第 1章 绪论
,信号与系统,
第 1章 绪论
1.1 信号与系统
1.2 信号的描述、分类和典型示例
1.3 信号的 运算
1.4 阶跃信号和冲激信号
1.5 信号 的 分解
1.6 系统模型及其分类
1.7 线性时不变系统
1.8 系统分析方法第 1章 绪论
,信号与系统,
1.1 信号与系统电信号：
(1) 是随时间变化的电压、电流、电容的电荷或电感的磁通、自由空间的电磁波。
(2)盛载着信息，是信息的表现形式。
(3)由声音、画面经换能器（话筒、摄像机）转换而成，
也可以是实际应用中常见的各种物理量（压力、温度、
机械运动的位移、速度、流量、液位、声波、光强）
经传感器转换而成。
第 1章 绪论
,信号与系统,
通信系统传输信息的过程：物理量转换成电信号，经过传输、交换、处理，再还原成电信号。
交换：现代通信系统的通信方式是要利用某些集中转接设施组成复杂的信息网络，经所谓“交换”功能以实现任意两点间信息的传输。
1876年 贝尔发明电话 （声音－电信号－导线传输）
1901年 马可尼实现横渡大西洋无线电通信现如今 GPS全球定位系统（以卫星通信技术为基础构成的测定地球表面和周围空间任意目标位置，精度达十米。）
无线电通信覆盖全球并通向宇宙第 1章 绪论
,信号与系统,
信号的处理：对信号进行某种加工或变换，消弱滤除噪音、干扰，变换信号成为易于分析与识别的形式，便于估计选择其特征参量。
系统：是由若干相互作用又相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
广义系统：
物理：机械 通信 电力非物理：政治 经济 管理人工：水利灌溉 计算机 交通网自然：原子核 太阳系 动物神经第 1章 绪论
,信号与系统,
电系统：产生、传输、储存、处理电信号的设备。 信息科学与技术领域中，常利用通信系统，控制系统，计算机系统进行信号的传输、交换、处理。组成这些系统的是大量的各种类型的电路（网络）。
系统关注：给定信号的形式、传输处理要求，系统能否与之相匹配，它应具有怎样的功能、特征。（全局）
电路关注：为实现系统功能与特性，应具有怎样的结构、
参数。（局部）
第 1章 绪论
,信号与系统,
例,RC电路系统：如何构成 实现微、积分运算电路：研究各支路电压、电流响应系统理论：
（ 1）系统分析：给定系统，研究对输入信号所产生的响应。
（ 2）系统综合：按某种需要提出对于给定激励的响应，据此要求设计系统。
第 1章 绪论
,信号与系统,
1.2 信号的描述、分类和典型示例描述信号的基本方法数学表达式,时域 （时间的函数） f(t)；
频域 (角频率的函数） F(ω)；
复频域 F(s) s=σ+jω ；
Z域 F(z) z=est
波形图频谱图正文变换第 1章 绪论
,信号与系统,
信号可以从不同角度分类确定性信号：确切的时间函数（正弦），规则信号。
与随机信号：只可知其统计特征，在某时刻取某值的概率。满足统计规律即在一定条件下，表现出某种确定性
（例：音乐具有某种周期性） （例：干扰、噪音）
规则信号分类周期信号,f(t) = f(t+nT) （ n = 0,± 1,…… 任意整数）
按照一定的时间（ T）间隔周而复始，无始无终，且在一个周期内的平均值等于零。
周期：满足上式的最小 T值。
第 1章 绪论
,信号与系统,
图 1.2-1 噪声和干扰信号第 1章 绪论
,信号与系统,
t
f ( t )
A
－ A
2
T
2
T T－ T o
f ( t )
－ 2－ 4 0 2 4 6 k
图 1.2-2 周期信号第 1章 绪论
,信号与系统,
非周期信号：令 T＝ ∞ 的 周期信号。
连续时间信号：除若干不连续点外，任意时间值都可给出确定函数值 （例：温度 ° C）
模拟信号：时间、幅值都是连续的信号。
离散时间信号：只在某些不连续的瞬时给出函数值，一般均匀间隔。
函数符号 X（ n）,n自变量 整数也可以认为是一组序列值的集合，用 {X（ n） }表示第 1章 绪论
,信号与系统,
图 1.2 -3 三种非周期信号第 1章 绪论
,信号与系统,
0 1 2－ 1－ 2
A
－ A
f
1
( t )
t o
1
t
f
2
( t )
o
A
t
f
3
( t )
t
0
( a ) ( b ) ( c )
图 1.2-4 连续时间信号第 1章 绪论
,信号与系统,
0 1 2 3 4
5 6 7 8－ 2
－ 4－ 6－ 8
A
－ A
k
f
1
( k )
－ 1－ 3 10 2 3 4 － 1－ 3 10 2 3 4
－ 1
1
2
f
2
( k ) f
3
( k )
k k5 6
A
( a )
( b ) ( c )
图 1.2-5 离散信号第 1章 绪论
,信号与系统,
抽样信号：幅值连续数字信号：时间幅值都是离散值（只取 0,1? ）
多电平信号：幅度有多个离散值一维信号：信号为一个变量的函数多维信号：信号为多个变量的函数例,（平面上的点,2维）
（自由空间的电磁波,3维）
（自由空间 +时间,4维）
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,信号与系统,
常见的连续信号：
（一）指数信号
1,f（ t）＝ Keat
K:t=0时的初始值
∣ a∣ 增长、衰减速率时间常数
直流衰减随增长随实数
0a
t0a
t0a
a
a
1
0a?
0a?
0a?
)(tf
t0
k
第 1章 绪论
,信号与系统,
2、单边指数衰减信号（衰减指数信号）
（ｔ＜０）
（ｔ ≥ ０）
f(t)=Ke-∣a∣t u(t) [u(t)开关函数 ]
t=0 f(t)=1
t=τ f(t)= =0.368
重要特性：对 t微、积分后仍是指数形式
t
Ke
f
0
)t(
e
1
t?0
)(tf1
368.0
第 1章 绪论
,信号与系统,
（二）正弦信号（正弦、余弦）
1,f(t)=Ksin(ωt+θ )
K:振幅 ω：角频率 θ,初始值 ω= =2π f
2、衰减的正弦信号 （幅度按指数规律衰减）
f(t)=Ke -∣a∣t sinωtu(t)
借助复指数信号,由欧拉公式
ejωt=cosωt+jsinωt
e-jωt=cosωt-jsinωt
T
2
)0(s i ne
)0(0)(
ttK
ttf
ta?
