二,最大值与最小值问题一,函数的极值及其求法第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束函数的极值与最大值最小值第 三 章一,函数的极值及其求法定义,
在其中当 时,
(1) 则称 为 的 极大点,
称 为函数的 极大值 ;
(2) 则称 为 的 极小点,
称 为函数的 极小值,
极大点与极小点统称为 极值点,
机动 目录 上页 下页 返回 结束注意,
3x1x 4x2x 5x
xa bo
y
41,xx 为极大点
52,xx 为极小点
3x 不是极值点
2) 对常见函数,极值可能出现在 导数为 0 或不存在的点,
1) 函数的极值是函数的 局部性质,
31292)( 23 xxxxf例如 (P146例 4)
为极大点,是极大值是极小值为极小点,
12
xo
y
1 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 1 (极值第一判别法 )
,)( 0 的某邻域内连续在设函数 xxf且在空心邻域内有导数,,0 时由小到大通过当 xx
(1) )(xf?,左 正 右 负,,;)( 0 取极小值在则 xxf(2) )(xf?,左 负 右 正,,
.)( 0 取极大值在则 xxf
(自证 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束点击图中任意处动画播放 \暂停例 1,求函数 的极值,
解,1) 求导数 3
2)( xxf 31
32)1(
xx
3
52
3
5
x
x
2) 求极值可疑点令,0)( xf 得 ;521?x 令,)( xf 得 02?x
3) 列表判别
x
)(xf?
)(xf
05
20
0 33.0?
)0,( ),0( 52 ),( 52
是极大点,其极大值为是极小点,其极小值为机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2 (极值第二判别法 )
二阶导数,且则 在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值,
证,(1) )( 0xf 0
0 )()(lim
0 xx
xfxf
xx?
0
(l i m
0 xx
xf
xx?
,0)( 0 知由 xf 存在,,0 0 时当 xx
时，故当 00 xxx;0)( xf
时，当 00 xxx,0)( xf
0x 0x
0x?
由第一判别法知,)( 0 取极大值在 xxf
(2) 类似可证,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求函数 的极值,
解,1) 求导数,)1(6)(
22 xxxf )15)(1(6)( 22 xxxf
2) 求驻点令,0)( xf 得驻点 1,0,1 321 xxx
3) 判别因,06)0(f 故 为极小值 ;
又,0)1()1( ff 故需用第一判别法判别,
1 x
y
1?
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 3 (判别法的推广 )
,0)( 0)(?xf n
则,
数,且
1) 当 为偶数 时,n
是极小点 ;
是极大点,
2) 当 为奇数 时,n
为极值点,且不是极值点,
))(()()( 000 xxxfxfxf
nn xx
n
xf )(
!
)(
00
)(
))(( 0 nxxo
当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,
故结论正确,
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,利用 在 点的泰勒公式,可得例如,例 2中
,)35(24)( 2 xxxf 0)1(f
所以 不是极值点,
极值的判别法 ( 定理 1 ~ 定理 3 ) 都是充分的,说明,
当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在,
例如,
2)0(?f 为极大值,但不满足定理 1
~ 定理 3 的条件,
x
y
11?
机动 目录 上页 下页 返回 结束二,最大值与最小值问题则其最值只能在 极值点 或 端点 处达到,
求函数最值的方法,
(1) 求 在 内的极值可疑点
(2) 最大值
m a x?M,)(af )(bf
最小值机动 目录 上页 下页 返回 结束特别,
当 在 内只有 一个 极值可疑点时,
当 在 上 单调 时,最值必在端点处达到,
若在此点取极大 值,则也是最大 值,(小 )
对应用问题,有时可根据 实际意义 判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点,
(小 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)1292( 2 xx
1224)9( 2 09681
01292 2 xx
)( xf?
041 x
250 x
041 x
250 x
例 3,求函数 在闭区间上的最大值和最小值,
解,显然 且
,)1292( 23 xxx
,1292 23 xx
)( xf 12186 2 xx
12186 2 xx
2,1,0 321 xxx
故函数在 0?x 取最小值 0 ; 在 1?x 及 25 取最大值 5.
,)2)(1(6 xx
,)2)(1(6 xx
251 241?
机动 目录 上页 下页 返回 结束因此也可通过例 3,求函数说明,
)()( 2 xfx
)(x?
求最值点,
)(xf与 最值点相同,由于 )(x?
