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电子教案 第三章 离散系统的时域分析
3.1 LTI离散系统的响应一、差分与差分方程二、差分方程的经典解三、零输入响应和零状态响应
3.2 单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应二、阶跃响应
3.3 卷积和一、序列分解与卷积和二、卷积的图解三、不进位乘法四、卷积和的性质点击目录,进入相关章节信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-2页 ■
电子教案 第三章 离散系统的时域分析
3.1 LTI离散系统的响应一、差分与差分方程设有序列 f(k)，则 …,f(k+2),f(k+1),…,f(k-1)，
f(k-2)… 等称为 f(k)的 移位序列 。
仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的 差分 运算。
1,差分运算
t
ttftf
t
tfttf
t
tf
t
tf
ttt?
)()(lim)()(lim)(lim
d
)(d
000
离散信号的变化率有两种表示形式：
kk
kfkf
k
kf
)1(
)()1()(
)1(
)1()()(
kk
kfkf
k
kf
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电子教案 3.1 LTI离散系统的响应
（ 1） 一阶前向差分定义,?f(k) = f(k+1) –f(k)
（ 2） 一阶后向差分定义,?f(k) = f(k) –f(k –1)
式中,?和?称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为 差分 。
（ 3） 差分的线性性质,
[af1(k) + bf2(k)] = a?f1(k) + b?f2(k)
（ 4） 二阶差分定义,
2f(k) =?[?f(k)] =?[f(k) – f(k-1)] =?f(k) –?f(k-1)
= f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2)
（ 5） m阶差分,
mf(k) = f(k) + b1f(k-1) +…+ b mf(k-m)
因此，可定义：
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-4页 ■
电子教案 3.1 LTI离散系统的响应
2,差分方程包含未知序列 y(k)及其各阶差分的方程式称为 差分方程 。将 差分 展开为 移位序列,得一般形式
y(k) + an-1y(k-1) +…+ a 0y(k-n) = bmf(k)+…+ b 0f(k-m)
差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。
例,若描述某系统的差分方程为
y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k)
已知初始条件 y(0)=0,y(1)=2,激励 f(k)=2kε(k),求 y(k)。
解,y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k)
y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2
y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 ……
一般不易得到解析形式的 (闭合 )解 。
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电子教案 3.1 LTI离散系统的响应二、差分方程的经典解
y(k) + an-1y(k-1) +…+ a 0y(k-n) = bmf(k)+…+ b 0f(k-m)
与微分方程经典解类似,y(k) = yh(k) + yp(k)
1,齐次解 yh(k)
齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + … + a 0y(k-n) = 0
其 特征方程 为 1 + an-1λ– 1 + … + a 0λ– n = 0，即
λ n + an-1λn– 1 + … + a 0 = 0
其根 λi( i = 1,2,…,n)称为差分方程的 特征根 。
齐次解的形式取决于特征根 。
当特征根 λ为 单根 时，齐次解 yn(k)形式为,Cλk
当特征根 λ为 r重根 时，齐次解 yn(k)形式为：
(Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+…+ C 1k+C0)λk
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电子教案 3.1 LTI离散系统的响应
2,特解 yp(k),特解的形式与激励的形式雷同 (r≥1） 。
（ 1） 激励 f(k)=km (m≥0）
①所有特征根均不等于 1时 ;
yp(k)=Pmkm+…+P 1k+P0
② 有 r重等于 1的特征根时 ;
yp(k)=kr[Pmkm+…+P 1k+P0]
（ 2） 激励 f(k)=ak
① 当 a不等于特征根时 ; yp(k)=Pak
② 当 a是 r重特征根时 ;
yp(k)=（ Prkr+Pr-1kr-1+…+P 1k+P0)ak
（ 3）激励 f(k)=cos(βk)或 sin(βk) 且 所有特征根均不等于 e± jβ ；
yp(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk)
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电子教案例,若描述某系统的差分方程为
