二、无界函数的反常积分第四节常义积分 积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束反常积分 (广义积分 )
反常积分第 五 章一、无穷限的反常积分引例,曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积
2
1
xy?A
1
可记作
1 2dx xA
其含义可理解为
bb x xA 1 2dl i m
b
b
b x 1
1l i m?
bb 11lim1?
机动 目录 上页 下页 返回 结束定义 1.设,),[)( aCxf,ab?取 若存在,则称此极限为 f (x) 的无穷限 反常积分,记作这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分 发散,
类似地,若,],()( bCxf则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束
,),()( Cxf若 则定义
xxfca
a
d)(l i m?
xxfbc
b
d)(lim?
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在,就称 发散,
无穷限的反常积分也称为 第一类反常积分,
, 并非不定型,说明,上述定义中若出现机动 目录 上页 下页 返回 结束它表明该反常积分发散,
引入记号;)(lim)( xFF x )(l i m)( xFF x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式,
xxfa d)( )(xF? )()( aFF
xxfb d)( )(xF? )()( FbF
xxf d)( )(xF? )()( FF
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,计算反常积分解,
]a rc t a n[ x)
2(
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xo
y 2
1
1
xy
思考,
分析,原积分发散 !
注意,对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用
“偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误,
例 2,证明第一类 p 积分证,当 p =1 时有
axln
a
p
p
x
1
1当 p ≠ 1 时有
1?p
1?p,1
1
p
a p
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散,
,
因此,当 p >1 时,反常积分收敛,其值为 ;1
1
p
a p
当 p≤1 时,反常积分发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,计算反常积分解,
tpe
p
t原式
0 d
1 te
p
tp
tpe
p
2
1
2
1
p?
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、无界函数的反常积分引例,曲线 所围成的与 x 轴,y 轴和直线开口曲边梯形的面积 可记作其含义可理解为?
1
0
dl i m
x
xA
12lim
0
x?
)1(2l i m
0
2?
xy
1?
0
A
x
y
机动 目录 上页 下页 返回 结束定义 2.设,],()( baCxf?而在点 a 的右邻域内无界,
存在,
这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分 发散,
类似地,若,),[)( baCxf?而在 b 的左邻域内无界,
若极限数 f (x) 在 [a,b] 上的反常积分,记作则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束则称此极限为函若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明,
而在点 c 的无界函数的积分又称作 第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,xxfc
a d)(? xxf
b
c d)( xxfc
a d)(lim
1
1 0
xxfbc d)(l i m 2
2 0
为 瑕点 (奇点 ),
例如,
机动 目录 上页 下页 返回 结束间断点,而不是反常积分,则本质上是常义积分,
则定义注意,若瑕点的计算表达式,xxfb
a d)(? )()( aFbF
xxfba d)(? )()( aFbF
xxfba d)(? )()( aFbF
则也有类似牛 – 莱公式的若 b 为瑕点,则若 a 为瑕点,则若 a,b 都为瑕点,则
,),( bac? 则
xxfba d)( )()( cFbF )(( aFcF
可相消吗?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
11 2dx x? 211 111 x
下述解法是否正确,
,∴ 积分收敛例 4,计算反常积分解,显然瑕点为 a,所以原式 0a rc s i n
a
a
x
1a rc sin? 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,讨论反常积分 的收敛性,
解,
0
1 2
d
x
x 1
0 2
d
x
x
1
01
x
0
11
x
所以反常积分 发散,
例 6,证明反常积分证,当 q = 1 时,
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散,
b
aax ln
当 q≠1 时
a
bq
q
ax
1
)( 1
1?q,1
)( 1
q
ab q
1?q,
所以当 q < 1 时,该广义积分收敛,其值为 ;1
)( 1
q
ab q
当 q ≥ 1 时,该广义积分发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7.
解,
求的无穷间断点,故 I 为反常
xxf xf d)(1 )( 2
)(1
)(d
2 xf
xf
Cxf )(a r c ta n
0 1 2 d)(1 )( xxf xfI 32 2 d)(1 )( xxf xf积分,
]2 ]222732a rc t a n
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限
2,两个重要的反常积分
1?p
1?p
1?q,
,,
)1(
1
1 pap
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,(1) 有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化,
例如,
1
0 12
1
d
1
2
2
t
x
x
x
1
0 21
1
2)(
)d(
x
x
x
x
0 22 d tt
(2) 当一题同时含两类反常积分时,
机动 目录 上页 下页 返回 结束应划分积分区间,
分别讨论每一区间上的反常积分,
(3) 有时需考虑 主值意义下的反常积分,其定义为
ba xxf d)(v,p,),( bcac为瑕点
xxf d)(v,p,xxfa aa d)(li m
P256 题 1 (1),(2),(7),(8)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xxfxxf bcca d)(d)(lim
0?
