第 1章 信號與系統簡介 by胡興民老師連續時間信號與離散時間信號連續時間信號 (continuous-time signal)：連續時間信號以函數 x(t)表示之，其中 t是連續時間變數 。
離散時間信號 (discrete-time signal),離散時間信號只定義在離散的時間點上，一般以離散時間變數
n的序列 (sequence) x[n]表示之，其中變數 n為整數 。
連續時間信號的例子離散時間信號的例子某某年某地連續時間信號與其取樣信號離散時間信號表示方式
數學函數計算序列的數值,
或
由一數值序列 (number sequence)所組成：
其中箭號 ↑標示時序 n = 0時之項次數值，即 x[0] = 0。當序列未標示箭號 ↑時表示序列從 n = 0開始。
0,0
0,)
3
1
(][
n
nxnx n
n
},)31(,,91,31,1,0,{}{ nnx
,1,4,3,7 }0,1,- 1,2{][
nx
類比信號 (analog signal),信號之振幅 大小 (強度 )
用任意區間 [a,b]之連續數值描述之 連續值 信號
(continuous-valued signal)，其中 a和 b可以分別為
和?。
數位信號 (digital signal),信號之振幅大小用離散
(或 有限個數 )數值描述之 離散值 信號 (discrete-
valued signal) 。
圖 1- 4 數位信號的例子
類比 信號的 數位化 過程包含 信號取樣 (可將連續時間信號轉換成離散時間信號 )以及 量化
(quantization)程序 。
圖 1-6 類比信號數位化的例子圖 1-7 圖 1.6之量化轉換 (輸入與輸出對應 )示意圖
週期信號 (periodic signal),連續時間 信號 x(t)滿足條件
(1.1)
非週期信號 (nonperiodic or aperiodic signal),任何不滿足上述週期特性的 連續時間 信號 x(t) 。
連續時間信號週期特性可表示成
T0為週期信號 x(t)的 基本週期 (fundamental period)
離散時間信號 x[n]的週期特性可表示成 。
N0為週期序列 x[n]的 基本週期
tt x Tt x 所有 ),()(
mtt x mTt x 及任意正整數所有 ),()( 0
mnn xmNn x 及任意正整數所有 ],[][ 0
圖 1-8 週期信號的例子例 1-1,說明一弦波信號為週期信號,基本週期為 1/f0。
[解析 ] 若 x(t)是週期信號,x(t)須滿足定義 (1.1)式已知比較以上二式,當 T = m/f0時 x(t)可滿足定義 (1.1)式,故 x(t)
是一個週期信號,其基本週期為最小正 T值,即 T0 = 1/f0。
)2c o s ()22c o s ())(2c o s ()( 0000 tfTftfTtfTtx
為整數mm ),2c os ()c os (
例 1-2,說明信號 為週期信號,並求其基本週期 。
[解析 ] 若 x(t)是週期信號,x(t)須滿足定義 (1.1)式上式要成立,必須 。 (i) 時 (直流信號 ),任意值皆可符合條件 (1.1)式,故是週期信號,但此情況無法定義最小正 T值,即無法找到基本週期； (ii) 若,
當時,,
因此滿足條件 (1.1)式,故是週期信號,基本週期為最小正
T值,即 T0 =1/f0。
102?Tfje? 00?f
tfjetx 02)(
tfjTfjtfjTtfj eeeeTtx 0000 222)(2)(
00?f
mTf 22 0? 12mje
偶信號 (even signal),信號 x(t)或序列 x[n]滿足條件
奇信號 (odd signal),信號 x(t)或序列 x[n]滿足條件
][ ][
)()(
n x nx
t x tx
][ ][
)()(
nx nx
tx tx
