二,连续与间断一,函数三,极限习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束函数与极限第一章
)( xfy?y
xo D
一,函数
1,函数的概念定义,
定义域 值域图形,
( 一般为曲线 )
设 函数为特殊的映射,
其中机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性
3,反函数设函数 为单射,反函数为其逆映射
DDff )(:1
4,复合函数给定函数链则复合函数为 ])([,DgfDgf
5,初等函数有限个 常数及基本初等函数 经 有限次 四则运算与复复合而成的 一个 表达式的函数,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,设函数,1,
1,13)(


xx
xxxf

)]([ xff 1)(,1)(3 xfxf
1)(,)(?xfxf
0?x

0,49 xx
1)13(3x
10 x
1,?xx
求,)]([ xff
解,
,13?x
机动 目录 上页 下页 返回 结束解,利用函数表示与变量字母的无关的特性,
,1xxt,11 tx 代入原方程得
,11 1 uux 代入上式得设 其中 求令 即即令 即画线三式联立即例 2.
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,下列各组函数是否相同? 为什么?
)a r c c o s2c o s ()()1( xxf? ]1,1[,12)( 2 xxx?与


axa
axxxf
,
,)()2(2)(
2
1)( xaxax与


0,
0,0)()3(
xx
xxf
)]([)( xffx与相同相同相同机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?
1s in
1)1(
xy
],0[,c o s,s inm a x)2( 2 xxxy
22,a rc s i n)3( xuuy
不是
40 x,cos x
24 x,sinx
是不是提示,(2)?y
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0,1
0,1)()4(
3
3
xx
xxxf


0,1
0,1)()2(
x
xxf


1,4
1,2)()3(
x
xxf
,
2
x
x?
x
y
o
4
2
1
⑶


1,1
1,13
x
x
1
)1(3 2

x
x
,1 6x
o x
y
1
1?
⑵
0?x
1?x
R?x
3,下列函数是否为初等函数? 为什么?



0,
0,)()1(
xx
xxxf
2x?
x
y 1 ⑷
以上各函数都是初等函数,
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4,设,0)(,1)]([,)( 2 xxxfexf x 且求 )(x?
及其定义域,
5,已知


8,)]5([
8,3)(
xxff
xxxf,求,)5(f
6,设,c o sc s c)
s i n
1( s i n 22 xx
xxf
求,)(xf
由得,)1ln ()( xx ]0,(x
xx
)(x?4,解,
)(x?
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] [f?
5,已知


8,)]5([
8,3)(
xxff
xxxf,求,)5(f
解,)5(f ) (f?)10(f )7(f? ] [f?
) (f? )9(f? 6?
6,设,c o sc s c)
s i n
1( s i n 22 xx
xxf
求,)(xf
解,1s i n)( s i n 2
s i n
1
s i n
1
2 xxf xx?
3)( s in 2s i n1 xx
3)( 2 xxf
机动 目录 上页 下页 返回 结束二,连续与间断
1,函数连续的等价形式
)()(lim 0
0
xfxfxx
)()(,000 xfxxfyxxx
0lim 0 yx
)()()( 000 xfxfxf
,0,0,0 时当 xx 有
)()( 0xfxf
2,函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点机动 目录 上页 下页 返回 结束有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理,
3,闭区间上连续函数的性质例 3,设函数在 x = 0 连续,则 a =,b =,
提示,
20
)c o s1(lim)0(
x
xaf
x


2
a?
2
2
1~c os1 xx? )(lnlim)0( 20 xbf x bln?
ba ln12
2 e
机动 目录 上页 下页 返回 结束有无穷间断点及可去间断点解,为无穷间断点,

)1)((
l i m
0 xax
be x
x
所以
be
xax
xx?

