第四节
基本积分法,直接积分法 ; 换元积分法 ;
分部积分法
初等函数求导初等函数积分机动 目录 上页 下页 返回 结束一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容,
第 四 章一,有理函数的积分
)(
)()(
xQ
xPxR nnn axaxa110有理函数,
nm?时,为假分式 ; nm? 时,为真分式有理函数 相除 多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为
kk qxpx
NxM
ax
A
)(;
)( 2
)04,N( 2 qpk
若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,将下列真分式分解为部分分式,
解,(1) 用拼凑法
22 )1()1(
1
xxxx 2)1(
1
x )1(
1
xx
2)1(
1
x )1( xx
2)1(
1
x 1
1
x x
1?
)1( xx
)1( xx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 用赋值法
65
3
2
xx
x
)3)(2(
3
xx
x
2 x
A
3 x
B
原式 )2( xA 2?x 23
3
xx
x
5
原式 )3( xB 3?x 32
3
xx
x 6?
故 2
5
x原式 3
6
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3) 混合法?
)1)(21(
1
2xx x
A
21 21 x
CBx
原式 )21( xA 21x 54?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
C 541
215
4
6
1 CB 5
2B
5
1?C
原式 = x21
4
5
1
21
12
x
x
四种典型部分分式的积分,
CaxA ln
)1(?n CaxnA n1)(1
xax A d.1
xax A n d)(.2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xqxpx NxM d.3 2
xqxpx NxM n d)(.4 2
变分子为
)2(2 pxM? 2 pMN
再分项积分例 2,求解,已知
)1)(21(
1
2xx5
1
x21
4
2
2
x
x
21
1
x
xx21 )21(d52原式 2
2
1
)1(d
5
1
x
x?
21
d
5
1
x
x
x21ln52 )1(ln51 2x Cx a rc t a n51
例 1(3) 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求解,原式 xxx d322 3)22(2
1x
32 )32d(21 2
2
xx
xx
32ln21 2 xx
22 )2()1( )1d(3 x x
Cx 2 1a rc t a n23
思考,如何求机动 目录 上页 下页 返回 结束提示,变形方法同例 3,并利用 P209 例 9,
xxx d)4)(1( 22 )4()1( 22 xx
例 4,求
xxx xxI d45 52 24
3
xxx x d45 52 24
2
45 )55d(21 24
24
xx
xx
45ln21 24 xx 2a rc t a n21 x? Cx a rc ta n
解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,
但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法,
例 5,求解,原式 xxx d)22( 22)22(
2 xx )22(
1)1( d 2x x 22
2
)22(
)22d(
xx
xx
)1a r c ta n ( x 22
1
2 xx C?
机动 目录 上页 下页 返回 结束常规 目录 上页 下页 返回 结束例 6,求解,原式 xx d14)1(
2?x )1( 2 x
2
1
1d4x x
(见 P348公式 21)
2a rc t a n22
1 1xx
2
1?
2
1 ln 21 xx
21 xx C?
x
x
x
x d
2
1
2
2
12
1
x
x
x
x d
2
1
2
2
12
1
2)(21 21
xx
)d( 1xx 2)(21 21
xx
)d( 1xx?
注意本题技巧按常规方法较繁二,可化为有理函数的积分举例设 表示三角函数有理式,
xxxR d)c o s,(s i n?
令 2tan xt? 万能代换
t 的有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,三角函数有理式的积分则例 7,求,d)c o s1(sin
sin1?
x
xx
x
解,令,2ta n
xt?
则机动 目录 上页 下页 返回 结束
2
2
2
2
22
c o ssi n
c o ssi n2
si n
xx
xx
x
2
2
2
t a n1
t a n2
x
x
21
2
t
t
2
2
2
2
2
2
2
2
c o ssi n
si nc o s
c o s
xx
xx
x
2
2
2
2
t a n1
t a n1
x
x
2
2
1
1
t
t
xd tt d1
2
2?
xxx x d)c o s1(si n si n1
21 21 tt
21
2
t
t
)1( 2
2
1
1
t
t
tt d21 2 ttt d
12
2
1?
21 221t t2? tln? C
2ta n4
1 2 x?
2tan
x? Cx
2t a nln2
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 8,求解, 原式
xx d2cos1
222 ta n bxa
222
)(t a n
t a nd1
a
bx
x
a
)t a na rc t a n (1 xbaba? C?
说明,通常求含 xxxx c o ss inc o s,s in 22 及的积分时,xt tan? 往往更方便,
的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束例 9,求,)0(d)c o ss i n(
1
2 baxxbxa
解法 1
xt ta n?令原式
d x
2)ta n( bxa?x2cos
2)( d bta t Cbtaa )( 1
Cxbxaa x )c o ssin( c o s
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xbxa c o ss in?
例 9,求 )0(d)c o ss i n(
1
2 baxxbxa
解法 2 c o s,s i n 2222 ba
b
ba
a
令
22 ba?
x
ba
bx
ba
a c o ss i n
2222
sin?cos
原式 )(c o s
d1
222?x
x
ba
Cxba )t a n (1 22?
