第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
第 1章 信号与系统
1.1 信号
1.2 系统
1.3 信号与系统分析概述第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
1.1 信号
1.1.1 信号的分类信号的分类方法很多,可以从不同的角度对信号进行分类 。 在信号与系统分析中,我们常以信号所具有的时间函数特性来加以分类 。 这样,信号可以分为确定信号与随机信号 (如图 1.1所示 ),连续时间信号与离散时间信号,周期信号与非周期信号,能量信号与功率信号,实信号与复信号等 。
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,信号与线性系统,
1.确定信号与随机信号确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号,
在其定义域内任意时刻都有确定的函数值 。 例如电路中的正弦信号和各种形状的周期信号等 。
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,信号与线性系统,
图 1.1 确定信号与随机信号波形
21 3
4
－ 1－ 2－ 3－ 4 t
2
1
－ 1
－ 2
f ( t )
0 21 3 4－ 1－ 2－ 3－ 4 t
2
1
f ( t )
0
( a ) ( b )
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2,连续时间信号与离散时间信号连续时间信号是指在信号的定义域内,任意时刻都有确定的函数值的信号,通常用 f(t)表示 。 连续时间信号最明显的特点是自变量 t在其定义域上除有限个间断点外,其余是连续可变的 。 例如,正弦信号为连续时间信号 。
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,信号与线性系统,
图 1.2 连续时间信号波形与离散时间信号波形第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
3,周期信号与非周期信号周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号 。 连续周期信号与离散周期信号的数学表示分别为
f(t)=f(t+nT),n=± 1,± 2,± 3,…,-∞<t<∞ (1― 1)
f =f(k+nN),n=± 1,± 2,± 3,…,-∞<k<∞,(k取整数 )(1― 2)
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4,能量信号与功率信号如果把信号 f(t)看作是随时间变化的电压和电流,
则当信号 f(t)通过 1Ω电阻时,信号在时间间隔 -Ｔ ≤t≤T
内所消耗的能量称为归一化能量,即为而在上述时间间隔 -Ｔ ≤t≤T内的平均功率称为归一化功率,即为
2li m ( )T
TTW f t dt
(1―3)
21 l i m ( )
2
T
TTP f t d tT
(1―4)
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如图１,３ (a)所示的脉冲信号；持续时间无限而幅度有限的非周期信号为功率信号,如图１,３ (b)所示；
持续时间无限,幅度也无限的非周期信号为非功率,
非能量信号,如图１,３ (c)所示的单位斜坡信号 t·u(t)。
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图 1.3 三种非周期信号第 1章 信号与系统
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当然,上述定义式 (1― 3),(1― 4)是连续时间信号
f(t)的归一化能量Ｗ和归一化功率Ｐ的定义,对于离散时间信号 f［ k］,其归一化能量Ｗ与归一化功率Ｐ的定义分别为
2
2
li m [ ]
1
li m [ ]
2
N
N
N
N
N
N
W f k
P f k
N
(1―5)
(1―6)
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5.实信号与复信号实信号 ——f(t)=f*(t),它是一个实函数 。
f*(t)为 f(t)的共轭函数 。
复信号 ——f(t)≠f*(t),它是一个复函数,即
f(t)=f1(t)+jf2(t) (1― 7)
式中 f1(t)与 f2(t)均为实函数 。
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实际信号一般都是实信号,但是为了简化运算,
常常引用复信号并以其实部或虚部表示实际信号 。 例如,常用复指数信号
e jωt=cosωt+jsinωt
表示余弦,正弦信号；常用
e(-σt+jωt)=e-σt cosωt+je-σt sinωt
表示幅度衰减的余弦、正弦振荡信号等等。
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1.1.2 信号的基本运算与波形变换
1.加法运算任一瞬间的和信号值 y(t)或 y［ k］ 等于同一瞬间相加信号瞬时值的和 。 即
y(t)=f1(t)+f2(t) (1― 8)
或
y［ k］ =f1［ k］ +f2［ k］ (1― 9)
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2,乘法运算任一瞬时的乘积信号值 y(t)或 y［ k］ 等于同一瞬时相乘信号瞬时值的积 。 即
y(t)=f1(t)·f2(t) (1― 10)
y［ k］ =f1［ k］ ·f2［ k］ (1― 11)
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3,数乘 (标乘 )
信号 f1(t)或 f1［ k］ 和一个常数 a相乘的积 。 即
y(t)=a·f1(t) (1― 12)
y［ k］ =a·f1［ k］ (1― 13)
4.微分信号的微分是指信号对时间的导数 。 可表示为
( ) ( ) ( )dy t f t f tdt
(1― 14)
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5,积分信号的积分是指信号在区间 (-∞,t)上的积分 。 可表示为
( 1 )( ) ( ) ( )ty t f d f t
(1― 15)
图１,５是信号积分的一个例子 。
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图 1.4 信号的微分
－ 1－ 2 10 2
1
f ( t )
t
( a )
－ 1－ 2 10 2
1
t
－ 1
( b )
t
tf
d
)(d
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图 1.5 信号的积分
0 t
f ( t )
1
1
0 t1
1
t
fty d)()(
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6.反转以变量－ t代替 f(t)中的独立自变量 t,可得反转信号 f(-t)。 它是 f(t)以纵轴 (t=0)为转轴作 180° 反转而得到的信号波形,如图１,６所示 。
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图 1.7 离散时间信号及反转波形图 1.6 连续时间信号及反转波形第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
