,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,1
第四章 连续系统的复频域分析
4.1 拉普拉斯变 换的定义、收敛域
4.2 拉普拉斯变换的基本性质
4.3 拉普拉斯逆变换
4.4 LTI系统的复频域分析
4.5 系统函数及其零、极点分布特性
4.6 系统的信号流图及系统模拟
4.7线性系统的稳定性
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,2
4.1 拉普拉斯变换一,从傅里叶变换到拉普拉斯变换傅里叶变换条件,信号在无限区间绝对可积
()f t d t
ft
f t f t
-t
不 满 足 绝 对 可 积 条 件,是 由 于 t 或 t 时,
不 趋 于 零 。 如 果 引 入 一 个 衰 减 因 子 e 去 乘 以,
只 要 选 择 得 适 当,就 可 以 克 服 此 困 难 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,3
,0
0
,0
bt
at
et
ab
et
-t
-t
例,
ft
选 择 a> >b,就 能 保 证 t 和 t- 时,f t e 均 趋 于 零,
通 常 把 e 称 为 收 敛 因 子 。?
j
j)
j)
( ) e
( ) e
( j )
( j ) ( ) e
t t t
t
t
F T f t e f t e d t
f t d t
F
F f t d t
（
（
即,
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,4
1
j
j
1
( ) e j
1
( j ) e
2
e
1
( ) ( j ) e e
2
j,,j
( ) e ( )
1
( ) e
2
t
t
t
tt
st
j
st
j
f t F T F
Fd
f t F d
f t d t LT f t
f t F s d s LT
j
两 边 同 乘 以,可 得令 s= 则 ds=jd 当 = 时,s=
于 是 得 到,
Fs
Fs
原函数象函数
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,5
傅氏变换建立了信号在时域和频域间的关系,而拉氏变换则建立了在时域和复频域间的关系 。 同时我们发现,在拉氏变换中,当变量 s中的实部 σ =0时,拉氏变换就变成了傅氏变换,
也就是说,傅氏变换是拉氏变换的一个特例 。
在实际问题中,我们遇到的都是因果信号,信号总有发生的起始时刻,如果将起始时刻定为时间原点,
)0(0)( ttf
-
0
( ) ( ) e dstF s f t t
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,6
上式称为 f(t)的单边拉普拉斯变换。所以有
j
j
st ssFtf
de)(
j2
1
0
)(
(t<0)
(t>0)
此处主要讨论单边拉普拉斯变换 。 这样,t<0时 f(t)的取值与变换结果无关 。 单边拉普拉斯变换的定义式的积分下限从 0-开始,本书中的拉普拉斯变换的积分下限 0均指 0-。 不过,
为了书写简便常常写为 0。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,7
二、拉氏变换的收敛域在引入拉氏变换时我们说过,当 f(t)乘以衰减因子 e-σt后,
就有可能找到合适的 σ值使 f(t)e-σt绝对可积,从而 f(t)e-σt的傅氏变换存在,继而得到 f(t)的拉氏变换 。 那么,合适的 σ值如何确定呢？ 或者说,如果把合适的 σ取值范围称为拉氏变换收敛域的话,那么如何确定该收敛域？ 下面通过一个例题对拉氏变换的收敛域给予说明 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,8
【 例 】 求指数函数
)(e)( α ttf t
(α >0,α ∈ R)
的象函数 F(s)。
【 解 】 根据定义
]elim1[
1
)(
e
dedee)s(
)(
0
)(
0
)(
0
ts
t
ts
tsstt
s
s
ttF
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,9
由于 s=σ +jω,因此上式中括号内第二项可写为
tt
t
ts
t
-j)--()--( eelimelim
只要选择 σ >α,随着时间 t的增大,e-(σ -α )t将会衰减。故有
0elim )--( tst?
从而使 f(t)的象函数为
ssF
1)(
若 σ<α,e-(σ-α)t将随着时间 t的增大而增大 。 当 t→∞ 时,结果将趋于无穷大,从而使积分不收敛,f(t)的象函数不存在 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,10
从上述讨论中可以看到,f(t)乘以衰减因子 e-σt后是否一定满足绝对可积条件，还要看 f(t)的性质和 σ 的相对关系而定。
把使 f(t) e-σt满足绝对可积条件的 σ 值的范围称为拉氏变换的收敛域。在收敛域内，函数的拉氏变换存在，在收敛域外，函数的拉氏变换不存在。
一般而言，若极限 在 σ>σ0时取值为零
，则收敛条件为 σ>σ0 。
t
t tf
e)(lim
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,11
在以 σ为横轴,jω为纵轴的复平面 （ s平面 ） 上,σ0在复平面称为收敛坐标,通过 σ0的垂直线是收敛区的边界,称为收敛轴 。 收敛轴将复平面划分为两个区域,σ> σ0的是一个区域,称为象函数 F(s)的收敛域,如下图所示 。
j?
收敛轴
0
收敛坐标
0
收敛域
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,12
22
0; 2 ;
3 ; 4 ;
5 c os
tt
f t t f t u t
f t e u t f t e u t
f t tu t
0
例,求 下 列 各 单 边 函 数 拉 氏 变 换 的 收 敛 域 （ 即 求 收 敛 坐 标 ）
1
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,13
三、典型信号的拉普拉斯变换
1,单位阶跃信号 u(t)
-
-
0
0
e1[ ( ) ] e d 0ststLT u t t
ss
0
2.
1
t
t t st
e
L T e e e d t
s
指 数 函 数
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,14
0
22
0
0
22
0
0
0
3.
4.
c os c os
5.
1
st
st
st
tu t
L T tu t t e dt
s
tu t
s
L T tu t t e dt
s
t
L T t t e dt
0
00
0
00
单 边 正 弦 信 号 sin
sin sin
单 边 余 弦 信 号 cos
单 位 冲 激 信 号
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,15
00
1
0
2
0
0
00
0
2
2
0
6.
!
1
1,,
7,si n
1
si n
2
1 1 1
2
st
n
t
n
L T e dt
s
n f t t L T t
s
t u t
L T t u t L T u t
j
j s j s j
s
n
nn
-t
- - j t - j t-t
的 正 幂 信 号 tn 为 正 整 数
tt
时单 边 衰 减 正 弦 信 号 e
e e e
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,16
00
0
0
2
2
0
22
22
8,c os
1
c os
2
9.
,
t t t t
t u t
L T t u t
s
s
e e e e
s
s
s
-t
- -j t - j t-t
单 边 衰 减 余 弦 信 号 e
e e +e
单 边 双 曲 正 弦 函 数 sh tu t 和 余 弦 函 数 ch tu t
11
由 于 sh t= ch t=
22
所 以 LT sh tu t
LT ch tu t
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,17
表 4― 1 常用信号及其拉氏变换
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,18
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,19
4.2 拉普拉斯变换的基本性质一、线性（叠加性、均匀性）
若则例：
1 1 2 2
1 2 1 2
( ) ( ) ; ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f t F s f t F s
af t bf t aF s bF s
00
00
0
0
22
00 0
0
0 22
0
1
c os ( )
2
11
[ c os ] [ ] [ ]
22
1 1 1
()
2
[ si n ]
j t j t
j t j t
t e e
L T t L T e L T e
s
s j s j s
L T t
s
同 理,
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,20
二、时移性
0 0stue?
0 0 0
若 f t F s
则 f t - t t - t F s t
证明：
0 0 0
0 0 0 0
0
0
0
( ) -
0
00
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) e d
( ) e d
( ) e d e ( ) e d e ( )
st
st
s x t st stsx
L T f t t u t t f t t u t t t
f t t t
t t x f x x f x x F s
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,21
23
1
1
1
st st st
st
uu
e e e
e
1 2 3
1 1 1
1
1
若 f t f t f t f t
= f t f t-T t-T f t-2 T t-2 T
则 F s F s
Fs
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,22
三,尺度变换（比例）特性若则
( ) ( )
1
( ) ( ),0
f t F s
s
f at F a
aa
证明,
0
0
0
[ ( ) ] ( ) e d
( ) e d
11
( ) e
st
s
a
s
a
L T f at f at t
at f
a
s
fF
a a a
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,23
( ) ( )f t F s?
0 0( ) ( )stf t e F s s
四、复频移性若则五、时域微分性
1 2 ( 1 )
()
()
,( ) ( 0 )
()
( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
( 0 ) ( 0 ) 0
n
n n n n
n
kk
df t
F s sF s f
dt
d f t
s F s s f s f f
dt
f f t f t f t
若 ft 则及 表 示 时 及 的 值 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,24
证明,根据拉氏变换定义
0
0
0
( ) ( )
[]
[ ( ) ] ( ) ( )
( ) ( 0 )
st
s t s t
d f t d f t
LT e d t
d t d t
e f t s e f t d t
sF s f
得证。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,25
同理可得
22
22
0
0
0
2
( ) ( )
[]
()
[]
()
( ) ( 0 )
( ) ( 0 ) ( 0 )
st
st
t
d f t d f t
L T e dt
dt dt
d df t
e dt
dt dt
df t
s sF s f
dt
s F s sf f
依此类推,可得证 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,26
六,复频域微分特性
( ) ( )
()
[ ( ) ]
()
[ ( ) ( ) ]
n
n
n
f t F s
d F s
LT t f t
ds
d F s
LT t f t
ds
若
)
0
(
n
n n
t
f t F s
f
s
f?
当 是,那 么 =0 n= 0,1,2,
则因 果 信 号
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,27
七、时域积分
1
1
0
,
0
0
t
Fs
F s d
s
F s f
d
ss
f d d
-
t
0
t
-
t0
--
若 ft 则 f
f
式 中 ff
八、复频域积分
( ) ( )f t F s?若
() ()
s
ft Fd
t
则
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,28
九,初值定理若 存在,则 f(t)的初值
[ ( ) ] ( ) l i m [ ( ) ]tL T f t F s s F s 且
0( 0 ) l i m ( ) l i m [ ( ) ]tsf f t s F s
f t t?设 不 含 及 其 各 阶 导 数
' ' 2 '
'( 0 ) l im [ ( ) 0 ]
( 0 ) l im [ ( ) 0 0 ]
s
s
f s s F s f
f s s F s s f f
110 l i m [ ( ) ] 0 l i ) ( )
,
m(
ss
f sF s k s f sF s F
t
s
ft?
或若 含 冲 激 k 则为 真 分 式
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,29
十、终值定理
[ ( ) ] ( ),l i m ( ) ( )tL T f t F s f t f t若 且 存 在,则 的 终 值
0( ) l i m ( ) l i m [ ( ) ]tsf f t s F s
使用终值定理求 f(∞)时,应注意只有在 f(t)的终值存在的情况下,才能使用终值定理求函数终值,否则,会导出错误的结论 。 这一点可从 s域做出判断,F(s)的极点必须分布在 s平面的左半平面内或在原点上仅有一阶极点,终值定理才可应用 。 （ 也即 s=0的点应在 sF(s)的收敛域内,否则不能应用终值定理 。 ）
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,30
1 1 2 2
1 2 1 2
[ ( ) ] ( ) ; [ ( ) ] ( )
[ ( ) ( ) ] ( ) ( )
L T f t F s L T f t F t
L T f t f t F s F t
十一、卷积定理若则
1 2 1 2
1[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2LT f t f t F s F sj
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,31
表 4― 2 拉氏变换的性质
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,32
4.3 拉普拉斯逆变换一、部分分式展开法含有高阶导数的线性,常系数微分方程经拉氏变换成为 s的多项式,常见的拉氏变换式是复频域变量 s的多项式之比 （ 有理分式 ）,一般形式是
1
1 1 0
1
1 1 0
()()
()
mm
mm
nn
nn
b s b s b s b N sFs
a s a s a s a D s
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,33
N(s),F(s)的分子多项式
D(s),F(s)的分母多项式
an,bm：实数若 N(s)阶次比 D(s)的阶次高,则要利用长除法将
F(s)化成如下的多项式与真分式之和的形式：
2 1
0 1 2
( ) ( )()
( ) ( )
mn
mn
N s N sF s B B s B s B s
D s D s
真分式
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,34
32
2
2
'
( ) 3 2 7 1
()
() 1
4
35
1
3 3,5 5
N s s s s
Fs
Ds ss
s
s
ss
L T s t L T t
例,
而由此看出,有理多项式部分易于根据典型信号 δ (t)的拉普拉斯变换和拉普拉斯变换性质求得 。 所以,下面着重讨论有理真分式 （ 即 m<n） 的逆变换 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,35
(1)D(s)=0
F(s)可以展开为部分分式之和 。 即
12
12
12
( ) ( )
()
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n k n
in
in
N s N s
Fs
D s a s s s s s s s s
KKKK
s s s s s s s s
()
()
( ) 1,2,,
()
i
ii
ii
ss
s s s s
Ns
K s s i n
Ds
上 式 两 边 同 乘 以,再 令 于 是
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,36
1
11
1
1
1
[]
()
[ ( ) ] [ ]
()
[]
0
0
i
i
sti
i
i
n
i
i i
n
st
i
i
K
L T K e
ss
Ds
L T F s L T
Ds
K
LT
ss
K e t
Ds
Fs
由 此 可 见,当 具 有 相 异 实 根 时,
的 拉 氏 逆 变 换 是 许 多 实 指 数 项 之 和 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,37
例,求的原函数 f(t)。
32
32
2 15 25 15()
6 11 6
s s sFs
s s s
2
32
32
1 2 3
2
1 2 3
32
2 3 3
( ) 2
6 11 6
( ) 6 11 6 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
1,2,3
2 3 3
[]
6 11 6 1 2 3
ss
Fs
s s s
D s s s s s s s
s s s
s s K K K
s s s s s s
所以 F(s)的真分式可展成部分分式解,首先将 F(s)化为真分式
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,38
1
11
2
1
2
1
2
22
2
2
2
33
()
[ ( ) ]
()
( 2 3 3 )
[ ( 1 ) ]
( 1 ) ( 2)( 3 )
( 2 3 3 )
[ ] 1
( 2)( 3 )
( 2 3 3 )
[ ( 2) ]
( 1 ) ( 2)( 3 )
( 2 3 3 )
[ ] 1
( 1 ) ( 3 )
( 2 3 3 )
[ ( 3 ) ]
( 1 ) ( 2)( 3 )
(2
[
ss
s
s
s
s
s
Ns
K s s
Ds
ss
s
s s s
ss
ss
ss
Ks
s s s
ss
ss
ss
Ks
s s s
2
3
3 3 )
]6
( 1 ) ( 2)
s
ss
ss
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,39
于是 F(s)可展开为
1
1 1 1 1
23
1 5 6
( ) 2
1 2 3
( ) [ ( ) ]
1 5 6
[ 2 ] [ ] [ ] [ ]
1 2 3
2 ( ) 5 6 ( 0 )
t t t
Fs
s s s
f t LT F s
LT LT LT LT
s s s
t e e e t?
