第八章第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束一、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数的求导方法本节讨论,
1) 方程在 什么条件 下才能确定隐函数,
例如,方程当 C < 0 时,能确定隐函数 ;
当 C > 0 时,不能确定隐函数 ;
2) 在方程能确定隐函数时,研究其 连续性、可微性及 求导方法 问题,
机动 目录 上页 下页 返回 结束一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理 1,设函数;0),( 00?yxF
则方程单值连续函数 y = f (x),并有连续
y
x
F
F
x
y
d
d
(隐函数求导公式 )
定理证明从略,仅就求导公式推导如下：
① 具有连续的偏导数 ;
的 某邻域内 可唯一确定一个在点 的某一邻域内满足
0),( 00?yxF y
②
③
满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束导数两边对 x 求导
y
x
F
F
x
y
d
d 0?yF在 的某邻域内则机动 目录 上页 下页 返回 结束若 F( x,y ) 的二阶偏导数也都连续,
2
2
d
d
x
y
2
y
xxyyxx
F
FFFF?
3
22 2
y
xyyyxyxyxx
F
FFFFFFF
y
x
F
F?
)(
y
x
F
F
y
)(2
y
x
y
xyyyyx
F
F
F
FFFF
二阶导数,
)(
y
x
F
F
x
x y
xx
y
d
d
则还有机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,验证方程 在点 (0,0)某邻域可 确定一个 单值可导隐函数
0d
d,
0d
d
2
2
xx
y
xx
y
解,令,1s in),( yxeyyxF x
,0)0,0(?F
,yeF xx 连续,
由 定理 1 可知,
1)0,0(?yF 0?
①
导的隐函数则
xyF y c o s
②
③
在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且机动 目录 上页 下页 返回 结束并求
0d
d
xx
y
0 xF
F
y
x
xy?c o s ye x? 0,0 yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0d
d
2
2
xx
y
)c o s(dd xy yex
x
2)c o s(
xy?
3 1
0
0
y
y
x)( ye x )( c o s xy? )( ye x )1s in( yy
0 xy
30
d
d
2
2
x
x
y
)(,01s i n xyyyxey x
两边对 x 求导两边再对 x 求导
yyyy c o s)(s in 2
令 x = 0,注意此时 1,0 yy
)0,0(c o s xy
ye x
导数的另一求法 — 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2,若函数 ),,( zyxF
z
y
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z
,
的某邻域内具有 连续偏导数,
则方程 在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x,y),
定理证明从略,仅就求导公式推导如下,
满足
0),,( 000?zyxF
0),,( 000?zyxF z
① 在点满足,
②
③
某一邻域内可唯一确机动 目录 上页 下页 返回 结束
0)),(,,(?yxfyxF
两边对 x 求偏导
xF
z
x
F
F
x
z
z
y
F
F
y
z
同样可得则
zF? x
z
0?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,设,04222 zzyx
解法 1 利用隐函数求导 0422?
x
z
x
zzx
z
x
x
z
2
2 04 2
2
x
z
2)(1
x
z
.2
2
x
z
求机动 目录 上页 下页 返回 结束再对 x 求导解法 2 利用公式设 zzyxzyxF 4),,( 222
则,2 xF x?
z
x
F
F
x
z
两边对 x 求偏导
)2(2
2
z
x
xx
z
3
22
)2(
)2(
z
xz
2 z
x
z
x
2
42 zF z
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z
x
F
F
x
z
x
z
例 3,设 F( x,y)具有连续偏导数,
解法 1 利用偏导数公式,
y
z
21
2
FyFx
Fz
21
1
FyFx
Fz
yyzxxzz ddd
zF 11
1F )( 2zx 2F )( 2zy?
zF 12
确定的隐函数,
)dd( 21
21
yFxFFyFx z
则
)()( 22 21 z yz x FF
已知方程机动 目录 上页 下页 返回 结束故对方程两边求微分,
1F
)dd(d 21
21
yFxFFyFx zz
)dd( 2
z
zxxz?
z
z
FyFx d
2
21
z
yFxF dd 21
解法 2 微分法,
)d( 2
z
zyyz?