7.平移以变量 t- t0代替信号 f(t)中的独立变量 t,得信号 f(t-
t0),它是信号 f(t)沿时间轴平移 t0的波形 。 这里 f(t)与
f(t-t0)的波形形状完全一样,只是在位置上移动了 t0(t0为一实常数 )。 t0 >0,f(t)右移； t0 <0,f(t)左移；平移距离为 | t0 |。
图１,８表示连续时间信号的平移。这类信号在雷达、声纳和地震信号处理中经常遇到。利用位移信号
f(t- t0)和原信号 f(t)在时间上的迟延，可以探测目标和震源的距离。
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图 1.8 连续时间信号的平移
0 1 2 3 4－ 1－ 2
1
2
f ( t )
0 1 2 3 4－ 1－ 2
1
2
f ( t － 2 )
t t
( a ) ( b )
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8,展缩 (尺度变换 )
以变量 at代替 f(t)中的独立变量 t可得 f(at),它是 f(t)
沿时间轴展缩 (尺度变换 )而成的一个新的信号函数或波形 。 信号 f(at)中,a为常数,|a|>1时表示 f(t)沿时间轴压缩成原来的 1/|a|倍； |a|<1时表示 f(t)沿时间轴扩展为原来的 1/|a|倍 。
例如，图１,９之 (a),(b),(c)分别表示 f(t),f(2t)、
f(t/2)的波形。
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图 1.9 f(t),f(2t),f(t/2)的波形
0 1 2 3 4－ 1－ 2
f ( t )
t－ 3
1
2
0 1 2 3 4－ 1－ 2 t－ 3－ 4
1
2
0 1 2 3 4－ 1－ 2 t－ 3－ 4
1
2
)
2
(
t
f
( c )( b )( a )
f (2 t )
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9.综合变换以变量 at+b代替 f(t)中的独立变量 t,可得一新的信号函数 f(at+b)。 当 a>０时,它是 f(t)沿时间轴展缩,平移后的信号波形；当 a<０时,它是 f(t)沿时间轴展缩平移和反转后的信号波形,下面举例说明其变换过程 。
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例１ ― １已知信号 f(t)的波形如图１,１０ (a)所示,
试画出信号 f(-2-t)的波形 。
解 f(t)→f( -2-t)=f(-(t+2))可分解为
f(t)—— f(-(t)) —— f(-(t+2))
t→ -t t→t+ 2
反转 平移第 1章 信号与系统
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图 1.10 信号的反转、平移
0 1 2－ 1
f ( t )
t
1
t — － t
0 1 2－ 1
－ 2
f ( － t )
t
1 t — t ＋ 2
0 1 2－ 1－ 2
f ( － ( t ＋ 2 ))
t
1
－ 3
－ 4
－ 1－ 1 － 1
( a ) ( b ) ( c )
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图 1.11 信号的反转、展缩与平移
－ 1
－ 2
10 2
1
t
( b )
－ 1
－ 1－ 2 10
2
1
f ( t )
t
( a )
－ 1
－ 1
－ 2 10 2
1
f ( － 2 t )
t
( c )
2
1
－ 1
－ 1－ 2 10 2
1
f ( － 2( t － 1 ))
t
( d )
2
3
－ 1
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例１ ― ３已知信号 f(2t+2)的波形如图１,１２ (a)所示,试画出信号 f(4-2t)的波形 。
解 f(2t+2)→f( 4-2t),则对应有
t1=0,t2=4,m=2,n=2,a=-2,b=4
利用上述关系式计算出 t11与 t22：
t11=- 1/2 (2× 0+2-4)=1
t22=-1/2 (2× 4+2-4)=-3
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图 1.12 信号综合变换
0 1 2 3 4－ 1－ 2
f (2 t ＋ 2 )
t－ 3－ 4
1
2
0 1 2 3 4－ 1－ 2 t－ 3－ 4
1
2
( b )( a )
f (4 － 2 t )
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通过以上分析,可以归纳出普通信号基本变换的一般步骤：
(1)若信号 f(t)→f(at+b),则先反转,后展缩,再平移；
(２ )若信号 f(mt+n)→f(t),则先平移,后展缩,再反转；
(３ )若信号 f(mt+n)→f(at+b),则先实现 f(mt+n)→f(t),
再进行 f(t)→f(at+b) 。
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例１ ― ４试粗略地画出下列信号的波形图：
(1) f1(t)=(2-3e-t)·u(t)；
(2) f2(t)=(5e-t-5e-3t)·u(t)；
(3) f3(t)=e-|t|(-∞<t<∞)；
(4) f4(t)=cosπ(t-1)·u(t+1)；
(5) f5(t)=sin π /2 (1-t)·u(t-1)；
(6) f6(t)=e-tcos10πt(u(t-1)-u(t-2))；
(7) f7(t)= 1- |t|/2 (u(t+2)-u(t-2))；
(8) f8(t)=u(t2-1)。
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解 描绘信号波形是本课程的一项基本训练 。 在绘图时应注意信号的基本特征,变化趋势,起始和终点位置,并应标出信号的初值,终值以及一些关键的点及线,如极大值,极小值,渐近线等 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,图 1.13 例 1―4 图
0 1 2 3 4－ 1
f
4
( t )
t
0 1 2 3 4
f
5
( t )
t
5
1
－ 1
－ 1
0 1 2
f
6
( t )
t
e
－ t
－ e
－ t
0 1 2
3
4
t
1
2
－ 1
－ 2
－ 3
2 u ( t ) ＝ f
a
( t )
f
1
( t )
f
1
( t )
－ 3 e
－ t
u ( t ) ＝ f
b
( t )
f
2
( t )
f
3
( t )
0
t
3ln
2
1
1,9 2
0
1
t
( a ) ( b ) ( c )
( d ) ( e ) ( f )
0 1 2－ 2
f
7
( t )
t
－ 1
1
0 1 2－ 2
f
8
( t )
t
－ 1
1
( g ) ( h )
1
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1.2 系统为了说明系统的基本概念,我们分析如图１,１ 4(a)
所示的ＲＣ一阶动态电路 。 图中电容Ｃ具有初始电压
Ｕ O,开关Ｋ在ｔ＝０时刻闭合,且有Ｕ S>UO,使电容充电 。
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u
C
( t )
U
S
U
O
O t
＋
－