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,信号与系统,
sinωt= (ejωt-e-jωt)
cosωt= (ejωt+e-jωt)
重要特性：对 t微、积分后仍同频率正弦信号
(三 )复指数信号 (指数信号的指数因子为一复数 )
f(t)=Kest s=δ +jω
=Ke(δ +jω)t=Keδ tejωt=Keδ tcosωt+jKeδ tsinωt
j21
21
0 1 2 3 4－ 1
f
4
( t )
t 0 1 2 3 4
f
5
( t )
t5
1
－ 1
－ 1
0 1 2
f
6
( t )
t
e － t
－ e － t
0 1 2 3
4
t
1
2
－ 1
－ 2
－ 3
2 u ( t ) ＝ f
a
( t )
f
1
( t )
f 1 ( t )
－ 3 e － t u ( t ) ＝ f b ( t )
f
2
( t ) f 3
( t )
0 t
3ln
2
1
1,9 2
0
1
t
( a ) ( b ) ( c )
( d ) ( e ) ( f )
0 1 2－ 2
f 7 ( t )
t－ 1
1
0 1 2－ 2
f 8 ( t )
t－ 1
1
( g ) ( h )
1
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,信号与系统,
=实部 +虚部 =正弦分量 +余弦分量
δ,振幅随时间变化情况 δ >0 正、余弦增幅振荡
δ <0 正、余弦衰减振荡
δ =0 正、余弦等幅振荡
ω:正、余弦信号的角频率 ω=0 一般指数信号
δ =ω= 0 直流信号重要特性：可利用它描述各种基本信号
（四） Sa(t)信号（抽样信号）
t
ttS in c
)s in ()(?
t
ttSa s in)(?
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,信号与系统,
偶函数 t=± π,± 2π,?,± nπ 时，函数值为 0，
向两方向逐渐衰减延伸性质：
（五）钟形信号（高斯函数）
0 t
g( t )
( a )
1
/ 2－ / 2 0?
2 /－ 2 /
( b )
F (? )
dttSa )(
0 2)(?dttSa
2
)(
t
Eetf
2
τt? EEe 78.0)
2f(
4
1
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,信号与系统,
τ,f(t)下降为 0.78E时，所占据的时间宽度
（多用于随机信号分析）
f(t)
E
0.78E
0.368E
0 τ t
2?
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,信号与系统,
1.3 信号的运算信号的移位、反褶、尺度倍乘（压缩与扩展）、微、积分相加、相乘时对应的波形变化
（一）移位、反褶与尺度
1、移位 f(t)→f(t+t 0)
f(t) f(t-t1) t1>0
0 t 0 t1 t
t=0 → t=t
t → t -t1
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,信号与系统,
f(t) f(t+t2) t2>0
0 t t2 0 t
t=0 → t=t 2
t → t+t 2
波形 f(t)在 t轴上的整体移动 t0
左正 右负若 f(－ t)→f( － t+t0)？
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,信号与系统,
2、反褶
f(t) → f( -t) 时间轴反转（倒带）
f(t) f(-t)
1 1
-1 0 1 t -1 0 1 t
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,信号与系统,
3、尺度
f(t) → f(at) a,正实系数
a>1 压缩 时间轴的尺度倍乘或尺度变换（磁带快放）
a<1 扩展 （磁带慢放）
0 2－ 1
f ( t )
t1－ 2
1
0 2－ 1
f (2 t )
t1－ 2
1
0 2－ 4 t4－ 2
1
)
2
1
(f
( a ) ( b ) ( c )
t
第 1章 绪论
,信号与系统,
总结：若 f(t) → f(at+t 0) (a,t0为实数 )
波形可能是扩展 (∣a∣ <1)或压缩 (∣a∣ >1 )，可能是反褶 (a<0),移位 (t0≠ 0),而波形形状仍保持相似（无论先后顺序）
例,已知信号
f(t)的波形，试画出 f(1-2t)的波形。
0－ 1
f ( － t )
t1
0 2－ 1
f ( － 2 t )
t1
0 2－ 1
f ( t )
t1 － 2
11
－ 1
1
－ 1
－ 1
0
f ( 1 － 2 t )
t1
1
－ 1
2
1
2
1
( a ) ( b )
( c ) ( d )
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,信号与系统,
（二）微分和积分在 (-∞,t) 区间内的定积分。
)()(' tfdtdtf?
t dftf )()()1(
f ( t )
－ 1 t1 2－ 2
1
2
－ 1－ 2
0
0 1 2
－ 1
－ 2
1
－ 2 － 1 1 2 3
1
2
3
4
5
0
)(
)1(
tf
)(
)1(
tf
( a ) ( b ) ( c )
t
t
第 1章 绪论
,信号与系统,
信号经微分：突出显示了其变化部分（黑白信号，将其边沿轮廓突出）
信号经积分：信号突变部分可变平滑（利用此作用可以消弱混入噪声）
第 1章 绪论
,信号与系统,
（三）两信号相加或相乘若 f1(t)=sin(nt),f2(t)= sin(6nt)
f1(t)＋ f2(t)= sin(nt)＋ sin(6nt)
f1(t) 2 f2(t)= sin(nt) 2 sin(6nt)
作业,P37 1-1 1-2
1-3 *1-4 1-5
第 1章 绪论
,信号与系统,
124 阶跃信号和冲激信号奇异信号：信号本身或其导数与积分有不连续点（跳变点）
的情况。
四种：斜变、阶跃、冲激、冲激偶
（一）单位斜变（斜坡、斜升）信号：从某时刻开始随时间正比增长 1
0 1
1
0 t0 t0+1
)0(
)0(0)()(
tt
tttUtf
)(
)(0)()()(
0
0
000 ttt
ttttUttttf
第 1章 绪论
,信号与系统,
截平的斜变信号,
k
0 τ t
三角形脉冲,
k
0 τ t
)(
)()()(
1
tk
tttfktf
)(0
)()()(
2
t
tttfktf
第 1章 绪论
,信号与系统,
(二 )单位阶跃信号 (开关信号 )
1
0 t
跳跃点 t=0处,函数值不定义,或规定 u(0)=1/2
物理意义,t=0时,对某电路接入单位电压,流源,无限持续下去 。
1
0 t
)0(1
)0(0)(
t
ttu
)0(1
)0(0)(
t
ttu
)()( tudtd ＝单位斜边信号第 1章 绪论
,信号与系统,
1
0 t0 t
1
0 t0 t
1
－ t0 0 t
)(1
)(0)(
0
0
0 tt
ttttu
)(0
)(1)(
0
0
0 tt
ttttu
)(0
)(1)(
0
0
0 tt
ttttu
第 1章 绪论
,信号与系统,
表示矩形脉冲：
RT(t)=U(T)-U(t-T) 1
0 T
GT(t)=U(t+T/2)-U(t-T/2) 1
-T/2 T/2
1
例,f(t)=e-t[u(t)-u(t-t0)]
t0
第 1章 绪论
,信号与系统,
-1 1
重要特征：单边特性，接入时刻之前幅度为 0，利用它可描述各种信号的接入特征。
例,f(t)=sint2u(t)
0 t
符号函数的表示,1
－ 1
10
11)1)(1()1( 2
t
tttutu
1)(2
01
01)(sg n
tu
t
tt
＝
第 1章 绪论
,信号与系统,
跳变点不定义，或 sgn(0)=0
例,sgn(sinπt)
(三 )单位冲激信号 (狄拉克函数 δ(t))
某些物理现象需要一个时间极短，取值极大的函数模型来表示，例如力学中瞬间作用的冲击力，数字通信中的抽样脉冲。
定义一：用规则函数系列取极限
（ 1）矩形脉冲
)2()2(1lim)(
0
tutut
第 1章 绪论
,信号与系统,
(2)三角形脉冲
)(1
1 Es
极限 10
)()()1(1lim)(
0
tututt
1
)(1 ))(()( E tEt
t0
1
t
第 1章 绪论
,信号与系统,
(3)双边指数脉冲
(4)钟形脉冲
t
et
2
1lim)(
0
2
1lim)(
0
t
et
21
1
t0
第 1章 绪论
,信号与系统,
(5)Sa(t)信号
)(lim)(
0
ktSakt
k?
