信号与系统
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电子教案 第 七 章 系统函数
7.1 系统函数与系统特性一、系统函数的零、极点分布图二、系统函数与时域响应三、系统函数收敛域与极点的关系四、系统函数与频率响应
7.2 系统的稳定性
7.3 信号流图
7.4 系统模拟一、直接实现二、级联实现三、并联实现点击目录,进入相关章节信号与系统
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电子教案 第 七 章 系统函数
7.1 系统函数与系统特性一,系统函数的零、极点分布图
LTI系统的系统函数是复变量 s或 z的有理分式，即
A(.)=0的根 p1,p2,…,pn称为系统函数 H(.)的极点；
B(.)=0的根?1,?2,…,?m称为系统函数 H(.)的零点。
)(
)()(
A
BH
将零极点画在复平面上得 零、极点分布图。
例
)1()1(
)2(2)(
22
ss
ssH
σ
jω
0
( 2 )
-1-2
j
-j
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电子教案例,已知 H(s)的零、极点分布图如示，并且 h(0+)=2。求
H(s)的表达式。
σ
jω
0-1
j2
- j2
解,由分布图可得
524)1()( 22 ss
Ks
s
KssH
根据初值定理，有
Kss KsssHh ss 52lim)(lim)0( 2
2
52
2)(
2 ss
ssH
7.1 系统函数与系统特性信号与系统
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电子教案 7.1 系统函数与系统特性二、系统函数 H(·)与时域响应 h(·)
冲激响应或单位序列响应的函数形式由 H(.)的极点确定。
下面讨论 H(.)极点的位置与其时域响应的函数形式。
所讨论系统均为因果系统。
1．连续因果系统
H(s)按其极点在 s平面上的位置可分为,在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。
（ 1）在左半平面
(a)若系统函数有 负实单极点 p= –α(α>0)，则 A(s)中有因子 (s+α)，其所对应的响应函数为 Ke-αtε(t)
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电子教案 7.1 系统函数与系统特性
(b) 若有 一对共轭复极点 p12=-α± jβ，则 A(s)中有因子 [(s+α)2+β2]---?K e-αtcos(βt+θ)ε(t)
(c) 若有 r重极点,
则 A(s)中有因子 (s+α)r或 [(s+α)2+β2]r，其响应为
Kiti e-αtε(t)或 Kiti e-αtcos(βt+θ)ε(t) (i=0,1,2,…,r -1)
以上三种情况：当 t→∞ 时，响应均趋于 0。暂态分量。
（ 2）在虚轴上
(a)单极点 p=0或 p12=± jβ，
则响应为 Kε(t)或 Kcos(βt+θ)ε(t)-----稳态分量
(b) r重极点,相应 A(s)中有 sr或 (s2+β2)r，其响应函数为
Kitiε(t)或 Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r -1)—递增函数信号与系统
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电子教案 7.1 系统函数与系统特性
（ 3） 在右半开平面,均为 递增函数 。
综合结论,
LTI连续因果系统的 h(t)的函数形式由 H(s)的极点确定。
① H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。
即当 t→∞ 时，响应均趋于 0。
② H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。
③ H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。
即当 t→∞ 时，响应均趋于 ∞。
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电子教案 7.1 系统函数与系统特性
2．离散因果系统
H(z)按其极点在 z平面上的位置可分为,在 单位圆内,
在 单位圆上 和在 单位圆外 三类。
根据 z与 s的对应关系，有 结论,
① H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。
即当 k→∞ 时，响应均趋于 0。
② H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。
③ H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当 k→∞ 时，响应均趋于 ∞。
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电子教案 7.1 系统函数与系统特性三、系统函数收敛域与其极点之间的关系根据收敛域的定义,H(·)收敛域不能含 H(·)的极点。
例,某离散系统的系统函数
35.0)( z
z
z
zzH
(1) 若系统为因果系统，求单位序列响应 h(k);
(2) 若系统为反因果系统，求单位序列响应 h(k);
(3) 若系统存在频率响应，求单位序列响应 h(k);
解 (1) |z|>3,h(k) =[(-0.5)k + (3)k]?(k)
(2) |z|<0.5,h(k) =[-(-0.5)k - (3)k]?(-k-1)
(3) 0.5<|z|<3,h(k) = (-0.5)k?(k) - (3)k?(-k-1)
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电子教案 7.1 系统函数与系统特性四、系统函数与频率响应
1、连续因果系统若系统函数 H(s)的极点均在左半平面，则它在虚轴上
(s=jω)也收敛，有 H(jω)=H(s)|s= jω,
下面介绍两种常见的系统。
（ 1）全通函数若系统的幅频响应 | H(jω)|为常数，则称为 全通系统,
其相应的 H(s)称为 全通函数 。
凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，
并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。
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电子教案 7.1 系统函数与系统特性
（ 2）最小相移函数右半开平面没有零点的系统函数称为 最小相移函数 。
解释见 p336
2、离散因果系统若系统函数 H(z)的极点均在单位圆内，则它在单位圆上 (|z|=1)也收敛，有 H(ejθ)=H(z)|z= ejθ,
式中 θ=ωTs,ω为角频率,Ts为取样周期。
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电子教案 7.2 系统的稳定性
7.2 系统的稳定性一、因果系统因果系统是指，系统的零状态响应 yf(.)不会出现于 f(.)之前的系统。
连续因果系统 的充分必要条件是：冲激响应 h(t)=0,t<0
或者，系统函数 H(s)的收敛域为,Re[s]>σ0
离散因果系统 的充分必要条件是：单位响应 h(k)=0,k<0
或者，系统函数 H(z)的收敛域为,|z|>ρ0
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电子教案 7.2 系统的稳定性二、系统的稳定性
1、稳定系统的定义一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出 (BIBO)稳定的系统，简称为 稳定系统 。
即,若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf,其零状态响应
|yf(.)|≤My，则称该系统稳定。
（ 1）连续系统稳定的充分必要条件是
Mdtth |)(|
若 H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。
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电子教案 7.2 系统的稳定性
（ 2）离散系统稳定的充分必要条件是若 H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定的系统。
k
Mkh |)(|
例 1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1)
(1) 若为因果系统，求 h(k)，并判断是否稳定。
(2) 若为稳定系统，求 h(k),
解
2
4.0
5.0
4.0
)2)(5.0(15.15.11)( 221
1
z
z
z
z
zz
z
zz
z
zz
zzH
(1)为因果系统，故收敛域为 |z|>2，所以
h(k)=0.4[0.5k-(-2)k]ε(k)，不稳定。
(2)若为稳定系统，故收敛域为 0.5<|z|<2，所以
h(k)=0.4(0.5)kε(k)+0.4(-2)kε(-k-1)
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电子教案 7.2 系统的稳定性因果系统稳定性的充分必要条件可简化为
（ 3） 连续因果系统
0
|)(| Mdtth
因为因果系统左半开平面的极点对应的响应为衰减函数。
故，若 H(s)的极点均在左半开平面,则该系统必是稳定的因果系统。
（ 4） 离散因果系统因为因果系统单位圆内的极点对应的响应为衰减函数。
故，若 H(z)的极点均在单位圆内,则该系统必是稳定的因果系统。
0
|)(|
k
Mkh
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电子教案 7.2 系统的稳定性例 1,如图反馈因果系统，问当 K满足什么条件时，系统是稳定的？其中子系统的系统函数 G(s)=1/[(s+1)(s+2)]
解,设 加法器的输出信号 X(s) ∑ G ( s )
K
F ( s ) Y ( s )
X(s)
X(s)=KY(s)+F(s)
Y(s)= G(s)X(s)=K G(s)Y(s)+ G(s)F(s)
H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/[1-KG(s)]=1/(s2+3s+2-k)
H(s)的极点为
kp
2
2
3
2
3 2
2,1
为使极点在左半平面，必须 (3/2)2-2+k<(3/2)2,k<2，
即当 k<2，系统稳定。
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电子教案 7.2 系统的稳定性例 2,如图离散因果系统框图,为使系统稳定，
求常量 a的取值范围解,设 加法器输出信号 X(z)
1?
z∑ ∑
2
a
F ( z ) Y ( z )X(z)
z-1X(z)
X(z)=F(z)+z-1aX(z)
Y(z)=(2+z-1)X(z)= (2+z-1)/(1-az-1)F(z)
H(z)= (2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a)
为使系统稳定,H(z)的极点必须在单位园内，
故 |a|<1
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电子教案 7.2 系统的稳定性三、连续因果系统稳定性判断准则 ——罗斯 -霍尔维兹准则对因果系统，只要判断 H(s)的极点，即 A(s)=0的根（称为系统特征根）是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。
所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。
1、必要条件 —简单方法一实系数多项式 A(s)=ansn+…+a 0=0的所有根位于左半开平面的 必要条件 是：（ 1） 所有系数都必须非 0，即不缺项； （ 2） 系数的符号相同 。
例 1 A(s)=s3+4s2-3s+2 符号相异，不稳定例 2 A(s)=3s3+s2+2,a1=0，不稳定例 3 A(s)=3s3+s2+2s+8 需进一步判断，非充分条件。
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电子教案 7.2 系统的稳定性