y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k)
已知初始条件 y(0)=0,y(1)= – 1；激励 f(k)=2k,k≥0。
求方程的全解。
解,特征方程为 λ2 + 4λ+ 4=0
可解得特征根 λ1=λ2= – 2，其齐次解
yh(k)=(C1k +C2) (– 2)k
特解为 yp(k)=P (2)k,k≥0
代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k,
解得 P=1/4
所以得特解,yp(k)=2k–2,k≥0
故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) (– 2)k + 2k–2,k≥0
代入初始条件解得 C1=1,C2= – 1/4
3.1 LTI离散系统的响应信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-8页 ■
电子教案 3.1 LTI离散系统的响应三、零输入响应和零状态响应
y(k) = yx(k) + yf(k),也可以 分别 用经典法求解。
y(j) = yx(j) + yf(j),j = 0,1,2,…,n –1
设 激励 f(k)在 k=0时接入系统,
通常以 y(–1),y(–2),…,y(–n)描述系统的 初始状态 。
yf(–1) = yf(–2) = … = yf(–n) = 0
所以 y(–1)= yx(–1),y(–2)= yx(–2),…,y(–n)= yx(–n)
然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的 初始值 yx(j)和 yf(j) ( j = 0,1,2,…,n – 1)
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电子教案 3.1 LTI离散系统的响应例,若描述某离散系统的差分方程为
y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k)
已知激励 f(k)=2k,k≥0,初始状态 y(–1)=0,y(–2)=1/2,
求系统的零输入响应,零状态响应和全响应 。
解,（ 1） yx(k)满足方程 yx(k) + 3yx(k –1)+ 2yx(k –2)= 0
其初始状态 yx(–1)= y(–1)= 0,yx(–2) = y(–2) = 1/2
首先递推求出初始值 yx(0),yx(1),
yx(k)= – 3yx(k –1) –2yx(k –2)
yx(0)= –3yx(–1) –2yx(–2)= –1,yx(1)= –3yx(0) –2yx(–1)=3
方程的特征根为 λ1=–1,λ2= – 2,
其解为 yx(k)=Cx1(– 1)k+Cx2(–2)k
将初始值代入 并解得 Cx1=1,Cx2= – 2
所以 yx(k)=(– 1)k– 2(– 2)k,k≥0
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电子教案 3.1 LTI离散系统的响应
yf(k) + 3yf(k –1) + 2yf(k –2) = f(k)
初始状态 yf(–1)= yf(–2) = 0
递推求初始值 yf(0),yf(1)，
yf(k) = – 3yf(k –1) – 2yf(k –2) + 2k,k≥0
yf(0) = – 3yf(–1) – 2yf(–2) + 1 = 1
yf(1) = – 3yf(0) – 2yf(–1) + 2 = – 1
分别求出齐次解和特解,得
yf(k) = Cf1(–1)k + Cf2(–2)k + yp(k)
= Cf1(– 1)k + Cf2(– 2)k + (1/3)2k
代入初始值 求得 Cf1= – 1/3,Cf2=1
所以 yf(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k,k≥0
（ 2） 零状态响应 yf(k) 满足信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-11页 ■
电子教案 3.2 单位序列响应和阶跃响应
3.2 单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应由单位序列 δ(k)所引起的 零状态响应 称为 单位序列响应 或 单位样值响应 或 单位取样响应,或简称 单位响应,
记为 h(k)。 h(k)=T[{0},δ(k)]
例 1 已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k)
求单位序列响应 h(k)。
解 根据 h(k)的定义 有
h(k) – h(k –1) – 2h(k –2) = δ(k) （ 1）
h(–1) = h(–2) = 0
（ 1）递推求初始值 h(0)和 h(1)。
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电子教案 3.2 单位序列响应和阶跃响应
h(k)= h(k –1) + 2h(k –2) +δ(k)
h(0)= h(–1) + 2h(–2) + δ(0) = 1
h(1)= h(0) + 2h(–1) + δ(1) = 1
(2) 求 h(k)。 对于 k >0,h(k)满足齐次方程
h(k) – h(k – 1) – 2h(k – 2) = 0
其特征方程为 (λ+1) (λ– 2) = 0
所以 h(k) = C1(– 1)k + C2(2)k,k>0
h(0) = C1 + C2 =1,h(1)= – C1+2C2 = 1
解得 C1= 1/3,C2=2/3
h(k) = (1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k,k≥0
