三、一般迭代法 (补充 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束第八节的实根求方程 0)(?xf
可求精确根无法求精确根 求近似根两种情形
(有时计算很繁 )
本节内容,
一、根的隔离与二分法二、牛顿切线法及其变形方程的近似解第 三 章机动 目录 上页 下页 返回 结束一、根的隔离与二分法
，内只有一个根在若方程 ],[0)( baxf?
内严格单调）（在且 baxf,)(
为则称 ],[ ba.其隔根区间
,0)()(,],[)( bfafbaCxf 为隔根区间],[ ba
(1) 作图法
1,求隔根区间的一般方法;)( 估计隔根区间的草图由 xfy
转化为等价方程将 0)( xf
xo
y
)(xfy?
xo
y
.)(,)( 的草图估计隔根区间由 xyxy
a b
)()( xxa b
)(xy )(y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 逐步收索法
01,3 xx方程例如 13 xx
由图可见只有一个实根,)5.1,1(
可转化为
.)5.1,1( 即为其隔根区间
,],[ 的左端点出发从区间 ba以定步长 h 一步步向右搜索,若 0))1(()( hjafjhaf
))1(;,1,0( bhjaj
.])1([ 内必有根，则区间 hjajha
搜索过程也可从 b开始,取步长 h < 0,
xo
y
21?
3xy?
1 xy
1a 1b
2,二分法
，设 ],[)( baCxf?,0)()(?bfaf 只有且方程 0)(?xf
，一个根 ),( ba取中点,21 ba
1?，若 0)( 1f,1 即为所求根则
，若 0)()( 1faf,),( 1 a?则根 ;,111 baa令
,),( 1 b否则对新的隔根区间 ],[ 11 ba 重复以上步骤,反复进行,得
,,111 bba令
],[],[],[ 11 nn bababa
的中点若取 ],[ nn ba
则误差满足 )(211 nnn ab )(12 1 abn
a b
)(211 nnn ba,的近似根作为?
0n
1a 1b
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,用二分法求方程 04.19.01.1 23 xxx 的近似实根时,要使误差不超过,10 3? 至少应对分区间多少次?
解,设,4.19.01.1)( 23 xxxxf ),()( Cxf则
9.02.23)( 2 xxxf? )067.5(0?
,),()( 单调递增在 xf 又
,04.1)0(f 06.1)1(f
故该方程只有一个实根?,,]1,0[ 为其一个隔根区间欲使
)01(12 11 nn 310
必需,1 0 0 02 1n 即 11 0 0 0lo g 2n 96.8?
可见只要对分区间 9次,即可得满足要求的实根近似值 10?
(计算结果见“高等数学” (上册 ) P177～ 178)
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、牛顿切线法及其变形
:)( 满足xf
0)()(,],[)1?bfafba 上连续在不变号及上在 )()(],[)2 xfxfba
.),(0)(?内有唯一的实根在方程 baxf?
有如下四种情况,
xba
y
o xba
y
o xba
y
o x
bayo
0
0
f
f
0
0
f
f
0
0
f
f
0
0
f
f
机动 目录 上页 下页 返回 结束牛顿切线法的基本思想,
程的近似根,
记纵坐标与 )(xf 同号的端点为
,))(,( 00 xfx
用切线近似代替曲线弧求方
y
xbao 1x 0x在此点作切线,其方程为 ))(()(
000 xxxfxfy
令 y = 0 得它与 x 轴的交点,)0,( 1x )(
)(
0
0
01 xf
xfxx
其中再在点 ))(,( 11 xfx 作切线,可得近似根,2x
如此继续下去,可得求近似根的迭代公式,
)(
)(
1
1
1
n
n
nn xf
xfxx
),2,1(n
2x
称为 牛顿迭代公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束牛顿法的误差估计,
)(
)(
1
1
1
n
n
nn xf
xfxx
由微分中值定理得
))(()()( nn xffxf
y
xbao 1x 0x2x?
,0)(f? )(
)(
f
xfx n
n
,0? 则得 m
xfx n
n
)(
说明,用牛顿法时,若过纵坐标与 )(xf 异号的端点作切线,则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在,],[ 内ba
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)(m in ],[ xfm ba记牛顿法的变形,
(1) 简化牛顿法若用一常数代替
y
xbao?
,)( 1 nxf 即用平行
,)()( 10 nxfxf 代替例如用则得简化牛顿迭代公式,线代替切线,
得
)(
)(
0
1
1 xf
xfxx n
nn
),2,1(n
优点,,避免每次计算 )( 1 nxf因而节省计算量,
缺点,逼近根的速度慢一些,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
xo?0x 1x
(2) 割线法为避免求导运算,
,)( 1 nxf
用割线代替切线,
21
21 )()(
nn
nn
x
xfxf
例如用差商 代替从而得迭代公式,
)()()( )( 21
21
1
1
nn
nn
n
nn xxxfxf
xfxx
2x 3x
(双点割线法 )
),3,2(n
特点,逼近根的速度快于简化牛顿法,但慢于牛顿法,
说明,若将上式中,02 xx n 换为? 则为单点割线法,逼近根的速度与简化牛顿法相当,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,用切线法求方程 0742 23 xxx 的近似解,使误差不超过 0.01,
解,,742)( 23 xxxxf设
y
xo 34由草图可见方程有唯一的正实根?,且
9)4(,10)3( ff
.]43[ 为一隔根区间，因此上，由于在 ]43[
443)( 2 xxxf )2)(23( xx0?