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,40
(2)D(s)=0的根有复根且无重根
))(())(()( 2221 cbssssssssasD nn
))(( 21 cbsssD
则构成一对共轭复根。二次多项式中，若,42 cb?
)(
)(
)(
)()(
1
1
2
21
sD
sN
cbss
ksk
sD
sNsF?
cbss
ksk
2
21
的反变换可用 配方法
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,41
例,求 的原函数 f(t)
解 （ 1）
D(s)=s2+2s+5=(s+1-j2)(s+1+j2)=0,
共轭复根 s1=-1+j2,s2=-1-j2
2() 25
sFs
ss 12
2
1 1 22
2
()
1 2 1 225
1 2 1
[ ( 1 2) ] ( 2 )
4425
1
( 2 )
4
sj
KKs
Fs
s j s jss
sj
K s j j
jss
Kj
由于 K1与 K2是共轭的,所以
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,42
2
1 1 1
( 1 2 ) ( 1 2 )
1 2 2
( ) ( )
4 1 2 1 225
1 2 2
( ) ( ) { [ ] [ ]
4 1 2 1 2
1
( 2 ) ( 2 ) ]
4
1
( 2 c os 2 si n 2 ),( 0)
2
j t j t
t
s j j
Fs
s j s jss
jj
f t L F s L L
s j s j
j e j e
e t t t
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,43
22
2
22
22
11
22
22
2 ( )
25 12
1 1 2
21 2 1 2
1 1 2
()
21 2 1 2
1
( 2 c os 2 sin 2 ),( 0)
2
t
ss
Fs
ss s
s
ss
s
L T F s L T
ss
e t t t
配 项 法,
查 表 得,
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,44
(3) D(s)=0的根为重根若 D(s)=0只有一个 p重根 s1,即 s1=s2=… =sp,而其余 (n-p)
个全为单根,则 D(s)可写成
1 1 2
1 1 ( 1 )
1
11
11 2 1 1
2
111
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
( ) (
() ( ) ( )
()
p
n p p n
pp
pp
p n
pn
D s a s s s s s s s s
KKNs
Fs
Ds s s s s
K KKK
s s s s s sss
F (s)展开的部分分式为
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,45
1 1 1,pkk对 于 重 根 因 子 组 成 的 部 分 分 式 的 系 数,
可 通 过 下 列 步 骤 求 得,
1
1 1 1
()()
()
p
p
ss
Nss s k s s
Ds?
令,可 得,
1( ),pss?将 上 式 两 边 同 乘 得
21
1 1 1 ( 1 ) 1 1 2 1 1 1 1
1
1
1
()
( ) ( ) ( ) ( )
()
()
( ) 1
()
p p p
pp
p
Ns
s s k k s s k s s k s s
Ds
Ns
ss
Ds
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,46
1
1
1
111
11
1111
1
1 1
()
1
()
!
1!
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p
p
ss
pk
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pk
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p
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Nsd
k s s
ds D s
Nsd
k s s
p k D sds
kk
L T t e
k
ss
Ns
Fs
Ds
k
t
p
1
-1 -1
将 1 式 两 边 对 s 求 导 后,令 s=s,可 得依 次 类 推,可 得 求 重 根 项 的 部 分 分 式 系 数 的 一 般 公 式 为由 于则 得 LT LT
11
11
2 12
11
1
2 ! 1 !
n
p
s t s tp
i
ip
k
k
t t k e k e
p
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,47
例,求 的原函数 f(t)。
解,D(s)=0有一个单根 s1=-1和一个三重根 s2=-2。
将 F(s)展开为
2
3
2()
( 1 ) ( 2 )
sFs
ss
2
3
231 2 2 2 1
32
2
()
( 1 ) ( 2 )
12( 2 ) ( 2 )
s
Fs
ss
KK K K
ssss
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,48
1
1
3
23
2
3
22
2
2
3
21 2
2
32
1 2 2 2 2
11
22
22
1
21
2!
1 2 2 1
()
12( 2) ( 2)
( ) 2,0
s
s
s
s
t t t t
k s F s
k s F s
d
k s F s
ds
d
k s F s
ds
Fs
ss ss
f t L T F s e t e t e e t
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,49
二、留数法（围线积分法）
拉式反变换,此为一个复变函数的线积分 。 其积分路径是 S平面内平行于 轴的 直线 AB（ 亦即直线 AB必须在收敛轴以右 ）
1,02 j stjf t F s e d s tj
10c
j?
直接求这个积分是困难的，但从复变函数论知，可将此积分的问题转化为求 F(s)的全部极点在一个闭合回线内部的全部留数的代数和 —— 留数法。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,50
闭合回线确定的原则：把 F(s)的全部极点包围在此闭合回线的内部，因此，从普遍性考虑此线应有直线 AB与直线 AB左侧半径 R=∞的圆 CR所组成。
0? 0?
A
B
j?
Rc
R
0
1c
1
1
2
11
22
1
Re
2
0
1,2,,0
R
R
R
j
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j
s t s t
A B c
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st
i
A B c
i
j
s t s t
A B j
st
c
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f t F s e d s
j
F s e d s F s e d s
jj
F s e d s s p
j
F s e d s F s e
F s e d s
p i n F s D s
ii
式 中为 的 极 点,亦 即 的 根 ；
R e s p 为 极 点 p 的 留 数 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,51
（ 1）若 pi为 D(s)=0的单根（即为 F(s)的一阶极点），则其留数为
（ 2）若 pi为 D(s)=0的 m阶重根（即为 F(s)的 m阶极点），则其留数为
Re
i
stii
sps p F s e s p
1
1
1Re
1!
i
m
mst
ii m
sp
ds p F s e s p
m ds
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,52
2 3ss?s+2例,用 留 数 法 求 Fs= 的 原 函 数 ft 。s+1
2
1
23
21
2
1 2 1 2
1
1
3 1,
3,0
1
Re 1
2 1 ! 3
3
13
24
st
s
st
s
tt
D s s s p
pp
d
s p e s
ds ss
d
e
ds s s
te e
解,s+1 的 根 （ 极 点 ） 二 重 根故 根 据 相 应 式 可 求 得 各 极 点 上 的 留 数 为
s+2
s+1
s+2
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,53
3
2 2
3
3 2
0
3
1 2 3
1
3
1
Re 3
123
2
Re
33
Re Re Re Re
1 3 1 2
2 4 12 3
s t t
s
st
s
i
i
t t t
s p e s e
ss
s p e s
ss
f t s p s p s p s p
te e e u t
s+2
s+1
s+2
s+1
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,54
2s s+2例,试 求 Fs= 的 拉 氏 反 变 换 。s+1
2
0
0
1
1
1
R e 2
R e 2,0
2 1,0
st st
s
s
st st t
s
s
tt
s F s e e
d
s F s e e t e t
ds s
f t L T F s e t e t
解,极 点 为 0 和 -1,分 别 求 留 数 可 得
s+2
s+1
s+2
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,55
4.4 拉普拉斯变换分析法拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具,它将描述系统的时域微积分方程变换为 s域的代数方程,便于运算和求解 ;同时,它将系统的初始状态自然地含于象函数方程中,既可分别求得零输入响应,零状态响应,也可一举求得系统的全响应 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,56
例,描述某 LTI连续系统的微分方程为
y″(t)+3y′(t)+2y(t)=2f′(t)+6f(t)
已知输入 f(t)=u(t),初始状态 y(0-)=2,y(0-)=1。
求系统的零输入响应 。
解,对微分方程取拉普拉斯变换,可得
s2Y(s)-sy(0-)-y′(0-)+3sY(s)-3y(0-)+2Y(s)=2sF(s)+6F(s)
即
(s2+3s+2)Y(s)-［ sy(0-)+y′(0-)+3y(0-)］ =2(s+3)F(s)
一、直接利用拉氏变换求解微分方程
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,57
可解得
22
( ) ( ) ( )
( 0 ) ( 0 ) 3 ( 0 )2( 3 )
()
3 2 3 2
zs ziY s Y s Y s
s y y ys
Fs
s s s s
将 和各初始值代入上式,得1( ) [ ( ) ]F s L T u t
s
2
2
2 ( 3 ) 1 2 ( 3 )
()
( 1 ) ( 2 )32
3 4 1
12
2 7 2 7
()
( 1 ) ( 2 )32
53
12
zs
zi
ss
Yt
s s s sss
s s s
ss
Yt
ssss
ss
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,58
对以上二式取逆变换,得零状态响应和零输入响应分别为
12
12
2
12
( ) [ ( ) ] ( 3 4 ) ( )
( ) [ ( ) ] 5 3,0
( ) ( ) ( ) 3 2,0
( ) [ ( ) ] 3 2,0
tt
z s z s
tt
z i z i
tt
z s z i
tt
y t LT Y s e e u t
y t LT Y s e e t
y t y t y t e e t
y t LT Y s e e t
系统的全响应或直接对 Y(s)取拉氏反变换,亦可求得全响应 。
直接求全响应时,零状态响应分量和零输入响应分量已经叠加在一起,看不出不同原因引起的各个响应分量的具体情况 。 这时拉氏变换作为一种数学工具,自动引入了初始状态 。 简化了微分方程的求解 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,59
二、电路的 s域元件模型网络结构复杂时,列写微分方程繁琐模仿正弦稳态分析的相量法：
先将电路元件,支路电压,电流进行变换,再用 s
域的 KCL,KVL
1,R,L,C的 s域模型
iL(0-) = iL(0+)
uc(0-) = uc(0+)
（ 1）,用于回路分析 (串联模型 )
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,60
图 (1) R的时域和 S
(a) 时域模型； (b) S域模型
uR(t)=RiR(t) UR(s)=RIR(s)
( a )
i ( t ) R
u ( t )＋ －
( b )
I ( s ) R
U ( s )＋ －
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,61
图 (2) 电感 L的时域和 S
(a) 时域模型； (b) S域模型
( a )
i ( t ) L
u ( t )＋ －
( b )
I ( s ) sL
U ( s )＋ －
0)(1)0()(
)()(
0
tduLiti
dt
tdiLtu
t 0
()( ) ( ) ( ) ( 0 )
1 1 ( 0 )( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( )
L
L
Lt L
L
di tu t L U s sL I s L i
dt
ii t i u d I s U s
L sL s
( a )
I ( s )
U ( s )
＋－
＋ －
sL
Li (0
－
)
( b )
I ( s )
U ( s )＋ －
sL
i
L
(0
-
)
s
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,62
图 (3) 电容元件的时域和 S
(a) 时域模型； (b) S域模型
( b )
I ( s )
U ( s )＋ －
( a )
i ( t ) C
u ( t )＋ －
sC
1
)0()()(
)0()(1)(
Cuss CUsI
s
usI
sCsU
( b )
I ( s )
U ( s )＋ －
C u
C
(0 － )
( a )
I ( s )
U ( s )＋ －
sC
1
＋ －
u (0 － )
s
sC
1
（ 2）用于结点分析（并联模型）
1( ) ( )tu t i d
C
(b)
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,63
图 (4) R的时域和 S
(a) 时域模型； (b) S域模型
( a )
i ( t )
R
u ( t )＋ －
( b )
I ( s )
R
U ( s )＋ －
iR(t)= uR(t)/R IR(s)= UR(s)/R
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,64
图 (5) 电感 L的时域和 S
(a) 时域模型； (b) S域模型
( a )
i ( t ) L
u ( t )＋ －
( b )
I ( s ) sL
U ( s )＋ －
0
()( ) ( ) ( ) ( 0 )
1 1 ( 0 )( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( )
L
L
Lt
L
L
di tu t L U s sL I s L i
dt
ii t i u d I s U s
L sL s
( a )
I ( s )
U ( s )
＋－
＋ －
sL
Li (0
－
)
( b )
I ( s )
U ( s )＋ －
sL
i
L
(0
-
)
s
1( ) ( )ti t u d
L
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,65
图 (6) 电容元件的时域和 S
(a) 时域模型； (b) S域模型
( b )
I ( s )
U ( s )＋ －
( a )
i ( t ) C
u ( t )＋ －
sC
1
dt
tduCti
tdiCutu t
)()(
0)(1)0()( 0
)0()()(
)0()(1)(
Cuss CUsI
s
usI
sCsU
( b )
I ( s )
U ( s )＋ －
C u
C
(0
－
)
( a )
I ( s )
U ( s )＋ －
sC
1
＋ －
u (0
－
)
s
sC
1
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,66
若初始状态为零状态,iL(0-) = iL(0+)＝ 0
uc(0-) = uc(0+)＝ 0
则描述动态元件起始状态的电压源、电流源不存在（为零）
)(1)( sIsCsU?