圖 1-9 一個偶信號的例子圖 1-10 一個奇信號的例子
信號可以表示成一個 奇 信號與 偶 信號之和其中；
][][][
)()()(
n xn x nx
txt x tx
oe
oe
])()([
2
1
)(
])()([
2
1
)(
txtxtx
txtxtx
o
e
])[][(
2
1
][
])[][(
2
1
][
n x nxn x
n x nxn x
o
e
定型信號 (deterministic signal)是在任何 給定 時間其 數值 是 可預知 的，也就是說定型信號可用已知的 函數 加以 描述 或表示 。
有些信號在任何給定時間的數值是隨機而 不可 預知，此種 不能用 已知的數學式描述而必須用機率及統計特性描述的信號稱為 隨機信號 (random
signal) 。
例 1-4,信號,求其偶信號部份與奇信號部份。
[解析 ] 利用 (1.9)式與 三角函數 公式可求得其偶信號部份與奇信號部份：
另外，利用三角函數直接改寫原信號：
再配合我們對弦波信號的奇、偶特性的了解 (弦波信號與 分別是偶信號和奇信號 )，我們也可以很容易求得知此信號 x(t)的偶信號部份與奇信號部份，圖 1-11可加以驗證。
)6/c o s ()( 0 twtx
)s i n (
2
1
)]
6
co s ()
6
[ co s (
2
1
)(
)co s (
2
3
)]
6
co s ()
6
[ co s (
2
1
)(
000
000
twtwtwtx
twtwtwtx
o
e
)s i n (21)co s (2 3)6/co s ()( 000 twtwtwtx
)cos ( 0 tw
)sin( 0tw
圖 1-11 範例 1-4之奇、偶信號解析例 1-5,信號,舉例說明 w0與?之特性以分析此信號為定型信號或隨機信號。
[解析 ] 若 w0與?是常數則 x(t)是定型信號 (給定任意 t值皆可預知 x(t)值 )。反之，若 w0是常數，而? =?/3或? =/3的機率各半，此情況下的 x(t)則為隨機信號 (即使給定 t值，我們也無法預知 x(t)值，因為?無法預知 )。
)c o s ()( 0 twtx
信號之功率與能量
任意 連續 時間信號 x(t)的 總能量 (total energy) E及平均功率 (average power) P分別定義為,
(1.13)
離散 時間信號 x[n]的總能量 E及平均功率 P分別定義為,
( j o u l e s ) )( 2 焦耳 dttxE
( w a t t s ) )(1lim 2/ 2/ 2 瓦特 T TT dttxTP
2][ nxE
n
2][
12
1l i m nx
NP
N
NnN
信號 x(t)的總能量 E有定義而且為有限值，亦即
,那麼此信號稱為 能量 信號 。
如果信號 x(t)的平均功率 P有定義而且為有限值，亦即
,此信號則稱為 功率 信號。
假如一信號不符合上述能量及功率特性，則此信號既非能量信號也非功率信號 。
E0
P0
例 1-6,考慮一週期為 T0的週期信號,
其中角頻率 (角頻率在第 2章會說明 )；?是一常數，分析此信號為能量信號或功率信號。
[解析 ] 因為是週期信號,利用 (1.17)式計算 x(t)的平均功率上式中之弦波信號積分整數個週期為 0。 因為 x(t)的平均功率值有限,此信號為功率信號 。 一般而言,週期信號 是屬於 功率信號 。
)c o s ()( 0 twAtx
00 /2 Tw
2
)22c o s (
22
1
2
)22c o s (11
)(c o s
1
)(
1
2
0
0
0
2
0
2
0
0
02
0
0
0
22
0
0
2
0
00
000
A
dttw
T
A
dtA
T
dt
tw
A
T
dttwA
T
dttx
T
P
TT
TTT
例 1-7,信號,其中 a > 0；說明此信號為能量信號 。