)(d zx 2F 0)(d?zy
1F F 0?
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形,
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
),(
),(
yxvv
yxuu
由 F,G 的偏导数组成的行列式
vu
vu
GG
FF
vu
GFJ?
),(
),(
称为 F,G 的 雅可比 ( Jacobi )行列式,
以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比 目录 上页 下页 返回 结束定理 3.
,0),,,( 0000?vuyxF
的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组 0),,,(,0),,,( vuyxGvuyxF
③
),( 00 yx在点的 单值连续函数 ),,(,),( yxvvyxuu
且有偏导数公式,
① 在点
②
的某一邻域内可 唯一 确定一组满足条件满足,
0),( ),(
Pvu
GF
PJ;0),,,( 0000?vuyxG
导数；
,),( 000 yxuu?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
),( 000 yxvv?
),(
),(1
vx
GF
Jx
u
),(
),(1
vy
GF
Jy
u
),(
),(1
xu
GF
Jx
v
),(
),(1
yu
GF
Jy
v
定理证明略,
仅推导偏导数公式如下：
v
v
vu
vu G
F
GG
FF
1
v
v
vu
vu G
F
GG
FF
1
u
u
vu
vu G
F
GG
FF
1
u
u
vu
vu G
F
GG
FF
1
(P34-P35)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
x
G
F
y
y
G
F
x
x
G
F
y
y
G
F
,,的线性方程组这是关于 xvxu
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
有隐函数组 则两边对 x 求导得设方程组
,0
vu
vu
GG
FFJ 在点 P 的某邻域内
xu xv
x
u
x
v
xF uF? vF? 0?
xG uG? vG? 0?
公式 目录 上页 下页 返回 结束故得系数行列式同样可得
),(
),(1
vy
GF
Jy
u
机动 目录 上页 下页 返回 结束
),(
),(1
vx
GF
Jx
u
),(
),(1
xu
GF
Jx
v
),(
),(1
yu
GF
Jy
v
例 4,设,1,0 vxuyvyux,,,,y
v
x
v
y
u
x
u
解,
xy
yxJ
Jx
u 1?
22 yx
vxuy
y
u
方程组两边对 x 求导，并移项得求
vxvxxuy
xv
yu
22 yx
vyux
Jx
v 1?
22 yx
uyvx
练习,求 y
v
y
u
,uxvyxux
022 yx
22 yx
vyux
y
v
机动 目录 上页 下页 返回 结束答案,
由题设故有例 5.设函数 在点 (u,v) 的某一
1) 证明函数组
( x,y) 的某一邻域内
2) 求解,1) 令 0),(),,,( vuxxvuyxF
0),(),,,( vuyyvuyxG
对 x,y 的偏导数,
在与点 (u,v) 对应的点邻域内有连续的偏导数,且唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数机动 目录 上页 下页 返回 结束
① 式两边对 x 求导,得
uy0 xvxu
1 x
u
x
v
u
x?
v
x
vy
机动 目录 上页 下页 返回 结束则有 ),(
),(
vu
GFJ
,0
),(
),(?
vu
yx
由 定理 3 可知结论 1) 成立,
2) 求反函数的偏导数,
①
②
,0?J注意
v
y
v
x
J
0
1
1
xuxv,1 vyJ uyJ 1 0
1
1
u
y
u
x
J
机动 目录 上页 下页 返回 结束从方程组 ② 解得同理,① 式两边对 y 求导,可得
,1 vxJyu uxJyv 1
,0?J注意
v
y
v
x
J
0
1
1
xu
xv
,1 vyJ
u
y
J?
10
1
1
u
y
u
x
J
机动 目录 上页 下页 返回 结束从方程组 ② 解得同理,① 式两边对 y 求导,可得
,1 vxJyu uxJyv 1
xu
x
v
例 5的应用,计算极坐标变换 s in,c o s ryrx
的反变换的导数,
x
r
x?