( a )
i ( t ) L
u ( t )＋ －
( b )
I ( s ) sL
U ( s )＋ －
图 (7) 电感,电容元件的零状态 S
(a)电感 元件； (b)电容元件
( b )
I ( s )
U ( s )＋ －
( a )
i ( t ) C
u ( t )＋ －
sC
1
（ a)
)()( ssL IsU?
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,67
表 4-3 电路元件的 s域模型
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,68
4.5 系统函数（网络函数） H(s)
一,系统函数 H(s)定义零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比,即
1
1 1 0
1
1 1 0
() ()()
( ) ( )
mm
f mm
nn
nn
Ys b s b s b s b N sHs
F s a s a s a s a D s
系统函数与系统的激励无关,仅决定于系统本身的结构和参数 。 系统函数在系统分析与综合中占有重要的地位 。 下面讨论如何围绕系统函数进行系统分析 。
1
1 1 0
1
1 1 0
() ()()
( ) ( )
mm
f mm
nn
nn
Ys b s s b s b N sHs
F s a s s a s a D s
＝
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,69
二、网络函数名称
1、策动点函数 （输入、输出在同一端口）
策动点阻抗 [求 u(t)] 例,H(s)=Ui(s) / Ii(s)
策动点导纳 [求 i(t)] 例,H(s)= Ii(s) / Ui(s)
2、转移函数 （输入、输出在不同端口）
转移阻抗 [求 u(t)]
转移导纳 [求 i(t)]
转移电压比（电压传输函数）
转移电流比（电流传输函数）
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,70
三,H(s)与 h(t)的关系,
R(s) = H(s)E(s)
r(t) = e(t)*LT-1[H(s)]
而 LT-1[H(s)]＝ h(t)
即系统的冲激响应 h(t)与系统函数 H(s)构成了一对拉普拉斯变换对,h(t)和 H(s)分别从时域和复频域两个角度表征了同一系统的特性,且只能用来描述零状态特性。
Ii(s) Ij(s)
Ui(s) 系统 Uj(s)
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,71
四,利用网络函数求解网络的零状态响应下图表述了求解系统响应的过程,如果系统本身存在初始储能,系统的完全响应还应考虑零输入响应 。
图 (1) 系统的 s域分析示意图系统 H ( s )L L － 1f ( t ) F ( s ) F ( s )· H ( s ) y f ( t )
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,72
112
12
1
()
()
()
m
j
jm
n
n
i
i
sz
N s s z s z s z
H s K K
D s s p s p s p
sp
4.6 系统函数的零、极点分布一、零点与极点的概念式中 zj为系统的零点 (即当 s位于零点时，函数 H(s)的值等于零 ),pi为系统的极点 (即当 s位于极点时，函数 H(s)
的值等于无穷大 ) 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,73
以 jω虚轴为界,我们将 s平面分为左半平面与右半平面 。 由 H(s)的零,极点分布分析 h(t)的变化规律 。
(1) pi=σi+jωi为一阶极点 。
若 σi>0,极点在 s平面的右半平面,hi(t)随时间增长；
σi<0,极点在 s平面的左半平面,hi(t)随时间衰减；
σo=0,极点在 s平面的原点 (ωi=0)或虚轴上,hi(t) 对应于阶跃函数或等幅振荡。
二、由系统函数的零、极点分布确定系统的时域特性
1
1
1
()
()
()
m
j n
j i
n
i i
i
i
sz
A
H s K
sp
sp
式中,pi=σi+jωi
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,74
(2) pi=σi+jωi为高阶 （ 二阶以上 ） 极点 。
σi>0或 σi<0时,hi(t)随时间变化的趋势同一阶情况；
σi=0时,对应于 t的正幂函数或增幅振荡 。
(3) 系统函数 H(s)的全部极点在左半平面 (σi<0),h(t)随时间衰减趋于零； 系统函数 H(s)有极点在虚轴及右半平面 (σi≥0),h(t)不随时间消失 。
从以上分析可知,由系统函数 H(s)极点在 s平面上的位置,便可确定 h(t)的模式,判断单位冲激响应是随时间增长或衰减为零的信号,还是一个随时间等幅振荡
（或阶跃）的信号,如下图所示。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,75
图 (1) 零,极点与单位冲激响应模式
A
－ A
0 t
A
h
i
( t )
h
i
( t )
h
i
( t )
h
i
( t )
A
0 t
t
0
A
－ A
0
h
i
( t )
t0
h
i
( t )
t
0
( 虚轴上的二阶极点 )
j?
t
0
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,76
H(s)零点分布的情况只影响冲激响应的幅度和相位，
而对冲激响应模式无影响。
0 1 22
2
3
02
2
1
2
2
1
22
22
3
30
,3,3 2,3 2,
3
3
2
c os 2 ;
,1,
32
1
32
32
3 2 3 2
c os 2 si n 2
2 c os 2 45
1
t
t
t
H s z p j p j
s
h t e t u t
H s z
s
s
h t L T
s
s
LT
ss
e t t u t
e t u
s
s
t
例,零 点 极 点则若 极 点 不 变,零 点 变 为则
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,77
三,由系统函数零,极点分布决定频响特性所谓频响特性是指系统在正弦信号激励之下瞬态响应随信号频率的变化情况 。 这包括幅度响应和相位响应两个方面 。 可根据系统的 H(s)在 s平面上的零,极点分布大致地描绘出系统的频响特性 |H(ω)|~ω 和
φ(ω)~ω。 下面介绍这种方法的原理 。
11
1
1
()
( ) ( )
()
( ) ( )
()
m
j
jm
n
n
i
i
sz
s z s z
H s K K
s p s p
sp
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,78
取 s=jω,即在 s复平面中令 s沿虚轴移动,得到
1
1
()
( ) ( ) |
()
m
j
j
sj n
i
i
jz
H j H s K
jp
分母中任一因子 相当于由极点 引向虚轴上某点 的一个矢量；分子中任一因子 相当于由零点 引至虚轴上某点 的一个矢量。
ijp
jjz
ip
j?
jz j?
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,79
对于任意零点 zj和极点 pi,相应的复数因子 (矢量 )
如下图所示都可以表示为零点与极点矢量
j
i
j
jj
j
ii
j z N e
j p M e
其中,Nj,Mi分别是零,极点矢量的模； φ j,θi分别是零,极点矢量与正实轴的夹角 。 于是
0
p
1
M
1
N
1
z
1
1
1
j?
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,80
1 2 1()12
12
()
()
()
mnjm
n
j
N N N
H j K e
M M M
He
式中
)()(
)(
11
1
1
i
m
i
j
m
j
i
i
i
j
m
j
M
N
KH
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,81
由此可见,当 ω沿虚轴移动时,各复数因子 （ 矢量 ） 的模和幅角都随之改变,于是得出幅频特性曲线 |H(ω)|~ω和相频特性曲线 φ(ω)~ω。 这种方法也称为 s平面几何分析 。
当系统函数零,极点数目不是很多,利用零,极点矢量作定性的分析还是有其方便之处的 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,82
例,用 s平面几何分析法求如下图所示高通滤波器的幅频,相频特性 。
图 (2) 高通滤波器
＋
－
＋
－
1
( t )
2
( t )R
C
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,83
解
s
s
RCs
s
sCR
R
sV
sVsH
/1/1)(
)()(
2
2
零点 z1=0,极点 p1=-1/RC
幅频特性：
1
1)(
M
NH
当 ω=0时,N1=0,所以,
0)(
1
1
M
NH?
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,84
图 (3) 高通滤波网络的零点与极点矢量
M
1 N
1
1
j?
1
＝ 9 0 °
RC
1
＝－－
0
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,85
当 ω增大时,导致 N1,M1增大,且趋于 |H(ω)|；
当 ω→∞ 时,N1≈M1→∞,→ |H(ω)|≈1。
相频特性：
φ(ω)~ω
φ(ω)=ψ1-θ1,其中,ψ1=π/2,所以
12)(?
当 ω=0时,θ1=0，
2)(
当 ω增大时,导致 θ1增大,且趋于
2)(
ω趋于 ∞时,θ1趋于 π/2,φ(ω)趋于 0。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,86
由 3分贝截止频率定义
222
1
)(
3
)(
1
lg203)(lg20
c
c
c
c
c
M
N
H
dB
H
dBH
得解出
442
1ar ct an
22
ar ct an
2
)(
c
c
c
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,87
RC高通滤波网络的频响特性
0
0,7 0 7
1
)(
)(
1
2
V
V
RC
1?
4 5 °
9 0 °
0
RC
1?
(? )
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,88
这种在虚轴上的零,极点情况是特例,而一般意义的零,极点通常表示为 zj=αj+jωj,pi=αi+jωi。 其中 αj,
αi为实部,当 αj,αi很小时,零,极点靠近虚轴,此时由零,极点定性绘出的系统幅频特性及相频特性曲线具有以下特点
(1) 幅频特性 在 ω=ωi点,Mi=|pi|=|αi+jωi|最小，
|H(ω)|| ω=ωi出现峰值； 在 ω=ωj点,Nj=|zj|=|αj+jωj|最小，
|H(ω)|| ω=ωj出现谷值。
(2) 相频特性 在 ω=ωi,ω=ωj附近相位变化均加快 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,89
在系统分析与设计时,幅频特性及相频特性曲线是十分有用的 。 但在实际应用中,用逐点矢量作图法准确地计算幅频,相频特性是很不容易的 。 尤其是零,
极点数量较多的高阶系统,无论计算与作图都相当困难 。 利用 MATLAB程序可以很方便地得到一般系统函数的频响特性 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,90
4.7 全通系统与最小相移系统的零,极点分布
1.
如果一个系统函数的极点位于左平面,零点位于右平面,
而且零点与极点对于 jω轴互为镜像,那么,这种系统函数称为全通函数,此系统则称为全通系统或全通网络 。 所谓全通是指它的幅频特性为常数,对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过 。 三阶全通系统零,极点分布示意图如下图所示：
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,91
图 (1) 全通系统零,极点分布示意图
M
1
N
1
1
j?
M
3
M
2
N
3
N
2
3
2
1
2
3
0
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,92
由于 φ(ω)不是常数,随着零,极点的个数 （ 系统阶数 ） 和零,极点分布不同而不同,实际应用中正是利用这种相位特性做相位校正网络或时延均衡器 。
11
()
mm
ji
ji
不难看出
1
00
1
()
m
j
j
m
i
i
N
H j H H
M
式中,H0为常数。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,93
2.
实际应用中,会遇到在幅频特性相同情况下,希望得到系统的相移 （ 时延 ） 最小,这样的系统称为最小相移系统 。 此处不加证明给出最小相移系统的条件为,全部零,极点在 s平面的左半平面 (零点可在 jω轴上 ),不满足这一条件的为非最小相移系统 。
下图是幅频特性相同,最小相移系统与非最小相移系统的零,极点分布示意图 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,94
图 (2) 最小相移系统与非最小相移系统零,极点分布示意
0?
j?j?
( a ) ( b )
0
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,95
图 (3) 组成非最小相移函数的最小相移与全通函数零,极点分布
0?
j?j?
0
非最小相移函数可以表示为全通函数与最小相移函数的乘积 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,96
4.8连续系统的模拟以及信号流图一、三种运算器
1．加法器
x1(t) y(t)
x2(t)
y(t)=x1(t)+x2(t) 拉氏变换 Y(s)=X1(s)+X2(s)
X1(s) Y(s)
X2(s)
时域 复频域
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,97
２．标量乘法器
ax(t) y(t)
y(t)=ax(t) LT Y(s)=aX(s)
aX(s) Y(s)
时域 复频域
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,98
)(1)()()(
0
sXssYdxty t
3．积分器
x(t) y(t) X(s) Y(s)1s?