2、罗斯列表将多项式 A(s)的系数排列为如下阵列 —罗斯阵列第 1行 an an-2 an-4 …
第 2行 an-1 an-3 an-5 …
第 3行 cn-1 cn-3 cn-5 …
它由第 1,2行，按下列规则计算得到：
31
2
1
1
1
nn
nn
n
n aa
aa
ac
51
4
1
3
1
nn
nn
n
n aa
aa
ac
…
第 4行由 2,3行同样方法得到。一直排到第 n+1行。
罗斯准则指出,若第一列元素具有相同的符号，则
A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。
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电子教案 7.2 系统的稳定性特例,对于二阶系统 A(s)=a2s2+a1s+a0，若 a2>0，不难得出,A(s)为霍尔维兹多项式的条件为,a1>0,a0>0
例 1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2
罗斯阵列,2 12 2
1 8 0
4
1
81
122
2
8.5 0
2
第 1列元素符号改变 2次，因此，有 2个根位于右半平面。
注意,在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的某个元素为 0或某一行元素全为 0，这时可断言：该多项式不是霍尔维兹多项式。
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电子教案 7.2 系统的稳定性例 2 已知某因果系统函数
kssssH 133
1)(
23
为使系统稳定,k应满足什么条件？
解 列罗斯阵列 1 3
3 1+k
(8-k)/3
1+k
所以,–1<k<8，系统稳定。
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电子教案 7.2 系统的稳定性四、离散因果系统稳定性判断准则 ——朱里准则为判断离散因果系统的稳定性，要判断 A(z)=0的所有根的绝对值是否都小于 1。朱里提出一种列表的检验方法，称为朱里准则。
朱里列表,
第 1行 an an-1 an-2 …… a 2 a1 a0
第 2行 a0 a1 a 2 …… a n-2 an-1 an
第 3行 cn-1 cn-2 cn-3 …… c 1 c0
第 4行 c0 c1 c2 …… c n-2 cn-1
第 5行 dn-2 dn-3 dn-4 …… d 0
第 6行 d0 d1 d2 …… d n-2
……
第 2n-3行 r2 r1 r0
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电子教案 7.2 系统的稳定性第 3行按下列规则计算：
n
n
n aa
aac
0
0
1
10
1
2
n
n
n aa
aac
20
2
3
n
n
n aa
aac …
一直到第 2n-3行，该行有 3个元素。
朱里准则指出,A(z)=0的所有根都在单位圆内的充分必要的条件是,(1) A(1)>0 (2) (-1)nA(-1)>0
(3) an>|a0| cn-1>|c0| dn-2>|d0| …… r 2>|r0|
奇数行，其第 1个元素必大于最后一个元素的绝对值。
特例,对二阶系统。 A(z)=a2z2+a1z+a0,易得
A(1)>0 A(-1)>0 a2>|a0|
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电子教案 7.2 系统的稳定性例 A(z)=4z4-4z3+2z-1
解
4 -4 0 2 -1
-1 2 0 -4 4
15 -14 0 4
4 0 -14 15
209 -210 56
4>1,15>4,209>56
所以系统稳定。
(-1)4A(-1)=5>0
排朱里列表
A(1)=1>0
信号与系统
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电子教案 7.3 信号流图
7.3 信号流图用方框图描述系统的功能比较直观。 信号流图 是用有向的线图描述方程变量之间因果关系的一种图，用它描述系统比方框图更加简便。信号流图首先由
Mason于 1953年提出的，应用非常广泛。
信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与框图本质是一样的，但简便多了。
一、信号流图
1、定义,信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。
2、信号流图中常用术语信号与系统
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电子教案 7.3 信号流图
(1)结点,信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。
(2)支路和支路增益,
连接两个结点之间的有向线段称为 支路 。
每条支路上的权值（ 支路增益 ）就是该两结点间的系统函数（转移函数）
F(s) H(s) Y(s)
即 用一条有向线段表示一个子系统 。
(3)源点与汇点,混合结点,
仅有出支路的结点称为 源点 （或输入结点）。
仅有入支路的结点称为 汇点 （或输出结点）。
有入有出的结点为 混合结点信号与系统
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电子教案 7.3 信号流图沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径称为 通路 。
如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为 开通路 。
若通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次），则称为 闭通路 。
相互没有公共结点的回路，称为 不接触回路 。
只有一个结点和一条支路的回路称为 自回路 。
(5)前向通路,从源点到汇点的开通路称为 前向通路 。
(6)前向通路增益，回路增益,
前向通路中各支路增益的乘积称为 前向通路增益 。
回路中各支路增益的乘积称为 回路增益 。
(4)通路、开通路、闭通路（回路、环）、不接触回路、自回路,
信号与系统