U
S
u
C
( t )
＋
－
R
C
K
t ＝ 0
( a ) ( b )
图 1.14 RC电路与电容电压第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
由一阶动态电路知识可知,若以电容电压Ｕ C(t)为变量,该电路的动态方程式为
11
( ) 0
( ) ( 1 ) 0
C
CS
RC RC
C O S
du
RC u t U t
dt
u t U e U e t
其全解为第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图１,１ 5 单输入单输出系统方框图
f ( t ) y ( t )
y ( 0 )
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整个系统可用图 1.１ 5所示的方框图表示 。 其中 ψ
表示系统的功能作用,它取决于系统的内部结构与元件参数 。 系统的输出响应 y(t)是系统的初始状态 y(0)与输入激励 f(t)的函数,即
y(t)=ψ［ y(0),f(t)］,t≥0 (1― 16)
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,信号与线性系统,
当系统的输入激励有多个,系统的初始状态也有多个时,系统响应 y(t)是这多个输入激励与多个初始状态的函数,即
y(t)=ψ［ x1(0),x2(0),…,f1(t),f2(t),…］ (1― 17)
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
1.2.1系统的分类系统可按多种方法进行分类 。 不同类型的系统其系统分析的过程是一样的,但系统的数学模型不同,因而其分析方法也就不同 。
1,连续时间系统与离散时间系统系统的输入和输出是连续时间变量 t的函数,叫作连续时间系统 。 输入用 f(t)表示,输出用 y(t)表示 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
2,线性系统与非线性系统线性系统是指具有线性特性的系统,线性特性包括均匀性与叠加性 。 线性系统的数学模型是线性微分方程和线性差分方程 。
系统具有叠加性是指当若干个输入激励同时作用于系统时,系统的输出响应是每个输入激励单独作用时 (此时其余输入激励为零 )相应输出响应的叠加,系统的均匀性和叠加性可表示如下：
11
11
( ) ( )
( ) ( )
f t y t
n f t n y t
(1―18)
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,信号与线性系统,
叠加性,若 f1(t)→y 1(t),f2(t)→y 2(t)
则 f1(t)+f2(t)→y 1(t)+y2(t) (1― 19)
线性特性要求系统同时具有均匀性和叠加性 。 线性特性可表示为若 f1(t)→y 1(t),f2(t)→y 2(t)
则 a·f1(t)+b·f2(t)→a ·y1(t)+b·y2(t) (1― 20)
式中 a,b为任意常数,上式如图 1.１ 6所示 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.１ 6 系统的线性特性示意图
f
1
( t ) y
1
( t )
f
2
( t ) y
2
( t )
a · f
1
( t ) ＋ b· f
2
( t ) a · y
1
( t ) ＋ b· y
2
( t )
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,信号与线性系统,
系统的零输入响应 yx(t)绝对不应与 f(t)有关,而系统的零状态响应 yf(t)也不应与初始状态有关 。 于是,当线性系统既存在外部输入激励同时又具有初始状态时,
系统的输出响应必定是零输入响应与零状态响应的叠加,称之为完全响应,以 y(t)表示,即有
y(t)=yx(t)+yf(t) (1― 21)
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
同理,对于具有线性特性的离散时间系统,应有以下表达式若
f1［ k］ → y1［ k］,f2［ k］ → y2［ k］
则
a·f1［ k］ +b·f2［ k］ → a·y1［ k］ +b·y2［ k］ (1― 22)
式中 a,b为任意常数 。 同样,系统的完全响应可表示为
y［ k］ =yx［ k］ +yf［ k］ (1― 23)
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
例１ ― ５判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统 (其中 y(0)为系统的初始状态,f(t)为系统的输入激励,y(t)为系统的输出响应 )。
(1) y(t)=5y(0)+4f(t)；
(2) y(t)=2y(0)+6f2(t)；
(3) y(t)=4y(0)f(t)+3f(t)；
(4) y(t)=2t2y(0)+7
(5) y(t)=4y(0)+4t
(6) y(t)=6y2(0)+4f(t)
(7)y(t)=4y(0)+3f(t)+2
()df t
dt
0 ()
t fd
()df t
dt
()df t
dt
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
(8) y(t)=4y(0)+3y2(0)+6f(t)+t2
例１ ― ６某线性离散系统的初始状态为
()df t
dt
1
2
1
[ ] ( ) [ ] ( 0 )
2
1
[ ] ( ) [ ] ( 0 )
2
k
k
y k u k k
y k u k k
若初始状态不变,激励为 -f［ k］ 时,响应为第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
例１ ― ７已知某线性系统,当其初始状态 y(0)=2
时,系统的零输入响应 yx(t)=6e-4t,t>0。 而在初始状态
y(0)=8以及输入激励 f(t)共同作用下产生的系统完全响应 y(t)=3e-4t+5e-t,t>0。
试求,(１ )系统的零状态响应 yf(t)； (２ )系统在初始状态 y(0)=1以及输入激励为 3f(t)共同作用下系统的完全响应 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
解 (1)由于 y(0)=2时 yx(t)=6e-4t(t>0)，
故有 y(0)=8时 yx(t)=24e-4t(t>0)。
因此
yf(t)=y(t)-yx(t)=3e-4 t+5e-t-24e-4t=5e-t-21e-4t (t>0)
(2) 同理,当 y(0)=1,3f(t)作用下,有
y(t)= 1/2(6e-4t)+3(5e-t-21e-4t)=15e-t-60e-4t (t>0)
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,信号与线性系统,
3,非时变系统与时变系统一个系统,如果在零状态条件下,其输出的响应与输入激励的关系不随输入激励作用于系统的时间起点而改变时,就称为非时变系统 。 否则,就称为时变系统 。 非时变系统的特性沿时间轴是均匀的,当输入激励延时一段时间作用于系统时,其零状态响应也延时同样的一段时间,且保持输出的波形不变 。 这就是非时变特性,可表示为若
f(t)→y f(t)
则
f(t-t0)→y f(t-t0)
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,信号与线性系统,