或写为 h(k) = [(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k] ε(k)
方程（ 1）移项写为信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-13页 ■
电子教案 3.2 单位序列响应和阶跃响应例 2：若方程为：
y(k) – y(k –1) – 2y(k –2)=f(k) – f(k – 2)
求单位序列响应 h(k)
解 h(k)满足
h(k) – h(k –1) – 2h(k –2)=δ(k) –δ(k –2)
令只有 δ(k)作用时，系统的单位序列响应 h1(k),
它满足
h1(k) – h1(k –1) – 2h1(k –2)=δ(k)
根据线性时不变性，
h(k) = h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) –
[(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2)
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电子教案 3.2 单位序列响应和阶跃响应二、阶跃响应 g(k)=T[ε(k),{0}]
由于
0
)()()(
j
k
j
jkik
,δ(k) =ε(k) –ε(k –1) =?ε(k)
所以
0
)()()(
j
k
j
jkhihkg
,h(k) =?g(k)
11
1
1
12
121
2
1 akk
a
a
aa
a
kk
k
k
j (k2≥k1 )两个常用的求和公式：
2
)1)(( 12122
1
kkkkjk
kj
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电子教案 3.3 卷积和
3.3 卷积和一、卷积和
1,序列的时域分解
…… …
0 1 2 i k-1
f ( k )
f ( - 1 )
f ( 0 )
f ( 1 )
f ( 2 )
f( i )
任意离散序列 f(k) 可表示为
f(k)=…+f( -1)δ(k+1) + f(0)δ(k) + f(1)δ(k-1)+ f(2)δ(k-2)
+ … + f( i)δ(k –i) + …
i
ikif )()(?
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电子教案 3.3 卷积和
2,任意 序列作用下的零状态响应
L T I 系统零状态
yf(k)f (k)
根据 h(k)的定义,δ(k) h(k)
由时不变性,δ(k -i) h(k -i)
f (i)δ(k-i)由齐次性,f (i) h(k-i)
由叠加性：
‖
f (k) ‖yf(k)
卷积和
i
ikif )()(
i
ikhif )()(
i
f ikhifky )()()(
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-17页 ■
电子教案 3.3 卷积和
3,卷积和的定义已知定义在区间（ –∞,∞）上的两个函数 f1(k)和 f2(k)，
则定义和为 f1(k)与 f2(k)的 卷积和,简称 卷积 ；记为
f(k)= f1(k)*f2(k)
注意,求和是在虚设的变量 i 下进行的,i 为求和变量,k 为参变量。结果仍为 k 的函数。
i
ikfifkf )()()( 21
)(*)()()()( khkfikhifky
i
f
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-18页 ■
电子教案 3.3 卷积和例,f (k) = a kε(k),h(k) = b kε(k),求 yf(k)。
解,yf(k) = f (k) * h(k)
当 i < 0,ε(i) = 0；当 i > k时,ε(k - i) = 0
i
iki
i
ikbiaikhif )()()()(
bakb
ba
b
a
b
a
b
k
b
a
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k
k
kk
i
i
k
k
i
iki
f
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,
1
1
)()()(
1
00
ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-19页 ■
电子教案 3.3 卷积和二、卷积的图解法卷积过程可分解为 四步,
（ 1） 换元,k换为 i→得 f1(i),f2(i)
（ 2） 反转平移,由 f2(i)反转 → f2(–i)右移 k → f2(k – i)
（ 3） 乘积,f1(i) f2(k – i)
（ 4） 求和,i 从 –∞到 ∞对乘积项求和。
注意,k 为参变量。
下面举例说明。
i
ikfifkf )()()( 21
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-20页 ■
电子教案 3.3 卷积和例,f1(k),f2(k)如图所示，已知 f(k) = f1(k)* f2(k)，求 f(2) =？
解,
（ 1）换元
（ 2） f2(i)反转得 f2(–i)
（ 3） f2(–i)右移 2得 f2(2–i)
（ 4） f1(i)乘 f2(2–i)
（ 5）求和，得 f(2) = 4.5
i
ififf )2()()2( 21
0 1 2
k
-1
f 1 ( k )
1,5
1
1,5
2
1
f 2 ( k )
0 1 2 3
3
-2
-2 -1
k
i
i
i
i
f2(–i ) f2(2–i)
0 1 2
i
-1
f 1 ( i ) f 2 ( k - i )
1
1,5
2
3
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-21页 ■