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电子教案 7.3 信号流图
3、信号流图的基本性质
（ 1）信号只能沿支路箭头方向传输。
支路的输出 =该支路的输入与支路增益的乘积。
（ 2）当结点有多个输入时，该接点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
x 6
a
b
c
d
e如,x
4= ax1+bx2+dx5
x3= cx4
x6= ex4
（ 3）混合结点可通过增加一个增益为 1的出支路而变为汇点。
信号与系统
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电子教案 7.3 信号流图
4、方框图流图注意：加法器前引入增益为 1的支路
5、流图简化的基本规则：
（ 1）支路串联：支路增益相乘。
X 1 X
3
X 2
H 1 H 2
X2=H2X3=H2H1X1
X 1 X 2
H 1 H 2
（ 2）支路并联：支路增益相加。
X 1 X 2
H 1
H 2
X2=H1X1+H2X1 =(H1+H2) X1
X 1 X 2
H 1 + H 2
信号与系统
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电子教案 7.3 信号流图
（ 3）混联：
X 1
H 1
H 2X 2
H 3
X 3
X 4
X4=H3X3=H3(H1X1+ H2X2)= H1H3X1 + H2H3X2
X 1
X 2
X 4
H 1 H 3
H 2 H 3
X 1
X 2
X 3
X 4
H 1
H 2
H 3
X 1
X 3
X 4
H 1 H 2
H 1 H 3
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电子教案 7.3 信号流图
（ 4）自环的消除：
X 1
X 2
X 3
X 4
H 1
H 2
H 3
H 4
X3=H1X1+H2X2+ H3X3
2
3
2
1
3
1
3 11 XH
HX
H
HX
X 1
X 2
X 3
X 4
H 4
3
1
1 H
H
3
2
1 H
H
所有来向支路除 1 – H3
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电子教案 7.3 信号流图例,化简下列流图。
X 1
X 2
X 3
X 4
X 5
X 6
a
b
c
d
e
f
1
注意化简具体过程可能不同，但最终结果一定相同。
解,消 x3 X 1 X
2
X 4
X 5
X 6
a
c f
1bd ed
消 x2
X 1
X 4
X 5
X 6
f
1
a ( c + b d )
ed
消 x4
a f ( c + b d )
e d f
1
X 1
X 5
X 6
消自环
1
X 1
X 5
X 6
ed f1
bd)af ( c
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电子教案 7.3 信号流图二、梅森公式 上述化简求 H复杂。利用 Mason公式方便。
系统函数 H(.)记为 H。梅森公式为：
i
iipH
1
rqp
rqp
nm
nm
j
j LLLLLL
,,,
1 称为信号流图的特征行列式为所有不同回路的增益之和；?
j
jL
nm
nm LL
,
为所有两两不接触回路的增益乘积之和；
rqp rqp
LLL
,,
为所有三三不接触回路的增益乘积之和； …
i 表示由源点到汇点的第 i条前向通路的标号
Pi 是由源点到汇点的第 i条前向通路增益；
△ i 称为第 i条前向通路特征行列式的余因子 。 消去接触回路信号与系统
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电子教案 7.3 信号流图例 求下列信号流图的系统函数
H 4
H 1 H 2 H 3 2 11
G
H 5
解 (1)首先找出所有回路：
L1=H3G
L2=2H1H2H3H5
L3=H1H4H5
(2)求特征行列式
△ =1-（ H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5） + H3G H1H4H5
(4)求各前向通路的余因子：△ 1 =1,△ 2 =1-GH3
(3)然后找出所有的前向通路：
p1=2H1H2H3
p2=H1H4 )(
1
2211 ppH
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电子教案 7.4 系统模拟
7.4 系统模拟对框图也可利用梅森公式求系统函数。
Mason公式是由流图? H(s)或 H(z)
下面讨论，由 H(s)或 H(z)?流图或方框图一、直接实现 ---利用 Mason公式来实现例
]107[1
55
1071
55
107
55)(
21
32
21
32
23
ss
ss
ss
ss
sss
ssH
分子中每项看成是一条前向通路。分母中，除 1之外，
其余每项看成一个回路。画流图时，所有前向通路与全部回路相接触。所有回路均相接触。
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电子教案 7.4 系统模拟二、级联实现将 H分解为若干简单（一阶或二阶子系统）的系统函数的乘积，即 H=H1H2…H n
一、二阶子系统函数
1
0
1
0
1
1)(
za
zbzH
i
i
i 2
0
1
1
2
0
1
1
1
1)(
zaza
zbzbzH
ii
ii
i
三、并联实现将 H展开成部分分式，将每个分式分别进行模拟，然后将它们并联起来。
5
3/4
2
6/52/1
)5)(2(
)1(5)(
ssssss
ssH
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电子教案 7.4 系统模拟例
32
1
1
1
32
2
1
2
)32)(1(
)2(2
353
42
22223
ss
s
sss
s
ssss
s
sss
s
H(s)=
信号与系统
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电子教案 7.4 系统模拟信号与系统
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电子教案 7.4 系统模拟
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电子教案 第 七 章 系统函数
