第三章中值定理应用 研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式
(第三节 )
推广微分中值定理与 导数的应用一、罗尔 ( Rolle )定理第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束二、拉格朗日中值定理三、柯西 (Cauchy)中值定理中值定理第 三 章费马 (fermat)引理一、罗尔 ( Rolle )定理且 存在
)(?或证,设则
0?
0?
x
y
o 0x
费马 目录 上页 下页 返回 结束证毕罗尔（ Rolle ）定理满足,
(1) 在区间 [a,b] 上连续
(2) 在区间 (a,b) 内可导
(3) f ( a ) = f ( b )
使,0)(f
x
y
o
a b
)( xfy?
证,故在 [ a,b ]上取得最大值
M 和最小值 m,
若 M = m,则因此在 ( a,b ) 内至少存在一点机动 目录 上页 下页 返回 结束若 M > m,则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设 则至少存在一点 使
.0)(f
注意,
1) 定理条件条件不全具备,结论不一定成立,例如,
x1
y
o
则由费马引理得
x1
y
o1? x1
y
o
机动 目录 上页 下页 返回 结束使
2) 定理条件只是充分的,本定理可推广为在 ( a,b ) 内可导,且
)(l i m xfax )(lim xfbx
在 ( a,b ) 内至少存在一点证明提示,设证 F(x) 在 [a,b] 上满足罗尔定理,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,证明方程
,15)( 5 xxxf
,0)( 0?xf
有且仅有一个小于 1 的正实根,
证,1) 存在性,
则 )(xf 在 [0,1 ] 连续,且由介值定理知存在,)1,0(0?x 使即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性,
假设另有 在以)( xf?
10,xx 为端点的区间满足罗尔定理条件,之间在 10,xx?
至少存在一点但 矛盾,故假设不真 !
设机动 目录 上页 下页 返回 结束二、拉格朗日中值定理
)(
(1) 在区间 [ a,b ] 上连续满足,
(2) 在区间 ( a,b ) 内可导至少存在一点 使,
)()()(
ab
afbff
x
y
o
a b
)( xfy?
思路,利用 逆向思维 找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在 [ a,b ] 上连续,在 ( a,b ) 内可导,且证,问题转化为证
)(x? )(xf xab afbf )()(
)(a? 由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立,
,)(b ab bfaafb )()(
拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
0)()()( ab afbff?
证毕拉格朗日中值定理的 有限增量形式,
推论,若函数 在区间 I 上满足 则在 I 上必为常数,
证,在 I 上任取两点日中值公式,得
0?
由 的任意性知,在 I 上为常数,
)10()( 0 xxxfy
令 则
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,证明等式证,设由推论可知 (常数 )
令 x = 0,得又 故所证等式在定义域 上成立,
自证,),(x,2c o ta rca rc t a n
xx
经验,欲证 Ix? 时,)( 0Cxf?只需证在 I 上,0)( xf
,0 Ix且,)( 00 Cxf?使机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3,证明不等式证,设,)1ln()( ttf
中值定理条件,
即因为故
.)0()1l n (1 xxxxx
因此应有机动 目录 上页 下页 返回 结束三、柯西 (Cauchy)中值定理
0)()()()( )()( fFaFbF afbf )(
分析,
及
(1) 在闭区间 [ a,b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a,b ) 内可导
(3)在开区间 ( a,b ) 内至少存在一点 使,)(
)(
)()(
)()(
F
f
aFbF
afbf
满足,
)()( aFbF? ))(( abF ba0?
要证
)()()()( )()()( xfxFaFbF afbfx
柯西 目录 上页 下页 返回 结束证,作辅助函数 )()()()(
)()()( xfxF
aFbF
afbfx?
)()()( )()()()()( baFbF bFafaFbfa,),(,],[)( 内可导在上连续在则 babax?
且使 即由罗尔定理知,至少存在一点,
)(
)(
)()(
)()(
F
f
aFbF
afbf
思考,柯西定理的下述证法对吗?
),(,))(()()( baabfafbf
),(,))(()()( baabFaFbF两个? 不一定相同错 !
机动 目录 上页 下页 返回 结束上面两式相比即得结论,
柯西定理的几何意义,
)(?F)(aF
)(
)(
tfy
tFx
)(af
)(bF
)(bf
)(
)(
d
d
tF
tf
x
y
注意,
x
y
o
弦的斜率 切线斜率机动 目录 上页 下页 返回 结束
)0()1( FF?
例 4,设
,)( 2xxF?
至少存在一点 使证,结论可变形为设 则 )(,)( xFxf 在 [0,1] 上满足柯西中值定理条件,因此在 ( 0,1 ) 内至少存在一点?,使
)(?F?01?
即证明机动 目录 上页 下页 返回 结束
),1(,)( )()1()( )1()( eFfFeF fef
例 5,试证至少存在一点 使证,法 1 用柯西中值定理,
xxFxxf ln)(,lns in)(
则 f (x),F(x) 在 [ 1,e ] 上满足柯西中值定理条件,
令因此
1
1 lnc o s
即分析,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,试证至少存在一点 使法 2 令 xxf lns in)(?
