目录 作业与解答第一章 质点运动学第二章 动量守恒 质点动力学第三章 能量守恒定律第四章 角动量守恒 刚体转动第五章 连续体 力学第六章 振动和波第七章 万有引力第八章 相对论（ 时空,动力学 ）
目录力学,1-1,1-2,1-3。
补充题：
1,一物体沿 x 轴运动，其加速度与位置的关系为 a = 2 + 6x，物体在 x = 0 处的速度为 10 m/s，
求物体速度与位置的关系。
2,一石子从空中静止下落，已知加速度
a = A - B v，式中 A,B 为常量，试求石子的速度随时间变化规律和运动方程。
3,一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反、大小与速率平方成正比，即 dv/dt = - k v2，式中 k 为常数，
试求速度与路程之间的关系 (设发动机关闭时电艇速度为 vo)
第一章 质点运动学目录 思考题
1、已知一质点的加速度为时间函数，即
a = a(t)，在 to 时刻速度为 vo,试求任一时刻 t 时质点的速度 v(t)
2、已知一质点的加速度为位置矢量的函数，
即 a = a (r)。如果质点在 ro 处的速率为 vo，
试求质点沿 路径 L 到达 r
目录 力学,1-13,1-14
补充题：
4,5 m 长的梯子斜靠在墙上，
最初上端离地面为 4 m。设以 2 m/s 的速度匀速向下滑，
求下端的运动方程和速度。
5,一辆汽车以 v1 速度在雨中行使，雨滴落下的速度与竖直方向成角?，问在什么条件下车后的一捆行李不会被淋湿？设行李伸出车外的长度为 l，距车顶的距离为 h。
A
B
4
O
Y(m)
L
X (m)
l
h
v1?v2
目录
1-1 已知质点沿轴作周期性运动，其运动方程为
x = 3 sin?t/6，求 t = 0,3,6,9,12 s时的质点的位移、速度和加速度。 ( 设 x 单位为 m )
解：位移?x = x(t) - x(0) = 3 sin?t/6
速度 v = dx/dt = (?/2) cos?t/6
加速度 a = dv/dt = - (?2/12) sin?t/6
t(s)?x(m) v(m/s) a(m/s2)
0 0?/2 0
3 3 0 -?2/12
6 0 -?/2 0
9 -3 0?2/12
12 0?/2 0
目录 1-2 已知质点位矢随时间变化的函数形式为：
)j ts i ni t( c osRr
求 (1) 质点轨迹,(2) 速度和加速度，并证明其加速度总指向一点。
解,(1) x = R cos?t,y = R sin?t
质点轨迹方程,x2 + y2 = R2，是圆心在圆点的圆。
(2)速度,vx = dx/dt = -? R sin?t
vy = dy/dt =? R cos?t
)j tc osi ts i n(Rv
加速度,ax = dvx /dt = -?2 R cos?t
ay = dvy /dt = -?2 R sin?t
r)j ts i ni t( c osRa 22
目录 1-3 在一定单位制下质点位矢随时间变化的函数形式为：
j )3t2(i t4r 2
求 (1) 质点轨迹,(2) 从 t = 0 到 t = 1 的位移，
(3) t = 0 和 t = 1 两时刻的速度和加速度。
解,(1) x = 4t2,y = 2t + 3
质点轨迹方程,x= ( y - 3)2，故 x > 0,y > 3,质点轨迹为抛物线的一段。
j 2i 4)0(r-( 1 )rr
,j 5i 4( 1 )r,j 3)0(r
(2)
(3)
i 8)1(a,j 2i 8)1(v
i 8)0(a,j 2)0(v,i 8a,j 2i t8v
目录 1-13 一弹性球自静止竖直地落在斜面上的 A 点，
下落高度 h = 0.20 m,斜面与水平夹角? = 30o，
问弹性球第二次碰到斜面的位置 B 距 A多远。设弹性球与斜面碰撞前后速度数值相等，碰撞时入射角等于反射角。
B
A
O?
h
y
x
g?