电子教案 3.3 卷积和三、不进位乘法求卷积
f(k)=所有两序列序号之和为 k 的那些样本乘积之和。
如 k=2时
f(2)= …+f 1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + …
例 f1(k) ={0,f1(1),f1(2),f1(3),0}
f2(k) ={0,f2(0),f2(1),0}
=…+f 1(-1)f2(k+1) + f1(0)f2(k) + f1(1)f2(k-1)+ f1(2)f2(k-2)
+ … + f 1(i) f2(k –i) + …
i
ikfifkf )()()( 21
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-22页 ■
电子教案 3.3 卷积和
f1(1),f1(2),f1(3)
f2(0),f2(1)× ——————————————————
f1(1) f2(0),f1(2) f2(0),f1(3) f2(0)
f1(1)f2(1),f1(2) f2(1),f1(3) f2(1)
+ —————————————————————
f1(3) f2(1)
f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0)
f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0)
f1(1) f2(0)
f(k)={ 0,f1(1) f2(0),f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0)
f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0),f1(3) f2(1),0 }
排成乘法信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-23页 ■
电子教案 3.3 卷积和例 f1(k) ={0,2,1,5,0}
↑k=1
f2(k) ={0,3,4,0,6,0}
↑k=0
3,4,0,6
2,1,5
解
× ————————
15,20,0,30
3,4,0,6
6,8,0,12+ ————————————
6,11,19,32,6,30
求 f(k) = f1(k)* f2(k)
f(k) =
{0,6,11,19,32,6,30}
↑k=1
教材上还提出一种列表法，
本质是一样的。
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-24页 ■
电子教案 3.3 卷积和四、卷积和的性质
1,满足乘法的三律,(1) 交换律,(2) 分配律,(3) 结合律,
2,f(k)*δ(k) = f(k),f(k)*δ(k– k0) = f(k – k0)
3,f(k)*ε(k) =?
k
i
if )(
4,f1(k – k1)* f2(k – k2) = f1(k – k1 – k2)* f2(k)
5,?[f1(k)* f2(k)] =?f1(k)* f2(k) = f1(k)*?f2(k)
求卷积和是本章的重点。
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-25页 ■
电子教案 3.3 卷积和例 1 如图复合系统由三个子系统组成，其中
h1(k) = ε(k),h2(k) =
ε(k – 5)，求复合系统的单位序列响应 h(k) 。
解 根据 h(k)的定义，有
h 1 ( k )
h 2 ( k )
h 1 ( k )∑
f(k) y(k)
h(k)= [δ(k)* h1(k) –δ(k)* h2(k) ]* h1(k)
= [h1(k) – h2(k) ]* h1(k)
= h1(k) * h1(k) –h2(k) * h1(k)
= ε(k)* ε(k) –ε(k –5) *ε(k)
= (k+1)ε(k) – (k+1 –5)ε(k – 5)
= (k+1)ε(k) – (k– 4)ε(k – 5)
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-26页 ■
电子教案 3.3 卷积和例 2 如图复合系统由两个子系统级联组成，其中
h1(k) = 2cos(kπ)，
h2(k) = akε(k)，
激励 f(k)= δ(k)–aδ(k-1)，求复合系统的零状态响应响应 yf (k) 。
h 1 ( k ) h 2 ( k )f ( k )
y ( k )
解 yf (k) = f(k)* h1(k) * h2(k)
= 2cos(kπ)*[akε(k)]*[δ(k)–aδ(k-1)]
= 2cos(kπ)*[akε(k) - akε(k -1)]
= 2cos(kπ)* δ(k)
= 2cos(kπ)
电子教案 第三章 离散系统的时域分析
3.1 LTI离散系统的响应一、差分与差分方程二、差分方程的经典解三、零输入响应和零状态响应
3.2 单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应二、阶跃响应
3.3 卷积和一、序列分解与卷积和二、卷积的图解三、不进位乘法四、卷积和的性质点击目录,进入相关章节信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-2页 ■
电子教案 第三章 离散系统的时域分析
3.1 LTI离散系统的响应一、差分与差分方程设有序列 f(k)，则 …,f(k+2),f(k+1),…,f(k-1)，
f(k-2)… 等称为 f(k)的 移位序列 。
仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的 差分 运算。
1,差分运算
t
ttftf
t
tfttf
t
tf
t
tf
ttt?