同理,对于非时变离散时间系统,可表示为若
f［ k］ → yf［ k］
则
f［ k-n］ → yf［ k-n］
式中,n为任意整数 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.１ 7 非时变系统示意图
f ( t )
t1
1
0
f ( t ) y
f
( t )
y ( 0 ) ＝ 0
y
f
( t )
t1
1
0 2
y
f
( t － t
0
)
t
1
0 t
0
t
0
＋ 1 t
0
＋ 2
f ( t － t
0
)
t
1
0 t
0
t
0
＋ 1
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
例１ ― ８试判断下列系统是否为非时变系统：
(1)y(t)=sin(f(t))；
(2)y(t)=cost·f(t)；
(3)y(t)=4f2(t)+3f(t)；
(4)y(t)=2t·f(t)。
解判断一个系统是否为非时变系统,只需判断当输入激励 f(t)变为 f(t-t0)时,相应的输出响应是否也由 y(t)
变为 y(t-t0)。 因为只涉及系统的零状态响应,所以无需考虑系统的初始状态 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
4,记忆系统与即时系统如果系统在任意时刻的响应仅决定于该时刻的激励,而与它过去的历史无关,则称之为即时系统 (或无记忆系统 )。 全部由无记忆元件 (如电阻 )组成的系统是即时系统 。 即时系统可用代数方程来描述 。 如果系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关,而且与它过去的历史有关,则称之为记忆系统 (或动态系统 )。
含有动态元件 (如电容,电感 )的系统是记忆系统,记忆系统可用微分方程来描述 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
5.集总参数系统与分布参数系统集总参数系统仅由集总参数元件 (如Ｒ,Ｌ,Ｃ等 )
所组成 。 对于集总参数系统,人们认为系统的电能仅储存在电容中,磁能仅储存在电感中,而电阻是消耗能量的元件,同时还认为,在这样的系统中电磁能量的传输不需要时间,作用于系统任何处的激励,能立即传输到系统各处 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
6,因果系统与非因果系统因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时才产生输出响应的系统 。 这就是说,因果系统的输出响应不会出现在输入信号激励之前 。 反之,不具有因果特性的系统称为非因果系统 。 一般地说,一个常系数线性微分方程式或差分方程式描述的系统,如果当 t>0时输入信号为零,而此时的零状态响应也为零 。
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1.2.2 系统模拟与相似系统连续系统的模拟通常由三种功能部件组成：积分器,相加器和数乘器,它们的时域表示符号如图
1.18所示 。
图 1.18 连续时间系统的模拟器件
t
f d)(f ( t )
f
1
( t )
f
2
( t )
f
1
( t ) ＋ f
2
( t )
＋
＋
a
1
f ( t ) a
1
f ( t )
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,信号与线性系统,
例１ ― ９试用积分器,相加器和数乘器模拟二阶线性微分方程 y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=f(t)所描述的系统 。
解因为 y″(t)=-a1y′(t)-a0y(t)+f(t)，
所以,需一个相加器,两个积分器和两个数乘器组成该系统的模拟装置,如图 1.１ 9所示 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.19 例１ ― ９的模拟图
a
1
＋
－ －
a
0
f ( t ) y ( t )
y ( t )′y ( t )″
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
例１ ― １０试模拟 y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=b1f′(t)+b0f(t)
所描述的系统。
解因为本例激励部分中比上例多了一项 b1f′(t)。 我们在上例的基础上作出该系统的模拟图 。 设新变量 q(t)，
它满足方程
q″(t)+a1q′(t)+a0q(t)=f(t)
即为例１ ― ９所满足的数学模型,因而其模拟图也如图 1.１ 9所示 。 我们再将此式乘以 b1后求导,然后再与 b0f(t)相加,得第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
1 1 1 0 1 0 1 0 0 0
10
1 0 1 1 0 0 1 0
10
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
dq dq dq
b a b a b b q a b q a b q
dt dt dt
df
b b f
dt
dq dq dq
b b q a b b q a b b q
dt dt dt
df
b b f
dt
将系数相同的项合并，得第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.２ 0 例１ ― １０的模拟图
b 0?
a
0
a
1
b
1
＋
－－
＋
＋
y ( t )f ( t )
q ( t ) q ( t ) q ( t )″ ′
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.２ 1延时单元离散系统的模拟通常由延时单元,
相加器和数乘器组成 。 相加器与数乘器的功能和符号与连续系统相同 。 延时单元实际上是一个存储器,它把信号存储一个取样周期 。 它可以采用延时线 (主要用于离散信号处理 )或移位寄存器 (主要用于数字信号处理 ),延时单元的时域符号如图 1.21所示 。
图 1.２ 1 延时单元
Df [ k ] f [ k － 1 ]
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
例１ ― １１试画出下列方程所描述的系统的模拟图：
(1)y(t)+2y″(t)+2y′(t)+y(t)=f′(t)+3f(t)；
(2)y［ k］ +3y［ k-1］ +2y［ k-2］ =f［ k］ +3f［ k-1］ 。
解 画系统的模拟图时,应注意两点：其一是相加器的输出是微分方程 (或是差分方程 )的最高阶；其二是当激励的阶数高于或等于一阶时,应采用变量代换的方法 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
(1) 令 q(t)+2q″(t)+2q′(t)+q(t)=f(t),则
y(t)=q′(t)+3q(t)
q(t)=f(t)-2q″(t)-2q′(t)-q(t)
其模拟图如图 1.２ 2(a)所示 。
(2) 令 f［ k］ =q［ k］ +3q［ k-1］ +2q［ k-2］,则
y［ k］ =q［ k］ +3q［ k-1］
q［ k］ =f［ k］ -3q［ k-1］ -2q［ k-2］
其模拟图如图 1.２ 2(b)所示 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.２ 2 例１ ― １１模拟图
3?
