第三节一,变力沿直线所作的功二,液体的侧压力三,引力问题四,转动惯量 (补充 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束定积分在物理学上的应用第 六 章一,变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝ a 移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功,
xa bx xx d?
在其上所作的功元素为 xxFW d)(d?
因此变力 F(x) 在区间 上所作的功为
ba xxFW d)(
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,一个单求电场力所作的功,
q?o
ra br rdr?1?
1?
解,当单位正电荷距离原点 r时,由 库仑定律 电场力为则功的元素为 rr
qkW dd
2?
所求功为
rqk
1
a
b )11(
baqk
说明,a
qk?
机动 目录 上页 下页 返回 结束位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b),
在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下,
S
例 2.
体,
求移动过程中气体压力所
o x
解,
由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为 S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处 (如图 ),
作的功,
a b
建立坐标系如图,
x xdx?
由波义耳 — 马略特定律知压强
p 与体积 V 成反比,即功元素为故作用在活塞上的所求功为机动 目录 上页 下页 返回 结束力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气例 3.
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?
解,建立坐标系如图,o
x
m3
x xx d?m5
在任一小区间
]d,[ xxx?上的一薄层水的重力为
g xd3 2
这薄层水吸出桶外所作的功 (功元素 )为
Wd xx dg9
故所求功为
50W xx dg9 g9? 2
2x
g5.112? ( KJ )
设水的密度为?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0
5
(KN)
一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m,底圆半径为 3m,
面积为 A 的平板二、液体侧压力设液体密度为?
深为 h 处的压强,hp?g?
h当平板与水面平行时,
ApP?
当平板不与水面平行时,
所受侧压力问题就需用积分解决,
机动 目录 上页 下页 返回 结束平板一侧所受的压力为
小窄条上各点的压强 xp?g?
3
3
g2 R
例 4.
的 液体,求桶的一个端面所受的侧压力,
解,建立坐标系如图,所论半圆的
)0( Rx
利用对称性,侧压力元素
RP 0 xxRx dg2 22
o
x
y
R
x xx d? 222 xRPd x?g
端面所受侧压力为
xd
机动 目录 上页 下页 返回 结束方程为一水平横放的半径为 R的圆桶,内盛半桶密度为
0a rc s i n22g4 222 RRxRxRxR
,d2 22 xxR?
说明,当桶内充满液体时,,)(g xR小窄条上的压强为侧压力元素?Pd
故端面所受侧压力为奇函数
3g R
)(g xR
R xxRR 0 22 dg4?
tRx s in?令 ( P350 公式 67 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
o
x
y
R
x xx d?
三,引力问题质量分别为 的质点,相距 r,
1m
2m
r二者间的引力,
大小,
方向,沿两质点的连线若考虑 物体 对质点的引力,则需用积分解决,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,设有一长度为 l,线密度为?的均匀细直棒,
其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,
M该棒对质点的引力,解,建立坐标系如图,y
2l2l?
],[ dxxx?
细棒上小段对质点的引力大小为
d kF?xm d?
22 xa?
故垂直分力元素为
c o sdd FF y
a
22 dxa xmk? 2xa a?
2
3
)(
d
22 xa
xamk
a
xo x
机动 目录 上页 下页 返回 结束在试计算
Fd
xFd
yFd
xx d?
利用对称性
2 230 22 )( d2
l
xa
xamkF
y?
0222
2
l
xaa
xamk
224
12
laa
lmk
棒对质点引力的水平分力,0?xF
机动 目录 上页 下页 返回 结束
224
12
l
lmkF
a a
故棒对质点的引力大小为
2l?
Fd
xFd
yFd
My
2l
a
o x
x xx d?
棒对质点的引力的垂直分力为
y
2l2l?
a
o x
xx d?
x
说明,
a
mk?2
2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处
1) 当细棒很长时,可视 l为无穷大,
此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒,
移到 b (a < b) 处时克服引力作的功,
b y
ba lyy ylmkW 224 d2?
224
12
l
lmk
y y
机动 目录 上页 下页 返回 结束则有
lo x
ya
c o sd FyFd 23)(
d
22 xa
xamk
xFd 23)(
d
22 xa
xxmk
ly xa xamkF 0 22 23)( d?
lx xa xxmkF 0 22 23)( d?