kk
k
第 1章 绪论
,信号与系统,
定义二：狄拉克定义三,（ f(t)在 t＝ 0连续且处处有界）
冲激信号的抽样（筛选）特征：
连续时间信号 f(t)与 σ (t)相乘并在 (-∞,∞ )积分
，可得 f(t)在 t=0(抽样时刻 )点的函数值 f(0)=0
0,)0(,0t0t0)t(
11)(1)()(
其余为＝时有值＝仅当当积分后的值为曲线下包围
Stdttt
)0()()0()0()()()( fdttfdtftdttft
第 1章 绪论
,信号与系统,
描述任意一点 t=t0处出现冲激：
例,1、
2、
)( 0tt
1
0 0t t
)t(0)(
1)(
00
0
ttt
dttt
)()()()()( 0000 tfdttfttdttftt
)(0)( 0101 ttdtttt
)(1)( 0202 ttdtttt
第 1章 绪论
,信号与系统,
3、
4、
5、
6、
0)2()( 00 dtttutt?
1)2()3( 00 dtttutt?
0)2()3(02 00t dtttutt?
01)()(
)()(
0
0
tjtjtj
tj
edtttedtte
dtttte
第 1章 绪论
,信号与系统,
7、
冲激函数的性质：
1、偶函数证明：
2、
)()()()()( 21
1
n
n
i
i tftftfdttttf
)0()()()(
)()()()(
ftdf
dfdttft
)(1)( taat
)()( tt
第 1章 绪论
,信号与系统,
3、
u(t) 在 t≠0 处变化率,
在 t=0有不连续点,对应在 0点的冲激。
阶跃函数冲激函数tt tud )()(
t
t
td
td
tu
00)(
01)(
)(
)()( ttudtd
0)(?tudtd
0
)(
t
tu
dt
d
第 1章 绪论
,信号与系统,
对应电路现象：
uc(t)接向电容元件 C
uc(t)为斜变截平信号则
)(tuc
)(tic
c
电路
)
2
(1
)
22
()
2
(
1
)
2
(0
)(
t
tt
t
tu
c
)
2()2()(
tutu
c
dt
ducti c
c
第 1章 绪论
,信号与系统,
τ 逐渐减少到 τ → 0
)(lim)(
0
tcdtducti cc?
2
1
1
)(tuc
202
1
)(tu
202
)(tic
c
)(tc?
第 1章 绪论
,信号与系统,
表明：若要使电容两端在无限短时间 (瞬间 )内建立一定电压，那么，需要一个冲激电流在瞬间提供足够电荷。或,
由于冲激电流的出现，允许电容两端电压跳跃。
电感：
若要使电感在瞬间建立一定电流，需要一个冲激电压，
由于冲击电压的出现，允许电感电流跳跃。
)()(
)()(
tut
ti
dt
d
Ltu LL
第 1章 绪论
,信号与系统,
(四 )冲激偶信号冲激函数的微分呈现正、负极性的一对冲激，即 冲激偶信号，用 表示利用规则函数系列取极限概念引出：
)(' t?
)('lim)(lim
)(lim)()('
00
0
tsts
dt
d
ts
dt
d
t
dt
d
t
第 1章 绪论
,信号与系统,
极限0?
极限0?
求导? 求导?
0?
0?
1
2
1?
2
1
)(ts
)(tsdtd )(' t?
)(t?
0
0
脉冲偶对第 1章 绪论
,信号与系统,
性质：
1,(奇函数 )
2,( 在 0点连续 )
证明：
)(')(' tt
)()0(')(')0()(')( tftfttf
)('1)(' 2 taat
)0(')()(' fdttft )(' tf
)0('
)(')()()()()('
f
dttfttftdttft
第 1章 绪论
,信号与系统,
同理：
3,(冲激偶包含的面积为 0)
例：
)(')()(' 00 tfdttftt
0)(' dtt?
)1()1()0(2
)1()44(2)(
ttu
ttutf
)(')()(')(
)(')()()(
00
ttetete
tetete
dt
d
tf
t
ttt
第 1章 绪论
,信号与系统,
)(')()()( 0 ttedtdtedtdtf t
t
t
ttudt
detf
)()()()('
)(')(
2/14/24/)11(
)2()2(
4
1
)4( 2
dtttdtt
第 1章 绪论
,信号与系统,
1 1 0)2( dtt?
1 1)2( dtt?
第 1章 绪论
,信号与系统,
125 信号的分解
(一 )直流分量与交流分量
fD 直流分量,信号的平均值
fA(t)交流分量,从原信号中去掉直流分量
)()( tAD fftf
2
2
)(
2
)(
2
2
2
2
2
1
)(
1
T
T tAtADD
T
T
dtffff
T
dttf
T
P
第 1章 绪论
,信号与系统,
结论：一个信号的平均功率等于直流功率＋交流功率
(二 )偶分量与奇分量偶奇
2
2
)(2
2 1
T
T tAD dtfTf
)()( tftf ee
)()( tftf oo
)()()()(
2
1)( tftftftftf
第 1章 绪论
,信号与系统,
例 1：
)()(21)()(21 tftftftf
)()(
2
1
)(
)()(
2
1
)(
tftftf
tftftf
o
e
oe PPP
)(tfe)(tf )(tfo
t0 t0
t0
第 1章 绪论
,信号与系统,
例 2：
(三 )脉冲分量一信号可以近似分解为许多脉冲分量之和
(1)分解为矩形窄脉冲分量 (窄脉冲组合的极限即冲激信号 )的叠加。
(2)分解为阶跃信号分量的叠加。
)(tf )(tfo
t0
t0
t0
2121
1
)(tfe
第 1章 绪论
,信号与系统,
(a)窄脉冲从 t1=-∞ ～ ∞ 将许多这样的矩形脉冲单元叠加。
)( 1tf
)(a图
1t
)(tf
1t?
t
)()()( 1111 tttuttutf
第 1章 绪论
,信号与系统,
1
1
1111 )()()()(
1 t
ttttuttutftf
t?