2
＋
－
－
＋
＋
y ( t )f ( t )
q ( t ) q ( t )
″
q ( t )
′
2
q ( t )
1
″ ′
( a )
f [ k ]
3
D
q [ k ]
D
q [ k － 1 ] q [ k － 2 ]
2
3
1
y [ k ]
＋
－
－
＋
＋
( b )
－
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
1.3 信号与系统分析概述信号与系统是相互依存的整体 。 信号必定由系统产生,发送,传输与接收,离开系统没有孤立存在的信号；同样,系统也离不开信号,系统的重要功能就是对信号进行加工,变换与处理 。 没有信号,系统就没有存在的意义 。 因此在实际应用中,信号与系统必须成为相互协调的整体,才能实现信号与系统各自的功能 。
,信号与线性系统,
第 1章 信号与系统
1.1 信号
1.2 系统
1.3 信号与系统分析概述第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
1.1 信号
1.1.1 信号的分类信号的分类方法很多,可以从不同的角度对信号进行分类 。 在信号与系统分析中,我们常以信号所具有的时间函数特性来加以分类 。 这样,信号可以分为确定信号与随机信号 (如图 1.1所示 ),连续时间信号与离散时间信号,周期信号与非周期信号,能量信号与功率信号,实信号与复信号等 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
1.确定信号与随机信号确定信号是指能够以确定的时间函数表示的信号,
在其定义域内任意时刻都有确定的函数值 。 例如电路中的正弦信号和各种形状的周期信号等 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.1 确定信号与随机信号波形
21 3
4
－ 1－ 2－ 3－ 4 t
2
1
－ 1
－ 2
f ( t )
0 21 3 4－ 1－ 2－ 3－ 4 t
2
1
f ( t )
0
( a ) ( b )
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
2,连续时间信号与离散时间信号连续时间信号是指在信号的定义域内,任意时刻都有确定的函数值的信号,通常用 f(t)表示 。 连续时间信号最明显的特点是自变量 t在其定义域上除有限个间断点外,其余是连续可变的 。 例如,正弦信号为连续时间信号 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.2 连续时间信号波形与离散时间信号波形第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
3,周期信号与非周期信号周期信号是每隔一个固定的时间间隔重复变化的信号 。 连续周期信号与离散周期信号的数学表示分别为
f(t)=f(t+nT),n=± 1,± 2,± 3,…,-∞<t<∞ (1― 1)
f =f(k+nN),n=± 1,± 2,± 3,…,-∞<k<∞,(k取整数 )(1― 2)
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
4,能量信号与功率信号如果把信号 f(t)看作是随时间变化的电压和电流,
则当信号 f(t)通过 1Ω电阻时,信号在时间间隔 -Ｔ ≤t≤T
内所消耗的能量称为归一化能量,即为而在上述时间间隔 -Ｔ ≤t≤T内的平均功率称为归一化功率,即为
2li m ( )T
TTW f t dt
(1―3)
21 l i m ( )
2
T
TTP f t d tT
(1―4)
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
如图１,３ (a)所示的脉冲信号；持续时间无限而幅度有限的非周期信号为功率信号,如图１,３ (b)所示；
持续时间无限,幅度也无限的非周期信号为非功率,
非能量信号,如图１,３ (c)所示的单位斜坡信号 t·u(t)。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.3 三种非周期信号第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
当然,上述定义式 (1― 3),(1― 4)是连续时间信号
f(t)的归一化能量Ｗ和归一化功率Ｐ的定义,对于离散时间信号 f［ k］,其归一化能量Ｗ与归一化功率Ｐ的定义分别为
2
2
li m [ ]
1
li m [ ]
2
N
N
N
N
N
N
W f k
P f k
N
(1―5)
(1―6)
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
5.实信号与复信号实信号 ——f(t)=f*(t),它是一个实函数 。
f*(t)为 f(t)的共轭函数 。
复信号 ——f(t)≠f*(t),它是一个复函数,即
f(t)=f1(t)+jf2(t) (1― 7)
式中 f1(t)与 f2(t)均为实函数 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
实际信号一般都是实信号,但是为了简化运算,
常常引用复信号并以其实部或虚部表示实际信号 。 例如,常用复指数信号
e jωt=cosωt+jsinωt
表示余弦,正弦信号；常用
e(-σt+jωt)=e-σt cosωt+je-σt sinωt
表示幅度衰减的余弦、正弦振荡信号等等。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
1.1.2 信号的基本运算与波形变换
1.加法运算任一瞬间的和信号值 y(t)或 y［ k］ 等于同一瞬间相加信号瞬时值的和 。 即
y(t)=f1(t)+f2(t) (1― 8)
或
y［ k］ =f1［ k］ +f2［ k］ (1― 9)
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
2,乘法运算任一瞬时的乘积信号值 y(t)或 y［ k］ 等于同一瞬时相乘信号瞬时值的积 。 即
y(t)=f1(t)·f2(t) (1― 10)
y［ k］ =f1［ k］ ·f2［ k］ (1― 11)
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
3,数乘 (标乘 )
信号 f1(t)或 f1［ k］ 和一个常数 a相乘的积 。 即
y(t)=a·f1(t) (1― 12)
y［ k］ =a·f1［ k］ (1― 13)
4.微分信号的微分是指信号对时间的导数 。 可表示为
( ) ( ) ( )dy t f t f tdt
(1― 14)
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
5,积分信号的积分是指信号在区间 (-∞,t)上的积分 。 可表示为
( 1 )( ) ( ) ( )ty t f d f t
(1― 15)
图１,５是信号积分的一个例子 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.4 信号的微分
－ 1－ 2 10 2
1
f ( t )
t
( a )
－ 1－ 2 10 2
1
t
－ 1
( b )
t
tf
d
)(d
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.5 信号的积分
0 t
f ( t )
1
1
0 t1
1
t
fty d)()(
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
6.反转以变量－ t代替 f(t)中的独立自变量 t,可得反转信号 f(-t)。 它是 f(t)以纵轴 (t=0)为转轴作 180° 反转而得到的信号波形,如图１,６所示 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.7 离散时间信号及反转波形图 1.6 连续时间信号及反转波形第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