)1)((l i m
0 b
a
1 0?
1,0 ba
为可去间断点,)1(l i m 1?

xx
be x
x 极限存在
0)(l i m 1 be xx eeb xx 1l i m
例 4,设函数试确定常数 a 及 b,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,设 f (x) 定义在区间 上,
,若 f (x) 在 连续,
提示,
)(lim 0 xxfx )]()([lim 0 xfxfx
)0()( fxf
)0( xf )( xf?
阅读与练习且对任意实数证明 f (x) 对一切 x 都连续,
P64 题 2(2),4; P73 题 5
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,
P73 题 5,证明,若令,)(lim Axf
x
则给定,0,0 X? 当 Xx?
时,有 AxfA )(
又,],[)( XXCxf 根据有界性定理,0
1 M,使
],[,)( 1 XXxMxf取
1,,m a x MAAM
则 ),(,)( xMxf
)(xf 在 ),( 内连续,)(lim xf
x存在,则
)(xf 必在 ),( 内有界,
)(xf
X? X
A
1My
o x
机动 目录 上页 下页 返回 结束三,极限
1,极限定义的等价形式 (以 为例 )0xx?
(即 为无穷小 )Axf )(?
有
""
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2,极限存在准则及极限运算法则
3,无穷小无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;
常用等价无穷小,
4,两个重要极限
6,判断极限不存在的方法
xsin ～ ;x ～ xc o s1? ～ ;221 x
～ xa rc sin ～ ;x ～
1?xe ～ ;x ～ 1)1(x ～ ;x?
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5,求极限的基本方法例 6,求下列极限：
)s in1(s inlim)1( xxx
xxx?s i n11
2li m)2(?

x
xxx
c o t
110l i m)3(
提示,xx s in1s in)1(
2
1c o s
2
1s i n2 xxxx
2
1c o s
)1(2
1s i n2 xx
xx


无穷小 有界机动 目录 上页 下页 返回 结束令
1lim)2(?x
1 xt
0lim t )1(s in
)2(

t
tt
0lim t t
tt
sin
)2(?
0lim t t
tt
)2(?
2?
x
x
sin
1 2?
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0lim)3(?x
xxx c o t11
0lim x
x
x
x c o t)
1
21(

e?
)1(ln 12 xx xx?12～
2e?
则有
)()(1lim
0
xv
xx
xu?
复习,若
,0)(lim
0
xu
xx
,)(lim
0

xv
xx
e?
e?
)()(lim
0
xuxvxx?
)(lim 12s i nc o s0 xxxxx
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7,确定常数 a,b,使解,原式 0)1(lim 3 1 3 xbxx ax
0)1(lim 3 1 3 xbxx a
故,01 a于是,1a 而
23 33 23 1)1(
1lim
xxxxx

机动 目录 上页 下页 返回 结束例 8,当 0?x 时,3 2 xx? 是 的几阶无穷小?
解,设其为 的 阶无穷小,则
kx x
xx3 2
0
lim?
0 C
因
kx x
xx3 2
0
lim?
3
3
2
0
lim k
x x
xx
3 3
0
)1(lim 2
3
2
1
xx k
x

故
6
1?k
机动 目录 上页 下页 返回 结束阅读与练习
1,求 的间断点,并判别其类型,
解,
)1)(1(
s in)1(lim
1
xxx
xx
x
1sin21?
x = –1 为第一类 可去间断点

)(lim
1
xf
x x = 1 为第二类 无穷间断点
,1)(lim
0

xf
x
,1)(lim
0

xf
x
x = 0 为第一类 跳跃间断点机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,求解,
x
x
e
e
x
x
x
s in
1
2
lim
4
1
0?

x
x
e
ee
x
xx
x
s i n
1
2
lim
4
34
0
1?
x
x
e
e
x
x
x
s in
1
2
lim
4
1
0?

x
x
e
e
x
x
x
s in
1
2
lim
4
1
0
1?
原式 = 1
(2000考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P74 3 (1),(4) ; 4 ; 7 ;
8 (2),(3),(6) ;
9; 10 ; 11 ; 12
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,求,)321(lim
1xxx
x
解,令 xxxxf
1)321()( xxx 11)()(3
3231
则 )(xf?3 x133
利用夹逼准则可知,3)(l im xfx