令
( 自己练习 )
在闭区间上的最大值和最小值,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
( k 为某一常数 )
例 4,铁路上 AB 段的距离为 100 km,工厂 C 距 A 处 20
AC⊥ AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货
D 点应如何选取? 20
A B100
C
解,设,( k m )xAD?
x
则,20 22 xCD
,)3400 5( 2 xxky
23)400(
4005
2x
ky
令 得 又 所以 为唯一的15?x
极小点,故 AD =15 km 时运费最省,
总运费物从 B 运到工厂 C 的运费最省,
从而为最小点,
问 D
Km,
公路,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?
解,由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为
h
b
d
,)( 2261 bdb ),0( db?
令 )3( 2261 bdw
得 db 31?
从而有
1:2:3:,?bhd
22 bdh d32?
即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择,
机动 目录 上页 下页 返回 结束用开始移动,
F?
例 6,设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,受力 作
P?
解,克服摩擦的水平分力正压力
c o sF )s in5( F?g
即,si nc o s
5
gF
],0[ 2
令 s inc o s)(
则问题转化为求 )( 的最大值问题,
为多少时才可使力设摩擦系数 问力 与水平面夹角机动 目录 上页 下页 返回 结束的大小最小?
s inc o s)(
令 解得
,0)(而因而 F 取最小值,
解,
F?
P?
即令则问题转化为求 的最大值问题,
,si nc o s 5 gF ],0[ 2
s inc o s)(
)(
机动 目录 上页 下页 返回 结束清楚 (视角?最大 )?
观察者的眼睛 1.8 m,
例 7,一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于
x
4.1
8.1?解,设观察者与墙的距离为 x m,则
x 8.14.1a rc t a n?,8.1a rc t a n x? ),0(x
22 2.3
2.3
x 22 8.1
8.1
x )8.1)(2.3(
)76.5(4.1
2222
2
xx
x
令,0 得驻点 ),0(4.2x
根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,
唯一,
驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚,
问观察者在距墙多远处看图才最机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,连续函数的极值
(1) 极值可疑点,使导数为 0 或不存在的点
(2) 第一充分条件过 由 正 变 负 为极 大 值过 由 负 变 正 为极 小 值
(3) 第二充分条件为极 大 值为极 小 值
(4) 判别法的推广 ( Th.3)
定理 3 目录 上页 下页 返回 结束最值点应在极值点和边界点上找 ;
应用题可根据问题的实际意义判别,
思考与练习
(L,P500 题 4)
2,连续函数的最值
1,设,1)(
)()(l i m
2
ax
afxf
ax 则在点 a 处 ( ).
)()( xfA 的导数存在,；且 0)( af
)()( xfB 取得极大值 ; )()( xfC 取得极小值 ;
)()( xfD 的导数不存在,
B
提示,利用极限的保号性,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设 )(xf 在 0?x 的某邻域内连续,且,0)0(?f
,2c o s1 )(lim
0
x
xf
x 则在点 0?x 处 ).()( xf
(A) 不可导 ;
(B) 可导,且 ;0)0(f
(C) 取得极大值 ;
(D) 取得极小值,
D
提示,利用极限的保号性,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,设 )( xfy? 是方程 042 yyy 的一个解,
若,0)( 0?xf 且,0)( 0 xf 则 )(xf 在 )(0x
(A) 取得极大值 ;
(B) 取得极小值 ;
(C) 在某邻域内单调增加 ;
(D) 在某邻域内单调减少,
提示,
0)(4)( 00 xfxf
A
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P160 1 (5),(9); 2 ; 3 ; 5 ;
10; 14; 15
第六节 目录 上页 下页 返回 结束试问 为何值时,a xxaxf 3sin3
1sin)(
32?x在 时取得极值,
还是极小,
解, )( xf? 由题意应有
)32(?f
2 a
又 )( xf?
)( xf? 取得极大值为 3)( 32f
备用题 1.
)32(3c o s)32c o s(a
,3s in3s in2 xx
求出该极值,并指出它是极大机动 目录 上页 下页 返回 结束上的在 ]1,0[)( xf试求,设 Nnxxnxf n,)1()(
).(lim nMn
解, )( xf?