[解析 ] 利用 (1.13)式計算 x(t)的總能量因為 x(t)的 總能量有限,此信號為 能量信號 。
a
e
a
dtedttxE atat
2
1
2
1 )(
0
2
0
2
2
e ls e,0
0,)( tetx at
範例 1-8,信號 ；說明此信號既非能量信號也非功率信號 。
[解析 ] 利用 (1.13)式計算 x(t)的總能量利用 (1.14)式計算 x(t)的平均功率由以上計算得知 x(t)的總能量和平均功率 皆為?,因此這個信號 既非 能量信號 也非 功率信號 。
e ls e,0
0,)( tttx
0
3
0
2
2
3
)(
t
dttdttxE
24
lim
3
)2/(1lim 1lim 232/
0
2 TT
T
dtt
T
P
TT
T
T
系統數學模型
為達成某些特定功能或目的，由某些物件單元組成的物體稱為 系統 (system)，可看成一種描述輸入信號與輸出信號之關係或過程的一種數學模型。 x表示系統的 輸入信號,y表示系統的 輸出信號,那麼系統可看成某種 轉換 (transformation)或 映射 (mapping)將輸入信號 x轉換成輸出信號 y，以數學模型描述此轉換為 y = T [x]
圖 1-13 系統數學模型示意圖
當輸入信號 x(t)與輸出信號 y(t)是連續時間信號時，
此系統即為 連續 時間系統 (continuous time
system) 。
若輸入信號 x[n]與輸出信號 y[n]是離散時間序列的情況，此系統即為 離散 時間系統 (discrete time
system) 。
單一輸入 /輸出連續時間系統之例子
考量圖 1-15所述之一個簡單的 RC電路，若將 電壓 源信號視為一 連續 時間 輸入 信號，且將 電容 之端電壓信號 y(t)
視為一連續時間 輸出 信號，則此簡單的 RC電路即是 單一輸入 /單一輸出 信號連續時間系統之一個例子。其輸入與輸出之關係可用一階常微分方程式描述為：
)(1)(1)( txRCtyRCdt tdy
圖 1-15 RC電路圖
若一系統的 輸出 信號 y(t)或 y[n]只與同一 時間的 輸入 信號 x(t)或 x[n]有關，此系統即為 無記憶 系統
(memoryless system)。
若輸出信號 y(t)或 y[n]與其他 時間的 輸入 信號 x(t)
或 x[n]有關，此系統即稱為 記憶 系統 (memory
system) 。
無記憶連續時間系統的例子
考量圖 1-16所述之一個簡單的 RC電路，假設跨於電阻之電壓為輸出信號 y(t)，而為輸入電流源信號，那麼此連續時間系統之輸出 /輸入信號關係可描述為,
顯然輸出信號 y(t)只與同一時間 的輸入信號 有關,即成比例關係，故此系統為 無記憶 系統
)()( tRxty?
圖 1-16 RC電路圖
考慮上一範例，假設跨於電容之電壓為輸出信號 y(t)，
輸入電流源信號仍設為，那麼以此輸出 /輸入信號之系統描述為,
顯然，輸出信號 y(t)與 時間 t之前 的所有輸入信號都有關係,故此系統為 記憶 系統 (與我們認知電容為一記憶元件之觀念相符 )。
dx
C
ty
t
)(1)(
一系統的 輸出 信號 y只與目前或之前 的 輸入信號 x有關,此系統稱為 因果 系統 (causal
system) 。
若輸出信號 y與未來 時間的輸入信號 x有關，
此系統即稱為 非因果 系統 (non-causal
system) 。
此處所提之「因果」的物理意義與我們平常所說的「前因後果」之因果關係是相同的，其中輸入信號為「因」，輸出信號為「果」，先有因才有果，有輸入信號後才有輸出信號的系統符合此因果概念,是以稱為因果系統。換句話說,輸入 信號 之前 便有 輸出 信號 (無中生有 )的系統為 非因果系統 。
因果系統的例子
假設一系統之輸入 /輸出關係描述為,
輸出信號 y(t)決定於 同一時間 的輸入信號 x(t)及 兩 2秒前 之輸入信號 x(t?2)，符合因果關係，故此系統為 因果 系統。
