第四节一元复合函数求导法则本节内容,
一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分微分法则机动 目录 上页 下页 返回 结束多元复合函数的求导法则第八章一、多元复合函数求导的链式法则定理,若函数 ),( vufz?
处偏导连续,
在点 t 可导,
t
v
v
z
t
u
u
z
t
z
d
d
d
d
d
d?

z
则复合函数证,设 t 取增量△ t,
vvzuuzz )(?o?
则相应中间变量且有链式法则
vu
tt
机动 目录 上页 下页 返回 结束有增量△ u,△ v,
,0,0 vu则有
( 全导数公式 )
t
v
v
z
t
u
u
z
t
z


t
o

)(?
z
vu
tt
))()(( 22 vu
)(o?
(△ t＜ 0 时,根式前加,–”号 )
t
v
t
v
t
u
t
u
d
d,
d
d?

机动 目录 上页 下页 返回 结束
t
v
v
z
t
u
u
z
t
z
d
d
d
d
d
d?


若定理中说明,
例如, ),( vufz
tvtu,
易知,
但复合函数 ),( ttfz?
2
1
d
d?
t
z
t
v
v
z
t
u
u
z
d
d
d
d?

01010
偏导数连续 减弱为偏导数存在,
2
t?
0,2222
2
vuvu vu
,0 022 vu
机动 目录 上页 下页 返回 结束则定理结论 不一定成立,
推广,
1) 中间变量多于两个的情形,例如,,),,( wvufz?
设下面所涉及的函数都可微,
tzdd
321 fff
2) 中间变量是多元函数的情形,例如,
),(,),(,),( yxvyxuvufz
xz 1211 ff
2221 ff
y
z
z
z
wvu
vu
yxyx
ttt
t
u
u
z
d
d?
t
v
v
z
d
d?

t
w
w
z
d
d?

x
u
u
z

x
v
v
z


y
u
u
z

y
v
v
z


机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(,)(,)( twtvtu
又如,),(,),( yxvvxfz
当它们都具有可微条件时,有
x
z
121 ff
y
z
22 f
fz?
x
yx
注意,这里 x
z
x
f
x
z
表示固定 y 对 x 求导,x
f
表示固定 v 对 x 求导口诀,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导
x
f

与 不同,
v
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,设,,,s i n yxvyxuvez u,,y
z
x
z
求解,x
z
ve u sin?
y
z
ve u sin?
x
v
v
z


ve u c o s?
y
v
v
z


ve u c o s?
1?
1?
z
vu
yxyx
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2.,s i n,),,( 2222 yxzezyxfu zyxy
u
x
u
,求解,x
u
2222 zyxex
yxyxeyxx 2422 s i n22 )s in21(2
zyx
yx
u
y
u
2222 zyxey
yxyxeyyxy 2422 s i n4 )c o ss in(2
x
f

2222 zyxez
y
f

y
z
z
f


2222 zyxez
yx sin2?
yx c o s2?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,设,s in tvuz,d
d
t
z
z
tvu
tt
t
z
d
d
tev?
ttte t c o s)s in( c o s
t
u
u
z
d
d?

t
z
求全导数,teu?,co s tv?
解,
tcos?
注意,多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 结束验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号,
为简便起见,引入记号
,,
2
121 vu
ff
u
ff



例 4,设 f 具有二阶连续偏导数,
求,,
2
zx
w
x
w

解,令,,zyxvzyxu
x
w
w
vu
zyx zyx
),( vufw?
zyf 2
),(2 zyxzyxfzy
则
zx
w

2
22221211 )( fyfzyxfzxyf
yxf 12 yxf 22
21,,ff
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(当 在二、三象限时,)
x
ya r c t a n
例 5,设 二阶偏导数连续,求下列表达式在解,已知 u
r
yx yx
极坐标 系下的形式
x
r
r
u

x
u
(1)
,则机动 目录 上页 下页 返回 结束
r
u
r
u?

s i nc o s


y
u
y
r
r
u

222
1
)(1
,
yx
x
yr
y
y
r
x
y
x

r
u
r
u?

c o ssi n


y
u

2
2
222 )(1)()()(




u
rr
u
y
u
x
u
题目 目录 上页 下页 返回 结束
r
y
r
u

2r
xu

u
r
yx yx
已知
r
sin) (?

r
u
r
u?

si nc o s

)( xux 2
2
)2(
x
u
r
u
r
u
x
u?

sinc o s


u
r
yx yx
) (rxu ) ( xu?
r
u
r
u?

si nc o s

2
c o ssi n
r
u


cos r
sin x
u
2
rr
u?2sin
2
c o s) ( r 注意利用已有公式机动 目录 上页 下页 返回 结束
2
2
y
u


2
2
2
2
y
u
x
u
21r?
2
2
x
u
rr
u
r
u
2
2
s i nc o ss i n2


rr
u
r
u
2
2
c o sc o ss i n2


同理可得
2
2
r
u
2
2
2
1
u
r?
2
2
)(


u
r
ur
rr
2
2
2
22
2
2
2 c o sc o ss i n
2s i n
r
u
rr
u
r
u?






题目 目录 上页 下页 返回 结束二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为 y
y
zx
x
zz ddd


yyvvzyuuz d)(
可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,
)dd( yyuxxu )dd( yyvxxv
则复合函数 ) (fz? ),(,),( yxyx
ud vd
都可微,
其全微分表达形式都一样,这性质叫做 全微分形式不变性,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,,,,s in yxvyxuvez u,,y
z
x
z
求例 6,利用全微分形式不变性再解例 1,
解,) (dd?z
)]c o s ()s in ([ yxyxye yx
所以
veu sin
vve u dc o s?
)(d yx )(d yx?
)d(d yx?
xd
yd
)dd( yxxy?
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,复合函数求导的链式法则
“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”
例如,u
vyx
yx;1 2
2,全微分形式不变性不论 u,v 是自变量还是因变量,
vvufuvufz vu d),(d),(d
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习解答提示,
P31 题 7
vz
1?
x
z
y
z

)1(
22 yx
xy

22 vu
u

P31 题 7; 8(2); P73 题 11
机动 目录 上页 下页 返回 结束
……
P31 题 8(2)
xu 1f? 11 fy
yu 1f? 2f
zu 2f?
212
1 f
zfy
x
22 fz
y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
xz 1f? 2f
yx z
2
11f 13f
21f 23f
作业
P31 2; 4; 6; 9; 10; 12(4); 13
P73题 11
第五节 目录 上页 下页 返回 结束备用题
1,已知 求解,由 两边对 x 求导,得机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.
))1,1(,1()1( ff
1)(d
d 3
xxx?
1)1,1( f
1d
d)(3 2
xxx

3? )),(,(1 xxfxf?
)),(,(2 xxfxf 1?x
3 51?
,1)1,1(?f
,)),(,()( xxfxfx
,2
)1,1(
xf
求在点 处可微,且设函数,3
)1,1(
yf
解,由题设
23?)32(?
(2001考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束