,0)( xf令
])1(1[)1( 1 xnxn n
2.
nxn )1(? 1)1( nxnxn
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,)( 由增变减通过此点时易判别 xfx
及最大值 )( nM
故所求最大值为
1)
1(
n
n
n )
1
1()(
nfnM
)(lim nMn 1e 1)111(l i m nn n
11 nx
在其中当 时,
(1) 则称 为 的 极大点,
称 为函数的 极大值 ;
(2) 则称 为 的 极小点,
称 为函数的 极小值,
极大点与极小点统称为 极值点,
机动 目录 上页 下页 返回 结束注意,
3x1x 4x2x 5x
xa bo
y
41,xx 为极大点
52,xx 为极小点
3x 不是极值点
2) 对常见函数,极值可能出现在 导数为 0 或不存在的点,
1) 函数的极值是函数的 局部性质,
31292)( 23 xxxxf例如 (P146例 4)
为极大点,是极大值是极小值为极小点,
12
xo
y
1 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 1 (极值第一判别法 )
,)( 0 的某邻域内连续在设函数 xxf且在空心邻域内有导数,,0 时由小到大通过当 xx
(1) )(xf?,左 正 右 负,,;)( 0 取极小值在则 xxf(2) )(xf?,左 负 右 正,,
.)( 0 取极大值在则 xxf
(自证 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束点击图中任意处动画播放 \暂停例 1,求函数 的极值,
解,1) 求导数 3
2)( xxf 31
32)1(
xx
3
52
3
5
x
x
2) 求极值可疑点令,0)( xf 得 ;521?x 令,)( xf 得 02?x
3) 列表判别
x
)(xf?
)(xf
05
20
0 33.0?
)0,( ),0( 52 ),( 52
是极大点,其极大值为是极小点,其极小值为机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2 (极值第二判别法 )
二阶导数,且则 在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值,
证,(1) )( 0xf 0
0 )()(lim
0 xx
xfxf
xx?
0
(l i m
0 xx
xf
xx?
,0)( 0 知由 xf 存在,,0 0 时当 xx
时，故当 00 xxx;0)( xf
时，当 00 xxx,0)( xf
0x 0x
0x?
由第一判别法知,)( 0 取极大值在 xxf
(2) 类似可证,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,求函数 的极值,
解,1) 求导数,)1(6)(
22 xxxf )15)(1(6)( 22 xxxf
2) 求驻点令,0)( xf 得驻点 1,0,1 321 xxx
3) 判别因,06)0(f 故 为极小值 ;
又,0)1()1( ff 故需用第一判别法判别,
1 x
y
1?
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 3 (判别法的推广 )
,0)( 0)(?xf n
则,
数,且
1) 当 为偶数 时,n
是极小点 ;
是极大点,
2) 当 为奇数 时,n
为极值点,且不是极值点,
))(()()( 000 xxxfxfxf
nn xx
n
xf )(
!
)(
00
)(
))(( 0 nxxo
当 充分接近 时,上式左端正负号由右端第一项确定,
故结论正确,
机动 目录 上页 下页 返回 结束证,利用 在 点的泰勒公式,可得例如,例 2中
,)35(24)( 2 xxxf 0)1(f
所以 不是极值点,
极值的判别法 ( 定理 1 ~ 定理 3 ) 都是充分的,说明,
当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在,
例如,
2)0(?f 为极大值,但不满足定理 1
~ 定理 3 的条件,
x
y
11?
机动 目录 上页 下页 返回 结束二,最大值与最小值问题则其最值只能在 极值点 或 端点 处达到,
求函数最值的方法,
(1) 求 在 内的极值可疑点
(2) 最大值
m a x?M,)(af )(bf
最小值机动 目录 上页 下页 返回 结束特别,
当 在 内只有 一个 极值可疑点时,
当 在 上 单调 时,最值必在端点处达到,
若在此点取极大 值,则也是最大 值,(小 )
对应用问题,有时可根据 实际意义 判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点,
(小 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
)1292( 2 xx
1224)9( 2 09681
01292 2 xx
)( xf?
041 x
250 x
041 x
250 x
例 3,求函数 在闭区间上的最大值和最小值,
解,显然 且
,)1292( 23 xxx
,1292 23 xx
)( xf 12186 2 xx
12186 2 xx
2,1,0 321 xxx
故函数在 0?x 取最小值 0 ; 在 1?x 及 25 取最大值 5.
,)2)(1(6 xx
,)2)(1(6 xx
251 241?
机动 目录 上页 下页 返回 结束因此也可通过例 3,求函数说明,
)()( 2 xfx
)(x?
求最值点,
)(xf与 最值点相同,由于 )(x?
令
( 自己练习 )
在闭区间上的最大值和最小值,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
( k 为某一常数 )
例 4,铁路上 AB 段的距离为 100 km,工厂 C 距 A 处 20
AC⊥ AB,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5,为使货
D 点应如何选取? 20
A B100
C
解,设,( k m )xAD?
x
则,20 22 xCD
,)3400 5( 2 xxky
23)400(
4005
2x
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令 得 又 所以 为唯一的15?x
极小点,故 AD =15 km 时运费最省,
总运费物从 B 运到工厂 C 的运费最省,
从而为最小点,
问 D
Km,
公路,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 5,把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大?