引力大小为 22 yx FFF
22
dd
xa
xmkF
xx d?
xFd
yFd
机动 目录 上页 下页 返回 结束
s ind F
注意正负号
3) 当质点位于棒的左端点垂线上时,
四、转动惯量 (补充 )
质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为
l
2rmI?
的质点系 ),,2,1(,nimrl ii质量为的距离为与轴
2
1
i
n
i
i rmI?
若考虑 物体 的转动惯量,则需用积分解决,
r
机动 目录 上页 下页 返回 结束关于轴 l 的转动惯量为
m
例 6.
⑴ 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ;
⑵ 求圆盘对直径所在轴的转动惯量,
解,⑴ 建立坐标系如图,设圆盘面密度为?.
的对应于 ]d,[ xxx?
小圆环质量 xx d2
对应于
]d,[ xxx?的小圆环对轴 l 的转动惯量为
xxI d2d 3
故圆盘对轴 l 的转动惯量为
421 R
221 RM?
l
Ro x
x xx d?
)( 2RM
机动 目录 上页 下页 返回 结束设有一个半径为 R,质量为 M 的均匀圆盘,
o xR
y
x
xx d?
平行 y 轴的细条 的对应于 ]d,[ xxx?
关于 y 轴的转动惯量元素为
yId
细条质量,y2 xd
xxy d2 2? xxRx d2 222
故圆盘对 y轴的转动惯量为
yI xxRx
R
R d2
222
xxRx
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0
2
)s in( tRx?令 tttR dc o ss i n4 22402?
4
4
1 R )(
2RM
2
4
1 RM?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
⑵ 取旋转轴为 y 轴,建立坐标系如图,
内容小结
(1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ
一般微元的几何形状有,
扇,片,壳 等,
(2) 然后用定积分来表示整体量 Q,并计算之,
1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤,
2.定积分的物理应用,
变力作功,侧压力,引力,转动惯量等,
机动 目录 上页 下页 返回 结束条,段,环,带,
(99考研 )
思考与练习提示,作 x 轴如图,o
x
30
xx d?
1.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,
泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以 20N /s 的 速度从抓斗缝隙中漏掉,
现将抓起污泥的抓斗提升到井口,
抓斗抓起的污泥重 2000N,
提升速度为 3m /s,
问克服重力需作多少焦耳 ( J ) 功?
已知井深 30 m,抓斗自重 400N,
将抓起污泥的抓斗由机动 目录 上页 下页 返回 结束抓起污
x 提升 dx 所作的功为米重 50N,
提升抓斗中的污泥,
井深 30 m,抓斗自重 400 N,缆绳每米重 50N,
抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为 3m∕s,
污泥以 20N∕s 的速度从抓斗缝隙中漏掉
o
x
30
xx d?
xW d400d 1?
克服缆绳重,xxW d)30(50d 2
抓斗升至 x 处所需时间,)s(3x
( J )91500?
xxW x d)]202 0 0 0()30(50400[ 3300 xW
x d)202000(d 33
321 dddd WWWW
机动 目录 上页 下页 返回 结束克服抓斗自重,
x
y
o A
B
2,设星形线 taytax 33 s in,c o s 上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,
提示,如图,
22
22 d)(
d
2
3
yx
syxkF
syxk d)( 2122
c o sdd FF x s
yx
xyxk d)(
22
22 21
sxk d?
s i ndd FF y syk d
),( yxsd
在点 O 处有一单位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力,
机动 目录 上页 下页 返回 结束同理
takF x 20 3c o s?
tttatta d]c o ss in3[)]s in(c o s3[ 2222
tttka ds inc o s3 20 42253 ak?
2
5
3 akF
y?
故星形线在第一象限的弧段对该质点的
22
5
3 akF?
xFd,d sxk? yFd syk d? ;s in,c o s 33 taytax
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
x
y
o A
B
),( yxsd
引力大小为作业,P287 2,3,5,9,12
锐角? 取多大时,薄板所受的压力 P 最大,
备用题 斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于解,选取坐标系如图,设斜边长为 l,
水中,并使一直角边与水面相齐,
c o sc o t lxy
xxyg d?
s i n0 2 d)c o sc o t(l xxlxg
ly则其方程为问斜边与水面交成的机动 目录 上页 下页 返回 结束
s in0lP
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,0ddP令
3
3a rc c o s
0
故得唯一驻点故此唯一驻点 0?