同样有 22 yx
y
y
r
22
yx
x
y
所以由于
v
y
J?
1
u
y
J?
1
c o s1 rr?
si n1r
r?
y
J
1
cos? 22 yx
x
r
y
J?
1
22 yx
y
r
r
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,隐函数 ( 组 ) 存在定理
2,隐函数 ( 组 ) 求导方法方法 1,利用复合函数求导法则直接计算 ;
方法 2,利用微分形式不变性 ;
方法 3,代公式思考与练习设 求机动 目录 上页 下页 返回 结束
z
x
提示,),( zyxzyxfz
xz 1fxz 1 2fxzyxzy
x
z
21 fzyf
211 fyxf
1 1f1 zx 2fyxzxzy
211 fyxf
21 fzyf
y
x
0 1f1
y
x
2fzxy
xzy?
21 fzxf
21 fzyf
机动 目录 上页 下页 返回 结束
),( zyxzyxfz
解法 2,利用全微分形式不变性同时求出各偏导数,
,yx
zd
1fzyx ddd 2f
zyxyzxxzy ddd
:d x解出 d?x
21 fzyf
zfyxf d1 21 yfzxf d21
作业
P37 3,6,7,9,10(1); (3),11
.zx
第六节 目录 上页 下页 返回 结束由 d y,d z 的系数即可得
,2 yxe yx
备用题分别由下列两式确定,又函数有连续的一阶偏导数,1,设解,两个隐函数方程两边对 x 求导,得
321 )s i n ( )(1dd fzx zxefxyfxu
x
u
zyx
x x
)s i n (
)(1
zx
zxez x
,dsi n0 tt te zxx (2001考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束解得因此
)1( y
2,设 是由方程 和所确定的函数,求解法 1 分别在各方程两端对 x 求导,得
)0( zy FfxF
zy
xy
FfxF
FfxFfxf
)(
xzdd
1
zy FF
fx
xy FF
fxffx
(99考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束解法 2 微分法,
0),,(),( zyxFyxfxz
对各方程两边分别求微分,
化简得消去 yd,d
d
x
z yF d2
yfx d
机动 目录 上页 下页 返回 结束可得
1) 方程在 什么条件 下才能确定隐函数,
例如,方程当 C < 0 时,能确定隐函数 ;
当 C > 0 时,不能确定隐函数 ;
2) 在方程能确定隐函数时,研究其 连续性、可微性及 求导方法 问题,
机动 目录 上页 下页 返回 结束一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理 1,设函数;0),( 00?yxF
则方程单值连续函数 y = f (x),并有连续
y
x
F
F
x
y
d
d
(隐函数求导公式 )
定理证明从略,仅就求导公式推导如下：
① 具有连续的偏导数 ;
的 某邻域内 可唯一确定一个在点 的某一邻域内满足
0),( 00?yxF y
②
③
满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束导数两边对 x 求导
y
x
F
F
x
y
d
d 0?yF在 的某邻域内则机动 目录 上页 下页 返回 结束若 F( x,y ) 的二阶偏导数也都连续,
2
2
d
d
x
y
2
y
xxyyxx
F
FFFF?
3
22 2
y
xyyyxyxyxx
F
FFFFFFF
y
x
F
F?
)(
y
x
F
F
y
)(2
y
x
y
xyyyyx
F
F
F
FFFF
二阶导数,
)(
y
x
F
F
x
x y
xx
y
d
d
则还有机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,验证方程 在点 (0,0)某邻域可 确定一个 单值可导隐函数
0d
d,
0d
d
2
2
xx
y
xx
y
解,令,1s in),( yxeyyxF x
,0)0,0(?F
,yeF xx 连续,
由 定理 1 可知,
1)0,0(?yF 0?
①
导的隐函数则
xyF y c o s
②
③
在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且机动 目录 上页 下页 返回 结束并求
0d
d
xx
y
0 xF
F
y
x
xy?c o s ye x? 0,0 yx
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0d
d
2
2
xx
y
)c o s(dd xy yex
x
2)c o s(
xy?