时域 复频域
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,99
二、系统模拟的定义与系统的模拟图用上述三种器件来模拟给定系统的数学模型 —— 微分方程或系统函数，称为线性系统的模拟，简称系统模拟。
经过模拟而得到的系统称为模拟系统。
由加法器、数乘器和积分器连接而成的图称为系统模拟图，简称模拟图。
三、常用的模拟图形式直接形式、并联形式、级联形式和混联形式
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,100
四、系统的框图一个系统是由许多部件或单元组成的，将这些部件或单元各用能完成相应运算功能的方框表示，然后将这些方框按系统的功能要求及信号流动的方向连接起来而构成的图，即称为系统的框图表示，简称系统的框图。
htxt
y t h t x tXsHsY s H s X s
时域框图 Ｓ域框图
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,101
五、系统的信号流图与梅森公式
１．信号流图由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。
HsYsXs
框图表示
XsYsHs
流图表示
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,102
结点和支路 每个 结点 对应于一个变量或信号，连接两结点间的有向线段称为 支路 。每条支路的 支路增益 就是该两结点间的系统函数。
源点与阱点 仅有出支路的结点称为 源点,仅有入支路的结点称为 汇点或阱点 。
通路 从任一结点出发沿着支路箭头方向连续经过各相连的不同的支路和结点到达另一结点的路径称为 通路 。如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为 开通路 。如果通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次），则称为 闭通路或 回路 （或 环 ）。相互没有公共结点的回路称为 不接触回路 。
只有一个结点和一条支路的回路，称为 自回路 （或 自环 ）。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,103
前向通路 从源点到汇点的开通路称为 前向通路 。前向通路中各支路增益的乘积称为 前向通路增益 。
例,（略）
注,在运用信号流图时，应遵循它的基本性质，即
(1)信号只能沿支路箭头方向传输，支路的输出是该支路输入与支路增益的乘积；
(2)当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加
，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,104
2,梅森公式梅森公式是利用信流图对系统进行分析的一个重要工具，
通过它我们可以很方便地从流图中得到系统的传输函数。 同时，它也为系统的模拟提供了一个参考模型。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,105
,,,
,
,,
1
1
j m n p q r
j m n p q r
j
j
mn
mn
pqr
pq
i
r
i
i
i
i
Δ L L L L L L
Δ
L
LL
H
L
Δ
Δ
LL
P
Δ
P
式 中,
称 为 信 号 流 图 的 特 征 行 列 式,其 中是 所 有 不 同 回 路 的 增 益 之 和 ；
是 所 有 两 两 不 接 触 回 路 的 增 益 乘 积 之 和 ；
是 所 有 三 个 都 互 不 接 触 回 路 的 增 益 乘 积 之 和 ；
i 表 示 由 源 点 到 汇 点 的 第 i 条 前 向 通 路 的 标 号 ；
是 由 源 点 到 汇 点 的 第 i 条 前 向 通 路 增 益 ；
称 为 第 i 条 前 向 通 路 特 征 行 列 式 的 余 因 子,它 是 与 第 i 条 前 向 通 路不 相 接 触 的 子 图 的 特 征 行 列 式 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,106
4.9
稳定性是系统本身的性质之一,与激励信号无关 。
稳定系统也是一般系统设计的目标之一 。 稳定性的概念有几种不同的提法,但是没有实质性的差别 。 这里给出普遍采用的稳定系统定义,有界输入产生有界输出 （ 简称 BIBO） 的系统 。 如果对有界激励,系统的响应无界,系统就是不稳定的 。 LTI系统 BIBO稳定的充分必要条件是单位冲激响应绝对可积 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,107
式中,M为一有界的实数。 满足上式的 h(t),一定是随时间衰减的函数,即 。 LTI系统的系统函数与单位冲激响应集中表征了系统特性,稳定性也必在其中。 因此既可由 的不同情况,也可由 H(s)的极点分布,对系统稳定性分类。
Mdtth
)(
0)(lim tht
)(lim tht
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,108
一,
1.
若 H(s)的全部极点在 s的左半平面 （ 不包括虚轴 ）,
0)(lim tht
系统是稳定的。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,109
2.
若 H(s)有极点落在右半平面,或者在虚轴,原点处有二阶以上的重极点,
)(lim tht
系统是不稳定的。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,110
3,边 （ 临 ）
若 H(s)在原点或虚轴上有一阶极点,虽然单位冲激响应,但 h(t)在足够长时间以后,
趋于一个非零的数值或形成一个等幅振荡 。 这处在稳定与不稳定两种情况之间,所以称边 （ 临 ） 界稳定 。
通常将其归为不稳定系统 。
)(lim tht
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,111
二,
系统函数
)(
)()(
sD
sNsH?
01
1
1)( asasasasD
n
n
n
n
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,112
稳定系统的极点应位于 s平面的左半平面,因此
D(s)根的实部应为负值 。
(1) 实数根,
(s+a) a>0
(2) 共轭复根,
(s+α+jβ)(s+α-jβ)=(s+α)2+β2
=s2+2αs+α2+β2=s2+bs+c
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,113
上式表明复数根只能共轭成对出现,否则不能保证 b,c为实数。 又因为复数根的实部应为负值 (α>0)，
所以 b,c必为正值。 综上所述,将 D(s)分解后,只有
(s+a),(s2+bs+c)两种情况,且 a,b,c均为正值。
这两类因式相乘后,得到的多项式系数必然为正值，
并且系数为零值的可能性也受到了限制。 由此我们可得到稳定系统与分母多项式 D(s)的系数关系：
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,114
(1) D(s)的系数 ai全部为正实数 ;
(2) D(s)多项式从最高次方项排列至最低次项无缺项 。
以上是系统稳定的必要条件而非充分条件 。 如果给定 H(s)
表示式,由此可对系统稳定性作出初步判断 。 若当系统为一阶,二阶系统时,系数 ai>0就是系统稳定的充分必要条 件
(i=0,1)。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,115
例,已知系统的 H(s)如下,试判断是否为稳定系统？
823
14
)()3(
972
1
)()2(
234
12
)()1(
23
2
3
3
23
2
23
2
1
sss
ss
sH
ss
sss
sH
sss
ss
sH
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,116
解,(1)
(2) D(s)中缺项,所以不是稳定系统；
(3) D(s)满足稳定系统的必要条件,是否稳定还需进一步分解检验 。
对 D(s)进行分解
D(s)=3s3+s2+2s+8=(s2-s+2)(3s+4)
可见 D(s)有一对正实部的共轭复根,所以系统 (3)
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,117
例,如下图所示反馈系统,讨论当 k从零增长时系统稳定性变化 。
)1)(2(
1
)(
ss
sG ＝
＋ －
－ k
F ( s ) Y ( s )V ( s )
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,118
解,Y(s)=V(s)G(s)
将 V(s)=F(s)-kY(s)代入上式,得
Y(s)=［ F(s)-kY(s)］ G(s)=F(s)G(s)-kY(s)G(s)
整理上式,得
Y(s)［ 1+kG(s)］ =F(s)G(s)
由此得到
))((
1
2
1
)1)(2(
1
)1)(2/(1
)1)(2/(1
)(1
)(
)(
)(
)(
21
2
pspsksskss
ssk
ss
skG
sG
sF
sY
sH
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,119
其中
kpkp
k
k
p
4
9
2
1
,
4
9
2
1
4
9
2
1
2
)2(411
21
2,1
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,120
代入具体值讨论：
k=0时,反馈支路开路,系统无负反馈,极点为
p1=1,p2=-2,系统不稳定； k=2时,系统加了反馈,极点为 p1=0,p2=-1,系统临界稳定； k=9/4时,系统进一步加大了反馈,极点为 p1=p2=-1/2,系统稳定； k>9/4，
p1,p2为具有负实部的共轭复根,系统稳定 。 k不同极点的变化轨迹如下图所示 。
以上分析可知 k>2系统稳定,k<2系统不稳定 。 可以推得一般结论,系统加负反馈可以增加系统的稳定性 。
由二阶系统稳定的充分必要条件 ai>0,亦可得到
k>2系统稳定的相同结论 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,121
极点的变化轨迹
j?
－ 2 － 0,5
0 1
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,122
三,
由上面的讨论已知,当 H(s)满足稳定系统必要条件时,为判断 H(s)极点具体位置,需要求分母多项式
D(s)的根。 这项工作往往很繁,尤其求高阶系统的特征根不容易。 实际上为了判断系统稳定性,不需要解出方程全部根的准确值,只要知道系统是否有正实部或零实部的特征根就可以了。 1877年罗斯提出一种不计算代数方程根的具体值,只判别具有正实部根数目的方法,就可以用来判断系统是否稳定。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,123
罗斯准则 （ 判据 ）,
D(s)=ansn+an-1 s n-1+…+a1s+a0
则 D(s)方程式的根全部位于 s左半平面的充分必要条件是 D(s)多项式的全部系数 ai大于零,无缺项,罗斯阵列中第一列数字符号相同 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,124
“罗斯阵列”排写如下
001
1
0
531
4
531
3
531
2
531
1
42
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n
xsn
ddds
cccs
bbbs
aaas
aaas
行第第五行第四行第三行第二行第一行
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,125
其中,罗斯阵列前两行由 D(s)多项式的系数构成 。
第一行由最高次项系数 an及逐次递减二阶的系数得到 。
其余排在第二行 。 第三行以后的系数按以下规律计算：
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,126
51
51
1
3
31
31
1
1
51
51
1
3
31
31
1
1
51
51
1
3
31
31
1
1
51
4
1
3
31
2
1
1
1;
1
1;
1
1;
1
1;
1
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
dd
cc
d
e
dd
cc
d
e
cc
bb
c
d
cc
bb
c
d
bb
aa
b
c
bb
aa
b
c
aa
aa
a
b
aa
aa
a
b
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,127
依次类推,直至最后一行只剩下一项不为零,共得 n+1行 。 即 n阶系统,罗斯阵列就有 n+1行 。
如果第一列 an,a n-1,b n-1,c n-1,d n-1、
en-1,…各元素数字有符号不相同,则符号改变的次数就是方程具有正实部根的数目 。
例； 用罗斯准则判断下列方程是否具有正实部的根 。
D(s)=2s4+s3+12s2+8s+2
解 全部系数大于零,无缺项； n=4,排出
n+1=5行 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,128
罗斯阵列为：
00
05.8
24
5.8
1
00
04
01
4
1
5.8
24
81
4
1
02
01
22
4
81
122
081
2122
第五行第四行第三行第二行第一行第一列数字两次改变符号（从 1→ -4； -4→8.5 ）
,所以有两个正实部的根,为不稳定系统。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,129
4.10 双边拉氏变换
1.
先讨论 e-σt作用 。 当 σ一定时,若 t>0时 e-σt为收敛因子,则 t<0时 e-σt为发散因子,有
)0(lim
)0(0lim
t
t
t
t
e
e
但是,如果有函数在 σ（ σ1<σ<σ2） 给定的范围内,使得
dtetf st)(
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,130
则函数的双边拉氏变换存在,
dsesF
j
tf
dtetfsF
st
j
j
st
B
)(
2
1
)(
)()(
21
或
)()}({
)()}({
)()(
1
21
tfsFL
tFtfL
sFtf
B
B
B
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,131
2.
双边拉氏变换收敛区是使 f(t)e-σt满足可积的 σ取值范围,
或是使 f(t)的双边拉氏变换存在的 σ取值范围 。
我们通过实例讨论双边拉氏变换存在的条件,即双边拉氏变换的收敛区 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,132
例,已知函数 f(t)=u(t)+etu(-t),试确定 f(t)双边拉氏变换的收敛区 。
解
dtedtedtetf ttat
0)1(0
)(
① ②
对第 ① 项,只有 1-σ>0,即 1>σ时积分收敛； 收敛区如下图 (a)所示 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,133
图 ①,② 收敛区
j?
0 1
j?
0
( a ) ( b )
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,134
对第②项,只有 σ>0时积分收敛,收敛区如图 (b)
所示,两项的公共收敛区为 0<σ<1。 因此只有当 0<σ<1
时,双边拉氏变换存在,f(t)波形与收敛区如下图（ c）所示。
0)( dtetf t?
)10(
1
1
1
)()(
0
)1(
0
ss
dtedtedtetfsFB sttsst
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,135
图 (c) f(t)与收敛区
0 t
1
f ( t )
0 1?
j?
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,136
通常,双边拉氏变换有两个收敛边界,一个取决于 t>0的函数,是左边界,用 σ1表示； 另一个取决于
t<0的函数,是右边界,以 σ2表示 。 若 σ1<σ2时,则 t>0
与 t<0的变换有公共收敛区,双边拉氏变换存在 。 因此,
双边拉氏变换的收敛区是 s平面上 σ1<σ<σ2的带状区,
如下图所示 。
若 σ1≥σ2时,t>0与 t<0函数的拉氏变换没有公共收敛区,双边拉氏变换不存在 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,137
双边拉氏变换收敛区示意图
1
2
j?
0
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,138
例,已知,求所有可能的 f(t)。
sssF B
1
1
1)(?
解 FB(s)可能的收敛区有 (a) 0<σ<1； (b) σ>1； (c)
σ<0三种情况,对应的 f(t)为
0<σ<1 f1(t)=u(t)+etu(-t)
σ>1 f(t)=(1-et)u(t)
σ<0 f3(t)=(et-1)u(-t)
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,139
4.11 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系本章开始,是由傅氏变换引出了拉氏变换的概念,现在借助下图,重新回顾双边拉氏变换,单边拉氏变换,
傅氏变换的关系 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,140
拉氏变换与傅氏变换的关系双边拉氏变换
s ＝? ＋ j?
－ ∞ ＜ t ＜ ∞
单边拉氏变换
s ＝? ＋ j?
0 ＜ t ＜ ∞
傅氏变换
s ＝ j?
－ ∞ ＜ t ＜ ∞
t
tutftf
e)()()(
s ＝ ＋ j?