)2()()( txtxty
非因果系統的例子
假設一系統之輸入 /輸出關係描述為,
系統之輸出信號 y[n]決定於同一時間的輸入信號 x[n]及兩
2個時間單位後之輸入信號 x[n+2],輸出信號與未來輸入信號有關,不具因果關係，故此系統為 非因果 系統。
]2[][][ nxnxny
線性系統運算元 T[?] 符合以下特性,。
＊ 加成性 (additivity),若 T[x1]= y1 且 T[x2]= y2 則
T[x1+x2]= y1+y2，任何 x1及 x2皆成立。
＊ 一致性或 等比例 (homogeneity or scaling),若 T [x] = y
則 T [?x] =? y,左式對於任何 x及純量常數?皆成立。
整合成 疊加 特性 (superposition property),
若系統符合以上特性者稱為 線性 系統 (nonlinear system)
若系統不符合以上特性者稱為 非線性 系統 (nonlinear
system) 。
圖 1-17 線性系統示意圖範例 1-16,假設系統之輸出 /輸入關係,
請說明此系統為一線性系統。
[解析 ] 假設將任意兩信號 x1(t)和 x2(t)分別輸入此系統,分別產生之輸出信號 y1(t)和 y2(t)可表示成檢驗輸入信號?1x1(t)+?2x2(t)對應之輸出信號符合 疊加 特性,故此系統為一 線性 系統 。
)()2()( txtty
)()2()]([)(
)()2()]([)(
222
111
txttxTty
txttxTty
)()(
)()2()()2(
)]()()[2()]()([
2211
2211
22112211
tyty
txttxt
txtxttxtxT
範例 1-17,假設系統之輸出 /輸入關係為,,
請說明此系統為一非線性系統 。
[解析 ] 假設將任意兩信號 x1(t)和 x2(t)分別輸入此系統,分別產生之輸出信號 y1(t)和 y2(t)可表示成檢驗輸入信號?1x1(t)+?2x2(t)對應之輸出信號不符合 疊加特性,故此系統為一 非線性 系統 。
)()( 2 txty?
)()]([)(
)()]([)(
2
222
2
111
txtxTty
txtxTty
)()(
)()()(2)(
)]()([)]()([
2211
2
2
2
22121
2
1
2
1
2
22112211
tyty
txtxtxtx
txtxtxtxT
若一系統之輸入信號的輸入時間 提前或延後 t0(連續時間系統 )或 n0(離散時間系統 )時，其對應的輸出信號波形與原輸出信號 波形相同,但其輸出信號 也提前或延後 t0或 n0，此種系統稱為 非時變 系統 (time-invariant system) 。
不符合以上特性之系統稱為 時變 系統 (time-
varying system) 。
圖 1-18 非時變系統示意圖
範例 1-18,考慮範例 1-16之系統,請說明此系統為一時變系統
[解析 ] 此系統之輸入信號與輸出信號分別為 x1(t)和 x2(t),
假設輸入信號之輸入時間延後 t0，此時輸入信號為,此情況之系統輸出信號為檢驗原輸出信號輸出時間也平移 t0之結果為顯然 與 不相等,故此系統為一 時變 系統。
)()2()( txtty
)()( 0ttxtx d
)()2()]([)]([)( 00 ttxtttxTtxTty dd
)()2()( 000 ttxtttty
)(tyd )( 0tty?
範例 1-19,假設系統之輸出 /輸入關係為,
，請說明此系統為一 非 時變系統。
[解析 ] 此系統之輸入信號與輸出信號分別為 x1(t)和 x2(t),
假設輸入信號之輸入時間延後 t0,此 時 輸 入 信 號為,此情況之系統輸出信號為檢驗原輸出信號輸出時間也平移 t0之結果為與 相等,故此系統為一 非時變 系統 。
))(c os ()( txty?
