第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关机动 目录 上页 下页 返回 结束主要内容,
一,弧微分二,曲率及其计算公式三,曲率圆与曲率半径
M?
M M?
平面曲线的曲率第 三 章一,弧微分设 在 (a,b)内有连续导数,其图形为 AB,
弧长 )( xsAMs
x
s
MM
MM
x
MM
MM
MM
x
yx
22 )()(
MM
MM
2)(1
x
y
x
sxs
x?
0
lim)( 2)(1 y
x?
A
B )( xfy?
a b xo
y
x
M
xx
M? y?
1lim
0
MM
MM
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束则弧长微分公式为 tyxs dd 22
xys d)(1d 2 或 22 )(d)(dd yxs
xx d?xdo
y
x
M yd
T
几何意义,?sd TM;c o sddsx?si ndd?sy
若曲线由参数方程表示,
)(
)(
tyy
txx
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为,s? 对应切线
, 定义弧段 上的平均曲率s?
sK?
M
M?
s?
点 M 处的曲率
sK s?
0
limsdd
注意,直线上任意点处的曲率为 0 !
机动 目录 上页 下页 返回 结束转角为例 1,求半径为 R 的圆上任意点处的曲率,
解,如图所示,
Rs
sK s?
0
lim
R
1?
可见,R 愈小,则 K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大,则 K 愈小,圆弧弯曲得愈小,
s?
R
M
M?
机动 目录 上页 下页 返回 结束有曲率近似计算公式,1 时当y
yta n )22(设
y a r c ta n?得
xy d)a r c ta n(d
故曲率计算公式为
sK d
d
23)1( 2y
yK
yK
又曲率 K 的计算公式
)( xfy? 二阶可导,设曲线弧 则由机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
(1) 若曲线由参数方程
)(
)(
tyy
txx
给出,则
23)1( 2y
yK
(2) 若曲线方程为,)( yx 则
23)1( 2x
xK
23)( 22 yx
yxyxK
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,我国铁路常用立方抛物线
3
6
1 x
lRy? 作缓和曲线,
处的曲率,
点击图片任意处播放 \暂停说明,
铁路转弯时为保证行车平稳安全,
求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束且 l << R.其中 R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,
离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化,
例 2,我国铁路常用立方抛物线
3
6
1 x
lRy? 作缓和曲线,
且 l << R.
处的曲率,
其中 R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,
求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束解,,],0[ 时当 lx?
R
l
2? 0?x
lRy
1
yK xlR
1?
显然 ;00xK RK lx
1?
2
2
1 x
lRy R
B
y
o x
3
6
1 x
lRy?
l
例 3,求椭圆 在何处曲率最大?
解,
故曲率为? ba
23)c o ss in( 2222 tbta?;s in tax;c o s tby
tax c o s
tby s in
23)( 22 yx
yxyxK
K 最大 tbtatf 2222 c o ss in)(最小机动 目录 上页 下页 返回 结束
ttbttatf s inc o s2c o ss in2)( 2 tba 2s in)( 22
求驻点,
的导数数表示对参
t
x?
,0)( tf令,0?t得,2?,232,?
设
tbatf 2s in)()( 22
t
)(tf
0 2? 232?
2b 2b 2a 2b2a
从而 K 取最大值,
这说明椭圆在点
,0 ab 时则 2,,0?t
)0,( a? 处曲率机动 目录 上页 下页 返回 结束计算驻点处的函数值,
y
x
b
a
b?
a?,)( 取最小值tf
最大,
三,曲率圆与曲率半径
T
y
xo
),(D
R ),( yxM
C
设 M 为曲线 C 上任一点,在点在曲线
KRDM
1
把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ),R 叫做 曲率半径,D 叫做 曲率中心,
在点 M 处曲率圆与曲线有下列密切关系,
(1) 有公切线 ; (2) 凹向一致 ; (3) 曲率相同,
M 处作曲线的切线和法线,
的凹向一侧法线上取点 D 使机动 目录 上页 下页 返回 结束设曲线方程为 且 求曲线上点 M处的曲率半径及曲率中心设点 M 处的曲率圆方程为故曲率半径公式为
KR
1 23)1( 2y
y?
满足方程组,
222 )()( Ryx )),(( 在曲率圆上yxM
)( MTDMy?
y
x
的坐标公式,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
T
C
y
xo
),(D
R
),( yxM
由此可得曲率中心公式
y
yyx
)1( 2?
y
yy
21?
(注意y 与 y? 异号 )
当点 M (x,y) 沿曲线 移动时,
的轨迹 G 称为曲线 C 的 渐屈线,
相应的曲率中心
C
y
xo
),( yxM
),(D
R
T
曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的 渐伸线,
机动 目录 上页 下页 返回 结束屈线的参数方程 (参数为 x).
点击图中任意点动画开始或暂停例 4,设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?
解,设椭圆方程为由例 3可知,椭圆在
o
y
x
处曲率最大,
即曲率半径最小,且为
R 23)c o ss in( 2222 tbta?ba
0?t
显然,砂轮半径不超过 时,才不会产生过量磨损,
或有的地方磨不到的问题,
例 3 目录 上页 下页 返回 结束
( 仍为摆线 ) )s in( a )c o s1( a
例 5,求摆线 的渐屈线方程,
解,x
yy
,
c o s1
si n
t
t
x
y
y t?
)(dd?
2)c o s1( 1 ta
代入曲率中心公式,
)s in( tta
)1( c o s ta?
得摆线 目录 上页 下页 返回 结束
o?
