二、无界函数反常积分的审敛法第五节反常积分 无穷限的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法机动 目录 上页 下页 返回 结束反常积分的审敛法
函数第 五 章一、无穷限反常积分的审敛法定理 1,若函数?
xa ttfxF d)()(
.d)( 收敛则反常积分a xxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,
根据极限收敛准则知?
xa
xx
ttfxF d)(lim)(lim
存在,.d)( 收敛即反常积分?
a xxf
定理 2,(比较审敛原理 ),),[)( aCxf设有分大的 x
且对充
)()(0 xgxf,则收敛xxga d)(
发散xxga d)(
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,不失一般性,
有则对 at?
xxfta d)(? xxgta d)(
的是故 txxfta d)(? 因此单调递增有上界函数,
xxfxxf ata
t
d)(d)(lim
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,已知得下列比较审敛法,
极限存在,
定理 3,(比较审敛法 1)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
px
Mxf?)(
px
Nxf?)(
,1?p
,1?p
例 1,判别反常积分解,
的敛散性,
机动 目录 上页 下页 返回 结束由比较审敛法 1 可知原积分收敛,
思考题,讨论反常积分 的敛散性,
提示,当 x≥1 时,利用可知原积分发散,
定理 4,(极限审敛法 1)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
lxfx px )(lim
则有,1) 当
2) 当证,,1时当?p 根据极限定义,对取定的 当 x 充分大时,必有,即满足当机动 目录 上页 下页 返回 结束
,1时?p 可取,0
必有即
,0l使 时用任意正l(
,)lN 代替数注意,此极限的大小刻画了例 2,判别反常积分?
1 21
d
xx
x
的敛散性,
解,2
2
1
1lim
xx
x
x?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1
1l i m
2
1
x
x 1?
根据极限审敛法 1,该积分收敛,
例 3,判别反常积分 xx
x d
11 2
2
3
的敛散性,
解,21lim
2
3
2
1
x
xx
x?
2
2
1lim x
x
x?
1?
根据极限审敛法 1,该积分发散,
定理 5.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,d,),[)( 收敛）（且若 a xxfaCxf
.d)( 收敛则反常积分a xxf
证：,])()([)( 21 xfxfx令 则 )()(0 xfx
,d 收敛）（a xxf?,d)( 也收敛 a xx?
)()(2)( xfxxf
xxfxxxxf aaa d)(d)(2d)(
而
.d)( 收敛可见反常积分 xxfa
定义,设反常积分,d)( 收敛xxfa?
,d)( 收敛若a xxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束则称 绝对收敛 ;
,d)( 发散若a xxf则称 条件收敛,
例 4,判断反常积分的敛散性,
解,根据比较审敛原理知,ds i n 收敛?
a
xa xbxe
故由定理 5知所给积分收敛 (绝对收敛 ),
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分,
二、无界函数反常积分的审敛法机动 目录 上页 下页 返回 结束由定义
baba xxfxxf d)(limd)( 0
则有令,1tax
例如
1
1 20
d)1(limd)(
ab t
t
tafxxf
b
a?
ab t
t
taf1 2
d)1(
因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来,
定理 6,(比较审敛法 2)
定理 3 目录 上页 下页 返回 结束
qax
Mxf
)()(
ax
Nxf
)(
,1?q
瑕点,
有有利用 xax
b
a q d)(
1 1,?q收敛
1,?q发散有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法,
使对一切充分接近 a 的 x ( x > a),
定理 7,(极限审敛法 2)
定理 4 目录 上页 下页 返回 结束
lxfax qx )()(l i m
则有,1) 当
2) 当例 5,判别反常积分,ln
d3
1 的敛散性? x
x
解,,1 为瑕点此处?x利用洛必达法则得根据极限审敛法 2,所给积分发散,
例 6,判定椭圆积分定理 4 目录 上页 下页 返回 结束
)1(
)1)(1(
d 21
0 222 kxkx
x
散性,
解,,1 为瑕点此处?x由于的敛
21)1(?x )1)(1(
1
222 xkx
)1)(1(
1lim
221 xkxx )1(2
1
2k
根据极限审敛法 2,椭圆积分收敛,
类似定理 5,有下列结论,
,)(d)(? ba axxf 收敛为瑕点若反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,判别反常积分 的敛散性,
解,
,d)(? ba xxf 收敛称为绝对收敛,
,0 为瑕点此处?x,0lnl i m 4
1
0
xx
x
因
,1ln,41?xxx 有的故对充分小从而
4
1
4
1
lnln
x
xx
x
x?