))(c o s ()]([)]([)( 00 ttxttxTtxTty dd
)()( 0ttxtx d
))(c o s ()( 00 ttxtty
)( 0tty?)(tyd
若一系統之 輸入 信號的數值 有限 (bounded-input)，其對應的 輸出 信號值 也有限 (bounded-output)，此種系統稱
BIBO (bounded-input/bounded-output)穩定 系統 (stable
system)，以數學式之描述為：
輸入有限 數值的信號而 輸出無限 值之系統 (不符合上述特性 )稱為 不穩定 系統 (unstable system) 。
為有限值常數和則若 2121 其中,cccycx
範例 1-20,考慮一延遲系統,,請說明此系統為 BIBO穩定系統。
[解析 ] 顯然若系統之輸入信號,
則,故此系統是 BIBO穩定。ctxty |)5(||)(|
)5()( txty
ctx?|)(|
範例 1-21,系統之輸出 /入信號之關係為,
請說明此系統為一 BIBO不穩定系統 。
[解析 ] 假定此系統之輸入信號為系統的輸出信號為顯然系統的輸出信號為一時間的 遞增 函數,其數值可以到無限大,故此系統 不穩定
dxty t )()(
e l s e,0
0,1)( ttx
e ls e,0
0,)( ttty
離散時間信號 (discrete-time signal),離散時間信號只定義在離散的時間點上，一般以離散時間變數
n的序列 (sequence) x[n]表示之，其中變數 n為整數 。
連續時間信號的例子離散時間信號的例子某某年某地連續時間信號與其取樣信號離散時間信號表示方式
數學函數計算序列的數值,
或
由一數值序列 (number sequence)所組成：
其中箭號 ↑標示時序 n = 0時之項次數值，即 x[0] = 0。當序列未標示箭號 ↑時表示序列從 n = 0開始。
0,0
0,)
3
1
(][
n
nxnx n
n
},)31(,,91,31,1,0,{}{ nnx
,1,4,3,7 }0,1,- 1,2{][
nx
類比信號 (analog signal),信號之振幅 大小 (強度 )
用任意區間 [a,b]之連續數值描述之 連續值 信號
(continuous-valued signal)，其中 a和 b可以分別為
和?。
數位信號 (digital signal),信號之振幅大小用離散
(或 有限個數 )數值描述之 離散值 信號 (discrete-
valued signal) 。
圖 1- 4 數位信號的例子
類比 信號的 數位化 過程包含 信號取樣 (可將連續時間信號轉換成離散時間信號 )以及 量化
(quantization)程序 。
圖 1-6 類比信號數位化的例子圖 1-7 圖 1.6之量化轉換 (輸入與輸出對應 )示意圖
週期信號 (periodic signal),連續時間 信號 x(t)滿足條件
(1.1)
非週期信號 (nonperiodic or aperiodic signal),任何不滿足上述週期特性的 連續時間 信號 x(t) 。
連續時間信號週期特性可表示成
T0為週期信號 x(t)的 基本週期 (fundamental period)
離散時間信號 x[n]的週期特性可表示成 。
N0為週期序列 x[n]的 基本週期
tt x Tt x 所有 ),()(
mtt x mTt x 及任意正整數所有 ),()( 0
mnn xmNn x 及任意正整數所有 ],[][ 0
圖 1-8 週期信號的例子例 1-1,說明一弦波信號為週期信號,基本週期為 1/f0。
[解析 ] 若 x(t)是週期信號,x(t)須滿足定義 (1.1)式已知比較以上二式,當 T = m/f0時 x(t)可滿足定義 (1.1)式,故 x(t)
是一個週期信號,其基本週期為最小正 T值,即 T0 = 1/f0。
)2c o s ()22c o s ())(2c o s ()( 0000 tfTftfTtfTtx
為整數mm ),2c os ()c os (
例 1-2,說明信號 為週期信號,並求其基本週期 。
[解析 ] 若 x(t)是週期信號,x(t)須滿足定義 (1.1)式上式要成立,必須 。 (i) 時 (直流信號 ),任意值皆可符合條件 (1.1)式,故是週期信號,但此情況無法定義最小正 T值,即無法找到基本週期； (ii) 若,
當時,,
因此滿足條件 (1.1)式,故是週期信號,基本週期為最小正
T值,即 T0 =1/f0。
102?Tfje? 00?f
tfjetx 02)(
tfjTfjtfjTtfj eeeeTtx 0000 222)(2)(
00?f
mTf 22 0? 12mje
偶信號 (even signal),信號 x(t)或序列 x[n]滿足條件
奇信號 (odd signal),信號 x(t)或序列 x[n]滿足條件
][ ][
)()(
n x nx
t x tx
][ ][
)()(
nx nx