)()(lim)()(lim)(lim
d
)(d
000
离散信号的变化率有两种表示形式：
kk
kfkf
k
kf
)1(
)()1()(
)1(
)1()()(
kk
kfkf
k
kf
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电子教案 3.1 LTI离散系统的响应
（ 1） 一阶前向差分定义,?f(k) = f(k+1) –f(k)
（ 2） 一阶后向差分定义,?f(k) = f(k) –f(k –1)
式中,?和?称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为 差分 。
（ 3） 差分的线性性质,
[af1(k) + bf2(k)] = a?f1(k) + b?f2(k)
（ 4） 二阶差分定义,
2f(k) =?[?f(k)] =?[f(k) – f(k-1)] =?f(k) –?f(k-1)
= f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2)
（ 5） m阶差分,
mf(k) = f(k) + b1f(k-1) +…+ b mf(k-m)
因此，可定义：
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电子教案 3.1 LTI离散系统的响应
2,差分方程包含未知序列 y(k)及其各阶差分的方程式称为 差分方程 。将 差分 展开为 移位序列,得一般形式
y(k) + an-1y(k-1) +…+ a 0y(k-n) = bmf(k)+…+ b 0f(k-m)
差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。
例,若描述某系统的差分方程为
y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k)
已知初始条件 y(0)=0,y(1)=2,激励 f(k)=2kε(k),求 y(k)。
解,y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k)
y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2
y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 ……
一般不易得到解析形式的 (闭合 )解 。
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电子教案 3.1 LTI离散系统的响应二、差分方程的经典解
y(k) + an-1y(k-1) +…+ a 0y(k-n) = bmf(k)+…+ b 0f(k-m)
与微分方程经典解类似,y(k) = yh(k) + yp(k)
1,齐次解 yh(k)
齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + … + a 0y(k-n) = 0
其 特征方程 为 1 + an-1λ– 1 + … + a 0λ– n = 0，即
λ n + an-1λn– 1 + … + a 0 = 0
其根 λi( i = 1,2,…,n)称为差分方程的 特征根 。
齐次解的形式取决于特征根 。
当特征根 λ为 单根 时，齐次解 yn(k)形式为,Cλk
当特征根 λ为 r重根 时，齐次解 yn(k)形式为：
(Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+…+ C 1k+C0)λk
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-6页 ■
电子教案 3.1 LTI离散系统的响应
2,特解 yp(k),特解的形式与激励的形式雷同 (r≥1） 。
（ 1） 激励 f(k)=km (m≥0）
①所有特征根均不等于 1时 ;
yp(k)=Pmkm+…+P 1k+P0
② 有 r重等于 1的特征根时 ;
yp(k)=kr[Pmkm+…+P 1k+P0]
（ 2） 激励 f(k)=ak
① 当 a不等于特征根时 ; yp(k)=Pak
② 当 a是 r重特征根时 ;
yp(k)=（ Prkr+Pr-1kr-1+…+P 1k+P0)ak
（ 3）激励 f(k)=cos(βk)或 sin(βk) 且 所有特征根均不等于 e± jβ ；
yp(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk)
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-7页 ■
电子教案例,若描述某系统的差分方程为
y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k)
已知初始条件 y(0)=0,y(1)= – 1；激励 f(k)=2k,k≥0。
求方程的全解。
解,特征方程为 λ2 + 4λ+ 4=0
可解得特征根 λ1=λ2= – 2，其齐次解
yh(k)=(C1k +C2) (– 2)k
特解为 yp(k)=P (2)k,k≥0
代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k,