7.1 系统函数与系统特性一、系统函数的零、极点分布图二、系统函数与时域响应三、系统函数收敛域与极点的关系四、系统函数与频率响应
7.2 系统的稳定性
7.3 信号流图
7.4 系统模拟一、直接实现二、级联实现三、并联实现点击目录,进入相关章节信号与系统
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电子教案 第 七 章 系统函数
7.1 系统函数与系统特性一,系统函数的零、极点分布图
LTI系统的系统函数是复变量 s或 z的有理分式，即
A(.)=0的根 p1,p2,…,pn称为系统函数 H(.)的极点；
B(.)=0的根?1,?2,…,?m称为系统函数 H(.)的零点。
)(
)()(
A
BH
将零极点画在复平面上得 零、极点分布图。
例
)1()1(
)2(2)(
22
ss
ssH
σ
jω
0
( 2 )
-1-2
j
-j
信号与系统
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电子教案例,已知 H(s)的零、极点分布图如示，并且 h(0+)=2。求
H(s)的表达式。
σ
jω
0-1
j2
- j2
解,由分布图可得
524)1()( 22 ss
Ks
s
KssH
根据初值定理，有
Kss KsssHh ss 52lim)(lim)0( 2
2
52
2)(
2 ss
ssH
7.1 系统函数与系统特性信号与系统
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电子教案 7.1 系统函数与系统特性二、系统函数 H(·)与时域响应 h(·)
冲激响应或单位序列响应的函数形式由 H(.)的极点确定。
下面讨论 H(.)极点的位置与其时域响应的函数形式。
所讨论系统均为因果系统。
1．连续因果系统
H(s)按其极点在 s平面上的位置可分为,在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。
（ 1）在左半平面
(a)若系统函数有 负实单极点 p= –α(α>0)，则 A(s)中有因子 (s+α)，其所对应的响应函数为 Ke-αtε(t)
信号与系统
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电子教案 7.1 系统函数与系统特性
(b) 若有 一对共轭复极点 p12=-α± jβ，则 A(s)中有因子 [(s+α)2+β2]---?K e-αtcos(βt+θ)ε(t)
(c) 若有 r重极点,
则 A(s)中有因子 (s+α)r或 [(s+α)2+β2]r，其响应为
Kiti e-αtε(t)或 Kiti e-αtcos(βt+θ)ε(t) (i=0,1,2,…,r -1)
以上三种情况：当 t→∞ 时，响应均趋于 0。暂态分量。
（ 2）在虚轴上
(a)单极点 p=0或 p12=± jβ，
则响应为 Kε(t)或 Kcos(βt+θ)ε(t)-----稳态分量
(b) r重极点,相应 A(s)中有 sr或 (s2+β2)r，其响应函数为
Kitiε(t)或 Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r -1)—递增函数信号与系统
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电子教案 7.1 系统函数与系统特性
（ 3） 在右半开平面,均为 递增函数 。
综合结论,
LTI连续因果系统的 h(t)的函数形式由 H(s)的极点确定。
① H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。
即当 t→∞ 时，响应均趋于 0。
② H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数为稳态分量。
③ H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。
即当 t→∞ 时，响应均趋于 ∞。
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电子教案 7.1 系统函数与系统特性
2．离散因果系统
H(z)按其极点在 z平面上的位置可分为,在 单位圆内,
在 单位圆上 和在 单位圆外 三类。
根据 z与 s的对应关系，有 结论,
① H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。
即当 k→∞ 时，响应均趋于 0。
② H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。
③ H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当 k→∞ 时，响应均趋于 ∞。
信号与系统
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电子教案 7.1 系统函数与系统特性三、系统函数收敛域与其极点之间的关系根据收敛域的定义,H(·)收敛域不能含 H(·)的极点。
例,某离散系统的系统函数
35.0)( z
z
z
zzH
(1) 若系统为因果系统，求单位序列响应 h(k);
(2) 若系统为反因果系统，求单位序列响应 h(k);
(3) 若系统存在频率响应，求单位序列响应 h(k);
解 (1) |z|>3,h(k) =[(-0.5)k + (3)k]?(k)
(2) |z|<0.5,h(k) =[-(-0.5)k - (3)k]?(-k-1)
(3) 0.5<|z|<3,h(k) = (-0.5)k?(k) - (3)k?(-k-1)
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电子教案 7.1 系统函数与系统特性四、系统函数与频率响应
1、连续因果系统若系统函数 H(s)的极点均在左半平面，则它在虚轴上
(s=jω)也收敛，有 H(jω)=H(s)|s= jω,
下面介绍两种常见的系统。
（ 1）全通函数若系统的幅频响应 | H(jω)|为常数，则称为 全通系统,
其相应的 H(s)称为 全通函数 。
凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，