＝
＝ 0
t ＜ 0
f ( t ) ＝ 0
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,141
由图可见拉氏变换与傅氏变换的联系与区别,傅氏变换是 σ=0的双边拉氏变换,或虚轴上的双边拉氏变换,是双边拉氏变换的特例； 单边拉氏变换是 t<0,f(t)=0时的双边拉氏变换,或是 f(t)u(t)e-σt的傅氏变换；双边拉氏变换是傅氏变换在 s平面上的推广,是复平面上的傅氏变换 。
在实际应用中,信号通常都具有因果性,所以除特别说明外,本书的拉氏变换一般是指单边拉氏变换 。
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,1
第四章 连续系统的复频域分析
4.1 拉普拉斯变 换的定义、收敛域
4.2 拉普拉斯变换的基本性质
4.3 拉普拉斯逆变换
4.4 LTI系统的复频域分析
4.5 系统函数及其零、极点分布特性
4.6 系统的信号流图及系统模拟
4.7线性系统的稳定性
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,2
4.1 拉普拉斯变换一,从傅里叶变换到拉普拉斯变换傅里叶变换条件,信号在无限区间绝对可积
()f t d t
ft
f t f t
-t
不 满 足 绝 对 可 积 条 件,是 由 于 t 或 t 时,
不 趋 于 零 。 如 果 引 入 一 个 衰 减 因 子 e 去 乘 以,
只 要 选 择 得 适 当,就 可 以 克 服 此 困 难 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,3
,0
0
,0
bt
at
et
ab
et
-t
-t
例,
ft
选 择 a> >b,就 能 保 证 t 和 t- 时,f t e 均 趋 于 零,
通 常 把 e 称 为 收 敛 因 子 。?
j
j)
j)
( ) e
( ) e
( j )
( j ) ( ) e
t t t
t
t
F T f t e f t e d t
f t d t
F
F f t d t
（
（
即,
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,4
1
j
j
1
( ) e j
1
( j ) e
2
e
1
( ) ( j ) e e
2
j,,j
( ) e ( )
1
( ) e
2
t
t
t
tt
st
j
st
j
f t F T F
Fd
f t F d
f t d t LT f t
f t F s d s LT
j
两 边 同 乘 以,可 得令 s= 则 ds=jd 当 = 时,s=
于 是 得 到,
Fs
Fs
原函数象函数
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,5
傅氏变换建立了信号在时域和频域间的关系,而拉氏变换则建立了在时域和复频域间的关系 。 同时我们发现,在拉氏变换中,当变量 s中的实部 σ =0时,拉氏变换就变成了傅氏变换,
也就是说,傅氏变换是拉氏变换的一个特例 。
在实际问题中,我们遇到的都是因果信号,信号总有发生的起始时刻,如果将起始时刻定为时间原点,
)0(0)( ttf
-
0
( ) ( ) e dstF s f t t
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,6
上式称为 f(t)的单边拉普拉斯变换。所以有
j
j
st ssFtf
de)(
j2
1
0
)(
(t<0)
(t>0)
此处主要讨论单边拉普拉斯变换 。 这样,t<0时 f(t)的取值与变换结果无关 。 单边拉普拉斯变换的定义式的积分下限从 0-开始,本书中的拉普拉斯变换的积分下限 0均指 0-。 不过,
为了书写简便常常写为 0。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,7
二、拉氏变换的收敛域在引入拉氏变换时我们说过,当 f(t)乘以衰减因子 e-σt后,
就有可能找到合适的 σ值使 f(t)e-σt绝对可积,从而 f(t)e-σt的傅氏变换存在,继而得到 f(t)的拉氏变换 。 那么,合适的 σ值如何确定呢？ 或者说,如果把合适的 σ取值范围称为拉氏变换收敛域的话,那么如何确定该收敛域？ 下面通过一个例题对拉氏变换的收敛域给予说明 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,8
【 例 】 求指数函数
)(e)( α ttf t
(α >0,α ∈ R)
的象函数 F(s)。
【 解 】 根据定义
]elim1[
1
)(
e
dedee)s(
)(
0
)(
0
)(
0
ts
t
ts
tsstt
s
s
ttF
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,9
由于 s=σ +jω,因此上式中括号内第二项可写为
tt
t
ts
t
-j)--()--( eelimelim
只要选择 σ >α,随着时间 t的增大,e-(σ -α )t将会衰减。故有
0elim )--( tst?
从而使 f(t)的象函数为
ssF
1)(
若 σ<α,e-(σ-α)t将随着时间 t的增大而增大 。 当 t→∞ 时,结果将趋于无穷大,从而使积分不收敛,f(t)的象函数不存在 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,10
从上述讨论中可以看到,f(t)乘以衰减因子 e-σt后是否一定满足绝对可积条件，还要看 f(t)的性质和 σ 的相对关系而定。
把使 f(t) e-σt满足绝对可积条件的 σ 值的范围称为拉氏变换的收敛域。在收敛域内，函数的拉氏变换存在，在收敛域外，函数的拉氏变换不存在。
一般而言，若极限 在 σ>σ0时取值为零
，则收敛条件为 σ>σ0 。
t
t tf
e)(lim
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,11
在以 σ为横轴,jω为纵轴的复平面 （ s平面 ） 上,σ0在复平面称为收敛坐标,通过 σ0的垂直线是收敛区的边界,称为收敛轴 。 收敛轴将复平面划分为两个区域,σ> σ0的是一个区域,称为象函数 F(s)的收敛域,如下图所示 。
j?
收敛轴
0
收敛坐标
0
收敛域
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,12
22
0; 2 ;
3 ; 4 ;
5 c os
tt
f t t f t u t
f t e u t f t e u t
f t tu t
0
例,求 下 列 各 单 边 函 数 拉 氏 变 换 的 收 敛 域 （ 即 求 收 敛 坐 标 ）
1
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,13
三、典型信号的拉普拉斯变换
1,单位阶跃信号 u(t)
-
-
0
0
e1[ ( ) ] e d 0ststLT u t t
ss
0
2.
1
t
t t st
e
L T e e e d t
s
指 数 函 数
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,14
0
22
0
0
22
0
0
0
3.
4.
c os c os
5.
1
st
st
st
tu t
L T tu t t e dt
s
tu t
s
L T tu t t e dt
s
t
L T t t e dt
0
00
0
00
单 边 正 弦 信 号 sin
sin sin
单 边 余 弦 信 号 cos
单 位 冲 激 信 号
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,15
00
1
0
2
0
0
00
0
2
2
0
6.
!
1
1,,
7,si n
1
si n
2
1 1 1
2
st
n
t
n
L T e dt
s
n f t t L T t
s
t u t
L T t u t L T u t
j
j s j s j
s
n
nn
-t
- - j t - j t-t
的 正 幂 信 号 tn 为 正 整 数
tt
时单 边 衰 减 正 弦 信 号 e
e e e
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,16
00
0
0
2
2
0
22
22
8,c os
1
c os
2
9.
,
t t t t
t u t
L T t u t
s
s
e e e e
s
s
s
-t
- -j t - j t-t
单 边 衰 减 余 弦 信 号 e
e e +e
单 边 双 曲 正 弦 函 数 sh tu t 和 余 弦 函 数 ch tu t
11
由 于 sh t= ch t=
22
所 以 LT sh tu t
LT ch tu t
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,17
表 4― 1 常用信号及其拉氏变换
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,18
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,19
4.2 拉普拉斯变换的基本性质一、线性（叠加性、均匀性）
若则例：
1 1 2 2
1 2 1 2
( ) ( ) ; ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f t F s f t F s
af t bf t aF s bF s
00
00
0
0
22
00 0
0
0 22
0
1
c os ( )
2
11
[ c os ] [ ] [ ]
22
1 1 1
()
2
[ si n ]
j t j t
j t j t
t e e
L T t L T e L T e
s
s j s j s
L T t
s
同 理,
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,20
二、时移性
0 0stue?
0 0 0
若 f t F s
则 f t - t t - t F s t
证明：
0 0 0
0 0 0 0
0
0
0
( ) -
0
00
[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) e d
( ) e d
( ) e d e ( ) e d e ( )
st
st
s x t st stsx
L T f t t u t t f t t u t t t
f t t t
t t x f x x f x x F s
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,21
23
1
1
1
st st st
st
uu
e e e
e
1 2 3
1 1 1
1
1
若 f t f t f t f t
= f t f t-T t-T f t-2 T t-2 T
则 F s F s
Fs
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,22
三,尺度变换（比例）特性若则
( ) ( )
1
( ) ( ),0
f t F s
s
f at F a
aa
证明,
0
0
0
[ ( ) ] ( ) e d
( ) e d
11
( ) e
st
s
a
s
a
L T f at f at t
at f
a
s
fF
a a a
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,23
( ) ( )f t F s?
0 0( ) ( )stf t e F s s
四、复频移性若则五、时域微分性
1 2 ( 1 )
()
()
,( ) ( 0 )
()
( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )
( 0 ) ( 0 ) 0
n
n n n n
n
kk
df t
F s sF s f
dt
d f t
s F s s f s f f
dt
f f t f t f t
若 ft 则及 表 示 时 及 的 值 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,24
证明,根据拉氏变换定义
0
0
0
( ) ( )
[]
[ ( ) ] ( ) ( )
( ) ( 0 )
st
s t s t
d f t d f t
LT e d t
d t d t
e f t s e f t d t
sF s f
得证。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,25
同理可得
22
22
0
0
0
2
( ) ( )
[]
()
[]
()
( ) ( 0 )
( ) ( 0 ) ( 0 )
st
st
t
d f t d f t
L T e dt
dt dt
d df t
e dt
dt dt
df t
s sF s f
dt
s F s sf f
依此类推,可得证 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,26
六,复频域微分特性
( ) ( )
()
[ ( ) ]
()
[ ( ) ( ) ]
n
n
n
f t F s
d F s
LT t f t
ds
d F s
LT t f t
ds
若
)
0
(
n
n n
t
f t F s
f
s
f?
当 是,那 么 =0 n= 0,1,2,
则因 果 信 号
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,27
七、时域积分
1
1
0
,
0
0
t
Fs
F s d
s
F s f
d
ss
f d d
-
t
0
t
-
t0
--
若 ft 则 f
f
式 中 ff
八、复频域积分
( ) ( )f t F s?若
() ()
s
ft Fd
t
则
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,28
九,初值定理若 存在,则 f(t)的初值
[ ( ) ] ( ) l i m [ ( ) ]tL T f t F s s F s 且
0( 0 ) l i m ( ) l i m [ ( ) ]tsf f t s F s
f t t?设 不 含 及 其 各 阶 导 数
' ' 2 '
'( 0 ) l im [ ( ) 0 ]
( 0 ) l im [ ( ) 0 0 ]
s
s
f s s F s f
f s s F s s f f
110 l i m [ ( ) ] 0 l i ) ( )
,
m(
ss
f sF s k s f sF s F
t
s
ft?
或若 含 冲 激 k 则为 真 分 式
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,29
十、终值定理
[ ( ) ] ( ),l i m ( ) ( )tL T f t F s f t f t若 且 存 在,则 的 终 值
0( ) l i m ( ) l i m [ ( ) ]tsf f t s F s
使用终值定理求 f(∞)时,应注意只有在 f(t)的终值存在的情况下,才能使用终值定理求函数终值,否则,会导出错误的结论 。 这一点可从 s域做出判断,F(s)的极点必须分布在 s平面的左半平面内或在原点上仅有一阶极点,终值定理才可应用 。 （ 也即 s=0的点应在 sF(s)的收敛域内,否则不能应用终值定理 。 ）
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,30
1 1 2 2
1 2 1 2
[ ( ) ] ( ) ; [ ( ) ] ( )
[ ( ) ( ) ] ( ) ( )
L T f t F s L T f t F t
L T f t f t F s F t
十一、卷积定理若则
1 2 1 2
1[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]
2LT f t f t F s F sj
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,31
表 4― 2 拉氏变换的性质
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,32
4.3 拉普拉斯逆变换一、部分分式展开法含有高阶导数的线性,常系数微分方程经拉氏变换成为 s的多项式,常见的拉氏变换式是复频域变量 s的多项式之比 （ 有理分式 ）,一般形式是
1
1 1 0
1
1 1 0
()()
()
mm
mm
nn
nn
b s b s b s b N sFs
a s a s a s a D s
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,33
N(s),F(s)的分子多项式
D(s),F(s)的分母多项式
an,bm：实数若 N(s)阶次比 D(s)的阶次高,则要利用长除法将
F(s)化成如下的多项式与真分式之和的形式：
2 1
0 1 2
( ) ( )()
( ) ( )
mn
mn
N s N sF s B B s B s B s
D s D s
真分式
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,34
32
2
2
'
( ) 3 2 7 1
()
() 1
4
35
1
3 3,5 5
N s s s s
Fs
Ds ss
s
s
ss
L T s t L T t
例,
而由此看出,有理多项式部分易于根据典型信号 δ (t)的拉普拉斯变换和拉普拉斯变换性质求得 。 所以,下面着重讨论有理真分式 （ 即 m<n） 的逆变换 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,35
(1)D(s)=0
F(s)可以展开为部分分式之和 。 即
12
12
12
( ) ( )
()
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n k n
in
in
N s N s
Fs
D s a s s s s s s s s
KKKK
s s s s s s s s
()
()
( ) 1,2,,
()
i
ii
ii
ss
s s s s
Ns
K s s i n
Ds
上 式 两 边 同 乘 以,再 令 于 是
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,36
1
11
1
1
1
[]
()
[ ( ) ] [ ]
()
[]
0
0
i
i
sti
i
i
n
i
i i
n
st
i
i
K
L T K e
ss
Ds
L T F s L T
Ds
K
LT
ss
K e t
Ds
Fs
由 此 可 见,当 具 有 相 异 实 根 时,
的 拉 氏 逆 变 换 是 许 多 实 指 数 项 之 和 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,37
例,求的原函数 f(t)。
32
32
2 15 25 15()
6 11 6
s s sFs
s s s
2
32
32
1 2 3
2
1 2 3
32
2 3 3
( ) 2
6 11 6
( ) 6 11 6 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
1,2,3
2 3 3
[]
6 11 6 1 2 3
ss
Fs
s s s
D s s s s s s s
s s s
s s K K K
s s s s s s
所以 F(s)的真分式可展成部分分式解,首先将 F(s)化为真分式
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,38
1
11
2
1
2
1
2
22
2
2
2
33
()
[ ( ) ]
()
( 2 3 3 )
[ ( 1 ) ]
( 1 ) ( 2)( 3 )
( 2 3 3 )
[ ] 1
( 2)( 3 )
( 2 3 3 )
[ ( 2) ]
( 1 ) ( 2)( 3 )
( 2 3 3 )
[ ] 1
( 1 ) ( 3 )
( 2 3 3 )
[ ( 3 ) ]
( 1 ) ( 2)( 3 )
(2
[
ss
s
s
s
s
s
Ns
K s s
Ds
ss
s
s s s
ss
ss
ss
Ks
s s s
ss
ss
ss
Ks
s s s
2
3
3 3 )
]6
( 1 ) ( 2)
s
ss
ss
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,39
于是 F(s)可展开为
1
1 1 1 1
23
1 5 6
( ) 2
1 2 3
( ) [ ( ) ]
1 5 6
[ 2 ] [ ] [ ] [ ]
1 2 3
2 ( ) 5 6 ( 0 )
t t t
Fs
s s s
f t LT F s
LT LT LT LT
s s s
t e e e t?