7.平移以变量 t- t0代替信号 f(t)中的独立变量 t,得信号 f(t-
t0),它是信号 f(t)沿时间轴平移 t0的波形 。 这里 f(t)与
f(t-t0)的波形形状完全一样,只是在位置上移动了 t0(t0为一实常数 )。 t0 >0,f(t)右移； t0 <0,f(t)左移；平移距离为 | t0 |。
图１,８表示连续时间信号的平移。这类信号在雷达、声纳和地震信号处理中经常遇到。利用位移信号
f(t- t0)和原信号 f(t)在时间上的迟延，可以探测目标和震源的距离。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.8 连续时间信号的平移
0 1 2 3 4－ 1－ 2
1
2
f ( t )
0 1 2 3 4－ 1－ 2
1
2
f ( t － 2 )
t t
( a ) ( b )
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
8,展缩 (尺度变换 )
以变量 at代替 f(t)中的独立变量 t可得 f(at),它是 f(t)
沿时间轴展缩 (尺度变换 )而成的一个新的信号函数或波形 。 信号 f(at)中,a为常数,|a|>1时表示 f(t)沿时间轴压缩成原来的 1/|a|倍； |a|<1时表示 f(t)沿时间轴扩展为原来的 1/|a|倍 。
例如，图１,９之 (a),(b),(c)分别表示 f(t),f(2t)、
f(t/2)的波形。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.9 f(t),f(2t),f(t/2)的波形
0 1 2 3 4－ 1－ 2
f ( t )
t－ 3
1
2
0 1 2 3 4－ 1－ 2 t－ 3－ 4
1
2
0 1 2 3 4－ 1－ 2 t－ 3－ 4
1
2
)
2
(
t
f
( c )( b )( a )
f (2 t )
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
9.综合变换以变量 at+b代替 f(t)中的独立变量 t,可得一新的信号函数 f(at+b)。 当 a>０时,它是 f(t)沿时间轴展缩,平移后的信号波形；当 a<０时,它是 f(t)沿时间轴展缩平移和反转后的信号波形,下面举例说明其变换过程 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
例１ ― １已知信号 f(t)的波形如图１,１０ (a)所示,
试画出信号 f(-2-t)的波形 。
解 f(t)→f( -2-t)=f(-(t+2))可分解为
f(t)—— f(-(t)) —— f(-(t+2))
t→ -t t→t+ 2
反转 平移第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.10 信号的反转、平移
0 1 2－ 1
f ( t )
t
1
t — － t
0 1 2－ 1
－ 2
f ( － t )
t
1 t — t ＋ 2
0 1 2－ 1－ 2
f ( － ( t ＋ 2 ))
t
1
－ 3
－ 4
－ 1－ 1 － 1
( a ) ( b ) ( c )
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.11 信号的反转、展缩与平移
－ 1
－ 2
10 2
1
t
( b )
－ 1
－ 1－ 2 10
2
1
f ( t )
t
( a )
－ 1
－ 1
－ 2 10 2
1
f ( － 2 t )
t
( c )
2
1
－ 1
－ 1－ 2 10 2
1
f ( － 2( t － 1 ))
t
( d )
2
3
－ 1
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
例１ ― ３已知信号 f(2t+2)的波形如图１,１２ (a)所示,试画出信号 f(4-2t)的波形 。
解 f(2t+2)→f( 4-2t),则对应有
t1=0,t2=4,m=2,n=2,a=-2,b=4
利用上述关系式计算出 t11与 t22：
t11=- 1/2 (2× 0+2-4)=1
t22=-1/2 (2× 4+2-4)=-3
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.12 信号综合变换
0 1 2 3 4－ 1－ 2
f (2 t ＋ 2 )
t－ 3－ 4
1
2
0 1 2 3 4－ 1－ 2 t－ 3－ 4
1
2
( b )( a )
f (4 － 2 t )
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
通过以上分析,可以归纳出普通信号基本变换的一般步骤：
(1)若信号 f(t)→f(at+b),则先反转,后展缩,再平移；
(２ )若信号 f(mt+n)→f(t),则先平移,后展缩,再反转；
(３ )若信号 f(mt+n)→f(at+b),则先实现 f(mt+n)→f(t),
再进行 f(t)→f(at+b) 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
例１ ― ４试粗略地画出下列信号的波形图：
(1) f1(t)=(2-3e-t)·u(t)；
(2) f2(t)=(5e-t-5e-3t)·u(t)；
(3) f3(t)=e-|t|(-∞<t<∞)；
(4) f4(t)=cosπ(t-1)·u(t+1)；
(5) f5(t)=sin π /2 (1-t)·u(t-1)；
(6) f6(t)=e-tcos10πt(u(t-1)-u(t-2))；
(7) f7(t)= 1- |t|/2 (u(t+2)-u(t-2))；
(8) f8(t)=u(t2-1)。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
解 描绘信号波形是本课程的一项基本训练 。 在绘图时应注意信号的基本特征,变化趋势,起始和终点位置,并应标出信号的初值,终值以及一些关键的点及线,如极大值,极小值,渐近线等 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,图 1.13 例 1―4 图
0 1 2 3 4－ 1
f
4
( t )
t
0 1 2 3 4
f
5
( t )
t
5
1
－ 1
－ 1
0 1 2
f
6
( t )
t
e
－ t
－ e
－ t
0 1 2
3
4
t
1
2
－ 1
－ 2
－ 3
2 u ( t ) ＝ f
a
( t )
f
1
( t )
f
1
( t )
－ 3 e
－ t
u ( t ) ＝ f
b
( t )
f
2
( t )
f
3
( t )
0
t
3ln
2
1
1,9 2
0
1
t
( a ) ( b ) ( c )
( d ) ( e ) ( f )
0 1 2－ 2
f
7
( t )
t
－ 1
1
0 1 2－ 2
f
8
( t )
t
－ 1
1
( g ) ( h )
1
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
1.2 系统为了说明系统的基本概念,我们分析如图１,１ 4(a)
所示的ＲＣ一阶动态电路 。 图中电容Ｃ具有初始电压
Ｕ O,开关Ｋ在ｔ＝０时刻闭合,且有Ｕ S>UO,使电容充电 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
u
C
( t )
U
S
U
O
O t
＋
－
U
S
u
C
( t )
＋
－
R
C
K
t ＝ 0
( a ) ( b )