111
111
0
1
1
111
1
0
)()(
)()(lim
)()(
)(lim)(
1
1
1
1
dttttf
ttttf
t
t
tttuttu
tftf
t
t
t
t
第 1章 绪论
,信号与系统,
观察时刻同筛选特征
(b)阶跃信号
dttttf
dttttftf
)()(
)()()(
0
00
,0t
)0(f
)(b图
1t
1t?
t
)( 1tf
)( 11 ttf
0)(0 tft
第 1章 绪论
,信号与系统,
)()()(
)()()0(0
11111 ttuttftftt
tuft
第一个阶跃
11
0
1
1
1
11
1
111
1111
)(
)(
)()0()(
0
)(
)()(
)()0(
)()()()()0()(
11
11
dtttu
dt
tdf
tuftf
t
tttu
t
ttftf
tuf
ttuttftftuftf
tt
tt
第 1章 绪论
,信号与系统,
（四）实部分量与虚部分量瞬间值为复数的信号
（五）正交函数分量信号分解为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似
)()()(
)()()(
tjftftf
tjftftf
ir
ir
)()(
2
1
)(
)()(
2
1
)(
*
*
tftftjf
tftftf
i
r
)()()()()( 22*2 tftftftftf ir
第 1章 绪论
,信号与系统,
1、二维空间的正交矢量二维空间任意矢量可分解为两个正交矢量的和。
点积：
2、正交函数定义：若两个函数 在区间 内满足：
则称为正交函数。
yv
xv
x0
y
v
yx vvv
090c o syxyx vvvv
)()()( 2121 tttftf,、
21 0)()( 21tt dttftf
第 1章 绪论
,信号与系统,
例,（ 0,2π） sint,cost 正交函数证明：
3、正交函数集定义：假设有几个函数 构成一个函数集，这些函数在区间 内满足如下特性：
则称此函数集为正交函数集
2020 02s i n21c o ss i n t d tt d tt
)( 21 tt，
)()()( 21 tgtgtg n，，,?
（常数）?
2
1
2
1
)(
0)()(
2t
t ii
t
t ji
kdttg
dttgtg
第 1章 绪论
,信号与系统,
则 任何一个函数 在区间 内可以用一个正交函数集中的几个线性组合来表示：
4、完备的正交函数集 (等号 )
定义,构成一个正交函数集，即当 时，
)()( 21 tttf,
)()()()( 2211 tgctgctgctf nn
)()()()( 2211 tgctgctgctf nn
)()()( 21 tgtgtg n，，,?
n
)()()()( 2211 tgctgctgctf nn
第 1章 绪论
,信号与系统,
此时,称为完备正交函数集。
5、典型的完备正交函数集
(1)三角函数
)()()( 21 tgtgtg n，，,?
n21s i nc os1 11,，，，,?ntntn
tmtntmtn
t d tmtn
1111
11
s i ns i n
2
1
0s i nco s
第 1章 绪论
,信号与系统,
tmtntmtn
t d tmtn
1111
11
co sco s
2
1
0s i ns i n
tmtntmtn
t d tmtn
1111
11
co sco s
2
1
0co sco s
tnbtbtb
tnatataatf
n
n
11211
112110
s i n2s i ns i n
c o s2c o sc o s)(
第 1章 绪论
,信号与系统,
基、谐
（ 2）复指数函数集
n21)c o s (
s i nc o s
1
1
0
1
110
，，
ntnca
tnbtnaa
n
n
n
n
nn
)(替代关系
2101,，ne tjn?
tjn
n
tjtj
tjn
n
tjtj
eFeFeF
eFeFeFFtf
111
111
2
21
2
210)(
第 1章 绪论
,信号与系统,
126 系统模型及其分类一、系统模型：系统物理特征的数学抽象（数学表达式）
例：电阻器、电容器、电感器串联元件的互联约束：
n
tjn
n eF
1?
)(te )(ti R
C L
dt
tde
Cti
dt
tdi
RC
dt
tid
LC
tRi
dt
tdi
Ldi
C
te
t
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
1
)(
2
2
第 1章 绪论
,信号与系统,
建模：同一电路在不同频率下电路模型不同不同物理系统，有可能得到形式相同的数学模型系统阶数：微分方程的阶次输入输出方程：髙阶微分方程 响应分析方法,状态方程：一阶联立方程组提供内部各变量情况 多入 多出数学模型求解方法,时间域方法 分析时间变量的函数变换域方法方框图表示系统模型（每个方框反映某种数学运算功能）
第 1章 绪论
,信号与系统,
分类：
连续 时间系统：输入、输出为连续信号，中间也未转换离散信号，数学模型为微分方程 R L C
离散时间系统,输入、输出为 离散 信号，数学模型为差分方程 计算机混合系统,输入、输出为连续,离散 信号的组合即时 系统：无记忆 输出只决定于同时刻激励
R 代数方程动态系统：有记忆 输出不仅决定于同时刻激励,且与过去工作状态有关 L C 寄存器 微、差分方程
第 1章 绪论
,信号与系统,
可逆系统：不同 e(t) 产生不同 r(t)
不可逆系统：不同 e(t) 产生相同 r(t)
例：可逆 例：不可逆
)()( tetr?)(te
级连逆原
)(5)( 11 tetr?
)(51)( 12 tetr?逆
)()( 233 tetr?
第 1章 绪论
,信号与系统,
127 线性时不变系统（ LTI）
定义：满足线性特性和时不变特性的系统称为线性时不变系统。
1、线性特性：具有叠加性与均匀性（齐次性）的系统
LTI
LTI
LTI
)(1 te
)(2 te
)()( 2211 tectec?
)(1 tr
)(2 tr
)()( 2211 trctrc?
第 1章 绪论
,信号与系统,
叠加性：
均匀性：
2、时不变特性,（定常系统、非时变系统）系统响应与激励施加于系统的时刻无关。
)(r)(r)()( 2121 tttete
)(r)( 1111 tctec?
S
S
E
E
T0
)(te
)(tr
Ttt?00
)( 0tte? )( 0ttr?
第 1章 绪论
,信号与系统,
3、微分特性：
若 则证明：
)()( trte?
n
n
n
n
dt
trd
dt
ted )()(?
dt
tdr
dt
tde )()(?
)()( trte? )()( ttrtte
t
ttrtr
t
ttete
)()()()(
dt
tdr
dt
tde )()(?