Cbaxba )a rc t a nt a n (1 22
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 10,求,ds i ns i n1
c o s2c o s
42
3
xxx xx
解,因被积函数关于 cos x 为奇函数,可令,sin xt?
原式 xx 42 s i ns i n1 xxx dc o s)2( c o s
2
xx
x
42
2
sinsin1
)1(si n
42
2
1
d)1(
tt
tt?
3)(
)d(
21
1
t
t
t
t
Ct t 3a rc t a n31
1
Cxx s i n3c o sa rc t a n31
2
xsind
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,简单无理函数的积分
,d),( xbaxxR n令 n bxat
,d),( xxR n dxc bxa令 n dx bxt
被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分,例如,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,d),,( xbaxbaxxR mn
,p bxat令,,的最小公倍数为 nmp
例 11.求,21
d
3 x
x
解,令,23 xu 则原式 u1
23u ud u
u
u d
1
1)1(3 2?
uuu d)1 11(3
3? 221u u? u 1ln? C?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 12.求解,为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,,6tx? 则有原式 23 tttt d6
5
tttt d)1 11(6 2
6? 331t 221t? t? t 1ln? C?
令机动 目录 上页 下页 返回 结束例 13.求,d
11 x
x
x
x
解,令,
1
x
xt
则原式 tt )1( 2 tt
t d
)1(
2
22?
t
t
t d
1
2 2
2
t2 11ln ttC?
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换
2,特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算,
机动 目录 上页 下页 返回 结束简便,
思考与练习如何求下列积分更简便?
解,1,
2323
3
)()(
d
3
1
xa
x原式 C
ax
ax
a
33
33
3 ln6
1 C
ax
ax
a
33
33
3 ln6
1
2,原式?
x
xx
xx d
c o ss i n
c o ss i n
3
22
xx xc o ssi n d xxx dsi nc o s3
xxta nta nd xx3si nsi nd xta nln? Cx 2s i n121
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P218 3,6,8,9,13,
15,17,18,20,21
第五节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 1,求不定积分解,令,
1
xt? 则,故? 1
6
1
t
5
5
1t t?
机动 目录 上页 下页 返回 结束分母次数较高,
宜使用 倒代换,
2.求不定积分解,原式 =
2tan xu?前式令?
2
2
1
13
1
u
u uu d1
2
2
2a rc t a n2
1 u?; 后式配元
)2ta n21a rc ta n (21 x?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
基本积分法,直接积分法 ; 换元积分法 ;
分部积分法
初等函数求导初等函数积分机动 目录 上页 下页 返回 结束一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容,
第 四 章一,有理函数的积分
)(
)()(
xQ
xPxR nnn axaxa110有理函数,
nm?时,为假分式 ; nm? 时,为真分式有理函数 相除 多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为
kk qxpx
NxM
ax
A
)(;
)( 2
)04,N( 2 qpk
若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,将下列真分式分解为部分分式,
解,(1) 用拼凑法
22 )1()1(
1
xxxx 2)1(
1
x )1(
1
xx
2)1(
1
x )1( xx
2)1(
1
x 1
1
x x
1?
)1( xx
)1( xx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 用赋值法
65
3
2
xx
x
)3)(2(
3
xx
x
2 x
A
3 x
B
原式 )2( xA 2?x 23
3
xx
x
5
原式 )3( xB 3?x 32
3
xx
x 6?
故 2
5
x原式 3
6
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3) 混合法?
)1)(21(
1
2xx x
A
21 21 x
CBx
原式 )21( xA 21x 54?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
C 541
215
4
6
1 CB 5
2B
5
1?C
原式 = x21
4
5
1
21
12
x
x
四种典型部分分式的积分,
CaxA ln
)1(?n CaxnA n1)(1
xax A d.1
xax A n d)(.2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xqxpx NxM d.3 2
xqxpx NxM n d)(.4 2
变分子为
)2(2 pxM? 2 pMN
再分项积分例 2,求解,已知
)1)(21(
1
2xx5
1
x21
4
2
2
x
x
21
1
x
xx21 )21(d52原式 2
2
1
)1(d
5
1
x
x?
21
d
5
1
x
x
x21ln52 )1(ln51 2x Cx a rc t a n51
例 1(3) 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求解,原式 xxx d322 3)22(2
1x
32 )32d(21 2
2
xx
xx
32ln21 2 xx
22 )2()1( )1d(3 x x
Cx 2 1a rc t a n23
思考,如何求机动 目录 上页 下页 返回 结束提示,变形方法同例 3,并利用 P209 例 9,
xxx d)4)(1( 22 )4()1( 22 xx
例 4,求
xxx xxI d45 52 24
3
xxx x d45 52 24
2
45 )55d(21 24
24
xx
xx
45ln21 24 xx 2a rc t a n21 x? Cx a rc ta n
解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,
但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法,
例 5,求解,原式 xxx d)22( 22)22(
2 xx )22(
1)1( d 2x x 22
2
)22(
)22d(
xx
xx
)1a r c ta n ( x 22
1
2 xx C?