解,由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为
h
b
d
,)( 2261 bdb ),0( db?
令 )3( 2261 bdw
得 db 31?
从而有
1:2:3:,?bhd
22 bdh d32?
即由实际意义可知,所求最值存在,驻点只一个,故所求结果就是最好的选择,
机动 目录 上页 下页 返回 结束用开始移动,
F?
例 6,设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上,受力 作
P?
解,克服摩擦的水平分力正压力
c o sF )s in5( F?g
即,si nc o s
5
gF
],0[ 2
令 s inc o s)(
则问题转化为求 )( 的最大值问题,
为多少时才可使力设摩擦系数 问力 与水平面夹角机动 目录 上页 下页 返回 结束的大小最小?
s inc o s)(
令 解得
,0)(而因而 F 取最小值,
解,
F?
P?
即令则问题转化为求 的最大值问题,
,si nc o s 5 gF ],0[ 2
s inc o s)(
)(
机动 目录 上页 下页 返回 结束清楚 (视角?最大 )?
观察者的眼睛 1.8 m,
例 7,一张 1.4 m 高的图片挂在墙上,它的底边高于
x
4.1
8.1?解,设观察者与墙的距离为 x m,则
x 8.14.1a rc t a n?,8.1a rc t a n x? ),0(x
22 2.3
2.3
x 22 8.1
8.1
x )8.1)(2.3(
)76.5(4.1
2222
2
xx
x
令,0 得驻点 ),0(4.2x
根据问题的实际意义,观察者最佳站位存在,
唯一,
驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚,
问观察者在距墙多远处看图才最机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
1,连续函数的极值
(1) 极值可疑点,使导数为 0 或不存在的点
(2) 第一充分条件过 由 正 变 负 为极 大 值过 由 负 变 正 为极 小 值
(3) 第二充分条件为极 大 值为极 小 值
(4) 判别法的推广 ( Th.3)
定理 3 目录 上页 下页 返回 结束最值点应在极值点和边界点上找 ;
应用题可根据问题的实际意义判别,
思考与练习
(L,P500 题 4)
2,连续函数的最值
1,设,1)(
)()(l i m
2
ax
afxf
ax 则在点 a 处 ( ).
)()( xfA 的导数存在,；且 0)( af
)()( xfB 取得极大值 ; )()( xfC 取得极小值 ;
)()( xfD 的导数不存在,
B
提示,利用极限的保号性,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,设 )(xf 在 0?x 的某邻域内连续,且,0)0(?f
,2c o s1 )(lim
0
x
xf
x 则在点 0?x 处 ).()( xf
(A) 不可导 ;
(B) 可导,且 ;0)0(f
(C) 取得极大值 ;
(D) 取得极小值,
D
提示,利用极限的保号性,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3,设 )( xfy? 是方程 042 yyy 的一个解,
若,0)( 0?xf 且,0)( 0 xf 则 )(xf 在 )(0x
(A) 取得极大值 ;
(B) 取得极小值 ;
(C) 在某邻域内单调增加 ;
(D) 在某邻域内单调减少,
提示,
0)(4)( 00 xfxf
A
机动 目录 上页 下页 返回 结束作业
P160 1 (5),(9); 2 ; 3 ; 5 ;
10; 14; 15
第六节 目录 上页 下页 返回 结束试问 为何值时,a xxaxf 3sin3
1sin)(
32?x在 时取得极值,
还是极小,
解, )( xf? 由题意应有
)32(?f
2 a
又 )( xf?
)( xf? 取得极大值为 3)( 32f
备用题 1.
)32(3c o s)32c o s(a
,3s in3s in2 xx
求出该极值,并指出它是极大机动 目录 上页 下页 返回 结束上的在 ]1,0[)( xf试求,设 Nnxxnxf n,)1()(
).(lim nMn
解, )( xf?
,0)( xf令
])1(1[)1( 1 xnxn n
2.
nxn )1(? 1)1( nxnxn
机动 目录 上页 下页 返回 结束
,)( 由增变减通过此点时易判别 xfx
及最大值 )( nM
故所求最大值为
1)
1(
n
n
n )
1
1()(
nfnM
)(lim nMn 1e 1)111(l i m nn n
11 nx