0 t
drde t 0t0 )()(同理第 1章 绪论
,信号与系统,
4、因果性：
定义,t=t0 时刻的响应只与 t≤t 0时的输入有关。
激励原因 响应后果例,（非因果）
因果 (有始 )信号,t=0时刻接入系统的信号 f(t)=f(t)u(t)
)1()( 11 tetr)1()( 22 tetr
)()()()( tutrtute 因果系统
,信号与系统,
第 1章 绪论
1.1 信号与系统
1.2 信号的描述、分类和典型示例
1.3 信号的 运算
1.4 阶跃信号和冲激信号
1.5 信号 的 分解
1.6 系统模型及其分类
1.7 线性时不变系统
1.8 系统分析方法第 1章 绪论
,信号与系统,
1.1 信号与系统电信号：
(1) 是随时间变化的电压、电流、电容的电荷或电感的磁通、自由空间的电磁波。
(2)盛载着信息，是信息的表现形式。
(3)由声音、画面经换能器（话筒、摄像机）转换而成，
也可以是实际应用中常见的各种物理量（压力、温度、
机械运动的位移、速度、流量、液位、声波、光强）
经传感器转换而成。
第 1章 绪论
,信号与系统,
通信系统传输信息的过程：物理量转换成电信号，经过传输、交换、处理，再还原成电信号。
交换：现代通信系统的通信方式是要利用某些集中转接设施组成复杂的信息网络，经所谓“交换”功能以实现任意两点间信息的传输。
1876年 贝尔发明电话 （声音－电信号－导线传输）
1901年 马可尼实现横渡大西洋无线电通信现如今 GPS全球定位系统（以卫星通信技术为基础构成的测定地球表面和周围空间任意目标位置，精度达十米。）
无线电通信覆盖全球并通向宇宙第 1章 绪论
,信号与系统,
信号的处理：对信号进行某种加工或变换，消弱滤除噪音、干扰，变换信号成为易于分析与识别的形式，便于估计选择其特征参量。
系统：是由若干相互作用又相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
广义系统：
物理：机械 通信 电力非物理：政治 经济 管理人工：水利灌溉 计算机 交通网自然：原子核 太阳系 动物神经第 1章 绪论
,信号与系统,
电系统：产生、传输、储存、处理电信号的设备。 信息科学与技术领域中，常利用通信系统，控制系统，计算机系统进行信号的传输、交换、处理。组成这些系统的是大量的各种类型的电路（网络）。
系统关注：给定信号的形式、传输处理要求，系统能否与之相匹配，它应具有怎样的功能、特征。（全局）
电路关注：为实现系统功能与特性，应具有怎样的结构、
参数。（局部）
第 1章 绪论
,信号与系统,
例,RC电路系统：如何构成 实现微、积分运算电路：研究各支路电压、电流响应系统理论：
（ 1）系统分析：给定系统，研究对输入信号所产生的响应。
（ 2）系统综合：按某种需要提出对于给定激励的响应，据此要求设计系统。
第 1章 绪论
,信号与系统,
1.2 信号的描述、分类和典型示例描述信号的基本方法数学表达式,时域 （时间的函数） f(t)；
频域 (角频率的函数） F(ω)；
复频域 F(s) s=σ+jω ；
Z域 F(z) z=est
波形图频谱图正文变换第 1章 绪论
,信号与系统,
信号可以从不同角度分类确定性信号：确切的时间函数（正弦），规则信号。
与随机信号：只可知其统计特征，在某时刻取某值的概率。满足统计规律即在一定条件下，表现出某种确定性
（例：音乐具有某种周期性） （例：干扰、噪音）
规则信号分类周期信号,f(t) = f(t+nT) （ n = 0,± 1,…… 任意整数）
按照一定的时间（ T）间隔周而复始，无始无终，且在一个周期内的平均值等于零。
周期：满足上式的最小 T值。
第 1章 绪论
,信号与系统,
图 1.2-1 噪声和干扰信号第 1章 绪论
,信号与系统,
t
f ( t )
A
－ A
2
T
2
T T－ T o
f ( t )
－ 2－ 4 0 2 4 6 k
图 1.2-2 周期信号第 1章 绪论
,信号与系统,
非周期信号：令 T＝ ∞ 的 周期信号。
连续时间信号：除若干不连续点外，任意时间值都可给出确定函数值 （例：温度 ° C）
模拟信号：时间、幅值都是连续的信号。
离散时间信号：只在某些不连续的瞬时给出函数值，一般均匀间隔。
函数符号 X（ n）,n自变量 整数也可以认为是一组序列值的集合，用 {X（ n） }表示第 1章 绪论
,信号与系统,
图 1.2 -3 三种非周期信号第 1章 绪论
,信号与系统,
0 1 2－ 1－ 2
A
－ A
f
1
( t )
t o
1
t
f
2
( t )
o
A
t
f
3
( t )
t
0
( a ) ( b ) ( c )
图 1.2-4 连续时间信号第 1章 绪论
,信号与系统,
0 1 2 3 4
5 6 7 8－ 2
－ 4－ 6－ 8
A
－ A
k
f
1
( k )
－ 1－ 3 10 2 3 4 － 1－ 3 10 2 3 4
－ 1
1
2
f
2
( k ) f
3
( k )
k k5 6
A
( a )
( b ) ( c )
图 1.2-5 离散信号第 1章 绪论
,信号与系统,
抽样信号：幅值连续数字信号：时间幅值都是离散值（只取 0,1? ）
多电平信号：幅度有多个离散值一维信号：信号为一个变量的函数多维信号：信号为多个变量的函数例,（平面上的点,2维）
（自由空间的电磁波,3维）
（自由空间 +时间,4维）
第 1章 绪论
,信号与系统,
常见的连续信号：
（一）指数信号
1,f（ t）＝ Keat
K:t=0时的初始值
∣ a∣ 增长、衰减速率时间常数
直流衰减随增长随实数
0a
t0a
t0a
a
a
1
0a?
0a?
0a?
)(tf
t0
k
第 1章 绪论
,信号与系统,
2、单边指数衰减信号（衰减指数信号）
（ｔ＜０）
（ｔ ≥ ０）
f(t)=Ke-∣a∣t u(t) [u(t)开关函数 ]
t=0 f(t)=1
t=τ f(t)= =0.368
重要特性：对 t微、积分后仍是指数形式
t
Ke
f
0
)t(
e
1
t?0
)(tf1
368.0
第 1章 绪论
,信号与系统,
（二）正弦信号（正弦、余弦）
1,f(t)=Ksin(ωt+θ )
K:振幅 ω：角频率 θ,初始值 ω= =2π f
2、衰减的正弦信号 （幅度按指数规律衰减）
f(t)=Ke -∣a∣t sinωtu(t)
借助复指数信号,由欧拉公式
ejωt=cosωt+jsinωt
e-jωt=cosωt-jsinωt
T
2
)0(s i ne
)0(0)(
ttK
ttf
ta?
