第六节一,曲线的渐近线二,函数图形的描绘机动 目录 上页 下页 返回 结束函数图形的描绘第 三 章无渐近线,
点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,
一,曲线的渐近线定义,若曲线 C上的点 M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L 为曲线 C 的 渐近线,
例如,双曲线有渐近线 0 b
y
a
x
但抛物线或为,纵坐标差”
NL
bxky
M
x
y
o
C
)(xfy?
P
x
y
o
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,水平与铅直渐近线若 则曲线 有水平渐近线,by?
)(x或若 则曲线 有垂直渐近线,0xx?
)( 0 xx或例 1,求曲线 的渐近线,
解,2)21
1(l i m
xx?
2 y 为水平渐近线 ;
,)211(lim
1

xx
1 x 为垂直渐近线,
2
1
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2,斜渐近线斜渐近线,bxky)(x或若 )( bxk?
0])([lim
x
bk
x
xfx
x
)( bxk?
0])([lim
x
bk
x
xf
x
])([l i m xbx xfk
x


x
xfk
x
)(lim


])([li m xkxfb x
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)(x或
)(x或
( P75 题 13)
例 2,求曲线 的渐近线,
解,,)1)(3(
3
xx
xy?
,lim 3 yx
)1(?x或所以有铅直渐近线 3x 及 1?x
又因 x
xfk
x
)(l i m

32l i m 2
2

xx
x
x
])([li m xxfb x 32
32l i m
2
2


xx
xx
x
2 xy为曲线的斜渐近线,
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3? 1
2 xy
二、函数图形的描绘步骤,
1,确定函数 的定义域,
期性 ;
2,求 并求出 及
3,列表判别增减及凹凸区间,求出极值和拐点 ;
4,求渐近线 ;
5,确定某些特殊点,描绘函数图形,
为 0 和不存在的点 ;
并考察其对称性及周机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,描绘 的图形,
解,1) 定义域为 无对称性及周期性,
2),22 xxy,22 xy
,0y令
,0y令
3) x
y?
y?y
0 1 2)0,( )1,0( )2,1( ),2(0 0

2 34
(极大 ) (拐点）
32
(极小 )
4) xy 1? 332 2
0
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1 2 31?
例 4,描绘方程 的图形,
解,1),)1(4
)3( 2

x
xy
定义域为
2) 求关键点
)3(2?x? y4 044 yxy
)1(2
23

x
yxy
y 42? 048 yxy
)1(2
41

x
yy
得令 0y ;3,1?x
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1? 1 3)1,( )1,1(? )3,1( ),3(xy?
y?
y


2? 0
,)1(4 )3(
2

x
xy,
)1(4
)1)(3(
2?

x
xxy
3)1
2

x
y
3) 判别曲线形态
0 0
(极大 ) (极小 )
4) 求渐近线,lim
1 yx? 为铅直渐近线无定义机动 目录 上页 下页 返回 结束
1x
又因 x
y
x
lim,41? 41?k即
)41(lim xyb
x


]41)1(4 )3([l i m
2
xxx
x


)1(4
95l i m

x
x
x 4
5
)1(4
)3( 2

x
xy
5) 求特殊点 x
y
0
4
9? 2
4
1
为斜渐近线 4
5
4
1 xy
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2)1(4
)1)(3(

x
xxy
3)1(
2

x
y
6）绘图
(极大 ) (极小 )
斜渐近线
1?x铅直渐近线
4
5
4
1 xy
特殊点
11? 30 2
)1(4
)3( 2

x
xy
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2? 无定义
x
y
1? 1 3)1,( )1,1(? )3,1( ),3(
0
x
y
0
4
9? 2
4
1
例 5,描绘函数 的图形,
解,1) 定义域为 图形对称于 y 轴,
2) 求关键点
y?2
1?,
2
2xexy
2
1?
2
2xe?
)1( 2x?
得令 0y ;0x 得令 0y 1x
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21
0 0
e?21
x
y?
y?
y
10 )1,0( ),1(
3) 判别曲线形态
(极大 ) (拐点 )
(极大 ) (拐点 )
0lim yx
0 y 为水平渐近线
5) 作图
4) 求渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束

21
0 0
e?21
x
y?
y?
y
10 )1,0( ),1(
2
2
2
1 xey
x
y
o
BA 2
1
水平渐近线 ; 垂直渐近线 ;
内容小结
1,曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2,函数图形的描绘机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,曲线
)(
1
1
2
2
x
x
e
ey

(A) 没有渐近线； (B) 仅有水平渐近线；
(C) 仅有铅直渐近线；
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线,
提示,;1
1
1lim
2
2
x
x
x e
e
2
2
1
1l i m
0 x
x
x e
e
D
机动 目录 上页 下页 返回 结束拐点为,
凸区间是,),( 21
)1,( 2121 e
2,曲线 21 xey 的凹区间是,
提示,
)21(2 22 xey x
),( 2121?
),( 21 及渐近线,1?y
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y
o x
1
)1,( 2121 e)1,( 2121 e
P75 13 (2);
P166 2 ; 5
作业第七节 目录 上页 下页 返回 结束备用题 求笛卡儿叶形线 yxayx 333 的渐近线,
解,令 y = t x,代入原方程得曲线的参数方程,
x,1
3
3t
ta
y 3
2
1
3
t
ta
,1 tx 时当因
x
y
x
lim 1lim t 3
2
1
3
t
ta
31
3
t
ta
1
)(lim xyx1lim t 3
2
1
3
t
ta
31
3
t
ta
)1)(1(
)1(3
1 2l i m ttt
tta
t
a
所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 axy
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1t
31
3
t
atx

3
2
1
3
t
aty
笛卡儿叶形线
1t
参数的几何意义,?ta n?t
),()1,( 42t
图形在第四象限 ],(]0,1(
43t
图形在第二象限 ),0[),0[
2t
图形在第一象限点击图中任意点动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束