解得 P=1/4
所以得特解,yp(k)=2k–2,k≥0
故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) (– 2)k + 2k–2,k≥0
代入初始条件解得 C1=1,C2= – 1/4
3.1 LTI离散系统的响应信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-8页 ■
电子教案 3.1 LTI离散系统的响应三、零输入响应和零状态响应
y(k) = yx(k) + yf(k),也可以 分别 用经典法求解。
y(j) = yx(j) + yf(j),j = 0,1,2,…,n –1
设 激励 f(k)在 k=0时接入系统,
通常以 y(–1),y(–2),…,y(–n)描述系统的 初始状态 。
yf(–1) = yf(–2) = … = yf(–n) = 0
所以 y(–1)= yx(–1),y(–2)= yx(–2),…,y(–n)= yx(–n)
然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的 初始值 yx(j)和 yf(j) ( j = 0,1,2,…,n – 1)
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-9页 ■
电子教案 3.1 LTI离散系统的响应例,若描述某离散系统的差分方程为
y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k)
已知激励 f(k)=2k,k≥0,初始状态 y(–1)=0,y(–2)=1/2,
求系统的零输入响应,零状态响应和全响应 。
解,（ 1） yx(k)满足方程 yx(k) + 3yx(k –1)+ 2yx(k –2)= 0
其初始状态 yx(–1)= y(–1)= 0,yx(–2) = y(–2) = 1/2
首先递推求出初始值 yx(0),yx(1),
yx(k)= – 3yx(k –1) –2yx(k –2)
yx(0)= –3yx(–1) –2yx(–2)= –1,yx(1)= –3yx(0) –2yx(–1)=3
方程的特征根为 λ1=–1,λ2= – 2,
其解为 yx(k)=Cx1(– 1)k+Cx2(–2)k
将初始值代入 并解得 Cx1=1,Cx2= – 2
所以 yx(k)=(– 1)k– 2(– 2)k,k≥0
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-10页 ■
电子教案 3.1 LTI离散系统的响应
yf(k) + 3yf(k –1) + 2yf(k –2) = f(k)
初始状态 yf(–1)= yf(–2) = 0
递推求初始值 yf(0),yf(1)，
yf(k) = – 3yf(k –1) – 2yf(k –2) + 2k,k≥0
yf(0) = – 3yf(–1) – 2yf(–2) + 1 = 1
yf(1) = – 3yf(0) – 2yf(–1) + 2 = – 1
分别求出齐次解和特解,得
yf(k) = Cf1(–1)k + Cf2(–2)k + yp(k)
= Cf1(– 1)k + Cf2(– 2)k + (1/3)2k
代入初始值 求得 Cf1= – 1/3,Cf2=1
所以 yf(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k,k≥0
（ 2） 零状态响应 yf(k) 满足信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-11页 ■
电子教案 3.2 单位序列响应和阶跃响应
3.2 单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应由单位序列 δ(k)所引起的 零状态响应 称为 单位序列响应 或 单位样值响应 或 单位取样响应,或简称 单位响应,
记为 h(k)。 h(k)=T[{0},δ(k)]
例 1 已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k)
求单位序列响应 h(k)。
解 根据 h(k)的定义 有
h(k) – h(k –1) – 2h(k –2) = δ(k) （ 1）
h(–1) = h(–2) = 0
（ 1）递推求初始值 h(0)和 h(1)。
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-12页 ■
电子教案 3.2 单位序列响应和阶跃响应
h(k)= h(k –1) + 2h(k –2) +δ(k)
h(0)= h(–1) + 2h(–2) + δ(0) = 1
h(1)= h(0) + 2h(–1) + δ(1) = 1
(2) 求 h(k)。 对于 k >0,h(k)满足齐次方程
h(k) – h(k – 1) – 2h(k – 2) = 0
其特征方程为 (λ+1) (λ– 2) = 0
所以 h(k) = C1(– 1)k + C2(2)k,k>0
h(0) = C1 + C2 =1,h(1)= – C1+2C2 = 1
解得 C1= 1/3,C2=2/3
h(k) = (1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k,k≥0