第 1章 绪论
,信号与系统,
sinωt= (ejωt-e-jωt)
cosωt= (ejωt+e-jωt)
重要特性：对 t微、积分后仍同频率正弦信号
(三 )复指数信号 (指数信号的指数因子为一复数 )
f(t)=Kest s=δ +jω
=Ke(δ +jω)t=Keδ tejωt=Keδ tcosωt+jKeδ tsinωt
j21
21
0 1 2 3 4－ 1
f
4
( t )
t 0 1 2 3 4
f
5
( t )
t5
1
－ 1
－ 1
0 1 2
f
6
( t )
t
e － t
－ e － t
0 1 2 3
4
t
1
2
－ 1
－ 2
－ 3
2 u ( t ) ＝ f
a
( t )
f
1
( t )
f 1 ( t )
－ 3 e － t u ( t ) ＝ f b ( t )
f
2
( t ) f 3
( t )
0 t
3ln
2
1
1,9 2
0
1
t
( a ) ( b ) ( c )
( d ) ( e ) ( f )
0 1 2－ 2
f 7 ( t )
t－ 1
1
0 1 2－ 2
f 8 ( t )
t－ 1
1
( g ) ( h )
1
第 1章 绪论
,信号与系统,
=实部 +虚部 =正弦分量 +余弦分量
δ,振幅随时间变化情况 δ >0 正、余弦增幅振荡
δ <0 正、余弦衰减振荡
δ =0 正、余弦等幅振荡
ω:正、余弦信号的角频率 ω=0 一般指数信号
δ =ω= 0 直流信号重要特性：可利用它描述各种基本信号
（四） Sa(t)信号（抽样信号）
t
ttS in c
)s in ()(?
t
ttSa s in)(?
第 1章 绪论
,信号与系统,
偶函数 t=± π,± 2π,?,± nπ 时，函数值为 0，
向两方向逐渐衰减延伸性质：
（五）钟形信号（高斯函数）
0 t
g( t )
( a )
1
/ 2－ / 2 0?
2 /－ 2 /
( b )
F (? )
dttSa )(
0 2)(?dttSa
2
)(
t
Eetf
2
τt? EEe 78.0)
2f(
4
1
第 1章 绪论
,信号与系统,
τ,f(t)下降为 0.78E时，所占据的时间宽度
（多用于随机信号分析）
f(t)
E
0.78E
0.368E
0 τ t
2?
第 1章 绪论
,信号与系统,
1.3 信号的运算信号的移位、反褶、尺度倍乘（压缩与扩展）、微、积分相加、相乘时对应的波形变化
（一）移位、反褶与尺度
1、移位 f(t)→f(t+t 0)
f(t) f(t-t1) t1>0
0 t 0 t1 t
t=0 → t=t
t → t -t1
第 1章 绪论
,信号与系统,
f(t) f(t+t2) t2>0
0 t t2 0 t
t=0 → t=t 2
t → t+t 2
波形 f(t)在 t轴上的整体移动 t0
左正 右负若 f(－ t)→f( － t+t0)？
第 1章 绪论
,信号与系统,
2、反褶
f(t) → f( -t) 时间轴反转（倒带）
f(t) f(-t)
1 1
-1 0 1 t -1 0 1 t
第 1章 绪论
,信号与系统,
3、尺度
f(t) → f(at) a,正实系数
a>1 压缩 时间轴的尺度倍乘或尺度变换（磁带快放）
a<1 扩展 （磁带慢放）
0 2－ 1
f ( t )
t1－ 2
1
0 2－ 1
f (2 t )
t1－ 2
1
0 2－ 4 t4－ 2
1
)
2
1
(f
( a ) ( b ) ( c )
t
第 1章 绪论
,信号与系统,
总结：若 f(t) → f(at+t 0) (a,t0为实数 )
波形可能是扩展 (∣a∣ <1)或压缩 (∣a∣ >1 )，可能是反褶 (a<0),移位 (t0≠ 0),而波形形状仍保持相似（无论先后顺序）
例,已知信号
f(t)的波形，试画出 f(1-2t)的波形。
0－ 1
f ( － t )
t1
0 2－ 1
f ( － 2 t )
t1
0 2－ 1
f ( t )
t1 － 2
11
－ 1
1
－ 1
－ 1
0
f ( 1 － 2 t )
t1
1
－ 1
2
1
2
1
( a ) ( b )
( c ) ( d )
第 1章 绪论
,信号与系统,
（二）微分和积分在 (-∞,t) 区间内的定积分。
)()(' tfdtdtf?
t dftf )()()1(
f ( t )
－ 1 t1 2－ 2
1
2
－ 1－ 2
0
0 1 2
－ 1
－ 2
1
－ 2 － 1 1 2 3
1
2
3
4
5
0
)(
)1(
tf
)(
)1(
tf
( a ) ( b ) ( c )
t
t
第 1章 绪论
,信号与系统,
信号经微分：突出显示了其变化部分（黑白信号，将其边沿轮廓突出）
信号经积分：信号突变部分可变平滑（利用此作用可以消弱混入噪声）
第 1章 绪论
,信号与系统,
（三）两信号相加或相乘若 f1(t)=sin(nt),f2(t)= sin(6nt)
f1(t)＋ f2(t)= sin(nt)＋ sin(6nt)
f1(t) 2 f2(t)= sin(nt) 2 sin(6nt)
作业,P37 1-1 1-2
1-3 *1-4 1-5
第 1章 绪论
,信号与系统,
124 阶跃信号和冲激信号奇异信号：信号本身或其导数与积分有不连续点（跳变点）
的情况。
四种：斜变、阶跃、冲激、冲激偶
（一）单位斜变（斜坡、斜升）信号：从某时刻开始随时间正比增长 1
0 1
1
0 t0 t0+1
)0(
)0(0)()(
tt
tttUtf
)(
)(0)()()(
0
0
000 ttt
ttttUttttf
第 1章 绪论
,信号与系统,
截平的斜变信号,
k
0 τ t
三角形脉冲,
k
0 τ t
)(
)()()(
1
tk
tttfktf
)(0
)()()(
2
t
tttfktf
第 1章 绪论
,信号与系统,
(二 )单位阶跃信号 (开关信号 )
1
0 t
跳跃点 t=0处,函数值不定义,或规定 u(0)=1/2
物理意义,t=0时,对某电路接入单位电压,流源,无限持续下去 。
1
0 t
)0(1
)0(0)(
t
ttu
)0(1
)0(0)(
t
ttu
)()( tudtd ＝单位斜边信号第 1章 绪论
,信号与系统,
1
0 t0 t
1
0 t0 t
1
－ t0 0 t
)(1
)(0)(
0
0
0 tt
ttttu
)(0
)(1)(
0
0
0 tt
ttttu
)(0
)(1)(
0
0
0 tt
ttttu
第 1章 绪论
,信号与系统,
表示矩形脉冲：
RT(t)=U(T)-U(t-T) 1
0 T
GT(t)=U(t+T/2)-U(t-T/2) 1
-T/2 T/2
1
例,f(t)=e-t[u(t)-u(t-t0)]
t0
第 1章 绪论
,信号与系统,
-1 1
重要特征：单边特性，接入时刻之前幅度为 0，利用它可描述各种信号的接入特征。
例,f(t)=sint2u(t)
0 t
符号函数的表示,1
－ 1
10
11)1)(1()1( 2
t
tttutu
1)(2
01
01)(sg n
tu
t
tt
＝
第 1章 绪论
,信号与系统,
跳变点不定义，或 sgn(0)=0
例,sgn(sinπt)
(三 )单位冲激信号 (狄拉克函数 δ(t))
某些物理现象需要一个时间极短，取值极大的函数模型来表示，例如力学中瞬间作用的冲击力，数字通信中的抽样脉冲。
定义一：用规则函数系列取极限
（ 1）矩形脉冲
)2()2(1lim)(
0
tutut
第 1章 绪论
,信号与系统,
(2)三角形脉冲
)(1
1 Es
极限 10
)()()1(1lim)(
0
tututt
1
)(1 ))(()( E tEt
t0
1
t
第 1章 绪论
,信号与系统,
(3)双边指数脉冲
(4)钟形脉冲
t
et
2
1lim)(
0
2
1lim)(
0
t
et
21
1
t0
第 1章 绪论
,信号与系统,
(5)Sa(t)信号
)(lim)(
0
ktSakt
k?
