二、积分上限的函数及其导数三、牛顿 – 莱布尼兹公式一、引例第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束微积分的基本公式第 五 章一、引例在变速直线运动中,已知位置函数 与速度函数之间有关系,)()( tvts
物体在时间间隔 内经过的路程为
)()(d)( 122
1
TsTsttvTT
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(xfy?
xbao
y
)(x?
x
hx
二、积分上限的函数及其导数则变上限函数
xa ttfx d)()(
证,,],[,bahxx 则有
h
xhx )()(
h
1 x
a
hx
a ttfttf d)(d)(
hxx ttfh d)(1 )(?f? )( hxx
h
xhx
h
)()(l i m
0
)(lim 0?fh )(xf?)(x
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 1,若说明,
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的,
2) 变限积分求导,
)( d)(dd xa ttfx? )()]([ xxf
同时为通过原函数计算定积分开辟了道路,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)( )( d)(dd xx ttfx
)()]([)()]([ xxfxxf
)(
)( d)(d)(d
d x
a
a
x ttfttfx
)s in(2co s xe x
例 1,求解,原式 0lim x
0
0
x2 e2
1?
说明 目录 上页 下页 返回 结束例 2,确定常数 a,b,c 的值,使解,,0 b
原式 =
c ≠0,故,1?a 又由 ～,得,21?c
ttftxf x d)()( 0
例 3,证明在 内为单调递增函数,
证, 2
0 d)( ttf
x?
ttfxfx x d)()( 0?
20 d)( ttfx?
ttfxf x d)()( 0?)( tx? 0?
只要证
0)( xF
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20 d)( ttfx? xfx )()()(xf
)0( x
三、牛顿 – 莱布尼兹公式
)()(d)( aFbFxxfba ( 牛顿 - 莱布尼兹公式 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,根据定理 1,故
CxxfxF xa d)()(
因此 )()(d)( aFxFxxf
x
a
得记作定理 2.
函数,则例 4,计算解,xx
x a rc t a n
1
d3
1 2 1
3
)1a rc ta n (3a rc ta n
3
12
7?
例 5,计算正弦曲线的面积,
解,
0 dsi n xxA
xcos 0? 1[ ]1 2?
)4(
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
o x
xy sin?
例 6,汽车以每小时 36 km 的速度行驶,
速停车,
解,设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度
)(10 sm? )( sm3 6 0 01 0 0 036
刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即 得故在这段时间内汽车所走的距离为?
20 d)( ttvs 20 d)510( tt22510 tt (m )10?02
刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度机动 目录 上页 下页 返回 结束车到停车走了多少距离?
内容小结
,)()(,],[)( xfxFbaCxf 且设 则有
1,微积分基本公式
xxfba d)(
积分中值定理
))(( abF )()( aFbF
微分中值定理
))(( abf
牛顿 – 莱布尼兹公式
2,变限积分求导公式公式 目录 上页 下页 返回 结束作业第三节 目录 上页 下页 返回 结束
P240 3 ; 4 ; 5 (3) ;
6 (8),(11),(12) ;
9 (2) ; 12
备用题解,
1,设 求定积分为常数,
,d)(10 axxf设 bxf 20 d)(,则故应用积分法定此常数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,求解,
的递推公式 (n为正整数 ),
由于,ds in
)1(2s in2
01?
x
x
xnI
n 因此
1nn II
20 d)12c o s (2? xxn
20 ds i n s i n)12c o s (2? xx xxn
12
)1(2 1
n
n
1 nn II所以其中机动 目录 上页 下页 返回 结束
物体在时间间隔 内经过的路程为
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二、积分上限的函数及其导数则变上限函数
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1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的,
2) 变限积分求导,
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同时为通过原函数计算定积分开辟了道路,
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例 1,求解,原式 0lim x
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说明 目录 上页 下页 返回 结束例 2,确定常数 a,b,c 的值,使解,,0 b
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c ≠0,故,1?a 又由 ～,得,21?c
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例 3,证明在 内为单调递增函数,
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三、牛顿 – 莱布尼兹公式
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得记作定理 2.
函数,则例 4,计算解,xx
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例 5,计算正弦曲线的面积,
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例 6,汽车以每小时 36 km 的速度行驶,
速停车,
解,设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度
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刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即 得故在这段时间内汽车所走的距离为?
20 d)( ttvs 20 d)510( tt22510 tt (m )10?02
刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度机动 目录 上页 下页 返回 结束车到停车走了多少距离?
内容小结
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1,微积分基本公式
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积分中值定理
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微分中值定理
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牛顿 – 莱布尼兹公式
2,变限积分求导公式公式 目录 上页 下页 返回 结束作业第三节 目录 上页 下页 返回 结束
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备用题解,
1,设 求定积分为常数,
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2,求解,
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