则 f (x) 在 [ 1,e ] 上满足罗尔中值定理条件,
使
xlncos )( xf 1sinx1
因此存在
x1
xln1s in
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理
)()( afbf?
xxF?)( )()( afbf?
xxF?)(
2,微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
(3) 证明有关中值问题的结论关键,
利用逆向思维设辅助函数费马引理机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,填空题
1) 函数 在区间 [1,2] 上满足拉格朗日定理条件,则中值,_____
2) 设有 个根,它们分别在区间
3 415
3 )4,3(,)2,1(,)3,2(
机动 目录 上页 下页 返回 结束上,
方程
2,设 ],,0[)(?Cxf?且在 ),0(?内可导,证明至少存在一点,),0( 使,c o t)()( ff
提示,由结论可知,只需证即 0s i n)(xxxf
验证 )(xF 在 ],0[?上满足罗尔定理条件,
设 xxfxF s in)()(?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,若 )(xf 可导,试证在其两个零点间一定有
)()( xfxf的零点,
提示,设,,0)()( 2121 xxxfxf
欲证,,),( 21 xx 使 0)()( ff
只要证 0)()( ff?e?e
亦即 0])([xx xfe
作辅助函数,)()( xfexF x?验证 )(xF 在 ],[ 21 xx 上满足罗尔定理条件,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4,思考,在
),0(,)0)(()0()( xxffxf
即 xx 12 sin 1s in2(?,)c o s x? ),0( x
xx 111 s ins in2c o s
当,0 0x 时,0c o s 1
问 是否可由此得出?0c o slim 10 xx
不能 ! 因为 )( x 是依赖于 x 的一个特殊的函数,
因此由上式得表示 x 从右侧 以任意方式趋于 0, 0x
应用拉格朗日中值定理得上对函数机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P132 7,8,10,12,14,15
提示,
题 15,)0(f
0?
)0(f?
0?
题 14,考虑第二节 目录 上页 下页 返回 结束柯西 (1789 – 1857)
法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,
,柯西全集,共有 27 卷,其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的,分析教程,,,无穷小分析概论,,,微积分在几何上的应用,等,有思想有创建,
响广泛而深远,
对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展,
复变函数和微分方程方面,
一生发表论文 800余篇,著书 7 本,
备用题求证存在,)1,0( 使
1,设 ]1,0[ 可导，且,0)1(?f在 连续,)1,0()(xf
证,)()( xfxx n
,)1,0(因此至少存在显然 )(x? 在 上满足罗尔定理条件,]1,0[
)(
即设辅助函数使得
)()(1 ffn nn 0?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0)0(,0)( fxf设 证明对任意 0,0 21 xx 有
)()()( 2121 xfxfxxf
证,210 xx
)()()( 1221 xfxfxxf
12 )( xf
0))(( 121fx
)()()( 2121 xfxfxxf
,( 2122 xxx
2.
不妨设
)0()()()( 1221 fxfxfxxf
)( 21
)0 11 x
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(第三节 )
推广微分中值定理与 导数的应用一、罗尔 ( Rolle )定理第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束二、拉格朗日中值定理三、柯西 (Cauchy)中值定理中值定理第 三 章费马 (fermat)引理一、罗尔 ( Rolle )定理且 存在
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费马 目录 上页 下页 返回 结束证毕罗尔（ Rolle ）定理满足,
(1) 在区间 [a,b] 上连续
(2) 在区间 (a,b) 内可导
(3) f ( a ) = f ( b )
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证,故在 [ a,b ]上取得最大值
M 和最小值 m,
若 M = m,则因此在 ( a,b ) 内至少存在一点机动 目录 上页 下页 返回 结束若 M > m,则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设 则至少存在一点 使
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2) 定理条件只是充分的,本定理可推广为在 ( a,b ) 内可导,且
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有且仅有一个小于 1 的正实根,
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则 )(xf 在 [0,1 ] 连续,且由介值定理知存在,)1,0(0?x 使即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性,
假设另有 在以)( xf?
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(1) 在区间 [ a,b ] 上连续满足,
(2) 在区间 ( a,b ) 内可导至少存在一点 使,
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思路,利用 逆向思维 找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在 [ a,b ] 上连续,在 ( a,b ) 内可导,且证,问题转化为证
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,)(b ab bfaafb )()(
拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
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推论,若函数 在区间 I 上满足 则在 I 上必为常数,
证,在 I 上任取两点日中值公式,得
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中值定理条件,
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因此应有机动 目录 上页 下页 返回 结束三、柯西 (Cauchy)中值定理
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(1) 在闭区间 [ a,b ] 上连续
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至少存在一点 使证,结论可变形为设 则 )(,)( xFxf 在 [0,1] 上满足柯西中值定理条件,因此在 ( 0,1 ) 内至少存在一点?,使
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即证明机动 目录 上页 下页 返回 结束
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因此存在
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1,微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理
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2,微分中值定理的应用
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1,填空题
1) 函数 在区间 [1,2] 上满足拉格朗日定理条件,则中值,_____
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2,设 ],,0[)(?Cxf?且在 ),0(?内可导,证明至少存在一点,),0( 使,c o t)()( ff
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法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,
,柯西全集,共有 27 卷,其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的,分析教程,,,无穷小分析概论,,,微积分在几何上的应用,等,有思想有创建,
响广泛而深远,
对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展,
复变函数和微分方程方面,
一生发表论文 800余篇,著书 7 本,
备用题求证存在,)1,0( 使
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即设辅助函数使得
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
0)0(,0)( fxf设 证明对任意 0,0 21 xx 有
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