vo
解,vo = ( 2gh )1/2,取 xy 坐标轴如图。
vx = dx / dt = vo sin30o + g sin30o t
= 0.5 ( vo + g t )
vy = dy / dt = vo cos30o - g cos30o t
= 0.866 ( vo - g t )
x = 0.5 ( vo t + g t2 / 2 )
y = 0.866 ( vo t - g t2 / 2 ) ； y = 0? t = 2vo / g?
x = 0.5 ( vo? 2vo /g + g? ( 2vo /g ) 2 / 2 ) = 2vo2 / g
= 4 h = 4? 0.20 = 0.80 m
目录 1-14 一物体从静止开始作圆周运动，切向加速度，
at = 3.00 m / s2,圆的半径 R = 300 m，问经过多少时间物体的加速度 a 恰与半径成 45o 夹角。
a
at
o
R
解,?= 45o,
at = dv / dt? dv = at dt? v = at t
an = v2 / R = at2 t2 / R
根据题意,at = an = at2 t2 / R
t = ( R / at )1/2 = ( 300 / 3.00)1/2
= 10 s
目录补充题 1,一物体沿 x 轴运动，其加速度与位置的关系为 a = 2 + 6x，物体在 x = 0 处的速度为 10 m/s，求物体速度与位置的关系。
解,a = dv/dt = v dv/dx = 2+6x
v dv = ( 2+6x ) dx
vov v dv =?ox ( 2+6x ) dx
v2 / 2 - vo2 / 2 = 2x + 3x2
v2 = 6x2 + 4x + vo2
= 6x2 + 4x + 100 ( SI )
目录补充题 2,一石子从空中静止下落，已知加速度
a = A - B v，式中 A,B 为常量，试求石子的速度随时间变化规律和运动方程。
解,a = dv/dt = A - B v
dv /(A - B v) = dt
vov dv /(A - B v) =?ot dt
ln( 1 - B v/A) = - B t
石子的速度随时间变化规律,v = A( 1 - e -B t ) / B
石子的运动方程,x =?ot v dt
=?ot A( 1 - e -B t ) / B dt
= A t / B + A( e -B t - 1 ) / B2
目录 补充题 3,一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反、大小与速率平方成正比，即 dv/dt = - k v2，式中 k 为常数，试求速度与路程之间的关系 (设发动机关闭时电艇速度为 vo )。
解：设 x 的原点为关闭发动机时的位置，
dv/dt = v dv/dx = - kv2
整理得,dv/v = - k dx
两边积分,∫vov dv/v = -∫ｏ x k dx
得,ln（ v/vo） = - k x
因此,v = voe - kx = voe - ks
( 路程为 s = x - 0 = x )
解：设某一时刻梯子的位置如图由几何关系得,x2 = L 2 - y2
因为 A点匀速下滑，所以
y = yo -vot = 4 - 2t
故,x2 =L2 - y2 = 52 -（ 4 - 2t） 2
（ 1）运动方程,x2 = 9 + 16t - 4t2 (SI)
（ 2）两边对时间求导,2xdx/dt = 16 - 8t
vx = dx/dt =（ 8 - 4t） /x
=（ 8 - 4t） /（ 9 + 16t - 4t2） 1/2 (SI)
x
A
B
y
O
Y
L
X
补充题 4,5m长的梯子斜靠在墙上，最初上端离地面为 4m。设以 2m/s 的速度匀速向下滑，求下端的运动方程和速度 。
目录 补充题 5,一辆汽车以 v
1 速度在雨中行使，雨滴落下的速度与竖直方向成角?，问在什么条件下车后的一捆行李不会被淋湿？设行李伸出车外的长度为 l，距车顶的距离为 h。
l
h
v1?v2
v1
v2v雨车
l
h?
v雨车 = v2 - v1
tg? = v2 cos? /( v1 - v2 sin? )tg? = h / l
行李不被淋湿的条件, tg tg?