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,40
(2)D(s)=0的根有复根且无重根
))(())(()( 2221 cbssssssssasD nn
))(( 21 cbsssD
则构成一对共轭复根。二次多项式中，若,42 cb?
)(
)(
)(
)()(
1
1
2
21
sD
sN
cbss
ksk
sD
sNsF?
cbss
ksk
2
21
的反变换可用 配方法
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,41
例,求 的原函数 f(t)
解 （ 1）
D(s)=s2+2s+5=(s+1-j2)(s+1+j2)=0,
共轭复根 s1=-1+j2,s2=-1-j2
2() 25
sFs
ss 12
2
1 1 22
2
()
1 2 1 225
1 2 1
[ ( 1 2) ] ( 2 )
4425
1
( 2 )
4
sj
KKs
Fs
s j s jss
sj
K s j j
jss
Kj
由于 K1与 K2是共轭的,所以
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,42
2
1 1 1
( 1 2 ) ( 1 2 )
1 2 2
( ) ( )
4 1 2 1 225
1 2 2
( ) ( ) { [ ] [ ]
4 1 2 1 2
1
( 2 ) ( 2 ) ]
4
1
( 2 c os 2 si n 2 ),( 0)
2
j t j t
t
s j j
Fs
s j s jss
jj
f t L F s L L
s j s j
j e j e
e t t t
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,43
22
2
22
22
11
22
22
2 ( )
25 12
1 1 2
21 2 1 2
1 1 2
()
21 2 1 2
1
( 2 c os 2 sin 2 ),( 0)
2
t
ss
Fs
ss s
s
ss
s
L T F s L T
ss
e t t t
配 项 法,
查 表 得,
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,44
(3) D(s)=0的根为重根若 D(s)=0只有一个 p重根 s1,即 s1=s2=… =sp,而其余 (n-p)
个全为单根,则 D(s)可写成
1 1 2
1 1 ( 1 )
1
11
11 2 1 1
2
111
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
( ) (
() ( ) ( )
()
p
n p p n
pp
pp
p n
pn
D s a s s s s s s s s
KKNs
Fs
Ds s s s s
K KKK
s s s s s sss
F (s)展开的部分分式为
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,45
1 1 1,pkk对 于 重 根 因 子 组 成 的 部 分 分 式 的 系 数,
可 通 过 下 列 步 骤 求 得,
1
1 1 1
()()
()
p
p
ss
Nss s k s s
Ds?
令,可 得,
1( ),pss?将 上 式 两 边 同 乘 得
21
1 1 1 ( 1 ) 1 1 2 1 1 1 1
1
1
1
()
( ) ( ) ( ) ( )
()
()
( ) 1
()
p p p
pp
p
Ns
s s k k s s k s s k s s
Ds
Ns
ss
Ds
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,46
1
1
1
111
11
1111
1
1 1
()
1
()
!
1!
1!
p
p
ss
pk
p
k
pk
ss
stkkk
p
p p
Nsd
k s s
ds D s
Nsd
k s s
p k D sds
kk
L T t e
k
ss
Ns
Fs
Ds
k
t
p
1
-1 -1
将 1 式 两 边 对 s 求 导 后,令 s=s,可 得依 次 类 推,可 得 求 重 根 项 的 部 分 分 式 系 数 的 一 般 公 式 为由 于则 得 LT LT
11
11
2 12
11
1
2 ! 1 !
n
p
s t s tp
i
ip
k
k
t t k e k e
p
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,47
例,求 的原函数 f(t)。
解,D(s)=0有一个单根 s1=-1和一个三重根 s2=-2。
将 F(s)展开为
2
3
2()
( 1 ) ( 2 )
sFs
ss
2
3
231 2 2 2 1
32
2
()
( 1 ) ( 2 )
12( 2 ) ( 2 )
s
Fs
ss
KK K K
ssss
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,48
1
1
3
23
2
3
22
2
2
3
21 2
2
32
1 2 2 2 2
11
22
22
1
21
2!
1 2 2 1
()
12( 2) ( 2)
( ) 2,0
s
s
s
s
t t t t
k s F s
k s F s
d
k s F s
ds
d
k s F s
ds
Fs
ss ss
f t L T F s e t e t e e t
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,49
二、留数法（围线积分法）
拉式反变换,此为一个复变函数的线积分 。 其积分路径是 S平面内平行于 轴的 直线 AB（ 亦即直线 AB必须在收敛轴以右 ）
1,02 j stjf t F s e d s tj
10c
j?
直接求这个积分是困难的，但从复变函数论知，可将此积分的问题转化为求 F(s)的全部极点在一个闭合回线内部的全部留数的代数和 —— 留数法。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,50
闭合回线确定的原则：把 F(s)的全部极点包围在此闭合回线的内部，因此，从普遍性考虑此线应有直线 AB与直线 AB左侧半径 R=∞的圆 CR所组成。
0? 0?
A
B
j?
Rc
R
0
1c
1
1
2
11
22
1
Re
2
0
1,2,,0
R
R
R
j
st
j
s t s t
A B c
n
st
i
A B c
i
j
s t s t
A B j
st
c
i
f t F s e d s
j
F s e d s F s e d s
jj
F s e d s s p
j
F s e d s F s e
F s e d s
p i n F s D s
ii
式 中为 的 极 点,亦 即 的 根 ；
R e s p 为 极 点 p 的 留 数 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,51
（ 1）若 pi为 D(s)=0的单根（即为 F(s)的一阶极点），则其留数为
（ 2）若 pi为 D(s)=0的 m阶重根（即为 F(s)的 m阶极点），则其留数为
Re
i
stii
sps p F s e s p
1
1
1Re
1!
i
m
mst
ii m
sp
ds p F s e s p
m ds
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,52
2 3ss?s+2例,用 留 数 法 求 Fs= 的 原 函 数 ft 。s+1
2
1
23
21
2
1 2 1 2
1
1
3 1,
3,0
1
Re 1
2 1 ! 3
3
13
24
st
s
st
s
tt
D s s s p
pp
d
s p e s
ds ss
d
e
ds s s
te e
解,s+1 的 根 （ 极 点 ） 二 重 根故 根 据 相 应 式 可 求 得 各 极 点 上 的 留 数 为
s+2
s+1
s+2
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,53
3
2 2
3
3 2
0
3
1 2 3
1
3
1
Re 3
123
2
Re
33
Re Re Re Re
1 3 1 2
2 4 12 3
s t t
s
st
s
i
i
t t t
s p e s e
ss
s p e s
ss
f t s p s p s p s p
te e e u t
s+2
s+1
s+2
s+1
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,54
2s s+2例,试 求 Fs= 的 拉 氏 反 变 换 。s+1
2
0
0
1
1
1
R e 2
R e 2,0
2 1,0
st st
s
s
st st t
s
s
tt
s F s e e
d
s F s e e t e t
ds s
f t L T F s e t e t
解,极 点 为 0 和 -1,分 别 求 留 数 可 得
s+2
s+1
s+2
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,55
4.4 拉普拉斯变换分析法拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具,它将描述系统的时域微积分方程变换为 s域的代数方程,便于运算和求解 ;同时,它将系统的初始状态自然地含于象函数方程中,既可分别求得零输入响应,零状态响应,也可一举求得系统的全响应 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,56
例,描述某 LTI连续系统的微分方程为
y″(t)+3y′(t)+2y(t)=2f′(t)+6f(t)
已知输入 f(t)=u(t),初始状态 y(0-)=2,y(0-)=1。
求系统的零输入响应 。
解,对微分方程取拉普拉斯变换,可得
s2Y(s)-sy(0-)-y′(0-)+3sY(s)-3y(0-)+2Y(s)=2sF(s)+6F(s)
即
(s2+3s+2)Y(s)-［ sy(0-)+y′(0-)+3y(0-)］ =2(s+3)F(s)
一、直接利用拉氏变换求解微分方程
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,57
可解得
22
( ) ( ) ( )
( 0 ) ( 0 ) 3 ( 0 )2( 3 )
()
3 2 3 2
zs ziY s Y s Y s
s y y ys
Fs
s s s s
将 和各初始值代入上式,得1( ) [ ( ) ]F s L T u t
s
2
2
2 ( 3 ) 1 2 ( 3 )
()
( 1 ) ( 2 )32
3 4 1
12
2 7 2 7
()
( 1 ) ( 2 )32
53
12
zs
zi
ss
Yt
s s s sss
s s s
ss
Yt
ssss
ss
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,58
对以上二式取逆变换,得零状态响应和零输入响应分别为
12
12
2
12
( ) [ ( ) ] ( 3 4 ) ( )
( ) [ ( ) ] 5 3,0
( ) ( ) ( ) 3 2,0
( ) [ ( ) ] 3 2,0
tt
z s z s
tt
z i z i
tt
z s z i
tt
y t LT Y s e e u t
y t LT Y s e e t
y t y t y t e e t
y t LT Y s e e t
系统的全响应或直接对 Y(s)取拉氏反变换,亦可求得全响应 。
直接求全响应时,零状态响应分量和零输入响应分量已经叠加在一起,看不出不同原因引起的各个响应分量的具体情况 。 这时拉氏变换作为一种数学工具,自动引入了初始状态 。 简化了微分方程的求解 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,59
二、电路的 s域元件模型网络结构复杂时,列写微分方程繁琐模仿正弦稳态分析的相量法：
先将电路元件,支路电压,电流进行变换,再用 s
域的 KCL,KVL
1,R,L,C的 s域模型
iL(0-) = iL(0+)
uc(0-) = uc(0+)
（ 1）,用于回路分析 (串联模型 )
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,60
图 (1) R的时域和 S
(a) 时域模型； (b) S域模型
uR(t)=RiR(t) UR(s)=RIR(s)
( a )
i ( t ) R
u ( t )＋ －
( b )
I ( s ) R
U ( s )＋ －
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,61
图 (2) 电感 L的时域和 S
(a) 时域模型； (b) S域模型
( a )
i ( t ) L
u ( t )＋ －
( b )
I ( s ) sL
U ( s )＋ －
0)(1)0()(
)()(
0
tduLiti
dt
tdiLtu
t 0
()( ) ( ) ( ) ( 0 )
1 1 ( 0 )( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( )
L
L
Lt L
L
di tu t L U s sL I s L i
dt
ii t i u d I s U s
L sL s
( a )
I ( s )
U ( s )
＋－
＋ －
sL
Li (0
－
)
( b )
I ( s )
U ( s )＋ －
sL
i
L
(0
-
)
s
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,62
图 (3) 电容元件的时域和 S
(a) 时域模型； (b) S域模型
( b )
I ( s )
U ( s )＋ －
( a )
i ( t ) C
u ( t )＋ －
sC
1
)0()()(
)0()(1)(
Cuss CUsI
s
usI
sCsU
( b )
I ( s )
U ( s )＋ －
C u
C
(0 － )
( a )
I ( s )
U ( s )＋ －
sC
1
＋ －
u (0 － )
s
sC
1
（ 2）用于结点分析（并联模型）
1( ) ( )tu t i d
C
(b)
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,63
图 (4) R的时域和 S
(a) 时域模型； (b) S域模型
( a )
i ( t )
R
u ( t )＋ －
( b )
I ( s )
R
U ( s )＋ －
iR(t)= uR(t)/R IR(s)= UR(s)/R
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,64
图 (5) 电感 L的时域和 S
(a) 时域模型； (b) S域模型
( a )
i ( t ) L
u ( t )＋ －
( b )
I ( s ) sL
U ( s )＋ －
0
()( ) ( ) ( ) ( 0 )
1 1 ( 0 )( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( )
L
L
Lt
L
L
di tu t L U s sL I s L i
dt
ii t i u d I s U s
L sL s
( a )
I ( s )
U ( s )
＋－
＋ －
sL
Li (0
－
)
( b )
I ( s )
U ( s )＋ －
sL
i
L
(0
-
)
s
1( ) ( )ti t u d
L
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,65
图 (6) 电容元件的时域和 S
(a) 时域模型； (b) S域模型
( b )
I ( s )
U ( s )＋ －
( a )
i ( t ) C
u ( t )＋ －
sC
1
dt
tduCti
tdiCutu t
)()(
0)(1)0()( 0
)0()()(
)0()(1)(
Cuss CUsI
s
usI
sCsU
( b )
I ( s )
U ( s )＋ －
C u
C
(0
－
)
( a )
I ( s )
U ( s )＋ －
sC
1
＋ －
u (0
－
)
s
sC
1
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,66
若初始状态为零状态,iL(0-) = iL(0+)＝ 0
uc(0-) = uc(0+)＝ 0
则描述动态元件起始状态的电压源、电流源不存在（为零）
)(1)( sIsCsU?