即为所求,
由实际意义可知最大值存在,
即
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xa bx xx d?
在其上所作的功元素为 xxFW d)(d?
因此变力 F(x) 在区间 上所作的功为
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解,当单位正电荷距离原点 r时,由 库仑定律 电场力为则功的元素为 rr
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在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下,
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例 2.
体,
求移动过程中气体压力所
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解,
由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为 S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处 (如图 ),
作的功,
a b
建立坐标系如图,
x xdx?
由波义耳 — 马略特定律知压强
p 与体积 V 成反比,即功元素为故作用在活塞上的所求功为机动 目录 上页 下页 返回 结束力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气例 3.
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?
解,建立坐标系如图,o
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在任一小区间
]d,[ xxx?上的一薄层水的重力为
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这薄层水吸出桶外所作的功 (功元素 )为
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故所求功为
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设水的密度为?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
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一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m,底圆半径为 3m,
面积为 A 的平板二、液体侧压力设液体密度为?
深为 h 处的压强,hp?g?
h当平板与水面平行时,
ApP?
当平板不与水面平行时,
所受侧压力问题就需用积分解决,
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小窄条上各点的压强 xp?g?
3
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例 4.
的 液体,求桶的一个端面所受的侧压力,
解,建立坐标系如图,所论半圆的
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利用对称性,侧压力元素
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端面所受侧压力为
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说明,当桶内充满液体时,,)(g xR小窄条上的压强为侧压力元素?Pd
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三,引力问题质量分别为 的质点,相距 r,
1m
2m
r二者间的引力,
大小,
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机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,设有一长度为 l,线密度为?的均匀细直棒,
其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,
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2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处
1) 当细棒很长时,可视 l为无穷大,
此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒,
移到 b (a < b) 处时克服引力作的功,
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3) 当质点位于棒的左端点垂线上时,
四、转动惯量 (补充 )
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2
1
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机动 目录 上页 下页 返回 结束关于轴 l 的转动惯量为
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例 6.
⑴ 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ;
⑵ 求圆盘对直径所在轴的转动惯量,
解,⑴ 建立坐标系如图,设圆盘面密度为?.
的对应于 ]d,[ xxx?
小圆环质量 xx d2
对应于
]d,[ xxx?的小圆环对轴 l 的转动惯量为
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故圆盘对轴 l 的转动惯量为
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机动 目录 上页 下页 返回 结束设有一个半径为 R,质量为 M 的均匀圆盘,
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
⑵ 取旋转轴为 y 轴,建立坐标系如图,
内容小结
(1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ
一般微元的几何形状有,
扇,片,壳 等,
(2) 然后用定积分来表示整体量 Q,并计算之,
1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤,
2.定积分的物理应用,
变力作功,侧压力,引力,转动惯量等,
机动 目录 上页 下页 返回 结束条,段,环,带,
(99考研 )
思考与练习提示,作 x 轴如图,o
x
30
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1.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,
泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以 20N /s 的 速度从抓斗缝隙中漏掉,
现将抓起污泥的抓斗提升到井口,
抓斗抓起的污泥重 2000N,
提升速度为 3m /s,
问克服重力需作多少焦耳 ( J ) 功?
已知井深 30 m,抓斗自重 400N,
将抓起污泥的抓斗由机动 目录 上页 下页 返回 结束抓起污
x 提升 dx 所作的功为米重 50N,
提升抓斗中的污泥,
井深 30 m,抓斗自重 400 N,缆绳每米重 50N,
抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为 3m∕s,
污泥以 20N∕s 的速度从抓斗缝隙中漏掉
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2,设星形线 taytax 33 s in,c o s 上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,
提示,如图,
22
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c o sdd FF x s
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在点 O 处有一单位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力,
机动 目录 上页 下页 返回 结束同理
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故星形线在第一象限的弧段对该质点的
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x
y
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引力大小为作业,P287 2,3,5,9,12
锐角? 取多大时,薄板所受的压力 P 最大,
备用题 斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于解,选取坐标系如图,设斜边长为 l,
水中,并使一直角边与水面相齐,
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ly则其方程为问斜边与水面交成的机动 目录 上页 下页 返回 结束
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故得唯一驻点故此唯一驻点 0?
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由实际意义可知最大值存在,
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