h / l? v2 cos? /( v1 - v2 sin? )
目录 思考题
1、已知一质点的加速度为时间函数，即
a = a(t)，在 to 时刻速度为 vo,试求任一时刻 t 时质点的速度 v(t)。
解,a = dv/dt = a(t)
dv = a(t) dt
vov dv =?tot a(t) dt
v - vo =?tot a(t) dt
v(t) = vo +?tot a(t) dt
目录 2、已知一质点的加速度为位置矢量的函数，
即 a = a (r)。如果质点在 ro 处的速率为 vo，
试求质点沿 路径 L 到达 r 处的速率。
解,a = dv/dt = a (r)
dv · dr/dt = a (r) · dr
v · dv = a (r) · dr
v · dv = vx dvx + vydvy + vz dvz
= ( dvx2 + dvy2 + dvz2 ) / 2
= d( vx2 + vy2 + vz2 ) / 2 = d ( v2 ) / 2
= v dv
vov v dv =?L,ro? r a (r) · dr
v2 / 2 - vo2 / 2 =?L,ro? r a (r) · dr
目录力学,8-2,8-3,8-6,8-8，
补充题：
1,一列静长为 lo = 0.5 km 的火车，以 v =
100 km /h 的速度在地面上匀速前进。在地面上的观察者看到两个闪电同时击中火车头尾，在火车上的观察者测出这两个闪电的时间差是多少? 先出中车头还是车尾?
2,牛朗星与地球相距约 16 光年，一宇航员准备用 4 年时间抵达牛朗星，问宇宙飞船将以多大的速度飞行?
第八章 相对论（时空）
目录 3,甲、乙、丙三飞船静止时长度相同都是
lo，现在分别在三条平行线上沿同方向匀速运动，甲观测到乙的长度为 lo / 2，乙观测到丙的长度也为 lo /2，甲观测到丙比乙快，
则甲观测到丙的长度为多少?
目录 8-2 1952年杜宾等人报导，把?+ 介子加速到相对于实验室的速度为 1/5 c 时，它在自身静止的参照系内的平均寿命为 2.5? 10-8 s,它在实验室参照系内的平均寿命为多少？通过的平均距离为多少？
解：实验室参照系内的平均寿命?t’
t’ =?t/( 1- u2/c2 )1/2
= 2.5? 10-8 s /[1-(1/5 )2]1/2
= 2.55? 10-8 s
实验室参照系内通过的平均距离 S
S = u?t’ = 1/5 c? 2.55? 10-8
= 1.53 m
目录 8-3 在惯性系 K 中观测到两事件发生在同一地点的，时间先后相差 2 秒，在另一相对于 K 运动的惯性系 K’ 中观测到两事件之间的时间间隔为 3 秒，求 K’系相对于 K 系的速率和其中得两事件之间的空间距离。
解：已知?x = 0,?t = 2 s,?t’ = 3 s
t’= (?t - u?x/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2
=?t/( 1- u2/c2 )1/2
u = c [ 1- (?t/?t’)2 ]1/2 = c [ 1- ( 2 / 3)2 ]1/2
= 0.745 c
x’ = u?t’= 0.745 c? 3
= 6.71? 108 m
目录 8-6 斜放的直尺以速度 V 相对于惯性系 K 沿 x 方向运动，它的固有长度为 lo，在与之共动的惯性系 K’ 中它与 x’ 轴的夹角为?’ 。试证明：对于
K系的观察者来说，其长度 l 和与 x 轴的夹角?
分别为
22
2222
o
c/V-1
'tg
t g
's i n)'c osc/V1(
l l
y
’
lo
l
x’
y’
xo o’
惯性系
K
惯性系
K’
目录解,惯性系 K’ x’ = lo cos?’
y’ = lo sin?’
惯性系 K x = ( 1 - V2 / c2 )1/2 lo cos?’
y = lo sin?’