或写为 h(k) = [(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k] ε(k)
方程（ 1）移项写为信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-13页 ■
电子教案 3.2 单位序列响应和阶跃响应例 2：若方程为：
y(k) – y(k –1) – 2y(k –2)=f(k) – f(k – 2)
求单位序列响应 h(k)
解 h(k)满足
h(k) – h(k –1) – 2h(k –2)=δ(k) –δ(k –2)
令只有 δ(k)作用时，系统的单位序列响应 h1(k),
它满足
h1(k) – h1(k –1) – 2h1(k –2)=δ(k)
根据线性时不变性，
h(k) = h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) –
[(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2)
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-14页 ■
电子教案 3.2 单位序列响应和阶跃响应二、阶跃响应 g(k)=T[ε(k),{0}]
由于
0
)()()(
j
k
j
jkik
,δ(k) =ε(k) –ε(k –1) =?ε(k)
所以
0
)()()(
j
k
j
jkhihkg
,h(k) =?g(k)
11
1
1
12
121
2
1 akk
a
a
aa
a
kk
k
k
j (k2≥k1 )两个常用的求和公式：
2
)1)(( 12122
1
kkkkjk
kj
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-15页 ■
电子教案 3.3 卷积和
3.3 卷积和一、卷积和
1,序列的时域分解
…… …
0 1 2 i k-1
f ( k )
f ( - 1 )
f ( 0 )
f ( 1 )
f ( 2 )
f( i )
任意离散序列 f(k) 可表示为
f(k)=…+f( -1)δ(k+1) + f(0)δ(k) + f(1)δ(k-1)+ f(2)δ(k-2)
+ … + f( i)δ(k –i) + …
i
ikif )()(?
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-16页 ■
电子教案 3.3 卷积和
2,任意 序列作用下的零状态响应
L T I 系统零状态
yf(k)f (k)
根据 h(k)的定义,δ(k) h(k)
由时不变性,δ(k -i) h(k -i)
f (i)δ(k-i)由齐次性,f (i) h(k-i)
由叠加性：
‖
f (k) ‖yf(k)
卷积和
i
ikif )()(
i
ikhif )()(
i
f ikhifky )()()(
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-17页 ■
电子教案 3.3 卷积和
3,卷积和的定义已知定义在区间（ –∞,∞）上的两个函数 f1(k)和 f2(k)，
则定义和为 f1(k)与 f2(k)的 卷积和,简称 卷积 ；记为
f(k)= f1(k)*f2(k)
注意,求和是在虚设的变量 i 下进行的,i 为求和变量,k 为参变量。结果仍为 k 的函数。
i
ikfifkf )()()( 21
)(*)()()()( khkfikhifky
i
f
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-18页 ■
电子教案 3.3 卷积和例,f (k) = a kε(k),h(k) = b kε(k),求 yf(k)。
解,yf(k) = f (k) * h(k)
当 i < 0,ε(i) = 0；当 i > k时,ε(k - i) = 0
i
iki
i
ikbiaikhif )()()()(
bakb
ba
b
a
b
a
b
k
b
a
bkbaky
k
k
kk
i
i
k
k
i
iki
f
,)1(
,
1
1
)()()(
1
00
ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-19页 ■
电子教案 3.3 卷积和二、卷积的图解法卷积过程可分解为 四步,
（ 1） 换元,k换为 i→得 f1(i),f2(i)
（ 2） 反转平移,由 f2(i)反转 → f2(–i)右移 k → f2(k – i)
（ 3） 乘积,f1(i) f2(k – i)
（ 4） 求和,i 从 –∞到 ∞对乘积项求和。
注意,k 为参变量。
下面举例说明。
i
ikfifkf )()()( 21
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-20页 ■
电子教案 3.3 卷积和例,f1(k),f2(k)如图所示，已知 f(k) = f1(k)* f2(k)，求 f(2) =？
解,
（ 1）换元
（ 2） f2(i)反转得 f2(–i)
（ 3） f2(–i)右移 2得 f2(2–i)
（ 4） f1(i)乘 f2(2–i)
（ 5）求和，得 f(2) = 4.5