4
1
1
x
据比较审敛法 2,所给积分绝对收敛,
则反常积分三,?函数
1,定义机动 目录 上页 下页 返回 结束下面证明这个特殊函数在 0?s 内收敛,
1 1210 11 d,d xexIxexI xsxs
.)1 1I讨论
)0(d)( 0 1 sxexs xs
令;,1 1 是定积分时当 Is?
,10 时当 s xsxs exex 1111 sx 11
,11 s而,2 1 收敛知根据比较审敛法 I
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)( 1 xs ex x
s
x e
x 1l i m?
.)2 2I讨论 0?
1 12 d xexI xs
.1 2 收敛知根据极限审敛法 I
综上所述,21)( IIs,0 上收敛在?s
2,性质
(1) 递推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束证,?
0 d)1( xexs
xs )0()()1( ssss
(分部积分 )?
0 d
xs ex
0 1 d0 xexsex xsxs
)(ss
注意到,?
0 d)1( xe
x1?
有,N n
)()1( nnn )1()1( nnn
)1(! n?
(2)
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,,
)1()(
s
ss,)(,0 ss 时当 1)1(
,0)( 连续在且可证明 ss
)(,0 ss 时
(3) 余元公式,)10(
)s i n ()1()( ssss?
有时当,21?s
(证明略 )
(4)
机动 目录 上页 下页 返回 结束得令,2ux?
的其他形式)( s?
)0(d2)( 0 122 suues su
,12 ts再令,21 ts即 得应用中常见的积分
)1(2121d0 2 ttueu ut
这表明左端的积分可用?函数来计算,例如,
内容小结
1,两类反常积分的 比较审敛法 和 极限审敛法,
2,若在同一积分式中出现两类反常积分,
习题课 目录 上页 下页 返回 结束可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分,只有各项都收敛时,
才可保证给定的积分收敛,
3,? 函数的定义及性质,
思考与练习
P263 题 1 (1),(2),(6),(7)
P264 题 5 (1),(2)
作业
P263 1 (3),(4),(5),(8)
2 ; 3
函数第 五 章一、无穷限反常积分的审敛法定理 1,若函数?
xa ttfxF d)()(
.d)( 收敛则反常积分a xxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,
根据极限收敛准则知?
xa
xx
ttfxF d)(lim)(lim
存在,.d)( 收敛即反常积分?
a xxf
定理 2,(比较审敛原理 ),),[)( aCxf设有分大的 x
且对充
)()(0 xgxf,则收敛xxga d)(
发散xxga d)(
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,不失一般性,
有则对 at?
xxfta d)(? xxgta d)(
的是故 txxfta d)(? 因此单调递增有上界函数,
xxfxxf ata
t
d)(d)(lim
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,已知得下列比较审敛法,
极限存在,
定理 3,(比较审敛法 1)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
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Mxf?)(
px
Nxf?)(
,1?p
,1?p
例 1,判别反常积分解,
的敛散性,
机动 目录 上页 下页 返回 结束由比较审敛法 1 可知原积分收敛,
思考题,讨论反常积分 的敛散性,
提示,当 x≥1 时,利用可知原积分发散,
定理 4,(极限审敛法 1)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
lxfx px )(lim
则有,1) 当
2) 当证,,1时当?p 根据极限定义,对取定的 当 x 充分大时,必有,即满足当机动 目录 上页 下页 返回 结束
,1时?p 可取,0
必有即
,0l使 时用任意正l(
,)lN 代替数注意,此极限的大小刻画了例 2,判别反常积分?
1 21
d
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的敛散性,
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x
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
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2
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x
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根据极限审敛法 1,该积分收敛,
例 3,判别反常积分 xx
x d
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2
3
的敛散性,
解,21lim
2
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2
1
x
xx
x?
2
2
1lim x
x
x?
1?