46)( xxf )23(2 x0?
)(m in ]4,3[ xfm 11)3( f
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y
xo 34
,40?x故取 得
)4(
)4(4
1 f
fx
28
94 68.3?
而 m
xfx )( 1
111
03.1? 09.0?
，精度不够故 1x 再求
)68.3(
)68.3(68.3
2 f
fx
9.21
03.1.3 63.3?
m
xfx )( 2
211
0 42.0? 01.0004.0
因此得满足精度要求的近似解 63.3
机动 目录 上页 下页 返回 结束三,一般迭代法 (补充 )
,)(0)( xxxf 转化为等价方程将方程 在隔根区
,0x间内任取一点 按递推公式
),2,1()( 1 nxx nn?
,nx生成数列,l i m nn x若 则?即为原方程的根,
①
① 称为迭代格式,,)( 称为迭代函数x? 称为迭代0x
,lim 存在称迭代收敛若 nn x
初值,
否则称为发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,用迭代法求方程,]2,1[013 内的实根在 xx
解法 1 将方程变形为,13 xx 迭代格式为
,13 1nn xx 5.0?x取
1 2 3?n
nx
0
5.1 375.2 396.12 779.1903? 发散 !
解法 2 将方程变形为,13 xx 迭代格式为
,13 1nn xx 5.10?取
1 2?n
nx
0
5.1 35721.1 33086.1?
7 8
32472.1 32472.1
迭代收敛,1.32472 为计算精度范围内的所求根,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理,,],[)( 上满足在区间方程 baxx
bxaxx )()(1 且，连续）
1)()(2 Lxx 且，存在）
，上有唯一解在方程） ],[)(1 baxx?
n
nn xx
bax
)(
],[2
1
0）
(证明略 )
迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关,
机动 目录 上页 下页 返回 结束可以证明下述定理,
内容小结
1,隔根方法 作图法二分法
2,求近似根的方法二分法牛顿切线法简化牛顿法割线法一般迭代法思考与练习比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点,
……
作业
(习题 3-8)
P180 1 ; 3
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
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可求精确根无法求精确根 求近似根两种情形
(有时计算很繁 )
本节内容,
一、根的隔离与二分法二、牛顿切线法及其变形方程的近似解第 三 章机动 目录 上页 下页 返回 结束一、根的隔离与二分法
，内只有一个根在若方程 ],[0)( baxf?
内严格单调）（在且 baxf,)(
为则称 ],[ ba.其隔根区间
,0)()(,],[)( bfafbaCxf 为隔根区间],[ ba
(1) 作图法
1,求隔根区间的一般方法;)( 估计隔根区间的草图由 xfy
转化为等价方程将 0)( xf
xo
y
)(xfy?
xo
y
.)(,)( 的草图估计隔根区间由 xyxy
a b
)()( xxa b
)(xy )(y
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(2) 逐步收索法
01,3 xx方程例如 13 xx
由图可见只有一个实根,)5.1,1(
可转化为
.)5.1,1( 即为其隔根区间
,],[ 的左端点出发从区间 ba以定步长 h 一步步向右搜索,若 0))1(()( hjafjhaf
))1(;,1,0( bhjaj
.])1([ 内必有根，则区间 hjajha
搜索过程也可从 b开始,取步长 h < 0,
xo
y
21?
3xy?
1 xy
1a 1b
2,二分法
，设 ],[)( baCxf?,0)()(?bfaf 只有且方程 0)(?xf
，一个根 ),( ba取中点,21 ba
1?，若 0)( 1f,1 即为所求根则
，若 0)()( 1faf,),( 1 a?则根 ;,111 baa令
,),( 1 b否则对新的隔根区间 ],[ 11 ba 重复以上步骤,反复进行,得
,,111 bba令
],[],[],[ 11 nn bababa
的中点若取 ],[ nn ba
则误差满足 )(211 nnn ab )(12 1 abn
a b
)(211 nnn ba,的近似根作为?
0n
1a 1b
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,用二分法求方程 04.19.01.1 23 xxx 的近似实根时,要使误差不超过,10 3? 至少应对分区间多少次?
解,设,4.19.01.1)( 23 xxxxf ),()( Cxf则
9.02.23)( 2 xxxf? )067.5(0?