机动 目录 上页 下页 返回 结束常规 目录 上页 下页 返回 结束例 6,求解,原式 xx d14)1(
2?x )1( 2 x
2
1
1d4x x
(见 P348公式 21)
2a rc t a n22
1 1xx
2
1?
2
1 ln 21 xx
21 xx C?
x
x
x
x d
2
1
2
2
12
1
x
x
x
x d
2
1
2
2
12
1
2)(21 21
xx
)d( 1xx 2)(21 21
xx
)d( 1xx?
注意本题技巧按常规方法较繁二,可化为有理函数的积分举例设 表示三角函数有理式,
xxxR d)c o s,(s i n?
令 2tan xt? 万能代换
t 的有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,三角函数有理式的积分则例 7,求,d)c o s1(sin
sin1?
x
xx
x
解,令,2ta n
xt?
则机动 目录 上页 下页 返回 结束
2
2
2
2
22
c o ssi n
c o ssi n2
si n
xx
xx
x
2
2
2
t a n1
t a n2
x
x
21
2
t
t
2
2
2
2
2
2
2
2
c o ssi n
si nc o s
c o s
xx
xx
x
2
2
2
2
t a n1
t a n1
x
x
2
2
1
1
t
t
xd tt d1
2
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xxx x d)c o s1(si n si n1
21 21 tt
21
2
t
t
)1( 2
2
1
1
t
t
tt d21 2 ttt d
12
2
1?
21 221t t2? tln? C
2ta n4
1 2 x?
2tan
x? Cx
2t a nln2
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 8,求解, 原式
xx d2cos1
222 ta n bxa
222
)(t a n
t a nd1
a
bx
x
a
)t a na rc t a n (1 xbaba? C?
说明,通常求含 xxxx c o ss inc o s,s in 22 及的积分时,xt tan? 往往更方便,
的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束例 9,求,)0(d)c o ss i n(
1
2 baxxbxa
解法 1
xt ta n?令原式
d x
2)ta n( bxa?x2cos
2)( d bta t Cbtaa )( 1
Cxbxaa x )c o ssin( c o s
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xbxa c o ss in?
例 9,求 )0(d)c o ss i n(
1
2 baxxbxa
解法 2 c o s,s i n 2222 ba
b
ba
a
令
22 ba?
x
ba
bx
ba
a c o ss i n
2222
sin?cos
原式 )(c o s
d1
222?x
x
ba
Cxba )t a n (1 22?
Cbaxba )a rc t a nt a n (1 22
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 10,求,ds i ns i n1
c o s2c o s
42
3
xxx xx
解,因被积函数关于 cos x 为奇函数,可令,sin xt?
原式 xx 42 s i ns i n1 xxx dc o s)2( c o s
2
xx
x
42
2
sinsin1
)1(si n
42
2
1
d)1(
tt
tt?
3)(
)d(
21
1
t
t
t
t
Ct t 3a rc t a n31
1
Cxx s i n3c o sa rc t a n31
2
xsind
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,简单无理函数的积分
,d),( xbaxxR n令 n bxat
,d),( xxR n dxc bxa令 n dx bxt
被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分,例如,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,d),,( xbaxbaxxR mn
,p bxat令,,的最小公倍数为 nmp
例 11.求,21
d
3 x
x
解,令,23 xu 则原式 u1
23u ud u
u
u d
1
1)1(3 2?
uuu d)1 11(3
3? 221u u? u 1ln? C?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 12.求解,为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,,6tx? 则有原式 23 tttt d6
5
tttt d)1 11(6 2
6? 331t 221t? t? t 1ln? C?
令机动 目录 上页 下页 返回 结束例 13.求,d
11 x
x
x
x
解,令,
1
x
xt
则原式 tt )1( 2 tt
t d
)1(
2
22?
t
t
t d
1
2 2
2
t2 11ln ttC?
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换
2,特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算,
机动 目录 上页 下页 返回 结束简便,
思考与练习如何求下列积分更简便?
解,1,
2323
3
)()(
d
3
1
xa
x原式 C
ax
ax
a
33
33
3 ln6
1 C
ax
ax
a
33
33
3 ln6
1
2,原式?
x
xx
xx d
c o ss i n
c o ss i n
3
22
xx xc o ssi n d xxx dsi nc o s3
xxta nta nd xx3si nsi nd xta nln? Cx 2s i n121
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P218 3,6,8,9,13,
15,17,18,20,21
第五节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 1,求不定积分解,令,
1
xt? 则,故? 1
6
1
t
5
5
1t t?
机动 目录 上页 下页 返回 结束分母次数较高,
宜使用 倒代换,
2.求不定积分解,原式 =
2tan xu?前式令?
2
2
1
13
1
u
u uu d1
2
2
2a rc t a n2
1 u?; 后式配元
)2ta n21a rc ta n (21 x?
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