y
’
lo
l
x’
y’
xo o’
惯性系
K
惯性系
K’
's i n)'c o sc/V1(
)'s i n()'c o sc/V1(
yx
2222
o
2
o
2
o
22
22
l
ll
l
c/V-1
'tg
'c o sc/V-1
's in
x
y
t g
22
o
22
o
l
l
目录 8-8 一原子核以 0.5 c 的速率离开某观察者运动。
原子核在它的运动方向上向后发射一光子，向前发射一电子，电子相对于核的速度为 0.8 c，对于静止的观察者，电子和光子各具有多大的速度？
解：对于静止的观察者，电子具有的速度为
ve = ( ve’ + u ) / ( 1 + u ve’ / c2 )
= ( 0.8 c + 0.5 c ) / ( 1 + 0.5 c? 0.8 c / c2 )
= 1.3 c / ( 1 + 0.4 ) = 0.9286 c
对于静止的观察者，光子具有的速度为
v?= ( v?’ + u ) / ( 1 + u v? ’ / c2 )
= ( - c + 0.5 c ) / ( 1 - 0.5 c? c / c2 )
= - 0.5 c / 0.5 = - c
目录 补充题 1,一列静长为 l
0 = 0.5 km 的火车，以 v
= 100 km /h 的速度在地面上匀速前进。在地面上的观察者看到两个闪电同时击中火车头尾，在火车上的观察者测出这两个闪电的时间差是多少?
先出中车头还是车尾?
解：已知?x’=0.5 km,u =100 km/h,?t = 0 s
由 洛仑兹变换
t = (?t’ + u?x’/c2 ) /( 1- u2/c2 )1/2
得,?t’ = - u?x’/c2
= - ( 100000/3600 )?500/( 3?108 )2
= - 1.54? 10-13 s
因?t’ = t’头 - t’尾 < 0,故 先出中车头,
目录 补充题 2,牛朗星与地球相距约 16 光年，一宇航员准备用 4 年时间抵达牛朗星，问宇宙飞船将以多大的速度飞行?
解,方法 1,地球为 S,宇宙飞船为 S’系。
已知?x = 16cy,?t’ = 4 y
设 宇宙飞船速度为 u,则有?t =?x/u
t’ = (?t - u?x/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2
= (?x/u - u?x/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2
=?x/u( 1- u2/c2 )1/2
得 ( c?t’/?x )(u/c) = ( 1- u2/c2 )1/2
两边平方,( c?t’/?x )2 u2/c2 = 1- u2/c2
整理,u = c /[ 1 + ( c?t’/?x )2 ]1/2
= c /[ 1 + ( 4c/16c )2 ]1/2= ( 16/17 )1/2 c
目录 方法 2,宇宙飞船为 S,地球为 S’系。
已知 Lo = 16cy,?t = 4 y
宇宙飞船测得牛朗星与地球相距为,
L = Lo ( 1- u2/c2 )1/2
则有 u?t = L= Lo ( 1- u2/c2 )1/2
→ u?t / Lo = ( 1- u2/c2 )1/2
→ u2 (?t /Lo)2 = 1- u2/c2
→ u2 (c?t /Lo)2 = c2 - u2
→ u2 [1+(c?t /Lo)2 ]= c2
→ u = c /[ 1 + ( c?t/Lo)2 ]1/2
= c /[ 1 + ( 4c/16c )2 ]1/2
= ( 16/17 )1/2 c
目录补充题 3.甲、乙、丙三飞船静止时长度相同都是
lo，现在分别在三条平行线上沿同方向匀速运动，
甲观测到乙的长度为 lo / 2，乙观测到丙的长度也为 lo /2，甲观测到丙比乙快，则甲观测到丙的长度为多少?
解：
2
2
c
u1 乙甲
2
oo ll c2
3u
乙甲丙快于乙）”（舍“同理,丙乙 c
2
3u
)c
2
3
u(0
)c
2
3
u(c
7
34
22 c
uu
1
uu
c
uu
1
uu
u
乙甲乙甲乙甲丙乙乙甲丙乙甲乙丙乙甲乙丙乙丙甲目录
c
7
34
uuu
丙甲乙甲丙甲?
)c
2
3
u(0
)c
2
3
u(c
7
34
u
乙甲乙甲丙甲
77
34
1
c
u
1
2
2
2
o
oo
l
lll?