并且所有零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系统函数即为全通函数。
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电子教案 7.1 系统函数与系统特性
（ 2）最小相移函数右半开平面没有零点的系统函数称为 最小相移函数 。
解释见 p336
2、离散因果系统若系统函数 H(z)的极点均在单位圆内，则它在单位圆上 (|z|=1)也收敛，有 H(ejθ)=H(z)|z= ejθ,
式中 θ=ωTs,ω为角频率,Ts为取样周期。
信号与系统
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电子教案 7.2 系统的稳定性
7.2 系统的稳定性一、因果系统因果系统是指，系统的零状态响应 yf(.)不会出现于 f(.)之前的系统。
连续因果系统 的充分必要条件是：冲激响应 h(t)=0,t<0
或者，系统函数 H(s)的收敛域为,Re[s]>σ0
离散因果系统 的充分必要条件是：单位响应 h(k)=0,k<0
或者，系统函数 H(z)的收敛域为,|z|>ρ0
信号与系统
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电子教案 7.2 系统的稳定性二、系统的稳定性
1、稳定系统的定义一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出 (BIBO)稳定的系统，简称为 稳定系统 。
即,若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf,其零状态响应
|yf(.)|≤My，则称该系统稳定。
（ 1）连续系统稳定的充分必要条件是
Mdtth |)(|
若 H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。
信号与系统
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电子教案 7.2 系统的稳定性
（ 2）离散系统稳定的充分必要条件是若 H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定的系统。
k
Mkh |)(|
例 1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1)
(1) 若为因果系统，求 h(k)，并判断是否稳定。
(2) 若为稳定系统，求 h(k),
解
2
4.0
5.0
4.0
)2)(5.0(15.15.11)( 221
1
z
z
z
z
zz
z
zz
z
zz
zzH
(1)为因果系统，故收敛域为 |z|>2，所以
h(k)=0.4[0.5k-(-2)k]ε(k)，不稳定。
(2)若为稳定系统，故收敛域为 0.5<|z|<2，所以
h(k)=0.4(0.5)kε(k)+0.4(-2)kε(-k-1)
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电子教案 7.2 系统的稳定性因果系统稳定性的充分必要条件可简化为
（ 3） 连续因果系统
0
|)(| Mdtth
因为因果系统左半开平面的极点对应的响应为衰减函数。
故，若 H(s)的极点均在左半开平面,则该系统必是稳定的因果系统。
（ 4） 离散因果系统因为因果系统单位圆内的极点对应的响应为衰减函数。
故，若 H(z)的极点均在单位圆内,则该系统必是稳定的因果系统。
0
|)(|
k
Mkh
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电子教案 7.2 系统的稳定性例 1,如图反馈因果系统，问当 K满足什么条件时，系统是稳定的？其中子系统的系统函数 G(s)=1/[(s+1)(s+2)]
解,设 加法器的输出信号 X(s) ∑ G ( s )
K
F ( s ) Y ( s )
X(s)
X(s)=KY(s)+F(s)
Y(s)= G(s)X(s)=K G(s)Y(s)+ G(s)F(s)
H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/[1-KG(s)]=1/(s2+3s+2-k)
H(s)的极点为
kp
2
2
3
2
3 2
2,1
为使极点在左半平面，必须 (3/2)2-2+k<(3/2)2,k<2，
即当 k<2，系统稳定。
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电子教案 7.2 系统的稳定性例 2,如图离散因果系统框图,为使系统稳定，
求常量 a的取值范围解,设 加法器输出信号 X(z)
1?
z∑ ∑
2
a
F ( z ) Y ( z )X(z)
z-1X(z)
X(z)=F(z)+z-1aX(z)
Y(z)=(2+z-1)X(z)= (2+z-1)/(1-az-1)F(z)
H(z)= (2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a)
为使系统稳定,H(z)的极点必须在单位园内，
故 |a|<1
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电子教案 7.2 系统的稳定性三、连续因果系统稳定性判断准则 ——罗斯 -霍尔维兹准则对因果系统，只要判断 H(s)的极点，即 A(s)=0的根（称为系统特征根）是否都在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。
所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式。
1、必要条件 —简单方法一实系数多项式 A(s)=ansn+…+a 0=0的所有根位于左半开平面的 必要条件 是：（ 1） 所有系数都必须非 0，即不缺项； （ 2） 系数的符号相同 。
例 1 A(s)=s3+4s2-3s+2 符号相异，不稳定例 2 A(s)=3s3+s2+2,a1=0，不稳定例 3 A(s)=3s3+s2+2s+8 需进一步判断，非充分条件。
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电子教案 7.2 系统的稳定性