kk
k
第 1章 绪论
,信号与系统,
定义二：狄拉克定义三,（ f(t)在 t＝ 0连续且处处有界）
冲激信号的抽样（筛选）特征：
连续时间信号 f(t)与 σ (t)相乘并在 (-∞,∞ )积分
，可得 f(t)在 t=0(抽样时刻 )点的函数值 f(0)=0
0,)0(,0t0t0)t(
11)(1)()(
其余为＝时有值＝仅当当积分后的值为曲线下包围
Stdttt
)0()()0()0()()()( fdttfdtftdttft
第 1章 绪论
,信号与系统,
描述任意一点 t=t0处出现冲激：
例,1、
2、
)( 0tt
1
0 0t t
)t(0)(
1)(
00
0
ttt
dttt
)()()()()( 0000 tfdttfttdttftt
)(0)( 0101 ttdtttt
)(1)( 0202 ttdtttt
第 1章 绪论
,信号与系统,
3、
4、
5、
6、
0)2()( 00 dtttutt?
1)2()3( 00 dtttutt?
0)2()3(02 00t dtttutt?
01)()(
)()(
0
0
tjtjtj
tj
edtttedtte
dtttte
第 1章 绪论
,信号与系统,
7、
冲激函数的性质：
1、偶函数证明：
2、
)()()()()( 21
1
n
n
i
i tftftfdttttf
)0()()()(
)()()()(
ftdf
dfdttft
)(1)( taat
)()( tt
第 1章 绪论
,信号与系统,
3、
u(t) 在 t≠0 处变化率,
在 t=0有不连续点,对应在 0点的冲激。
阶跃函数冲激函数tt tud )()(
t
t
td
td
tu
00)(
01)(
)(
)()( ttudtd
0)(?tudtd
0
)(
t
tu
dt
d
第 1章 绪论
,信号与系统,
对应电路现象：
uc(t)接向电容元件 C
uc(t)为斜变截平信号则
)(tuc
)(tic
c
电路
)
2
(1
)
22
()
2
(
1
)
2
(0
)(
t
tt
t
tu
c
)
2()2()(
tutu
c
dt
ducti c
c
第 1章 绪论
,信号与系统,
τ 逐渐减少到 τ → 0
)(lim)(
0
tcdtducti cc?
2
1
1
)(tuc
202
1
)(tu
202
)(tic
c
)(tc?
第 1章 绪论
,信号与系统,
表明：若要使电容两端在无限短时间 (瞬间 )内建立一定电压，那么，需要一个冲激电流在瞬间提供足够电荷。或,
由于冲激电流的出现，允许电容两端电压跳跃。
电感：
若要使电感在瞬间建立一定电流，需要一个冲激电压，
由于冲击电压的出现，允许电感电流跳跃。
)()(
)()(
tut
ti
dt
d
Ltu LL
第 1章 绪论
,信号与系统,
(四 )冲激偶信号冲激函数的微分呈现正、负极性的一对冲激，即 冲激偶信号，用 表示利用规则函数系列取极限概念引出：
)(' t?
)('lim)(lim
)(lim)()('
00
0
tsts
dt
d
ts
dt
d
t
dt
d
t
第 1章 绪论
,信号与系统,
极限0?
极限0?
求导? 求导?
0?
0?
1
2
1?
2
1
)(ts
)(tsdtd )(' t?
)(t?
0
0
脉冲偶对第 1章 绪论
,信号与系统,
性质：
1,(奇函数 )
2,( 在 0点连续 )
证明：
)(')(' tt
)()0(')(')0()(')( tftfttf
)('1)(' 2 taat
)0(')()(' fdttft )(' tf
)0('
)(')()()()()('
f
dttfttftdttft
第 1章 绪论
,信号与系统,
同理：
3,(冲激偶包含的面积为 0)
例：
)(')()(' 00 tfdttftt
0)(' dtt?
)1()1()0(2
)1()44(2)(
ttu
ttutf
)(')()(')(
)(')()()(
00
ttetete
tetete
dt
d
tf
t
ttt
第 1章 绪论
,信号与系统,
)(')()()( 0 ttedtdtedtdtf t
t
t
ttudt
detf
)()()()('
)(')(
2/14/24/)11(
)2()2(
4
1
)4( 2
dtttdtt
第 1章 绪论
,信号与系统,
1 1 0)2( dtt?
1 1)2( dtt?
第 1章 绪论
,信号与系统,
125 信号的分解
(一 )直流分量与交流分量
fD 直流分量,信号的平均值
fA(t)交流分量,从原信号中去掉直流分量
)()( tAD fftf
2
2
)(
2
)(
2
2
2
2
2
1
)(
1
T
T tAtADD
T
T
dtffff
T
dttf
T
P
第 1章 绪论
,信号与系统,
结论：一个信号的平均功率等于直流功率＋交流功率
(二 )偶分量与奇分量偶奇
2
2
)(2
2 1
T
T tAD dtfTf
)()( tftf ee
)()( tftf oo
)()()()(
2
1)( tftftftftf
第 1章 绪论
,信号与系统,
例 1：
)()(21)()(21 tftftftf
)()(
2
1
)(
)()(
2
1
)(
tftftf
tftftf
o
e
oe PPP
)(tfe)(tf )(tfo
t0 t0
t0
第 1章 绪论
,信号与系统,
例 2：
(三 )脉冲分量一信号可以近似分解为许多脉冲分量之和
(1)分解为矩形窄脉冲分量 (窄脉冲组合的极限即冲激信号 )的叠加。
(2)分解为阶跃信号分量的叠加。
)(tf )(tfo
t0
t0
t0
2121
1
)(tfe
第 1章 绪论
,信号与系统,
(a)窄脉冲从 t1=-∞ ～ ∞ 将许多这样的矩形脉冲单元叠加。
)( 1tf
)(a图
1t
)(tf
1t?
t
)()()( 1111 tttuttutf
第 1章 绪论
,信号与系统,
1
1
1111 )()()()(
1 t
ttttuttutftf
t?