常积分收敛,
注意,主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反思考与练习
P256 1 (4),(5),(6),(9),(10) ;
2 ; 3
第五节 目录 上页 下页 返回 结束提示,P256 题 2
2 )(l n
d
kxx
x
2 )(l n
)d (l n
kx
x
,1 时当?k 12 )2)(l n1(
1
)(l n
d)(
kk kxx
xkI
,)2) ( ln1()( 1 kkkf令 求其最大值,
作业备用题 试证 xx
x
x
x d
11
d
0 4
2
0 4
,并求其值,
解,令 xt
1 t
tt
d1
1
1
2
0
1
4
t
t
t d
10 4
2
x
x
x
x
x
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x d
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2
1
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0 4
2
0 40 4
x
x
x d
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2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
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0 21 xxx
x
0
1
2
a rc t a n
22
1 xx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
反常积分第 五 章一、无穷限的反常积分引例,曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积
2
1
xy?A
1
可记作
1 2dx xA
其含义可理解为
bb x xA 1 2dl i m
b
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1l i m?
bb 11lim1?
机动 目录 上页 下页 返回 结束定义 1.设,),[)( aCxf,ab?取 若存在,则称此极限为 f (x) 的无穷限 反常积分,记作这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分 发散,
类似地,若,],()( bCxf则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束
,),()( Cxf若 则定义
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a
d)(l i m?
xxfbc
b
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( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在,就称 发散,
无穷限的反常积分也称为 第一类反常积分,
, 并非不定型,说明,上述定义中若出现机动 目录 上页 下页 返回 结束它表明该反常积分发散,
引入记号;)(lim)( xFF x )(l i m)( xFF x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式,
xxfa d)( )(xF? )()( aFF
xxfb d)( )(xF? )()( FbF
xxf d)( )(xF? )()( FF
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,计算反常积分解,
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2(
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xo
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1
1
xy
思考,
分析,原积分发散 !
注意,对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用
“偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误,
例 2,证明第一类 p 积分证,当 p =1 时有
axln
a
p
p
x
1
1当 p ≠ 1 时有
1?p
1?p,1
1
p
a p
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散,
,
因此,当 p >1 时,反常积分收敛,其值为 ;1
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当 p≤1 时,反常积分发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,计算反常积分解,
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0 d
1 te
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机动 目录 上页 下页 返回 结束二、无界函数的反常积分引例,曲线 所围成的与 x 轴,y 轴和直线开口曲边梯形的面积 可记作其含义可理解为?
1
0
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x
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0
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0
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机动 目录 上页 下页 返回 结束定义 2.设,],()( baCxf?而在点 a 的右邻域内无界,
存在,
这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分 发散,
类似地,若,),[)( baCxf?而在 b 的左邻域内无界,
若极限数 f (x) 在 [a,b] 上的反常积分,记作则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束则称此极限为函若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明,
而在点 c 的无界函数的积分又称作 第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,xxfc
a d)(? xxf
b
c d)( xxfc
a d)(lim
1
1 0
xxfbc d)(l i m 2
2 0
为 瑕点 (奇点 ),
例如,
机动 目录 上页 下页 返回 结束间断点,而不是反常积分,则本质上是常义积分,
则定义注意,若瑕点的计算表达式,xxfb
a d)(? )()( aFbF
xxfba d)(? )()( aFbF
xxfba d)(? )()( aFbF
则也有类似牛 – 莱公式的若 b 为瑕点,则若 a 为瑕点,则若 a,b 都为瑕点,则
,),( bac? 则
xxfba d)( )()( cFbF )(( aFcF
可相消吗?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
11 2dx x? 211 111 x
下述解法是否正确,
,∴ 积分收敛例 4,计算反常积分解,显然瑕点为 a,所以原式 0a rc s i n
a
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x
1a rc sin? 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,讨论反常积分 的收敛性,
解,
0
1 2
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x
x 1
0 2
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x
x
1
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x
0
11
x
所以反常积分 发散,
例 6,证明反常积分证,当 q = 1 时,
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散,
b
aax ln
当 q≠1 时
a
bq
q
ax
1
)( 1
1?q,1
)( 1
q
ab q
1?q,
所以当 q < 1 时,该广义积分收敛,其值为 ;1
)( 1
q
ab q
当 q ≥ 1 时,该广义积分发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7.
解,
求的无穷间断点,故 I 为反常
xxf xf d)(1 )( 2
)(1
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2 xf
xf
Cxf )(a r c ta n
0 1 2 d)(1 )( xxf xfI 32 2 d)(1 )( xxf xf积分,
]2 ]222732a rc t a n
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限
2,两个重要的反常积分
1?p
1?p
1?q,
,,
)1(
1
1 pap
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,(1) 有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化,
例如,
1
0 12
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1
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x
x
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1
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(2) 当一题同时含两类反常积分时,
机动 目录 上页 下页 返回 结束应划分积分区间,
分别讨论每一区间上的反常积分,
(3) 有时需考虑 主值意义下的反常积分,其定义为
ba xxf d)(v,p,),( bcac为瑕点
xxf d)(v,p,xxfa aa d)(li m
P256 题 1 (1),(2),(7),(8)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xxfxxf bcca d)(d)(lim
0?
常积分收敛,
注意,主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反思考与练习
P256 1 (4),(5),(6),(9),(10) ;
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第五节 目录 上页 下页 返回 结束提示,P256 题 2
2 )(l n
d
kxx
x
2 )(l n
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x
,1 时当?k 12 )2)(l n1(
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,)2) ( ln1()( 1 kkkf令 求其最大值,
作业备用题 试证 xx
x
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0 4
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,并求其值,
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