第六节一、空间直线方程二、线面间的位置关系机动 目录 上页 下页 返回 结束空间直线及其方程第 七 章一、空间直线方程
x
y
z
o
01111 DzCyBxA
1?
2?
L
因此其一般式方程
1,一般式方程直线可视为两平面交线，
(不唯一 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
),,( 0000 zyxM
2,对称式方程故有说明,某些分母为零时,其分子也理解为零,
m
xx 0?

0
0
yy
xx
设直线上的动点为则
),,( zyxM
n
yy 0
p
zz 0
此式称为直线的 对称式方程 (也称为 点向式方程 )
直线方程为
s
已知直线上一点 ),,( 0000 zyxM
),,( zyxM
例如,当,0,0 时 pnm
和它的方向向量机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,参数式方程设得参数式方程,
tp zzn yym xx 000
tmxx 0
tnyy 0
tpzz 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1.用对称式及参数式表示直线解,先在直线上找一点,
63
2


zy
zy
再求直线的方向向量
2,0 zy令 x = 1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点,
.s
21 ns,ns 21 nns
机动 目录 上页 下页 返回 结束故所给直线的对称式方程为参数式方程为
t?41?x 1 y
解题思路,先找直线上一点 ;
再找直线的方向向量,
)3,1,4(21 nns 312
111
kji
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2L
1L
二、线面间的位置关系
1,两直线的夹角则两直线夹角? 满足
21,LL
设直线
两直线的夹角指其方向向量间的夹角 (通常取 锐角 )
的方向向量分别为
212121 ppnnmm
212121 pnm 222222 pnm
21
21c o s
ss
ss
1s
2s
机动 目录 上页 下页 返回 结束特别有,
21)1( LL?
21 //)2( LL
0212121 ppnnmm
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
21 ss?
21 // ss
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求以下两直线的夹角解,直线直线二直线夹角? 的余弦为
(参考 P332 例 2 )



02
02:
2 zx
yxL
c o s
从而 4

的方向向量为的方向向量为 )1,2,2(
)1(1)2()4(21
222 1)4(1 222 )1()2(2
201
0112
kji
s?
机动 目录 上页 下页 返回 结束当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角?称为直线与平面间的夹角 ;
L
2,直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,
设直线 L 的方向向量为平面? 的法向量为则直线与平面夹角? 满足
222222 CBApnm
pCnBmA


直线和它在平面上的投影直
),,( pnms?
),,( CBAn?
︿ ),c o s (s in ns
ns
ns
sn
机动 目录 上页 下页 返回 结束特别有,
L)1(
//)2( L 0 pCnBmA
p
C
n
B
m
A
ns//
ns?
解,取已知平面的法向量
421 zyx则直线的对称式方程为直的直线方程,
为所求直线的方向向量,
132?
垂
)1,3,2(n n
例 3,求过点 (1,－ 2,4) 且与平面机动 目录 上页 下页 返回 结束
1,空间直线方程一般式对称式参数式



0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA




tpzz
tnyy
tmxx
0
0
0
)0( 222 pnm
内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束
,
1
1
1
1
1
1
1 p
zz
n
yy
m
xxL：
直线
,
2
2
2
2
2
2
2 p
zz
n
yy
m
xxL：
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
2,线与线的关系直线夹角公式,
021 ss21 LL?
21 // LL 021 ss
21
21c o s
ss
ss
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,0 DzCyBxA
C
p
B
n
A
m
平面?,
L⊥?
L //?
夹角公式：
0 CpBnAm
sin
,p zzn yym xx
3,面与线间的关系直线 L,
),,( CBAn?
),,( pnms?
0 ns
0 ns
ns
ns L
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P335 3,4,5,7,9
P335 题 2,10
习题课 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
,1 123 1:1 zyxL
iL设直线解：
,2 上在因原点 LO
相交,求此直线方程,
的方向向量为 过 A 点及 的平2L
面的法向量为 则所求直线的方向向量方法 1 利用叉积,
),2,1(?is i
,n,1 nss
所以
OAsn 2 121
112
kji
kji 333
一直线过点 且垂直于直线又和直线备用题
n
O
A
2L
2s
机动 目录 上页 下页 返回 结束设所求直线与 的交点为
5
1
2
2
3
1

zyx
12
000

zyx
0000,2 yzyx
待求直线的方向向量方法 2 利用所求直线与 L2 的交点,
即故所求直线方程为
2L ),,,( 000 zyxB
则有 2L
)1,2,1(A
nss 1 333
123
kji
)523(3 kji
),,( 000 zyxB
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0)1()2(2)1(3 000 zyx
5
1
2
2
3
1

zyx
0000,2 yzyx将 代入上式,得由点法式得所求直线方程而 )1,2,1( 000 zyxAB
)5,2,3(73
1L?
)715,7 6,79( AB
2L
)1,2,1(A
),,( 000 zyxB
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