根据极限审敛法 1,该积分发散,
定理 5.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,d,),[)( 收敛）（且若 a xxfaCxf
.d)( 收敛则反常积分a xxf
证：,])()([)( 21 xfxfx令 则 )()(0 xfx
,d 收敛）（a xxf?,d)( 也收敛 a xx?
)()(2)( xfxxf
xxfxxxxf aaa d)(d)(2d)(
而
.d)( 收敛可见反常积分 xxfa
定义,设反常积分,d)( 收敛xxfa?
,d)( 收敛若a xxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束则称 绝对收敛 ;
,d)( 发散若a xxf则称 条件收敛,
例 4,判断反常积分的敛散性,
解,根据比较审敛原理知,ds i n 收敛?
a
xa xbxe
故由定理 5知所给积分收敛 (绝对收敛 ),
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分,
二、无界函数反常积分的审敛法机动 目录 上页 下页 返回 结束由定义
baba xxfxxf d)(limd)( 0
则有令,1tax
例如
1
1 20
d)1(limd)(
ab t
t
tafxxf
b
a?
ab t
t
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因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来,
定理 6,(比较审敛法 2)
定理 3 目录 上页 下页 返回 结束
qax
Mxf
)()(
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Nxf
)(
,1?q
瑕点,
有有利用 xax
b
a q d)(
1 1,?q收敛
1,?q发散有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法,
使对一切充分接近 a 的 x ( x > a),
定理 7,(极限审敛法 2)
定理 4 目录 上页 下页 返回 结束
lxfax qx )()(l i m
则有,1) 当
2) 当例 5,判别反常积分,ln
d3
1 的敛散性? x
x
解,,1 为瑕点此处?x利用洛必达法则得根据极限审敛法 2,所给积分发散,
例 6,判定椭圆积分定理 4 目录 上页 下页 返回 结束
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散性,
解,,1 为瑕点此处?x由于的敛
21)1(?x )1)(1(
1
222 xkx
)1)(1(
1lim
221 xkxx )1(2
1
2k
根据极限审敛法 2,椭圆积分收敛,
类似定理 5,有下列结论,
,)(d)(? ba axxf 收敛为瑕点若反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,判别反常积分 的敛散性,
解,
,d)(? ba xxf 收敛称为绝对收敛,
,0 为瑕点此处?x,0lnl i m 4
1
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据比较审敛法 2,所给积分绝对收敛,
则反常积分三,?函数
1,定义机动 目录 上页 下页 返回 结束下面证明这个特殊函数在 0?s 内收敛,
1 1210 11 d,d xexIxexI xsxs
.)1 1I讨论
)0(d)( 0 1 sxexs xs
令;,1 1 是定积分时当 Is?
,10 时当 s xsxs exex 1111 sx 11
,11 s而,2 1 收敛知根据比较审敛法 I
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)( 1 xs ex x
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.)2 2I讨论 0?
1 12 d xexI xs
.1 2 收敛知根据极限审敛法 I
综上所述,21)( IIs,0 上收敛在?s
2,性质
(1) 递推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束证,?
0 d)1( xexs
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(分部积分 )?
0 d
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0 1 d0 xexsex xsxs
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注意到,?
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x1?
有,N n
)()1( nnn )1()1( nnn
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(2)
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,,
)1()(
s
ss,)(,0 ss 时当 1)1(
,0)( 连续在且可证明 ss
)(,0 ss 时
(3) 余元公式,)10(
)s i n ()1()( ssss?
有时当,21?s
(证明略 )
(4)
机动 目录 上页 下页 返回 结束得令,2ux?
的其他形式)( s?
)0(d2)( 0 122 suues su
,12 ts再令,21 ts即 得应用中常见的积分
)1(2121d0 2 ttueu ut
这表明左端的积分可用?函数来计算,例如,
内容小结
1,两类反常积分的 比较审敛法 和 极限审敛法,
2,若在同一积分式中出现两类反常积分,
习题课 目录 上页 下页 返回 结束可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分,只有各项都收敛时,
才可保证给定的积分收敛,
3,? 函数的定义及性质,
思考与练习
P263 题 1 (1),(2),(6),(7)
P264 题 5 (1),(2)
作业
P263 1 (3),(4),(5),(8)
2 ; 3