2、罗斯列表将多项式 A(s)的系数排列为如下阵列 —罗斯阵列第 1行 an an-2 an-4 …
第 2行 an-1 an-3 an-5 …
第 3行 cn-1 cn-3 cn-5 …
它由第 1,2行，按下列规则计算得到：
31
2
1
1
1
nn
nn
n
n aa
aa
ac
51
4
1
3
1
nn
nn
n
n aa
aa
ac
…
第 4行由 2,3行同样方法得到。一直排到第 n+1行。
罗斯准则指出,若第一列元素具有相同的符号，则
A(s)=0所有的根均在左半开平面。若第一列元素出现符号改变，则符号改变的总次数就是右半平面根的个数。
信号与系统
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电子教案 7.2 系统的稳定性特例,对于二阶系统 A(s)=a2s2+a1s+a0，若 a2>0，不难得出,A(s)为霍尔维兹多项式的条件为,a1>0,a0>0
例 1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2
罗斯阵列,2 12 2
1 8 0
4
1
81
122
2
8.5 0
2
第 1列元素符号改变 2次，因此，有 2个根位于右半平面。
注意,在排罗斯阵列时，可能遇到一些特殊情况，如第一列的某个元素为 0或某一行元素全为 0，这时可断言：该多项式不是霍尔维兹多项式。
信号与系统
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电子教案 7.2 系统的稳定性例 2 已知某因果系统函数
kssssH 133
1)(
23
为使系统稳定,k应满足什么条件？
解 列罗斯阵列 1 3
3 1+k
(8-k)/3
1+k
所以,–1<k<8，系统稳定。
信号与系统
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电子教案 7.2 系统的稳定性四、离散因果系统稳定性判断准则 ——朱里准则为判断离散因果系统的稳定性，要判断 A(z)=0的所有根的绝对值是否都小于 1。朱里提出一种列表的检验方法，称为朱里准则。
朱里列表,
第 1行 an an-1 an-2 …… a 2 a1 a0
第 2行 a0 a1 a 2 …… a n-2 an-1 an
第 3行 cn-1 cn-2 cn-3 …… c 1 c0
第 4行 c0 c1 c2 …… c n-2 cn-1
第 5行 dn-2 dn-3 dn-4 …… d 0
第 6行 d0 d1 d2 …… d n-2
……
第 2n-3行 r2 r1 r0
信号与系统
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电子教案 7.2 系统的稳定性第 3行按下列规则计算：
n
n
n aa
aac
0
0
1
10
1
2
n
n
n aa
aac
20
2
3
n
n
n aa
aac …
一直到第 2n-3行，该行有 3个元素。
朱里准则指出,A(z)=0的所有根都在单位圆内的充分必要的条件是,(1) A(1)>0 (2) (-1)nA(-1)>0
(3) an>|a0| cn-1>|c0| dn-2>|d0| …… r 2>|r0|
奇数行，其第 1个元素必大于最后一个元素的绝对值。
特例,对二阶系统。 A(z)=a2z2+a1z+a0,易得
A(1)>0 A(-1)>0 a2>|a0|
信号与系统
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电子教案 7.2 系统的稳定性例 A(z)=4z4-4z3+2z-1
解
4 -4 0 2 -1
-1 2 0 -4 4
15 -14 0 4
4 0 -14 15
209 -210 56
4>1,15>4,209>56
所以系统稳定。
(-1)4A(-1)=5>0
排朱里列表
A(1)=1>0
信号与系统
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电子教案 7.3 信号流图
7.3 信号流图用方框图描述系统的功能比较直观。 信号流图 是用有向的线图描述方程变量之间因果关系的一种图，用它描述系统比方框图更加简便。信号流图首先由
Mason于 1953年提出的，应用非常广泛。
信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与框图本质是一样的，但简便多了。
一、信号流图
1、定义,信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以简化系统的表示，并便于计算系统函数。
2、信号流图中常用术语信号与系统
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电子教案 7.3 信号流图
(1)结点,信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。
(2)支路和支路增益,
连接两个结点之间的有向线段称为 支路 。
每条支路上的权值（ 支路增益 ）就是该两结点间的系统函数（转移函数）
F(s) H(s) Y(s)
即 用一条有向线段表示一个子系统 。
(3)源点与汇点,混合结点,
仅有出支路的结点称为 源点 （或输入结点）。
仅有入支路的结点称为 汇点 （或输出结点）。
有入有出的结点为 混合结点信号与系统
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电子教案 7.3 信号流图沿箭头指向从一个结点到其他结点的路径称为 通路 。
如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为 开通路 。
若通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次），则称为 闭通路 。
相互没有公共结点的回路，称为 不接触回路 。
只有一个结点和一条支路的回路称为 自回路 。
(5)前向通路,从源点到汇点的开通路称为 前向通路 。
(6)前向通路增益，回路增益,
前向通路中各支路增益的乘积称为 前向通路增益 。
回路中各支路增益的乘积称为 回路增益 。
(4)通路、开通路、闭通路（回路、环）、不接触回路、自回路,
信号与系统
