用对称性,
d2c o s21 2a
402?a )2(d2c o s
则所求面积为
2a?
思考,用定积分表示该双纽线与圆?s in2ar?
所围公共部分的面积,
2?A
dsi n 2
0
26? a
d2c o s2
14
6
2 a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
o x
4
4
答案,
二、平面曲线的弧长定义,若在弧 AB 上任意作内接折线,
0M?
1?iM iM
nM?
A
B
y
o
x
当折线段的最大边长?→ 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限,
此极限为曲线弧 AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的,
ii MM 1?
定理,任意光滑曲线弧都是可求长的,
(证明略 )
n
i 1 0
lims
机动 目录 上页 下页 返回 结束则称
sdy
xa bo
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出,
)( xfy?弧长元素 (弧微分 ),
x xx d?
xy d1 2
因此所求弧长
xys ba d1 2
xxfba d)(1 2
(P168)
22 )(d)(dd yxs
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 曲线弧由参数方程给出,
弧长元素 (弧微分 ),
因此所求弧长
ttts d)()( 22
ttt d)()( 22
22 )(d)(dd yxs
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3) 曲线弧由极坐标方程给出,
,s in)(,c o s)( ryrx令因此所求弧长
d)()( 22 rrs
d)]([)]([ 22 yx
d)()( 22 rr
则得
sd
弧长元素 (弧微分 ),
(自己验证 )
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)ch(?cxc cxcc sh1
例 9,两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,
)(ch bxbcxcy
成悬链线,
求这一段弧长,
解,
xcx dsh1 2 xcx dch?
b xcxs 0 dch2 cxc sh2 0b
c
bc sh2?
2ch
xx ee
x
)(c h x
2sh
xx ee
x
)(s h x
xsh
xch
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c
xb? bo
y 下垂悬链线方程为例 10.求连续曲线段解,,0c o s?x? 22 x
xys d1 22
2
的弧长,
xx d)c o s(12 20 2
xx d2c o s22 20
0s i n222 22?x?
4?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 11.计算摆线 一拱的弧长,
解,ts tytx d)()(d 2dd2dd
)c o s1( 22 ta ta 22 s in? td
tta d)c o s1(2 tta d
2si n2?
ttas d2sin220 2c o s22 ta 02? a8?
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x
y
o a?2
d222 aa
例 12.求阿基米德螺线 相应于 0≤?≤2?
一段的弧长,
解,
)0( aar?
xa?2o
ar?
d)()( 22 rrsd
d1 2 a
d120 2 as(P349 公式 39)
21
2?
a
21ln
2
1
0
2?
小结 目录 上页 下页 返回 结束三,已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于 x轴的截面面积为 A(x),
则对应于小区间 的体积元素为
xxAV d)(d?
因此所求立体体积为
xxAV ba d)(
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xa bx
)(xA
上连续,
x
y
o a b
)( xfy?
特别,当考虑连续曲线段
2)]([ xf?
轴旋转一周围成的立体体积时,有
xd baV
当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
有
2)]([ y yd d
cV
x
xo
y
)( yx
c
d
y
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a
y
x
b
例 13.计算由椭圆 所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积,
解,方法 1 利用直角坐标方程则
xxaab a d)(2 20 22
2
(利用对称性 )
32
2
2
3
12 xxa
a
b?
0
a
2
3
4 ab
o
aV 02 xy d2?
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x
方法 2 利用椭圆参数方程则 xyV
a d2
0
2 ttab ds i n2 32
22 ab 32?
2
3
4 ab 1?
特别当 b = a 时,就得半径为 a 的球体的体积,3
4 3a?
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x
y
o a?2
例 14.计算摆线 的一拱与 y＝ 0
所围成的图形分别绕 x 轴,y 轴旋转而成的立体体积,
解,绕 x 轴旋转而成的体积为
xyV ax d20 2
利用对称性
2
0
22 )c o s1( ta tta d)c o s1(?
tta d)c o s1(2 0 33 tta d2s i n16 0 63
uua ds i n32 20 63 332 a65?43?21 2?