tx tx
圖 1-9 一個偶信號的例子圖 1-10 一個奇信號的例子
信號可以表示成一個 奇 信號與 偶 信號之和其中；
][][][
)()()(
n xn x nx
txt x tx
oe
oe
])()([
2
1
)(
])()([
2
1
)(
txtxtx
txtxtx
o
e
])[][(
2
1
][
])[][(
2
1
][
n x nxn x
n x nxn x
o
e
定型信號 (deterministic signal)是在任何 給定 時間其 數值 是 可預知 的，也就是說定型信號可用已知的 函數 加以 描述 或表示 。
有些信號在任何給定時間的數值是隨機而 不可 預知，此種 不能用 已知的數學式描述而必須用機率及統計特性描述的信號稱為 隨機信號 (random
signal) 。
例 1-4,信號,求其偶信號部份與奇信號部份。
[解析 ] 利用 (1.9)式與 三角函數 公式可求得其偶信號部份與奇信號部份：
另外，利用三角函數直接改寫原信號：
再配合我們對弦波信號的奇、偶特性的了解 (弦波信號與 分別是偶信號和奇信號 )，我們也可以很容易求得知此信號 x(t)的偶信號部份與奇信號部份，圖 1-11可加以驗證。
)6/c o s ()( 0 twtx
)s i n (
2
1
)]
6
co s ()
6
[ co s (
2
1
)(
)co s (
2
3
)]
6
co s ()
6
[ co s (
2
1
)(
000
000
twtwtwtx
twtwtwtx
o
e
)s i n (21)co s (2 3)6/co s ()( 000 twtwtwtx
)cos ( 0 tw
)sin( 0tw
圖 1-11 範例 1-4之奇、偶信號解析例 1-5,信號,舉例說明 w0與?之特性以分析此信號為定型信號或隨機信號。
[解析 ] 若 w0與?是常數則 x(t)是定型信號 (給定任意 t值皆可預知 x(t)值 )。反之，若 w0是常數，而? =?/3或? =/3的機率各半，此情況下的 x(t)則為隨機信號 (即使給定 t值，我們也無法預知 x(t)值，因為?無法預知 )。
)c o s ()( 0 twtx
信號之功率與能量
任意 連續 時間信號 x(t)的 總能量 (total energy) E及平均功率 (average power) P分別定義為,
(1.13)
離散 時間信號 x[n]的總能量 E及平均功率 P分別定義為,
( j o u l e s ) )( 2 焦耳 dttxE
( w a t t s ) )(1lim 2/ 2/ 2 瓦特 T TT dttxTP
2][ nxE
n
2][
12
1l i m nx
NP
N
NnN
信號 x(t)的總能量 E有定義而且為有限值，亦即
,那麼此信號稱為 能量 信號 。
如果信號 x(t)的平均功率 P有定義而且為有限值，亦即
,此信號則稱為 功率 信號。
假如一信號不符合上述能量及功率特性，則此信號既非能量信號也非功率信號 。
E0
P0
例 1-6,考慮一週期為 T0的週期信號,
其中角頻率 (角頻率在第 2章會說明 )；?是一常數，分析此信號為能量信號或功率信號。
[解析 ] 因為是週期信號,利用 (1.17)式計算 x(t)的平均功率上式中之弦波信號積分整數個週期為 0。 因為 x(t)的平均功率值有限,此信號為功率信號 。 一般而言,週期信號 是屬於 功率信號 。
)c o s ()( 0 twAtx
00 /2 Tw
2
)22c o s (
22
1
2
)22c o s (11
)(c o s
1
)(
1
2
0
0
0
2
0
2
0
0
02
0
0
0
22
0
0
2
0
00
000
A
dttw
T
A
dtA
T
dt
tw
A
T
dttwA
T
dttx
T
P
TT
TTT
例 1-7,信號,其中 a > 0；說明此信號為能量信號 。
[解析 ] 利用 (1.13)式計算 x(t)的總能量因為 x(t)的 總能量有限,此信號為 能量信號 。
a
e
a
dtedttxE atat
2
1
2
1 )(
0
2
0
2
2
e ls e,0
0,)( tetx at
範例 1-8,信號 ；說明此信號既非能量信號也非功率信號 。
[解析 ] 利用 (1.13)式計算 x(t)的總能量利用 (1.14)式計算 x(t)的平均功率由以上計算得知 x(t)的總能量和平均功率 皆為?,因此這個信號 既非 能量信號 也非 功率信號 。
e ls e,0
0,)( tttx
0
3
0
2
2
3
)(
t
dttdttxE
24
lim
3
)2/(1lim 1lim 232/
0
2 TT
T
dtt
T
P
TT
T
T
系統數學模型
為達成某些特定功能或目的，由某些物件單元組成的物體稱為 系統 (system)，可看成一種描述輸入信號與輸出信號之關係或過程的一種數學模型。 x表示系統的 輸入信號,y表示系統的 輸出信號,那麼系統可看成某種 轉換 (transformation)或 映射 (mapping)將輸入信號 x轉換成輸出信號 y，以數學模型描述此轉換為 y = T [x]
