第四章微分法,)?()( xF
积分法,)()?( xf
互逆运算不定积分二,基本积分表三、不定积分的性质一,原函数与不定积分的概念第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束不定积分的概念与性质第 四 章一,原函数与不定积分的概念引例,一个质量为 m 的质点,
下沿直线运动,
因此问题转化为,已知,si n)( tm
Atv
求?)(?tv
在变力试求质点的运动速度机动 目录 上页 下页 返回 结束根据牛顿第二定律,加速度定义 1,若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足在区间 I 上的一个原函数,
则称 F (x) 为 f (x)
如引例中,tm
A sin
的原函数有,c o s tm
A,3c o s t
m
A
问题,
1,在什么条件下,一个函数的原函数存在?
2,若原函数存在,它如何表示?
定理 1.
存在原函数,(下章证明 )
初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2,
原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内,
证,1)
又知
])()([ xFx )()( xFx 0)()( xfxf
故 0)()( CxFx )( 0 为某个常数C
即 0)()( CxFx 属于函数族,)( CxF?
机动 目录 上页 下页 返回 结束即定义 2,在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中
— 积分号 ; — 被积函数 ;
— 被积表达式,— 积分变量 ;
(P183)
若 则
( C 为任意常数 )
C 称 为 积分常数不可丢 !
例如, xe x d Ce x?
xx d2 Cx?331
xx dsi n Cx c o s
记作机动 目录 上页 下页 返回 结束不定积分的几何意义,
的原函数的图形称为
xxf d)(? 的图形 的所有积分曲线组成的平行曲线族,
y
xo 0x
机动 目录 上页 下页 返回 结束的 积分曲线,
例 1,设曲线通过点 ( 1,2 ),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程,
解,
所求曲线过点 ( 1,2 ),故有因此所求曲线为 12 xy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
xo
)2,1(
o
x
例 2,质点在距地面 处以初速力,求它的运动规律,
解,取质点运动轨迹为坐标轴,原点在地面,指向朝上,
)0(0 xx?
)(txx?
质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为设时刻 t 质点所在位置为 则
)(dd tvtx? (运动速度 )
t
v
t
x
d
d
d
d
2
2
g
(加速度 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束垂直上抛,不计阻先由此求 )(tv
再由此求 )(tx
先求 由 知
ttv d)()( g 1Ct g
,)0( 0vv?由,01 vC?得
0)( vttv g
再求
tvttx d)()( 0 g 20221 Ctvt g
,)0( 0xx?由,02 xC?得 于是所求运动规律为
00221)( xtvttx g
由 知机动 目录 上页 下页 返回 结束故
o
x
)0(0 xx?
)(txx?
xdd)1(? xxf d)(? )( xf?
二,基本积分表 (P186)
从不定积分定义可知,
d? xxf d)(? xxf d)(?或
Cx d)2( )(xF? )(xF 或 Cd)(xF )(xF
利用逆向思维
xk d)1( ( k 为常数 )Cxk?
xx d)2(? Cx 111
xxd)3( Cx?ln 时0?x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)1(
])l n ([)ln( xxx1?
21 d)4( xx Cx?a rc ta n
xx dc o s)6( Cx?sin
xx2c o sd)8( xx ds e c 2 Cx?ta n
或 Cx c o ta rc
21
d)5(
x
x
Cx?a r c s in或 Cx c o sa rc
xx ds i n)7( Cx c o s
xx2si nd)9( xx dc sc 2 Cx c o t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xxx dt a ns e c)10( Cx?se c
xxx dc o tc s c)11( Cx c s c
xe x d)12( Ce x?
xa x d)13( Ca
a x?
ln
2sh
xx ee
x

Cx?ch
xx dch)15( Cx?sh
xx dsh)14( 2ch
xx ee
x

机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,求解,原式 = xx d3
4
134
Cx 313
例 4,求解,原式 = xx dsin21? Cx c o s21
134x C?
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、不定积分的性质
xxfk d)(.1
xxgxf d)]()([.2
推论,若 则
xxfkxxf i
n
i
i d)(d)(
1

xxf d)
xxgxxf d)(d)(
)0(?k
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,求解,原式 = xe xx d)25)2[(
)2ln (
)2(
e
e x?
2ln
25 x?
Ce
x
x

2ln
5
12ln
2
C?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 6,求解,原式 = xx d)1(se c 2
xxx dds e c 2 Cxx ta n
例 7,求解,原式 =
x
xx
xx d
)1(
)1(
2
2

x
x
d
1
1
2 xd
1
xa rc ta n? Cx ln
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 8,求,d1 2
4
x
x
x?
解,原式 = xx
x d
1
1)1(
2
4

x
x
xx d
1
1)1)(1(
2
22

22 1 dd)1( xxxx
Cxxx a rc t a n31 3
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,不定积分的概念
原函数与不定积分的定义
不定积分的性质
基本积分表 (见 P 186)
2,直接积分法,
利用 恒等变形,及 基本积分公式 进行积分,
常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,?
积分性质机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,证明
2,若
d)(l n2 xxfx
(P191题 4)
提示,xe
xe ln )(ln xf x1
Cx 221
机动 目录 上页 下页 返回 结束提示,
3,若 是 xe? 的原函数,则
xx xf d)(l n
提示,已知 xexf )(
0)( Cexf x
0
1)(l n C
xxf
x
C
xx
xf 0
2
1)(l n
CxCx ln1 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4,若;s in1)( xA? ;s in1)( xB?
的导函数为 则 的一个原函数是 ( ),;c o s1)( xC?,c o s1)( xD?
提示,已知 xxf s in)(
求即
B
)()( xf
xs in)(
或由题意,c o s)( 1Cxxf其原函数为
xxf d)( 21s in CxCx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
5,求下列积分,
提示,
)1(
1
)1(
1)1(
2222 xxxx
xxxx 2222 c o ss i nc o ss i n
1)2(?
xx 22 c s cs e c
xx 22 c o ss in?
22 1
11
x)(
2x? x?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
6,求不定积分解：
)1( 2 xx ee
机动 目录 上页 下页 返回 结束
7,已知 2
2
2
2
1
d1d
1 x
xBxxAx
x
x
求 A,B,
解,等式两边对 x 求导,得
2
2
1 x
x
2
2
2
1
1
x
xAxA
2
1 x
B
2
2
1
2)(
x
xABA




12
0
A
BA

2
1
2
1
B
A
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P190
1 (5),(12),(14),(20),(23),(25),(26) ;
2 ; 3
第二节 目录 上页 下页 返回 结束