325 a
a?y
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)2( tu?令
x
y
o a?2a?绕 y 轴旋转而成的体积为
a2
22 )sin( tta? tta ds in2
)(2 yxx?
22 )s i n( tta? tta ds in?0?
注意上下限 !
20 23 ds i n)s i n( tttta
注注 目录 上页 下页 返回 结束
)(1 yxx?
柱壳体积说明,
x xx d?
y
柱面面积机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 )s in( tta )c o s1( ta?
偶函数
ttatta d)c o s1()s i n(2 2220
20 43 d2s i n)s i n(8 tttta
2
tu?令
0 43 ds i n)2s i n2(16 uuuua
2
uv令
vvvva dc o s)2sin2(16 43 2
2
奇 函数机动 目录 上页 下页 返回 结束例 15.设 在 x≥0 时为连续的非负函数,且形绕直线 x＝ t 旋转一周所成旋转体体积,证明,
证,
x
)(xf
xo
y
t xx d?
利用柱壳法
xxfxtV d)()(2d
则 xxfxttV
t d)()(2)(
0xxft t d)(2
0 xxfx
t d)(2
0 xxftV t d)(2)(
0)(2 tft )(2 tft
)(2)( tftV
机动 目录 上页 下页 返回 结束故
例 16.一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成? 角,
222 Ryx
解,如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于 x 轴 的截面是直角三角形,其面积为
t a n)(21)( 22 xRxA )( RxR
R xxRV 0 22 dt a n)(212?
32 31t a n2 xxR0R
利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积,
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o
R x
y
x
o
R x
y
思考,可否选择 y 作积分变量?
此时截面面积函数是什么?
如何用定积分表示体积?
),( yx?)( yA
提示,
ta n2 yx?
22t a n2 yRy
V R0t a n2? yyRy d22?
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a b
co垂直 x 轴的截面是椭圆 1
)1()1( 2
2
2
2 2
2
2
2
a
x
a
x c
z
b
y
例 17,计算由曲面 所围立体 (椭球体 )
解,
它的面积为因此椭球体体积为
xbc ax d)1( 22 bc?2? 0a bca?34?
特别当 a = b = c 时就是球体体积,
aV 02
x
233 axx?
机动 目录 上页 下页 返回 结束的体积,
o x1 2
y B
C
3
A
例 18.求曲线 13 2 xy 与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y＝ 3 旋转得的旋转体体积,(94 考研 )
解,利用对称性,
y 10 x,22?x
21 x,4 2x?
故旋转体体积为
V 43 2 xx d)]2(3[2 10 22
xx d)1(236 10 22 xx d)1(2 21 22 xx d)1(2 20 22154 48?
在第一象限机动 目录 上页 下页 返回 结束
xx d)]4(3[2 21 22
x
y
o a b
四、旋转体的侧面积 (补充 )
设平面光滑曲线 求
syS d2d
积分后得旋转体的侧面积
xxfxfS ba d)(1)(2 2
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积,
取侧面积元素,
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)( xfy?
x
x
y
o
)( xfy?
a bx syS d2d
侧面积元素
xy d2?
sd
xd
xy d2?因为的线性主部,
若光滑曲线由参数方程给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△ S 的
)(2 t ttt d)()( 22S
机动 目录 上页 下页 返回 结束注意,
侧面积为
xR
y
o
例 19.计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S,
解,对曲线弧应用公式得
212 xxS? 22 xR?
2
1 22 xR x xd
21 d2 xx xR? )(2 12 xxR
当球台高 h＝ 2R 时,得球的表面积公式
24 RS
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1x 2x
o
z
y
x
例 20.求由星形线一周所得的旋转体的表面积 S,
解,利用对称性 2
022
S
ta 3sin
22 tta s inc o s3 2? td
20 42 dc o ssin12 ttta
ta 52 s i n
5
112?