,),()( 单调递增在 xf 又
,04.1)0(f 06.1)1(f
故该方程只有一个实根?,,]1,0[ 为其一个隔根区间欲使
)01(12 11 nn 310
必需,1 0 0 02 1n 即 11 0 0 0lo g 2n 96.8?
可见只要对分区间 9次,即可得满足要求的实根近似值 10?
(计算结果见“高等数学” (上册 ) P177～ 178)
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、牛顿切线法及其变形
:)( 满足xf
0)()(,],[)1?bfafba 上连续在不变号及上在 )()(],[)2 xfxfba
.),(0)(?内有唯一的实根在方程 baxf?
有如下四种情况,
xba
y
o xba
y
o xba
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0
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0
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机动 目录 上页 下页 返回 结束牛顿切线法的基本思想,
程的近似根,
记纵坐标与 )(xf 同号的端点为
,))(,( 00 xfx
用切线近似代替曲线弧求方
y
xbao 1x 0x在此点作切线,其方程为 ))(()(
000 xxxfxfy
令 y = 0 得它与 x 轴的交点,)0,( 1x )(
)(
0
0
01 xf
xfxx
其中再在点 ))(,( 11 xfx 作切线,可得近似根,2x
如此继续下去,可得求近似根的迭代公式,
)(
)(
1
1
1
n
n
nn xf
xfxx
),2,1(n
2x
称为 牛顿迭代公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束牛顿法的误差估计,
)(
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由微分中值定理得
))(()()( nn xffxf
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xbao 1x 0x2x?
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说明,用牛顿法时,若过纵坐标与 )(xf 异号的端点作切线,则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在,],[ 内ba
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)(m in ],[ xfm ba记牛顿法的变形,
(1) 简化牛顿法若用一常数代替
y
xbao?
,)( 1 nxf 即用平行
,)()( 10 nxfxf 代替例如用则得简化牛顿迭代公式,线代替切线,
得
)(
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0
1
1 xf
xfxx n
nn
),2,1(n
优点,,避免每次计算 )( 1 nxf因而节省计算量,
缺点,逼近根的速度慢一些,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
xo?0x 1x
(2) 割线法为避免求导运算,
,)( 1 nxf
用割线代替切线,
21
21 )()(
nn
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例如用差商 代替从而得迭代公式,
)()()( )( 21
21
1
1
nn
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xfxx
2x 3x
(双点割线法 )
),3,2(n
特点,逼近根的速度快于简化牛顿法,但慢于牛顿法,
说明,若将上式中,02 xx n 换为? 则为单点割线法,逼近根的速度与简化牛顿法相当,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,用切线法求方程 0742 23 xxx 的近似解,使误差不超过 0.01,
解,,742)( 23 xxxxf设
y
xo 34由草图可见方程有唯一的正实根?,且
9)4(,10)3( ff
.]43[ 为一隔根区间，因此上，由于在 ]43[
443)( 2 xxxf )2)(23( xx0?
46)( xxf )23(2 x0?
)(m in ]4,3[ xfm 11)3( f
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
xo 34
,40?x故取 得
)4(
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1 f
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28
94 68.3?
而 m
xfx )( 1
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03.1? 09.0?
，精度不够故 1x 再求
)68.3(
)68.3(68.3
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9.21
03.1.3 63.3?
m
xfx )( 2
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0 42.0? 01.0004.0
因此得满足精度要求的近似解 63.3
机动 目录 上页 下页 返回 结束三,一般迭代法 (补充 )
,)(0)( xxxf 转化为等价方程将方程 在隔根区
,0x间内任取一点 按递推公式
),2,1()( 1 nxx nn?
,nx生成数列,l i m nn x若 则?即为原方程的根,
①
① 称为迭代格式,,)( 称为迭代函数x? 称为迭代0x
,lim 存在称迭代收敛若 nn x
初值,
否则称为发散,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,用迭代法求方程,]2,1[013 内的实根在 xx
解法 1 将方程变形为,13 xx 迭代格式为
,13 1nn xx 5.0?x取
1 2 3?n
nx
0
5.1 375.2 396.12 779.1903? 发散 !
解法 2 将方程变形为,13 xx 迭代格式为
,13 1nn xx 5.10?取
1 2?n
nx
0
5.1 35721.1 33086.1?
7 8
32472.1 32472.1
迭代收敛,1.32472 为计算精度范围内的所求根,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理,,],[)( 上满足在区间方程 baxx
bxaxx )()(1 且，连续）
1)()(2 Lxx 且，存在）
，上有唯一解在方程） ],[)(1 baxx?
n
nn xx
bax
)(
],[2
1
0）
(证明略 )
迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关,
机动 目录 上页 下页 返回 结束可以证明下述定理,
内容小结
1,隔根方法 作图法二分法
2,求近似根的方法二分法牛顿切线法简化牛顿法割线法一般迭代法思考与练习比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点,
……
作业
(习题 3-8)
P180 1 ; 3
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