( a )
i ( t ) L
u ( t )＋ －
( b )
I ( s ) sL
U ( s )＋ －
图 (7) 电感,电容元件的零状态 S
(a)电感 元件； (b)电容元件
( b )
I ( s )
U ( s )＋ －
( a )
i ( t ) C
u ( t )＋ －
sC
1
（ a)
)()( ssL IsU?
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,67
表 4-3 电路元件的 s域模型
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,68
4.5 系统函数（网络函数） H(s)
一,系统函数 H(s)定义零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比,即
1
1 1 0
1
1 1 0
() ()()
( ) ( )
mm
f mm
nn
nn
Ys b s b s b s b N sHs
F s a s a s a s a D s
系统函数与系统的激励无关,仅决定于系统本身的结构和参数 。 系统函数在系统分析与综合中占有重要的地位 。 下面讨论如何围绕系统函数进行系统分析 。
1
1 1 0
1
1 1 0
() ()()
( ) ( )
mm
f mm
nn
nn
Ys b s s b s b N sHs
F s a s s a s a D s
＝
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,69
二、网络函数名称
1、策动点函数 （输入、输出在同一端口）
策动点阻抗 [求 u(t)] 例,H(s)=Ui(s) / Ii(s)
策动点导纳 [求 i(t)] 例,H(s)= Ii(s) / Ui(s)
2、转移函数 （输入、输出在不同端口）
转移阻抗 [求 u(t)]
转移导纳 [求 i(t)]
转移电压比（电压传输函数）
转移电流比（电流传输函数）
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,70
三,H(s)与 h(t)的关系,
R(s) = H(s)E(s)
r(t) = e(t)*LT-1[H(s)]
而 LT-1[H(s)]＝ h(t)
即系统的冲激响应 h(t)与系统函数 H(s)构成了一对拉普拉斯变换对,h(t)和 H(s)分别从时域和复频域两个角度表征了同一系统的特性,且只能用来描述零状态特性。
Ii(s) Ij(s)
Ui(s) 系统 Uj(s)
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,71
四,利用网络函数求解网络的零状态响应下图表述了求解系统响应的过程,如果系统本身存在初始储能,系统的完全响应还应考虑零输入响应 。
图 (1) 系统的 s域分析示意图系统 H ( s )L L － 1f ( t ) F ( s ) F ( s )· H ( s ) y f ( t )
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,72
112
12
1
()
()
()
m
j
jm
n
n
i
i
sz
N s s z s z s z
H s K K
D s s p s p s p
sp
4.6 系统函数的零、极点分布一、零点与极点的概念式中 zj为系统的零点 (即当 s位于零点时，函数 H(s)的值等于零 ),pi为系统的极点 (即当 s位于极点时，函数 H(s)
的值等于无穷大 ) 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,73
以 jω虚轴为界,我们将 s平面分为左半平面与右半平面 。 由 H(s)的零,极点分布分析 h(t)的变化规律 。
(1) pi=σi+jωi为一阶极点 。
若 σi>0,极点在 s平面的右半平面,hi(t)随时间增长；
σi<0,极点在 s平面的左半平面,hi(t)随时间衰减；
σo=0,极点在 s平面的原点 (ωi=0)或虚轴上,hi(t) 对应于阶跃函数或等幅振荡。
二、由系统函数的零、极点分布确定系统的时域特性
1
1
1
()
()
()
m
j n
j i
n
i i
i
i
sz
A
H s K
sp
sp
式中,pi=σi+jωi
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,74
(2) pi=σi+jωi为高阶 （ 二阶以上 ） 极点 。
σi>0或 σi<0时,hi(t)随时间变化的趋势同一阶情况；
σi=0时,对应于 t的正幂函数或增幅振荡 。
(3) 系统函数 H(s)的全部极点在左半平面 (σi<0),h(t)随时间衰减趋于零； 系统函数 H(s)有极点在虚轴及右半平面 (σi≥0),h(t)不随时间消失 。
从以上分析可知,由系统函数 H(s)极点在 s平面上的位置,便可确定 h(t)的模式,判断单位冲激响应是随时间增长或衰减为零的信号,还是一个随时间等幅振荡
（或阶跃）的信号,如下图所示。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,75
图 (1) 零,极点与单位冲激响应模式
A
－ A
0 t
A
h
i
( t )
h
i
( t )
h
i
( t )
h
i
( t )
A
0 t
t
0
A
－ A
0
h
i
( t )
t0
h
i
( t )
t
0
( 虚轴上的二阶极点 )
j?
t
0
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,76
H(s)零点分布的情况只影响冲激响应的幅度和相位，
而对冲激响应模式无影响。
0 1 22
2
3
02
2
1
2
2
1
22
22
3
30
,3,3 2,3 2,
3
3
2
c os 2 ;
,1,
32
1
32
32
3 2 3 2
c os 2 si n 2
2 c os 2 45
1
t
t
t
H s z p j p j
s
h t e t u t
H s z
s
s
h t L T
s
s
LT
ss
e t t u t
e t u
s
s
t
例,零 点 极 点则若 极 点 不 变,零 点 变 为则
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,77
三,由系统函数零,极点分布决定频响特性所谓频响特性是指系统在正弦信号激励之下瞬态响应随信号频率的变化情况 。 这包括幅度响应和相位响应两个方面 。 可根据系统的 H(s)在 s平面上的零,极点分布大致地描绘出系统的频响特性 |H(ω)|~ω 和
φ(ω)~ω。 下面介绍这种方法的原理 。
11
1
1
()
( ) ( )
()
( ) ( )
()
m
j
jm
n
n
i
i
sz
s z s z
H s K K
s p s p
sp
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,78
取 s=jω,即在 s复平面中令 s沿虚轴移动,得到
1
1
()
( ) ( ) |
()
m
j
j
sj n
i
i
jz
H j H s K
jp
分母中任一因子 相当于由极点 引向虚轴上某点 的一个矢量；分子中任一因子 相当于由零点 引至虚轴上某点 的一个矢量。
ijp
jjz
ip
j?
jz j?
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,79
对于任意零点 zj和极点 pi,相应的复数因子 (矢量 )
如下图所示都可以表示为零点与极点矢量
j
i
j
jj
j
ii
j z N e
j p M e
其中,Nj,Mi分别是零,极点矢量的模； φ j,θi分别是零,极点矢量与正实轴的夹角 。 于是
0
p
1
M
1
N
1
z
1
1
1
j?
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,80
1 2 1()12
12
()
()
()
mnjm
n
j
N N N
H j K e
M M M
He
式中
)()(
)(
11
1
1
i
m
i
j
m
j
i
i
i
j
m
j
M
N
KH
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,81
由此可见,当 ω沿虚轴移动时,各复数因子 （ 矢量 ） 的模和幅角都随之改变,于是得出幅频特性曲线 |H(ω)|~ω和相频特性曲线 φ(ω)~ω。 这种方法也称为 s平面几何分析 。
当系统函数零,极点数目不是很多,利用零,极点矢量作定性的分析还是有其方便之处的 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,82
例,用 s平面几何分析法求如下图所示高通滤波器的幅频,相频特性 。
图 (2) 高通滤波器
＋
－
＋
－
1
( t )
2
( t )R
C
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,83
解
s
s
RCs
s
sCR
R
sV
sVsH
/1/1)(
)()(
2
2
零点 z1=0,极点 p1=-1/RC
幅频特性：
1
1)(
M
NH
当 ω=0时,N1=0,所以,
0)(
1
1
M
NH?
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,84
图 (3) 高通滤波网络的零点与极点矢量
M
1 N
1
1
j?
1
＝ 9 0 °
RC
1
＝－－
0
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,85
当 ω增大时,导致 N1,M1增大,且趋于 |H(ω)|；
当 ω→∞ 时,N1≈M1→∞,→ |H(ω)|≈1。
相频特性：
φ(ω)~ω
φ(ω)=ψ1-θ1,其中,ψ1=π/2,所以
12)(?
当 ω=0时,θ1=0，
2)(
当 ω增大时,导致 θ1增大,且趋于
2)(
ω趋于 ∞时,θ1趋于 π/2,φ(ω)趋于 0。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,86
由 3分贝截止频率定义
222
1
)(
3
)(
1
lg203)(lg20
c
c
c
c
c
M
N
H
dB
H
dBH
得解出
442
1ar ct an
22
ar ct an
2
)(
c
c
c
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,87
RC高通滤波网络的频响特性
0
0,7 0 7
1
)(
)(
1
2
V
V
RC
1?
4 5 °
9 0 °
0
RC
1?
(? )
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,88
这种在虚轴上的零,极点情况是特例,而一般意义的零,极点通常表示为 zj=αj+jωj,pi=αi+jωi。 其中 αj,
αi为实部,当 αj,αi很小时,零,极点靠近虚轴,此时由零,极点定性绘出的系统幅频特性及相频特性曲线具有以下特点
(1) 幅频特性 在 ω=ωi点,Mi=|pi|=|αi+jωi|最小，
|H(ω)|| ω=ωi出现峰值； 在 ω=ωj点,Nj=|zj|=|αj+jωj|最小，
|H(ω)|| ω=ωj出现谷值。
(2) 相频特性 在 ω=ωi,ω=ωj附近相位变化均加快 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,89
在系统分析与设计时,幅频特性及相频特性曲线是十分有用的 。 但在实际应用中,用逐点矢量作图法准确地计算幅频,相频特性是很不容易的 。 尤其是零,
极点数量较多的高阶系统,无论计算与作图都相当困难 。 利用 MATLAB程序可以很方便地得到一般系统函数的频响特性 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,90
4.7 全通系统与最小相移系统的零,极点分布
1.
如果一个系统函数的极点位于左平面,零点位于右平面,
而且零点与极点对于 jω轴互为镜像,那么,这种系统函数称为全通函数,此系统则称为全通系统或全通网络 。 所谓全通是指它的幅频特性为常数,对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过 。 三阶全通系统零,极点分布示意图如下图所示：
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,91
图 (1) 全通系统零,极点分布示意图
M
1
N
1
1
j?
M
3
M
2
N
3
N
2
3
2
1
2
3
0
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,92
由于 φ(ω)不是常数,随着零,极点的个数 （ 系统阶数 ） 和零,极点分布不同而不同,实际应用中正是利用这种相位特性做相位校正网络或时延均衡器 。
11
()
mm
ji
ji
不难看出
1
00
1
()
m
j
j
m
i
i
N
H j H H
M
式中,H0为常数。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,93
2.
实际应用中,会遇到在幅频特性相同情况下,希望得到系统的相移 （ 时延 ） 最小,这样的系统称为最小相移系统 。 此处不加证明给出最小相移系统的条件为,全部零,极点在 s平面的左半平面 (零点可在 jω轴上 ),不满足这一条件的为非最小相移系统 。
下图是幅频特性相同,最小相移系统与非最小相移系统的零,极点分布示意图 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,94
图 (2) 最小相移系统与非最小相移系统零,极点分布示意
0?
j?j?
( a ) ( b )
0
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,95
图 (3) 组成非最小相移函数的最小相移与全通函数零,极点分布
0?
j?j?
0
非最小相移函数可以表示为全通函数与最小相移函数的乘积 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,96
4.8连续系统的模拟以及信号流图一、三种运算器
1．加法器
x1(t) y(t)
x2(t)
y(t)=x1(t)+x2(t) 拉氏变换 Y(s)=X1(s)+X2(s)
X1(s) Y(s)
X2(s)
时域 复频域
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,97
２．标量乘法器
ax(t) y(t)
y(t)=ax(t) LT Y(s)=aX(s)
aX(s) Y(s)
时域 复频域
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,98
)(1)()()(
0
sXssYdxty t
3．积分器
x(t) y(t) X(s) Y(s)1s?