圖 1-13 系統數學模型示意圖
當輸入信號 x(t)與輸出信號 y(t)是連續時間信號時，
此系統即為 連續 時間系統 (continuous time
system) 。
若輸入信號 x[n]與輸出信號 y[n]是離散時間序列的情況，此系統即為 離散 時間系統 (discrete time
system) 。
單一輸入 /輸出連續時間系統之例子
考量圖 1-15所述之一個簡單的 RC電路，若將 電壓 源信號視為一 連續 時間 輸入 信號，且將 電容 之端電壓信號 y(t)
視為一連續時間 輸出 信號，則此簡單的 RC電路即是 單一輸入 /單一輸出 信號連續時間系統之一個例子。其輸入與輸出之關係可用一階常微分方程式描述為：
)(1)(1)( txRCtyRCdt tdy
圖 1-15 RC電路圖
若一系統的 輸出 信號 y(t)或 y[n]只與同一 時間的 輸入 信號 x(t)或 x[n]有關，此系統即為 無記憶 系統
(memoryless system)。
若輸出信號 y(t)或 y[n]與其他 時間的 輸入 信號 x(t)
或 x[n]有關，此系統即稱為 記憶 系統 (memory
system) 。
無記憶連續時間系統的例子
考量圖 1-16所述之一個簡單的 RC電路，假設跨於電阻之電壓為輸出信號 y(t)，而為輸入電流源信號，那麼此連續時間系統之輸出 /輸入信號關係可描述為,
顯然輸出信號 y(t)只與同一時間 的輸入信號 有關,即成比例關係，故此系統為 無記憶 系統
)()( tRxty?
圖 1-16 RC電路圖
考慮上一範例，假設跨於電容之電壓為輸出信號 y(t)，
輸入電流源信號仍設為，那麼以此輸出 /輸入信號之系統描述為,
顯然，輸出信號 y(t)與 時間 t之前 的所有輸入信號都有關係,故此系統為 記憶 系統 (與我們認知電容為一記憶元件之觀念相符 )。
dx
C
ty
t
)(1)(
一系統的 輸出 信號 y只與目前或之前 的 輸入信號 x有關,此系統稱為 因果 系統 (causal
system) 。
若輸出信號 y與未來 時間的輸入信號 x有關，
此系統即稱為 非因果 系統 (non-causal
system) 。
此處所提之「因果」的物理意義與我們平常所說的「前因後果」之因果關係是相同的，其中輸入信號為「因」，輸出信號為「果」，先有因才有果，有輸入信號後才有輸出信號的系統符合此因果概念,是以稱為因果系統。換句話說,輸入 信號 之前 便有 輸出 信號 (無中生有 )的系統為 非因果系統 。
因果系統的例子
假設一系統之輸入 /輸出關係描述為,
輸出信號 y(t)決定於 同一時間 的輸入信號 x(t)及 兩 2秒前 之輸入信號 x(t?2)，符合因果關係，故此系統為 因果 系統。
)2()()( txtxty
非因果系統的例子
假設一系統之輸入 /輸出關係描述為,
系統之輸出信號 y[n]決定於同一時間的輸入信號 x[n]及兩
2個時間單位後之輸入信號 x[n+2],輸出信號與未來輸入信號有關,不具因果關係，故此系統為 非因果 系統。
]2[][][ nxnxny
線性系統運算元 T[?] 符合以下特性,。
＊ 加成性 (additivity),若 T[x1]= y1 且 T[x2]= y2 則
T[x1+x2]= y1+y2，任何 x1及 x2皆成立。
＊ 一致性或 等比例 (homogeneity or scaling),若 T [x] = y
則 T [?x] =? y,左式對於任何 x及純量常數?皆成立。
整合成 疊加 特性 (superposition property),
若系統符合以上特性者稱為 線性 系統 (nonlinear system)
若系統不符合以上特性者稱為 非線性 系統 (nonlinear
system) 。
圖 1-17 線性系統示意圖範例 1-16,假設系統之輸出 /輸入關係,
請說明此系統為一線性系統。
[解析 ] 假設將任意兩信號 x1(t)和 x2(t)分別輸入此系統,分別產生之輸出信號 y1(t)和 y2(t)可表示成檢驗輸入信號?1x1(t)+?2x2(t)對應之輸出信號符合 疊加 特性,故此系統為一 線性 系統 。
)()2()( txtty
)()2()]([)(
)()2()]([)(
222
111
txttxTty
txttxTty
)()(
)()2()()2(
)]()()[2()]()([
2211
2211
22112211
tyty
txttxt
txtxttxtxT
範例 1-17,假設系統之輸出 /輸入關係為,,
請說明此系統為一非線性系統 。
[解析 ] 假設將任意兩信號 x1(t)和 x2(t)分別輸入此系統,分別產生之輸出信號 y1(t)和 y2(t)可表示成檢驗輸入信號?1x1(t)+?2x2(t)對應之輸出信號不符合 疊加特性,故此系統為一 非線性 系統 。
)()( 2 txty?