3 1
0
0
y
y
x)( ye x )( c o s xy? )( ye x )1s in( yy
0 xy
30
d
d
2
2
x
x
y
)(,01s i n xyyyxey x
两边对 x 求导两边再对 x 求导
yyyy c o s)(s in 2
令 x = 0,注意此时 1,0 yy
)0,0(c o s xy
ye x
导数的另一求法 — 利用隐函数求导机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2,若函数 ),,( zyxF
z
y
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z
,
的某邻域内具有 连续偏导数,
则方程 在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x,y),
定理证明从略,仅就求导公式推导如下,
满足
0),,( 000?zyxF
0),,( 000?zyxF z
① 在点满足,
②
③
某一邻域内可唯一确机动 目录 上页 下页 返回 结束
0)),(,,(?yxfyxF
两边对 x 求偏导
xF
z
x
F
F
x
z
z
y
F
F
y
z
同样可得则
zF? x
z
0?
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,设,04222 zzyx
解法 1 利用隐函数求导 0422?
x
z
x
zzx
z
x
x
z
2
2 04 2
2
x
z
2)(1
x
z
.2
2
x
z
求机动 目录 上页 下页 返回 结束再对 x 求导解法 2 利用公式设 zzyxzyxF 4),,( 222
则,2 xF x?
z
x
F
F
x
z
两边对 x 求偏导
)2(2
2
z
x
xx
z
3
22
)2(
)2(
z
xz
2 z
x
z
x
2
42 zF z
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z
x
F
F
x
z
x
z
例 3,设 F( x,y)具有连续偏导数,
解法 1 利用偏导数公式,
y
z
21
2
FyFx
Fz
21
1
FyFx
Fz
yyzxxzz ddd
zF 11
1F )( 2zx 2F )( 2zy?
zF 12
确定的隐函数,
)dd( 21
21
yFxFFyFx z
则
)()( 22 21 z yz x FF
已知方程机动 目录 上页 下页 返回 结束故对方程两边求微分,
1F
)dd(d 21
21
yFxFFyFx zz
)dd( 2
z
zxxz?
z
z
FyFx d
2
21
z
yFxF dd 21
解法 2 微分法,
)d( 2
z
zyyz?
)(d zx 2F 0)(d?zy
1F F 0?
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形,
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
),(
),(
yxvv
yxuu
由 F,G 的偏导数组成的行列式
vu
vu
GG
FF
vu
GFJ?
),(
),(
称为 F,G 的 雅可比 ( Jacobi )行列式,
以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比 目录 上页 下页 返回 结束定理 3.
,0),,,( 0000?vuyxF
的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组 0),,,(,0),,,( vuyxGvuyxF
③
),( 00 yx在点的 单值连续函数 ),,(,),( yxvvyxuu
且有偏导数公式,
① 在点
②
的某一邻域内可 唯一 确定一组满足条件满足,
0),( ),(
Pvu
GF
PJ;0),,,( 0000?vuyxG
导数；
,),( 000 yxuu?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
),( 000 yxvv?
),(
),(1
vx
GF
Jx
u
),(
),(1
vy
GF
Jy
u
),(
),(1
xu
GF
Jx
v
),(
),(1
yu
GF
Jy
v
定理证明略,
仅推导偏导数公式如下：
v
v
vu
vu G
F
GG
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1
v
v
vu
vu G
F
GG
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1
u
u
vu
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F
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1
u
u
vu
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F
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1
(P34-P35)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x
x
G
F
y
y
G
F
x
x
G
F
y
y
G
F
,,的线性方程组这是关于 xvxu
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
有隐函数组 则两边对 x 求导得设方程组
,0
vu
vu
GG
FFJ 在点 P 的某邻域内
xu xv
x
u
x
v
xF uF? vF? 0?
xG uG? vG? 0?