图 1.14 RC电路与电容电压第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
由一阶动态电路知识可知,若以电容电压Ｕ C(t)为变量,该电路的动态方程式为
11
( ) 0
( ) ( 1 ) 0
C
CS
RC RC
C O S
du
RC u t U t
dt
u t U e U e t
其全解为第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图１,１ 5 单输入单输出系统方框图
f ( t ) y ( t )
y ( 0 )
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
整个系统可用图 1.１ 5所示的方框图表示 。 其中 ψ
表示系统的功能作用,它取决于系统的内部结构与元件参数 。 系统的输出响应 y(t)是系统的初始状态 y(0)与输入激励 f(t)的函数,即
y(t)=ψ［ y(0),f(t)］,t≥0 (1― 16)
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
当系统的输入激励有多个,系统的初始状态也有多个时,系统响应 y(t)是这多个输入激励与多个初始状态的函数,即
y(t)=ψ［ x1(0),x2(0),…,f1(t),f2(t),…］ (1― 17)
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
1.2.1系统的分类系统可按多种方法进行分类 。 不同类型的系统其系统分析的过程是一样的,但系统的数学模型不同,因而其分析方法也就不同 。
1,连续时间系统与离散时间系统系统的输入和输出是连续时间变量 t的函数,叫作连续时间系统 。 输入用 f(t)表示,输出用 y(t)表示 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
2,线性系统与非线性系统线性系统是指具有线性特性的系统,线性特性包括均匀性与叠加性 。 线性系统的数学模型是线性微分方程和线性差分方程 。
系统具有叠加性是指当若干个输入激励同时作用于系统时,系统的输出响应是每个输入激励单独作用时 (此时其余输入激励为零 )相应输出响应的叠加,系统的均匀性和叠加性可表示如下：
11
11
( ) ( )
( ) ( )
f t y t
n f t n y t
(1―18)
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
叠加性,若 f1(t)→y 1(t),f2(t)→y 2(t)
则 f1(t)+f2(t)→y 1(t)+y2(t) (1― 19)
线性特性要求系统同时具有均匀性和叠加性 。 线性特性可表示为若 f1(t)→y 1(t),f2(t)→y 2(t)
则 a·f1(t)+b·f2(t)→a ·y1(t)+b·y2(t) (1― 20)
式中 a,b为任意常数,上式如图 1.１ 6所示 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
图 1.１ 6 系统的线性特性示意图
f
1
( t ) y
1
( t )
f
2
( t ) y
2
( t )
a · f
1
( t ) ＋ b· f
2
( t ) a · y
1
( t ) ＋ b· y
2
( t )
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
系统的零输入响应 yx(t)绝对不应与 f(t)有关,而系统的零状态响应 yf(t)也不应与初始状态有关 。 于是,当线性系统既存在外部输入激励同时又具有初始状态时,
系统的输出响应必定是零输入响应与零状态响应的叠加,称之为完全响应,以 y(t)表示,即有
y(t)=yx(t)+yf(t) (1― 21)
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
同理,对于具有线性特性的离散时间系统,应有以下表达式若
f1［ k］ → y1［ k］,f2［ k］ → y2［ k］
则
a·f1［ k］ +b·f2［ k］ → a·y1［ k］ +b·y2［ k］ (1― 22)
式中 a,b为任意常数 。 同样,系统的完全响应可表示为
y［ k］ =yx［ k］ +yf［ k］ (1― 23)
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
例１ ― ５判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统 (其中 y(0)为系统的初始状态,f(t)为系统的输入激励,y(t)为系统的输出响应 )。
(1) y(t)=5y(0)+4f(t)；
(2) y(t)=2y(0)+6f2(t)；
(3) y(t)=4y(0)f(t)+3f(t)；
(4) y(t)=2t2y(0)+7
(5) y(t)=4y(0)+4t
(6) y(t)=6y2(0)+4f(t)
(7)y(t)=4y(0)+3f(t)+2
()df t
dt
0 ()
t fd
()df t
dt
()df t
dt
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
(8) y(t)=4y(0)+3y2(0)+6f(t)+t2
例１ ― ６某线性离散系统的初始状态为
()df t
dt
1
2
1
[ ] ( ) [ ] ( 0 )
2
1
[ ] ( ) [ ] ( 0 )
2
k
k
y k u k k
y k u k k
若初始状态不变,激励为 -f［ k］ 时,响应为第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
例１ ― ７已知某线性系统,当其初始状态 y(0)=2
时,系统的零输入响应 yx(t)=6e-4t,t>0。 而在初始状态
y(0)=8以及输入激励 f(t)共同作用下产生的系统完全响应 y(t)=3e-4t+5e-t,t>0。
试求,(１ )系统的零状态响应 yf(t)； (２ )系统在初始状态 y(0)=1以及输入激励为 3f(t)共同作用下系统的完全响应 。
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
解 (1)由于 y(0)=2时 yx(t)=6e-4t(t>0)，
故有 y(0)=8时 yx(t)=24e-4t(t>0)。
因此
yf(t)=y(t)-yx(t)=3e-4 t+5e-t-24e-4t=5e-t-21e-4t (t>0)
(2) 同理,当 y(0)=1,3f(t)作用下,有
y(t)= 1/2(6e-4t)+3(5e-t-21e-4t)=15e-t-60e-4t (t>0)
第 1章 信号与系统
,信号与线性系统,
3,非时变系统与时变系统一个系统,如果在零状态条件下,其输出的响应与输入激励的关系不随输入激励作用于系统的时间起点而改变时,就称为非时变系统 。 否则,就称为时变系统 。 非时变系统的特性沿时间轴是均匀的,当输入激励延时一段时间作用于系统时,其零状态响应也延时同样的一段时间,且保持输出的波形不变 。 这就是非时变特性,可表示为若
f(t)→y f(t)
则
f(t-t0)→y f(t-t0)
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同理,对于非时变离散时间系统,可表示为若
f［ k］ → yf［ k］
则
f［ k-n］ → yf［ k-n］
式中,n为任意整数 。
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图 1.１ 7 非时变系统示意图
f ( t )
t1
1
0
f ( t ) y
f
( t )
y ( 0 ) ＝ 0
y
f
( t )
t1
1
0 2
y
f
( t － t
0
)
t
1
0 t
0
t
0
＋ 1 t
0
＋ 2
f ( t － t
0
)
t
1
0 t
0
t
0
＋ 1