)()]([)(
)()]([)(
2
222
2
111
txtxTty
txtxTty
)()(
)()()(2)(
)]()([)]()([
2211
2
2
2
22121
2
1
2
1
2
22112211
tyty
txtxtxtx
txtxtxtxT
若一系統之輸入信號的輸入時間 提前或延後 t0(連續時間系統 )或 n0(離散時間系統 )時，其對應的輸出信號波形與原輸出信號 波形相同,但其輸出信號 也提前或延後 t0或 n0，此種系統稱為 非時變 系統 (time-invariant system) 。
不符合以上特性之系統稱為 時變 系統 (time-
varying system) 。
圖 1-18 非時變系統示意圖
範例 1-18,考慮範例 1-16之系統,請說明此系統為一時變系統
[解析 ] 此系統之輸入信號與輸出信號分別為 x1(t)和 x2(t),
假設輸入信號之輸入時間延後 t0，此時輸入信號為,此情況之系統輸出信號為檢驗原輸出信號輸出時間也平移 t0之結果為顯然 與 不相等,故此系統為一 時變 系統。
)()2()( txtty
)()( 0ttxtx d
)()2()]([)]([)( 00 ttxtttxTtxTty dd
)()2()( 000 ttxtttty
)(tyd )( 0tty?
範例 1-19,假設系統之輸出 /輸入關係為,
，請說明此系統為一 非 時變系統。
[解析 ] 此系統之輸入信號與輸出信號分別為 x1(t)和 x2(t),
假設輸入信號之輸入時間延後 t0,此 時 輸 入 信 號為,此情況之系統輸出信號為檢驗原輸出信號輸出時間也平移 t0之結果為與 相等,故此系統為一 非時變 系統 。
))(c os ()( txty?
))(c o s ()]([)]([)( 00 ttxttxTtxTty dd
)()( 0ttxtx d
))(c o s ()( 00 ttxtty
)( 0tty?)(tyd
若一系統之 輸入 信號的數值 有限 (bounded-input)，其對應的 輸出 信號值 也有限 (bounded-output)，此種系統稱
BIBO (bounded-input/bounded-output)穩定 系統 (stable
system)，以數學式之描述為：
輸入有限 數值的信號而 輸出無限 值之系統 (不符合上述特性 )稱為 不穩定 系統 (unstable system) 。
為有限值常數和則若 2121 其中,cccycx
範例 1-20,考慮一延遲系統,,請說明此系統為 BIBO穩定系統。
[解析 ] 顯然若系統之輸入信號,
則,故此系統是 BIBO穩定。ctxty |)5(||)(|
)5()( txty
ctx?|)(|
範例 1-21,系統之輸出 /入信號之關係為,
請說明此系統為一 BIBO不穩定系統 。
[解析 ] 假定此系統之輸入信號為系統的輸出信號為顯然系統的輸出信號為一時間的 遞增 函數,其數值可以到無限大,故此系統 不穩定
dxty t )()(
e l s e,0
0,1)( ttx
e ls e,0
0,)( ttty