i
ififf )2()()2( 21
0 1 2
k
-1
f 1 ( k )
1,5
1
1,5
2
1
f 2 ( k )
0 1 2 3
3
-2
-2 -1
k
i
i
i
i
f2(–i ) f2(2–i)
0 1 2
i
-1
f 1 ( i ) f 2 ( k - i )
1
1,5
2
3
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-21页 ■
电子教案 3.3 卷积和三、不进位乘法求卷积
f(k)=所有两序列序号之和为 k 的那些样本乘积之和。
如 k=2时
f(2)= …+f 1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + …
例 f1(k) ={0,f1(1),f1(2),f1(3),0}
f2(k) ={0,f2(0),f2(1),0}
=…+f 1(-1)f2(k+1) + f1(0)f2(k) + f1(1)f2(k-1)+ f1(2)f2(k-2)
+ … + f 1(i) f2(k –i) + …
i
ikfifkf )()()( 21
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-22页 ■
电子教案 3.3 卷积和
f1(1),f1(2),f1(3)
f2(0),f2(1)× ——————————————————
f1(1) f2(0),f1(2) f2(0),f1(3) f2(0)
f1(1)f2(1),f1(2) f2(1),f1(3) f2(1)
+ —————————————————————
f1(3) f2(1)
f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0)
f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0)
f1(1) f2(0)
f(k)={ 0,f1(1) f2(0),f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0)
f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0),f1(3) f2(1),0 }
排成乘法信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-23页 ■
电子教案 3.3 卷积和例 f1(k) ={0,2,1,5,0}
↑k=1
f2(k) ={0,3,4,0,6,0}
↑k=0
3,4,0,6
2,1,5
解
× ————————
15,20,0,30
3,4,0,6
6,8,0,12+ ————————————
6,11,19,32,6,30
求 f(k) = f1(k)* f2(k)
f(k) =
{0,6,11,19,32,6,30}
↑k=1
教材上还提出一种列表法，
本质是一样的。
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-24页 ■
电子教案 3.3 卷积和四、卷积和的性质
1,满足乘法的三律,(1) 交换律,(2) 分配律,(3) 结合律,
2,f(k)*δ(k) = f(k),f(k)*δ(k– k0) = f(k – k0)
3,f(k)*ε(k) =?
k
i
if )(
4,f1(k – k1)* f2(k – k2) = f1(k – k1 – k2)* f2(k)
5,?[f1(k)* f2(k)] =?f1(k)* f2(k) = f1(k)*?f2(k)
求卷积和是本章的重点。
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-25页 ■
电子教案 3.3 卷积和例 1 如图复合系统由三个子系统组成，其中
h1(k) = ε(k),h2(k) =
ε(k – 5)，求复合系统的单位序列响应 h(k) 。
解 根据 h(k)的定义，有
h 1 ( k )
h 2 ( k )
h 1 ( k )∑
f(k) y(k)
h(k)= [δ(k)* h1(k) –δ(k)* h2(k) ]* h1(k)
= [h1(k) – h2(k) ]* h1(k)
= h1(k) * h1(k) –h2(k) * h1(k)
= ε(k)* ε(k) –ε(k –5) *ε(k)
= (k+1)ε(k) – (k+1 –5)ε(k – 5)
= (k+1)ε(k) – (k– 4)ε(k – 5)
信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第 3-26页 ■
电子教案 3.3 卷积和例 2 如图复合系统由两个子系统级联组成，其中
h1(k) = 2cos(kπ)，
h2(k) = akε(k)，
激励 f(k)= δ(k)–aδ(k-1)，求复合系统的零状态响应响应 yf (k) 。
h 1 ( k ) h 2 ( k )f ( k )
y ( k )
解 yf (k) = f(k)* h1(k) * h2(k)
= 2cos(kπ)*[akε(k)]*[δ(k)–aδ(k-1)]
= 2cos(kπ)*[akε(k) - akε(k -1)]
= 2cos(kπ)* δ(k)
= 2cos(kπ)