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例１ ― ８试判断下列系统是否为非时变系统：
(1)y(t)=sin(f(t))；
(2)y(t)=cost·f(t)；
(3)y(t)=4f2(t)+3f(t)；
(4)y(t)=2t·f(t)。
解判断一个系统是否为非时变系统,只需判断当输入激励 f(t)变为 f(t-t0)时,相应的输出响应是否也由 y(t)
变为 y(t-t0)。 因为只涉及系统的零状态响应,所以无需考虑系统的初始状态 。
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4,记忆系统与即时系统如果系统在任意时刻的响应仅决定于该时刻的激励,而与它过去的历史无关,则称之为即时系统 (或无记忆系统 )。 全部由无记忆元件 (如电阻 )组成的系统是即时系统 。 即时系统可用代数方程来描述 。 如果系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关,而且与它过去的历史有关,则称之为记忆系统 (或动态系统 )。
含有动态元件 (如电容,电感 )的系统是记忆系统,记忆系统可用微分方程来描述 。
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5.集总参数系统与分布参数系统集总参数系统仅由集总参数元件 (如Ｒ,Ｌ,Ｃ等 )
所组成 。 对于集总参数系统,人们认为系统的电能仅储存在电容中,磁能仅储存在电感中,而电阻是消耗能量的元件,同时还认为,在这样的系统中电磁能量的传输不需要时间,作用于系统任何处的激励,能立即传输到系统各处 。
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6,因果系统与非因果系统因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时才产生输出响应的系统 。 这就是说,因果系统的输出响应不会出现在输入信号激励之前 。 反之,不具有因果特性的系统称为非因果系统 。 一般地说,一个常系数线性微分方程式或差分方程式描述的系统,如果当 t>0时输入信号为零,而此时的零状态响应也为零 。
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1.2.2 系统模拟与相似系统连续系统的模拟通常由三种功能部件组成：积分器,相加器和数乘器,它们的时域表示符号如图
1.18所示 。
图 1.18 连续时间系统的模拟器件
t
f d)(f ( t )
f
1
( t )
f
2
( t )
f
1
( t ) ＋ f
2
( t )
＋
＋
a
1
f ( t ) a
1
f ( t )
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例１ ― ９试用积分器,相加器和数乘器模拟二阶线性微分方程 y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=f(t)所描述的系统 。
解因为 y″(t)=-a1y′(t)-a0y(t)+f(t)，
所以,需一个相加器,两个积分器和两个数乘器组成该系统的模拟装置,如图 1.１ 9所示 。
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图 1.19 例１ ― ９的模拟图
a
1
＋
－ －
a
0
f ( t ) y ( t )
y ( t )′y ( t )″
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例１ ― １０试模拟 y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=b1f′(t)+b0f(t)
所描述的系统。
解因为本例激励部分中比上例多了一项 b1f′(t)。 我们在上例的基础上作出该系统的模拟图 。 设新变量 q(t)，
它满足方程
q″(t)+a1q′(t)+a0q(t)=f(t)
即为例１ ― ９所满足的数学模型,因而其模拟图也如图 1.１ 9所示 。 我们再将此式乘以 b1后求导,然后再与 b0f(t)相加,得第 1章 信号与系统
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1 1 1 0 1 0 1 0 0 0
10
1 0 1 1 0 0 1 0
10
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
dq dq dq
b a b a b b q a b q a b q
dt dt dt
df
b b f
dt
dq dq dq
b b q a b b q a b b q
dt dt dt
df
b b f
dt
将系数相同的项合并，得第 1章 信号与系统
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图 1.２ 0 例１ ― １０的模拟图
b 0?
a
0
a
1
b
1
＋
－－
＋
＋
y ( t )f ( t )
q ( t ) q ( t ) q ( t )″ ′
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图 1.２ 1延时单元离散系统的模拟通常由延时单元,
相加器和数乘器组成 。 相加器与数乘器的功能和符号与连续系统相同 。 延时单元实际上是一个存储器,它把信号存储一个取样周期 。 它可以采用延时线 (主要用于离散信号处理 )或移位寄存器 (主要用于数字信号处理 ),延时单元的时域符号如图 1.21所示 。
图 1.２ 1 延时单元
Df [ k ] f [ k － 1 ]
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例１ ― １１试画出下列方程所描述的系统的模拟图：
(1)y(t)+2y″(t)+2y′(t)+y(t)=f′(t)+3f(t)；
(2)y［ k］ +3y［ k-1］ +2y［ k-2］ =f［ k］ +3f［ k-1］ 。
解 画系统的模拟图时,应注意两点：其一是相加器的输出是微分方程 (或是差分方程 )的最高阶；其二是当激励的阶数高于或等于一阶时,应采用变量代换的方法 。
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(1) 令 q(t)+2q″(t)+2q′(t)+q(t)=f(t),则
y(t)=q′(t)+3q(t)
q(t)=f(t)-2q″(t)-2q′(t)-q(t)
其模拟图如图 1.２ 2(a)所示 。
(2) 令 f［ k］ =q［ k］ +3q［ k-1］ +2q［ k-2］,则
y［ k］ =q［ k］ +3q［ k-1］
q［ k］ =f［ k］ -3q［ k-1］ -2q［ k-2］
其模拟图如图 1.２ 2(b)所示 。
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图 1.２ 2 例１ ― １１模拟图
3?
2
＋
－
－
＋
＋
y ( t )f ( t )
q ( t ) q ( t )
″
q ( t )
′
2
q ( t )
1
″ ′
( a )
f [ k ]
3
D
q [ k ]
D
q [ k － 1 ] q [ k － 2 ]
2
3
1
y [ k ]
＋
－
－
＋
＋
( b )
－
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1.3 信号与系统分析概述信号与系统是相互依存的整体 。 信号必定由系统产生,发送,传输与接收,离开系统没有孤立存在的信号；同样,系统也离不开信号,系统的重要功能就是对信号进行加工,变换与处理 。 没有信号,系统就没有存在的意义 。 因此在实际应用中,信号与系统必须成为相互协调的整体,才能实现信号与系统各自的功能 。