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电子教案 7.3 信号流图
3、信号流图的基本性质
（ 1）信号只能沿支路箭头方向传输。
支路的输出 =该支路的输入与支路增益的乘积。
（ 2）当结点有多个输入时，该接点将所有输入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
x 6
a
b
c
d
e如,x
4= ax1+bx2+dx5
x3= cx4
x6= ex4
（ 3）混合结点可通过增加一个增益为 1的出支路而变为汇点。
信号与系统
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电子教案 7.3 信号流图
4、方框图流图注意：加法器前引入增益为 1的支路
5、流图简化的基本规则：
（ 1）支路串联：支路增益相乘。
X 1 X
3
X 2
H 1 H 2
X2=H2X3=H2H1X1
X 1 X 2
H 1 H 2
（ 2）支路并联：支路增益相加。
X 1 X 2
H 1
H 2
X2=H1X1+H2X1 =(H1+H2) X1
X 1 X 2
H 1 + H 2
信号与系统
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电子教案 7.3 信号流图
（ 3）混联：
X 1
H 1
H 2X 2
H 3
X 3
X 4
X4=H3X3=H3(H1X1+ H2X2)= H1H3X1 + H2H3X2
X 1
X 2
X 4
H 1 H 3
H 2 H 3
X 1
X 2
X 3
X 4
H 1
H 2
H 3
X 1
X 3
X 4
H 1 H 2
H 1 H 3
信号与系统
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电子教案 7.3 信号流图
（ 4）自环的消除：
X 1
X 2
X 3
X 4
H 1
H 2
H 3
H 4
X3=H1X1+H2X2+ H3X3
2
3
2
1
3
1
3 11 XH
HX
H
HX
X 1
X 2
X 3
X 4
H 4
3
1
1 H
H
3
2
1 H
H
所有来向支路除 1 – H3
信号与系统
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电子教案 7.3 信号流图例,化简下列流图。
X 1
X 2
X 3
X 4
X 5
X 6
a
b
c
d
e
f
1
注意化简具体过程可能不同，但最终结果一定相同。
解,消 x3 X 1 X
2
X 4
X 5
X 6
a
c f
1bd ed
消 x2
X 1
X 4
X 5
X 6
f
1
a ( c + b d )
ed
消 x4
a f ( c + b d )
e d f
1
X 1
X 5
X 6
消自环
1
X 1
X 5
X 6
ed f1
bd)af ( c
信号与系统
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电子教案 7.3 信号流图二、梅森公式 上述化简求 H复杂。利用 Mason公式方便。
系统函数 H(.)记为 H。梅森公式为：
i
iipH
1
rqp
rqp
nm
nm
j
j LLLLLL
,,,
1 称为信号流图的特征行列式为所有不同回路的增益之和；?
j
jL
nm
nm LL
,
为所有两两不接触回路的增益乘积之和；
rqp rqp
LLL
,,
为所有三三不接触回路的增益乘积之和； …
i 表示由源点到汇点的第 i条前向通路的标号
Pi 是由源点到汇点的第 i条前向通路增益；
△ i 称为第 i条前向通路特征行列式的余因子 。 消去接触回路信号与系统
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电子教案 7.3 信号流图例 求下列信号流图的系统函数
H 4
H 1 H 2 H 3 2 11
G
H 5
解 (1)首先找出所有回路：
L1=H3G
L2=2H1H2H3H5
L3=H1H4H5
(2)求特征行列式
△ =1-（ H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5） + H3G H1H4H5
(4)求各前向通路的余因子：△ 1 =1,△ 2 =1-GH3
(3)然后找出所有的前向通路：
p1=2H1H2H3
p2=H1H4 )(
1
2211 ppH
信号与系统
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电子教案 7.4 系统模拟
7.4 系统模拟对框图也可利用梅森公式求系统函数。
Mason公式是由流图? H(s)或 H(z)
下面讨论，由 H(s)或 H(z)?流图或方框图一、直接实现 ---利用 Mason公式来实现例
]107[1
55
1071
55
107
55)(
21
32
21
32
23
ss
ss
ss
ss
sss
ssH
分子中每项看成是一条前向通路。分母中，除 1之外，
其余每项看成一个回路。画流图时，所有前向通路与全部回路相接触。所有回路均相接触。
信号与系统
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电子教案 7.4 系统模拟二、级联实现将 H分解为若干简单（一阶或二阶子系统）的系统函数的乘积，即 H=H1H2…H n
一、二阶子系统函数
1
0
1
0
1
1)(
za
zbzH
i
i
i 2
0
1
1
2
0
1
1
1
1)(
zaza
zbzbzH
ii
ii
i
三、并联实现将 H展开成部分分式，将每个分式分别进行模拟，然后将它们并联起来。
5
3/4
2
6/52/1
)5)(2(
)1(5)(
ssssss
ssH
信号与系统
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电子教案 7.4 系统模拟例
32
1
1
1
32
2
1
2
)32)(1(
)2(2
353
42
22223
ss
s
sss
s
ssss
s
sss
s
H(s)=
信号与系统
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电子教案 7.4 系统模拟信号与系统
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电子教案 7.4 系统模拟