公式 目录 上页 下页 返回 结束故得系数行列式同样可得
),(
),(1
vy
GF
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u
机动 目录 上页 下页 返回 结束
),(
),(1
vx
GF
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u
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),(1
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),(
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yu
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例 4,设,1,0 vxuyvyux,,,,y
v
x
v
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u
x
u
解,
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Jx
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22 yx
vxuy
y
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方程组两边对 x 求导，并移项得求
vxvxxuy
xv
yu
22 yx
vyux
Jx
v 1?
22 yx
uyvx
练习,求 y
v
y
u
,uxvyxux
022 yx
22 yx
vyux
y
v
机动 目录 上页 下页 返回 结束答案,
由题设故有例 5.设函数 在点 (u,v) 的某一
1) 证明函数组
( x,y) 的某一邻域内
2) 求解,1) 令 0),(),,,( vuxxvuyxF
0),(),,,( vuyyvuyxG
对 x,y 的偏导数,
在与点 (u,v) 对应的点邻域内有连续的偏导数,且唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数机动 目录 上页 下页 返回 结束
① 式两边对 x 求导,得
uy0 xvxu
1 x
u
x
v
u
x?
v
x
vy
机动 目录 上页 下页 返回 结束则有 ),(
),(
vu
GFJ
,0
),(
),(?
vu
yx
由 定理 3 可知结论 1) 成立,
2) 求反函数的偏导数,
①
②
,0?J注意
v
y
v
x
J
0
1
1
xuxv,1 vyJ uyJ 1 0
1
1
u
y
u
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机动 目录 上页 下页 返回 结束从方程组 ② 解得同理,① 式两边对 y 求导,可得
,1 vxJyu uxJyv 1
,0?J注意
v
y
v
x
J
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1
1
xu
xv
,1 vyJ
u
y
J?
10
1
1
u
y
u
x
J
机动 目录 上页 下页 返回 结束从方程组 ② 解得同理,① 式两边对 y 求导,可得
,1 vxJyu uxJyv 1
xu
x
v
例 5的应用,计算极坐标变换 s in,c o s ryrx
的反变换的导数,
x
r
x?
同样有 22 yx
y
y
r
22
yx
x
y
所以由于
v
y
J?
1
u
y
J?
1
c o s1 rr?
si n1r
r?
y
J
1
cos? 22 yx
x
r
y
J?
1
22 yx
y
r
r
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,隐函数 ( 组 ) 存在定理
2,隐函数 ( 组 ) 求导方法方法 1,利用复合函数求导法则直接计算 ;
方法 2,利用微分形式不变性 ;
方法 3,代公式思考与练习设 求机动 目录 上页 下页 返回 结束
z
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x
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211 fyxf
1 1f1 zx 2fyxzxzy
211 fyxf
21 fzyf
y
x
0 1f1
y
x
2fzxy
xzy?
21 fzxf
21 fzyf
机动 目录 上页 下页 返回 结束
),( zyxzyxfz
解法 2,利用全微分形式不变性同时求出各偏导数,
,yx
zd
1fzyx ddd 2f
zyxyzxxzy ddd
:d x解出 d?x
21 fzyf
zfyxf d1 21 yfzxf d21
作业
P37 3,6,7,9,10(1); (3),11
.zx
第六节 目录 上页 下页 返回 结束由 d y,d z 的系数即可得
,2 yxe yx
备用题分别由下列两式确定,又函数有连续的一阶偏导数,1,设解,两个隐函数方程两边对 x 求导,得
321 )s i n ( )(1dd fzx zxefxyfxu
x
u
zyx
x x
)s i n (
)(1
zx
zxez x
,dsi n0 tt te zxx (2001考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束解得因此
)1( y
2,设 是由方程 和所确定的函数,求解法 1 分别在各方程两端对 x 求导,得
)0( zy FfxF
zy
xy
FfxF
FfxFfxf
)(
xzdd
1
zy FF
fx
xy FF
fxffx
(99考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束解法 2 微分法,
0),,(),( zyxFyxfxz
对各方程两边分别求微分,
化简得消去 yd,d
d
x
z yF d2
yfx d
机动 目录 上页 下页 返回 结束可得