2
5
12 a
tta c o ss i n3 2
绕 x 轴旋转星形线 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,平面图形的面积边界方程 参数方程极坐标方程
2,平面曲线的弧长曲线方程 参数方程方程极坐标方程
22 )(d)(dd yxs弧微分,
d)()(d 22 rrs
直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意,求弧长时积分上下限必须 上大下小机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积
2)( yxA绕 x 轴,
4,旋转体的侧面积
syS d2d侧面积元素为
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式 )
yxxA?2)(?绕 y 轴,(柱壳法 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s,
提示,交点为,)3,9(,)1,1(?
yA d 3 1
2yx?
032 yxy
xo1?
3
y
)32(?y 2y? 332?
yd 31 241 y? yd 3 1弧线段部分 直线段部分?s
机动 目录 上页 下页 返回 结束以 x 为积分变量,则要分两段积分,故以 y 为积分变量,
2,试用定积分求圆 绕 x 轴
o x
y
R
b
R?
上 半圆为下?
222 )( xRb RV 02 xd
bR 222
求体积,
提示,
方法 1 利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束旋转而成的环体体积 V 及表面积 S,
方法 2 用柱壳法
R
b
R?
Vd x2? yd?
Rb RbV?4
o x
y
ybyRy d)( 22
y
说明,上式可变形为
2RV
机动 目录 上页 下页 返回 结束上 半圆为下
此式反映了环体微元的另一种取法 (如图所示 ),
求侧面积,
o x
y
R
b
R?
R02 )(2 22 xRb xy d1 2
R02 )(2 22 xRb xy d1 2
相同二者 2y?
Rb 08? xy d1 2
利用对称性
RS?2?
S
机动 目录 上页 下页 返回 结束上式也可写成上 半圆为下
它也反映了环面微元的另一种取法,
作业
P279 2 (1),(3) ; 3; 4; 5 (2),(3) ;
8 (2) ; 9; 10; 22; 25; 27 ; 30
第三节 目录 上页 下页 返回 结束面积及弧长部分,
体积及表面积部分：
P279 13; 14 ; 15 (1),(4); 17; 18
补充题,设有曲线,1 xy 过原点作其切线,求由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积,
备用题解：
1,求曲线 所围图形的面积,
显然 1ln,1ln yx y
o x
e
1
e1
e1
1 e
eyeexe 11,
xln
,ln x
,ln x?
ex1
11 xe
yln,ln y,ln y? ey1 11 ye
11 xe
11 ye
面积为同理其它,
eyx 1?
exy?
exy?
exy?
11 de x e x1 d
机动 目录 上页 下页 返回 结束又故在区域分析曲线特点
2.
)1( xxy
o
y
x?
解,
4
1)( 2
2
1 x
1A
)1( xxy 与 x 轴所围面积
1
101 d)1( xxxA 61?
,0时
2A
12 d)1( xxxA
,21 AA?由
6
1
2
1
3
1 23
,0)2131(2得
0,23 21
由图形的对称性,
21
1,21 43 也合于所求,
为何值才能使 )1( xxy
.)1( 轴围成的面积及与于 xxxxy
与 x 轴围成的面积等机动 目录 上页 下页 返回 结束故
,0)(2r令
3,求曲线图形的公共部分的面积,
解,
与 所围成
)s in( c o s2 ar得所围区域的面积为
4
0
4
)1(2a
4
机动 目录 上页 下页 返回 结束
c o s1 ar?
o
设平面图形 A 由 xyx 222 与 x? 所确定,求图形 A 绕直线 x＝ 2 旋转一周所得旋转体的体积,
提示,选 x 为积分变量,
旋转体的体积为
V10 2 d)2)(2(2 xxxxx?
3221 2
y
o x21
1
4.
机动 目录 上页 下页 返回 结束若选 y 为积分变量,则
V10 22 d)11(2 yy 10 2 d)2( yy?
xy