111
111
0
1
1
111
1
0
)()(
)()(lim
)()(
)(lim)(
1
1
1
1
dttttf
ttttf
t
t
tttuttu
tftf
t
t
t
t
第 1章 绪论
,信号与系统,
观察时刻同筛选特征
(b)阶跃信号
dttttf
dttttftf
)()(
)()()(
0
00
,0t
)0(f
)(b图
1t
1t?
t
)( 1tf
)( 11 ttf
0)(0 tft
第 1章 绪论
,信号与系统,
)()()(
)()()0(0
11111 ttuttftftt
tuft
第一个阶跃
11
0
1
1
1
11
1
111
1111
)(
)(
)()0()(
0
)(
)()(
)()0(
)()()()()0()(
11
11
dtttu
dt
tdf
tuftf
t
tttu
t
ttftf
tuf
ttuttftftuftf
tt
tt
第 1章 绪论
,信号与系统,
（四）实部分量与虚部分量瞬间值为复数的信号
（五）正交函数分量信号分解为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似
)()()(
)()()(
tjftftf
tjftftf
ir
ir
)()(
2
1
)(
)()(
2
1
)(
*
*
tftftjf
tftftf
i
r
)()()()()( 22*2 tftftftftf ir
第 1章 绪论
,信号与系统,
1、二维空间的正交矢量二维空间任意矢量可分解为两个正交矢量的和。
点积：
2、正交函数定义：若两个函数 在区间 内满足：
则称为正交函数。
yv
xv
x0
y
v
yx vvv
090c o syxyx vvvv
)()()( 2121 tttftf,、
21 0)()( 21tt dttftf
第 1章 绪论
,信号与系统,
例,（ 0,2π） sint,cost 正交函数证明：
3、正交函数集定义：假设有几个函数 构成一个函数集，这些函数在区间 内满足如下特性：
则称此函数集为正交函数集
2020 02s i n21c o ss i n t d tt d tt
)( 21 tt，
)()()( 21 tgtgtg n，，,?
（常数）?
2
1
2
1
)(
0)()(
2t
t ii
t
t ji
kdttg
dttgtg
第 1章 绪论
,信号与系统,
则 任何一个函数 在区间 内可以用一个正交函数集中的几个线性组合来表示：
4、完备的正交函数集 (等号 )
定义,构成一个正交函数集，即当 时，
)()( 21 tttf,
)()()()( 2211 tgctgctgctf nn
)()()()( 2211 tgctgctgctf nn
)()()( 21 tgtgtg n，，,?
n
)()()()( 2211 tgctgctgctf nn
第 1章 绪论
,信号与系统,
此时,称为完备正交函数集。
5、典型的完备正交函数集
(1)三角函数
)()()( 21 tgtgtg n，，,?
n21s i nc os1 11,，，，,?ntntn
tmtntmtn
t d tmtn
1111
11
s i ns i n
2
1
0s i nco s
第 1章 绪论
,信号与系统,
tmtntmtn
t d tmtn
1111
11
co sco s
2
1
0s i ns i n
tmtntmtn
t d tmtn
1111
11
co sco s
2
1
0co sco s
tnbtbtb
tnatataatf
n
n
11211
112110
s i n2s i ns i n
c o s2c o sc o s)(
第 1章 绪论
,信号与系统,
基、谐
（ 2）复指数函数集
n21)c o s (
s i nc o s
1
1
0
1
110
，，
ntnca
tnbtnaa
n
n
n
n
nn
)(替代关系
2101,，ne tjn?
tjn
n
tjtj
tjn
n
tjtj
eFeFeF
eFeFeFFtf
111
111
2
21
2
210)(
第 1章 绪论
,信号与系统,
126 系统模型及其分类一、系统模型：系统物理特征的数学抽象（数学表达式）
例：电阻器、电容器、电感器串联元件的互联约束：
n
tjn
n eF
1?
)(te )(ti R
C L
dt
tde
Cti
dt
tdi
RC
dt
tid
LC
tRi
dt
tdi
Ldi
C
te
t
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
1
)(
2
2
第 1章 绪论
,信号与系统,
建模：同一电路在不同频率下电路模型不同不同物理系统，有可能得到形式相同的数学模型系统阶数：微分方程的阶次输入输出方程：髙阶微分方程 响应分析方法,状态方程：一阶联立方程组提供内部各变量情况 多入 多出数学模型求解方法,时间域方法 分析时间变量的函数变换域方法方框图表示系统模型（每个方框反映某种数学运算功能）
第 1章 绪论
,信号与系统,
分类：
连续 时间系统：输入、输出为连续信号，中间也未转换离散信号，数学模型为微分方程 R L C
离散时间系统,输入、输出为 离散 信号，数学模型为差分方程 计算机混合系统,输入、输出为连续,离散 信号的组合即时 系统：无记忆 输出只决定于同时刻激励
R 代数方程动态系统：有记忆 输出不仅决定于同时刻激励,且与过去工作状态有关 L C 寄存器 微、差分方程
第 1章 绪论
,信号与系统,
可逆系统：不同 e(t) 产生不同 r(t)
不可逆系统：不同 e(t) 产生相同 r(t)
例：可逆 例：不可逆
)()( tetr?)(te
级连逆原
)(5)( 11 tetr?
)(51)( 12 tetr?逆
)()( 233 tetr?
第 1章 绪论
,信号与系统,
127 线性时不变系统（ LTI）
定义：满足线性特性和时不变特性的系统称为线性时不变系统。
1、线性特性：具有叠加性与均匀性（齐次性）的系统
LTI
LTI
LTI
)(1 te
)(2 te
)()( 2211 tectec?
)(1 tr
)(2 tr
)()( 2211 trctrc?
第 1章 绪论
,信号与系统,
叠加性：
均匀性：
2、时不变特性,（定常系统、非时变系统）系统响应与激励施加于系统的时刻无关。
)(r)(r)()( 2121 tttete
)(r)( 1111 tctec?
S
S
E
E
T0
)(te
)(tr
Ttt?00
)( 0tte? )( 0ttr?
第 1章 绪论
,信号与系统,
3、微分特性：
若 则证明：
)()( trte?
n
n
n
n
dt
trd
dt
ted )()(?
dt
tdr
dt
tde )()(?
)()( trte? )()( ttrtte
t
ttrtr
t
ttete
)()()()(
dt
tdr
dt
tde )()(?
0 t
drde t 0t0 )()(同理第 1章 绪论
,信号与系统,
4、因果性：
定义,t=t0 时刻的响应只与 t≤t 0时的输入有关。
激励原因 响应后果例,（非因果）
因果 (有始 )信号,t=0时刻接入系统的信号 f(t)=f(t)u(t)
)1()( 11 tetr)1()( 22 tetr
)()()()( tutrtute 因果系统