时域 复频域
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,99
二、系统模拟的定义与系统的模拟图用上述三种器件来模拟给定系统的数学模型 —— 微分方程或系统函数，称为线性系统的模拟，简称系统模拟。
经过模拟而得到的系统称为模拟系统。
由加法器、数乘器和积分器连接而成的图称为系统模拟图，简称模拟图。
三、常用的模拟图形式直接形式、并联形式、级联形式和混联形式
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,100
四、系统的框图一个系统是由许多部件或单元组成的，将这些部件或单元各用能完成相应运算功能的方框表示，然后将这些方框按系统的功能要求及信号流动的方向连接起来而构成的图，即称为系统的框图表示，简称系统的框图。
htxt
y t h t x tXsHsY s H s X s
时域框图 Ｓ域框图
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,101
五、系统的信号流图与梅森公式
１．信号流图由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。
HsYsXs
框图表示
XsYsHs
流图表示
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,102
结点和支路 每个 结点 对应于一个变量或信号，连接两结点间的有向线段称为 支路 。每条支路的 支路增益 就是该两结点间的系统函数。
源点与阱点 仅有出支路的结点称为 源点,仅有入支路的结点称为 汇点或阱点 。
通路 从任一结点出发沿着支路箭头方向连续经过各相连的不同的支路和结点到达另一结点的路径称为 通路 。如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为 开通路 。如果通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不多于一次），则称为 闭通路或 回路 （或 环 ）。相互没有公共结点的回路称为 不接触回路 。
只有一个结点和一条支路的回路，称为 自回路 （或 自环 ）。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,103
前向通路 从源点到汇点的开通路称为 前向通路 。前向通路中各支路增益的乘积称为 前向通路增益 。
例,（略）
注,在运用信号流图时，应遵循它的基本性质，即
(1)信号只能沿支路箭头方向传输，支路的输出是该支路输入与支路增益的乘积；
(2)当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号相加
，并将和信号传输给所有与该结点相连的输出支路。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,104
2,梅森公式梅森公式是利用信流图对系统进行分析的一个重要工具，
通过它我们可以很方便地从流图中得到系统的传输函数。 同时，它也为系统的模拟提供了一个参考模型。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,105
,,,
,
,,
1
1
j m n p q r
j m n p q r
j
j
mn
mn
pqr
pq
i
r
i
i
i
i
Δ L L L L L L
Δ
L
LL
H
L
Δ
Δ
LL
P
Δ
P
式 中,
称 为 信 号 流 图 的 特 征 行 列 式,其 中是 所 有 不 同 回 路 的 增 益 之 和 ；
是 所 有 两 两 不 接 触 回 路 的 增 益 乘 积 之 和 ；
是 所 有 三 个 都 互 不 接 触 回 路 的 增 益 乘 积 之 和 ；
i 表 示 由 源 点 到 汇 点 的 第 i 条 前 向 通 路 的 标 号 ；
是 由 源 点 到 汇 点 的 第 i 条 前 向 通 路 增 益 ；
称 为 第 i 条 前 向 通 路 特 征 行 列 式 的 余 因 子,它 是 与 第 i 条 前 向 通 路不 相 接 触 的 子 图 的 特 征 行 列 式 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,106
4.9
稳定性是系统本身的性质之一,与激励信号无关 。
稳定系统也是一般系统设计的目标之一 。 稳定性的概念有几种不同的提法,但是没有实质性的差别 。 这里给出普遍采用的稳定系统定义,有界输入产生有界输出 （ 简称 BIBO） 的系统 。 如果对有界激励,系统的响应无界,系统就是不稳定的 。 LTI系统 BIBO稳定的充分必要条件是单位冲激响应绝对可积 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,107
式中,M为一有界的实数。 满足上式的 h(t),一定是随时间衰减的函数,即 。 LTI系统的系统函数与单位冲激响应集中表征了系统特性,稳定性也必在其中。 因此既可由 的不同情况,也可由 H(s)的极点分布,对系统稳定性分类。
Mdtth
)(
0)(lim tht
)(lim tht
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,108
一,
1.
若 H(s)的全部极点在 s的左半平面 （ 不包括虚轴 ）,
0)(lim tht
系统是稳定的。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,109
2.
若 H(s)有极点落在右半平面,或者在虚轴,原点处有二阶以上的重极点,
)(lim tht
系统是不稳定的。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,110
3,边 （ 临 ）
若 H(s)在原点或虚轴上有一阶极点,虽然单位冲激响应,但 h(t)在足够长时间以后,
趋于一个非零的数值或形成一个等幅振荡 。 这处在稳定与不稳定两种情况之间,所以称边 （ 临 ） 界稳定 。
通常将其归为不稳定系统 。
)(lim tht
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,111
二,
系统函数
)(
)()(
sD
sNsH?
01
1
1)( asasasasD
n
n
n
n
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,112
稳定系统的极点应位于 s平面的左半平面,因此
D(s)根的实部应为负值 。
(1) 实数根,
(s+a) a>0
(2) 共轭复根,
(s+α+jβ)(s+α-jβ)=(s+α)2+β2
=s2+2αs+α2+β2=s2+bs+c
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,113
上式表明复数根只能共轭成对出现,否则不能保证 b,c为实数。 又因为复数根的实部应为负值 (α>0)，
所以 b,c必为正值。 综上所述,将 D(s)分解后,只有
(s+a),(s2+bs+c)两种情况,且 a,b,c均为正值。
这两类因式相乘后,得到的多项式系数必然为正值，
并且系数为零值的可能性也受到了限制。 由此我们可得到稳定系统与分母多项式 D(s)的系数关系：
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,114
(1) D(s)的系数 ai全部为正实数 ;
(2) D(s)多项式从最高次方项排列至最低次项无缺项 。
以上是系统稳定的必要条件而非充分条件 。 如果给定 H(s)
表示式,由此可对系统稳定性作出初步判断 。 若当系统为一阶,二阶系统时,系数 ai>0就是系统稳定的充分必要条 件
(i=0,1)。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,115
例,已知系统的 H(s)如下,试判断是否为稳定系统？
823
14
)()3(
972
1
)()2(
234
12
)()1(
23
2
3
3
23
2
23
2
1
sss
ss
sH
ss
sss
sH
sss
ss
sH
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,116
解,(1)
(2) D(s)中缺项,所以不是稳定系统；
(3) D(s)满足稳定系统的必要条件,是否稳定还需进一步分解检验 。
对 D(s)进行分解
D(s)=3s3+s2+2s+8=(s2-s+2)(3s+4)
可见 D(s)有一对正实部的共轭复根,所以系统 (3)
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,117
例,如下图所示反馈系统,讨论当 k从零增长时系统稳定性变化 。
)1)(2(
1
)(
ss
sG ＝
＋ －
－ k
F ( s ) Y ( s )V ( s )
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,118
解,Y(s)=V(s)G(s)
将 V(s)=F(s)-kY(s)代入上式,得
Y(s)=［ F(s)-kY(s)］ G(s)=F(s)G(s)-kY(s)G(s)
整理上式,得
Y(s)［ 1+kG(s)］ =F(s)G(s)
由此得到
))((
1
2
1
)1)(2(
1
)1)(2/(1
)1)(2/(1
)(1
)(
)(
)(
)(
21
2
pspsksskss
ssk
ss
skG
sG
sF
sY
sH
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,119
其中
kpkp
k
k
p
4
9
2
1
,
4
9
2
1
4
9
2
1
2
)2(411
21
2,1
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,120
代入具体值讨论：
k=0时,反馈支路开路,系统无负反馈,极点为
p1=1,p2=-2,系统不稳定； k=2时,系统加了反馈,极点为 p1=0,p2=-1,系统临界稳定； k=9/4时,系统进一步加大了反馈,极点为 p1=p2=-1/2,系统稳定； k>9/4，
p1,p2为具有负实部的共轭复根,系统稳定 。 k不同极点的变化轨迹如下图所示 。
以上分析可知 k>2系统稳定,k<2系统不稳定 。 可以推得一般结论,系统加负反馈可以增加系统的稳定性 。
由二阶系统稳定的充分必要条件 ai>0,亦可得到
k>2系统稳定的相同结论 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,121
极点的变化轨迹
j?
－ 2 － 0,5
0 1
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,122
三,
由上面的讨论已知,当 H(s)满足稳定系统必要条件时,为判断 H(s)极点具体位置,需要求分母多项式
D(s)的根。 这项工作往往很繁,尤其求高阶系统的特征根不容易。 实际上为了判断系统稳定性,不需要解出方程全部根的准确值,只要知道系统是否有正实部或零实部的特征根就可以了。 1877年罗斯提出一种不计算代数方程根的具体值,只判别具有正实部根数目的方法,就可以用来判断系统是否稳定。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,123
罗斯准则 （ 判据 ）,
D(s)=ansn+an-1 s n-1+…+a1s+a0
则 D(s)方程式的根全部位于 s左半平面的充分必要条件是 D(s)多项式的全部系数 ai大于零,无缺项,罗斯阵列中第一列数字符号相同 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,124
“罗斯阵列”排写如下
001
1
0
531
4
531
3
531
2
531
1
42
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n
xsn
ddds
cccs
bbbs
aaas
aaas
行第第五行第四行第三行第二行第一行
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,125
其中,罗斯阵列前两行由 D(s)多项式的系数构成 。
第一行由最高次项系数 an及逐次递减二阶的系数得到 。
其余排在第二行 。 第三行以后的系数按以下规律计算：
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,126
51
51
1
3
31
31
1
1
51
51
1
3
31
31
1
1
51
51
1
3
31
31
1
1
51
4
1
3
31
2
1
1
1;
1
1;
1
1;
1
1;
1
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
dd
cc
d
e
dd
cc
d
e
cc
bb
c
d
cc
bb
c
d
bb
aa
b
c
bb
aa
b
c
aa
aa
a
b
aa
aa
a
b
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,127
依次类推,直至最后一行只剩下一项不为零,共得 n+1行 。 即 n阶系统,罗斯阵列就有 n+1行 。
如果第一列 an,a n-1,b n-1,c n-1,d n-1、
en-1,…各元素数字有符号不相同,则符号改变的次数就是方程具有正实部根的数目 。
例； 用罗斯准则判断下列方程是否具有正实部的根 。
D(s)=2s4+s3+12s2+8s+2
解 全部系数大于零,无缺项； n=4,排出
n+1=5行 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,128
罗斯阵列为：
00
05.8
24
5.8
1
00
04
01
4
1
5.8
24
81
4
1
02
01
22
4
81
122
081
2122
第五行第四行第三行第二行第一行第一列数字两次改变符号（从 1→ -4； -4→8.5 ）
,所以有两个正实部的根,为不稳定系统。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,129
4.10 双边拉氏变换
1.
先讨论 e-σt作用 。 当 σ一定时,若 t>0时 e-σt为收敛因子,则 t<0时 e-σt为发散因子,有
)0(lim
)0(0lim
t
t
t
t
e
e
但是,如果有函数在 σ（ σ1<σ<σ2） 给定的范围内,使得
dtetf st)(
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,130
则函数的双边拉氏变换存在,
dsesF
j
tf
dtetfsF
st
j
j
st
B
)(
2
1
)(
)()(
21
或
)()}({
)()}({
)()(
1
21
tfsFL
tFtfL
sFtf
B
B
B
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,131
2.
双边拉氏变换收敛区是使 f(t)e-σt满足可积的 σ取值范围,
或是使 f(t)的双边拉氏变换存在的 σ取值范围 。
我们通过实例讨论双边拉氏变换存在的条件,即双边拉氏变换的收敛区 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,132
例,已知函数 f(t)=u(t)+etu(-t),试确定 f(t)双边拉氏变换的收敛区 。
解
dtedtedtetf ttat
0)1(0
)(
① ②
对第 ① 项,只有 1-σ>0,即 1>σ时积分收敛； 收敛区如下图 (a)所示 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,133
图 ①,② 收敛区
j?
0 1
j?
0
( a ) ( b )
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,134
对第②项,只有 σ>0时积分收敛,收敛区如图 (b)
所示,两项的公共收敛区为 0<σ<1。 因此只有当 0<σ<1
时,双边拉氏变换存在,f(t)波形与收敛区如下图（ c）所示。
0)( dtetf t?
)10(
1
1
1
)()(
0
)1(
0
ss
dtedtedtetfsFB sttsst
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,135
图 (c) f(t)与收敛区
0 t
1
f ( t )
0 1?
j?
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,136
通常,双边拉氏变换有两个收敛边界,一个取决于 t>0的函数,是左边界,用 σ1表示； 另一个取决于
t<0的函数,是右边界,以 σ2表示 。 若 σ1<σ2时,则 t>0
与 t<0的变换有公共收敛区,双边拉氏变换存在 。 因此,
双边拉氏变换的收敛区是 s平面上 σ1<σ<σ2的带状区,
如下图所示 。
若 σ1≥σ2时,t>0与 t<0函数的拉氏变换没有公共收敛区,双边拉氏变换不存在 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,137
双边拉氏变换收敛区示意图
1
2
j?
0
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,138
例,已知,求所有可能的 f(t)。
sssF B
1
1
1)(?
解 FB(s)可能的收敛区有 (a) 0<σ<1； (b) σ>1； (c)
σ<0三种情况,对应的 f(t)为
0<σ<1 f1(t)=u(t)+etu(-t)
σ>1 f(t)=(1-et)u(t)
σ<0 f3(t)=(et-1)u(-t)
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,139
4.11 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系本章开始,是由傅氏变换引出了拉氏变换的概念,现在借助下图,重新回顾双边拉氏变换,单边拉氏变换,
傅氏变换的关系 。
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,140
拉氏变换与傅氏变换的关系双边拉氏变换
s ＝? ＋ j?
－ ∞ ＜ t ＜ ∞
单边拉氏变换
s ＝? ＋ j?
0 ＜ t ＜ ∞
傅氏变换
s ＝ j?
－ ∞ ＜ t ＜ ∞
t
tutftf
e)()()(
s ＝ ＋ j?
＝
＝ 0
t ＜ 0
f ( t ) ＝ 0
,信号与系统,
第四章 连续系统的复频域分析
,信号与系统,141
由图可见拉氏变换与傅氏变换的联系与区别,傅氏变换是 σ=0的双边拉氏变换,或虚轴上的双边拉氏变换,是双边拉氏变换的特例； 单边拉氏变换是 t<0,f(t)=0时的双边拉氏变换,或是 f(t)u(t)e-σt的傅氏变换；双边拉氏变换是傅氏变换在 s平面上的推广,是复平面上的傅氏变换 。
在实际应用中,信号通常都具有因果性,所以除特别说明外,本书的拉氏变换一般是指单边拉氏变换 。
