习题课一,导数和微分的概念及应用机动 目录 上页 下页 返回 结束二,导数和微分的求法导数与微分第二章一,导数和微分的概念及应用
导数,
当 时,为右导数当 时,为左导数
微分,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
关系,可导 可微 ( 思考 P124 题 1 )
应用,
(1) 利用导数定义解决的问题
(3)微分在近似计算与误差估计中的应用
(2)用导数定义求极限
1) 推出三个最基本的导数公式及求导法则
xxxC x c o s)(s in;)(ln;0)( 1
其他求导公式都可由它们及求导法则推出 ;
2) 求分段函数在分界点处的导数,及某些特殊函数在特殊点处的导数 ;
3) 由导数定义证明一些命题,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1.设 )( 0xf? 存在,求
.)())((lim 0
2
0
0 x
xfxxxf
x?


解,
原式 =

x
xfxxxf
x
)())((lim 020
02)( xx
2)( xx
)( 0xf
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2.若 0)1(?f 且 )1(f? 存在,求
.
t a n)1(
)c o s(si nlim 2
0 xe
xxf
xx?
解,原式 = 2
2
0
)c o s(si nl i m
x
xxf
x
且联想到凑导数的定义式
2
2
0
)1c o ss i n1(lim
x
xxf
x

1c o ss i n 2 xx 1c o ss i n
2 xx)1(f?
)1(f )211( )1(21 f
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3.设 )(xf 在 2?x 处连续,且,32
)(lim
2

x
xf
x
求,)2(f?
解,?)2(f )(lim2 xfx? ])2(
)()2[(lim
2?

x
xfx
x 0?
2
)2()(lim)2(
2?

x
fxff
x
2
)(l im
2?
x
xf
x 3?
思考,P124 题 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4.设试确定常数 a,b 使 f (x) 处处可导,并求解,?)(xf
1?x,bxa?
1?x,)1(21 ba
1?x,2x
,1 时?x ;)( axf 时，1?x,2)( xxf
)1()1()1( fff
)1()1( ff
得 处可导，在利用 1)(?xxf
即
ba? 1? )1(21 ba
2?a
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,1,2 ba 2)1(f


1,2
1,2)(
xx
xxf
是否为连续函数?判别,
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)(xf
1?x,bxa?
1?x,)1(21 ba
1?x,2x
,1 时?x,)( axf 时，1?x xxf 2)(
设解,
又例 5.
所以 在 处连续,
即 在 处可导,
处的连续性及可导性,
0)0(f
机动 目录 上页 下页 返回 结束二,导数和微分的求法
1,正确使用导数及微分公式和法则
2,熟练掌握求导方法和技巧
(1) 求分段函数的导数注意讨论 界点 处左右导数是否存在和相等
(2) 隐函数求导法 对数微分法
(3) 参数方程求导法 极坐标方程求导
(4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性 )
转化
(5) 高阶导数的求法 逐次求导归纳 ;
间接求导法 ;利用莱布尼兹公式,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6.设 其中 可微,
解,?yd )d(s in s in xx ee )d ( s ins i n xx ee?
)d ( s ins in s in xee xx )d(c o ss in xxx eee
xexe xx d) s in( c o ss in? xx ee c o s?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,且 存在,问怎样选择 可使下述函数在 处有二阶导数,
)(xf
解,由题设 )0(f 存在,因此
1) 利用 在 连续,即,)0()0()0( fff
得 )0(gc?
2) 利用,)0()0( ff
0
)0()(lim)0(
0?

x
gxgf
x)0( g
0
)0()(lim)0( 2
0?

x
gcbxxaf
xb?
而得
0,2 xcbxax 0,)(?xxg
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)0( gb
3) 利用,)0()0( ff
0
)0()(lim)0(
0?

x
gxgf
x)0( g
0
)2(lim)0(
0?

x
bbxaf
xa2?
而得 )0(2
1
ga
)0(gc?
)(xf 0,2 xcbxax 0,)(?xxg
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 8.设由方程


)10(1s i n
2
2
2
yyt
ttx
确定函数,)( xyy? 求解,方程组两边对 t 求导,得
t
x
d
d
t2
t
x
d
d
y
t
t
y
c o s1
2
d
d

故?x
y
d
d
)c o s1)(1( yt
t

22 t
t
y
d
d
ycos t
y
d
d
0?
)1(2 t
t
y
d
d
t
x
d
d
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2
2
d
d
x
y )(
d
d
dd x
y
t
t
x
d
d
)( )c o s1)(1(dd yt tt
)1(2?t
ytty s in)1()c o s1(
23 )c o s1()1(2 yt
t
y
d
d
ytty s i n)1(2)c o s1( 22
33 )c o s1()1(2 yt
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P124 4 ; 5(1) ;
6 ; 7 (3),(4),(5) ;
8 (2) ; 10 ; 11 (2) ;
12 ; 13 ; 15
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