内容小结
1,弧长微分 xys d1d 2 或 22 )(d)(dd yxs
2,曲率公式 sK d
d
2
3)1( 2y
y
3,曲率圆曲率半径 KR
1?
y
y
23)1( 2
曲率中心 y
yyx
)1( 2?
y
yy
21?
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?
答,有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同,
2,求双曲线 的曲率半径 R,并分析何处 R 最小?
解,,
1
2xy,
2
3xy 则
R 2
3)1( 2y
y
234 )1( 1
x?
32x
232 )( 1221
xx
利用 baba 222
2?
.21 为最小值显然xR
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1
1
y
o x
作业第八节 目录 上页 下页 返回 结束
P175 4 ； 5 ； 7 ； 8 ； 9
一,弧微分二,曲率及其计算公式三,曲率圆与曲率半径
M?
M M?
平面曲线的曲率第 三 章一,弧微分设 在 (a,b)内有连续导数,其图形为 AB,
弧长 )( xsAMs
x
s
MM
MM
x
MM
MM
MM
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22 )()(
MM
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2)(1
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A
B )( xfy?
a b xo
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机动 目录 上页 下页 返回 结束则弧长微分公式为 tyxs dd 22
xys d)(1d 2 或 22 )(d)(dd yxs
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y
x
M yd
T
几何意义,?sd TM;c o sddsx?si ndd?sy
若曲线由参数方程表示,
)(
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txx
机动 目录 上页 下页 返回 结束二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为,s? 对应切线
, 定义弧段 上的平均曲率s?
sK?
M
M?
s?
点 M 处的曲率
sK s?
0
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注意,直线上任意点处的曲率为 0 !
机动 目录 上页 下页 返回 结束转角为例 1,求半径为 R 的圆上任意点处的曲率,
解,如图所示,
Rs
sK s?
0
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R
1?
可见,R 愈小,则 K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大,则 K 愈小,圆弧弯曲得愈小,
s?
R
M
M?
机动 目录 上页 下页 返回 结束有曲率近似计算公式,1 时当y
yta n )22(设
y a r c ta n?得
xy d)a r c ta n(d
故曲率计算公式为
sK d
d
23)1( 2y
yK
yK
又曲率 K 的计算公式
)( xfy? 二阶可导,设曲线弧 则由机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
(1) 若曲线由参数方程
)(
)(
tyy
txx
给出,则
23)1( 2y
yK
(2) 若曲线方程为,)( yx 则
23)1( 2x
xK
23)( 22 yx
yxyxK
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 2,我国铁路常用立方抛物线
3
6
1 x
lRy? 作缓和曲线,
处的曲率,
点击图片任意处播放 \暂停说明,
铁路转弯时为保证行车平稳安全,
求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束且 l << R.其中 R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,
离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化,
例 2,我国铁路常用立方抛物线
3
6
1 x
lRy? 作缓和曲线,
且 l << R.
处的曲率,
其中 R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,
求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束解,,],0[ 时当 lx?
R
l
2? 0?x
lRy
1
yK xlR
1?
显然 ;00xK RK lx
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2
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6
1 x
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例 3,求椭圆 在何处曲率最大?
解,
故曲率为? ba
23)c o ss in( 2222 tbta?;s in tax;c o s tby
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23)( 22 yx
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求驻点,
的导数数表示对参
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从而 K 取最大值,
这说明椭圆在点
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三,曲率圆与曲率半径
T
y
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),(D
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设 M 为曲线 C 上任一点,在点在曲线
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1
把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ),R 叫做 曲率半径,D 叫做 曲率中心,
在点 M 处曲率圆与曲线有下列密切关系,
(1) 有公切线 ; (2) 凹向一致 ; (3) 曲率相同,
M 处作曲线的切线和法线,
的凹向一侧法线上取点 D 使机动 目录 上页 下页 返回 结束设曲线方程为 且 求曲线上点 M处的曲率半径及曲率中心设点 M 处的曲率圆方程为故曲率半径公式为
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1 23)1( 2y
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满足方程组,
222 )()( Ryx )),(( 在曲率圆上yxM
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
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由此可得曲率中心公式
y
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21?
(注意y 与 y? 异号 )
当点 M (x,y) 沿曲线 移动时,
的轨迹 G 称为曲线 C 的 渐屈线,
相应的曲率中心
C
y
xo
),( yxM
),(D
R
T
曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的 渐伸线,
机动 目录 上页 下页 返回 结束屈线的参数方程 (参数为 x).
点击图中任意点动画开始或暂停例 4,设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?
解,设椭圆方程为由例 3可知,椭圆在
o
y
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处曲率最大,
即曲率半径最小,且为
R 23)c o ss in( 2222 tbta?ba
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显然,砂轮半径不超过 时,才不会产生过量磨损,
或有的地方磨不到的问题,
例 3 目录 上页 下页 返回 结束
( 仍为摆线 ) )s in( a )c o s1( a
例 5,求摆线 的渐屈线方程,
解,x
yy
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2)c o s1( 1 ta
代入曲率中心公式,
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)1( c o s ta?
得摆线 目录 上页 下页 返回 结束
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内容小结
1,弧长微分 xys d1d 2 或 22 )(d)(dd yxs
2,曲率公式 sK d
d
2
3)1( 2y
y
3,曲率圆曲率半径 KR
1?
y
y
23)1( 2
曲率中心 y
yyx
)1( 2?
y
yy
21?
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
1,曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?
答,有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同,
2,求双曲线 的曲率半径 R,并分析何处 R 最小?
解,,
1
2xy,
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3xy 则
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y
234 )1( 1
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利用 baba 222
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
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