丙甲目录力学,2-5,2-10,2-13,2-15,2-28,2-30。
第二章 动量守恒 质点动力学目录 2-5 质量 70 kg 的渔民站在小船上，设船和渔民的总质量为 200 kg 。若渔民向船头走了 4.0 m 后停止。试问：以岸为参考系，渔民走了多远？
解：设渔民相对岸的速度为 v渔民,相对船的速度为 u渔民,船相对岸的速度为 v船 。
则 v渔民 = u渔民 + v船? v船 = v渔民 - u渔民水平方向动量守恒：
m船 v船 + m渔民 v渔民 =m船 (v渔民 - u渔民 ) +m渔民 v渔民
=0
v渔民 = m船 u渔民 / ( m船 + m渔民 )
x =?ot v渔民 dt = [ m船 / ( m船 + m渔民 )]?ot u 渔民 / dt
= [ 130? 200 ]? 4.0 = 2.6 m
目录
2-10 求每分钟射出 240 发子弹的机枪平均反冲力，
假定每粒子弹的质量为 10 g，腔口速度为 900m/s.
解：设平均反冲力为 F平均
F平均 t =机枪动量变化 = 子弹动量变化
= 240 mv - 0 = 240 mv
F平均 = 240 mv / t
= 240? 10? 10 -3? 900? 60
= 36 N
目录 2-13 一宇宙飞船以恒速 v 在空间飞行，飞行过程中遇到一股微尘粒子流，后者以 dm/dt 的速率沉积在飞船上。尘粒在落到飞船之前的速度为 u,
方向与 v 相反，在时刻 t 飞船的总质量为 M(t),
试问：要保持飞船匀速，需多大的力 F？
v
飞 船 M(t) 微尘粒子流
u
解,飞船动量 尘粒 动量
t 时刻 M(t) v u dm
t + dt 时刻 [M(t)+dm] v
F = {[M(t)+dm] v-M(t) v - udm}/dt = (v - u) dm/dt
向前推力,F = ( v + u) dm/dt
目录
2-15 一质量为 m 的质点在 x-y 平面上运动，其位矢为 r = a cos? t i + b sin? t j,求受力的情况。
解：质点运动方程,x = a cos? t
y = b sin? t
质点运动轨迹为椭圆,x2 / a2 + y2 / b2 = 1
v = -? a sin? t i +? b cos? t j
a = -? 2 a cos? t i -? 2b sin? t j
= -? 2 r
质点受力 f = m a = - m? 2 r,恒指向原点。
目录 2-28 一条均匀的绳子，质量为 m，长度为 l，将它栓在转轴上，以角速度? 旋转，试证明：略去重力时，绳中的张力分布为 T(r) = m?2 (l 2- r2) /2l,
式中 r 为到转轴的距离。
r r + dr
l
ro
T(r) T(r+dr)
解：在 r 处的张力 T 等于从 r 到 l 这一段绳子作圆周运动所需的向心力，
对 dr 这一段，所需向心力为：
dT = T(r+dr) - T(r)
= -?2rdm = -m?2r/ldr
T(r)T(l) dT = -?rl m?2 r/l dr
T(l)-T(r)= - m?2 (l 2 - r2)/2l T(r) = m?
2 (l 2 - r2)/2l
0
目录 2-30 抛物线形弯管的表面光滑，可绕铅直轴以匀角速率转动。抛物线方程为 y = ax2,a 为常数。
小环套于弯管上。求,(1) 弯管角速度多大，小环可在管上任意位置相对弯管静止。 (2) 若为圆形光滑弯管，情形如何？
解,(1) N cos? = mg (1)
N sin? = man = m?2 x (2)
(2)? (1) tg? =?2 x / g
由 抛物线方程 y = ax2 可得：
tg? = dy/dx = 2a x
2 x / g = 2a x
= ( 2ag )1/2? mg
N
an
x
y
o
x
目录 (2)圆形方程为 (y-R)2+x2 =R2
mg
N
mg
N
an
y
o x
an
mg
N
mg
N mg
N
an?
D.当 0 < y < R 时，
N cos? = mg,N sin? = man = m?2 x
tg? = dy/dx = x / ( R - y)
= ( g tg? /x)1/2 = [ g / ( R - y) ]1/2
A.当 y = 0,2R 时,?取任何值均可；
B.当 R < y < 2R 时,N 若要提供垂直力与重力平衡，则不能提供向心力，故小环会谐动；
C.当 y = R 时，在垂直方向只有重力,N 不能提供切向力，故小环也会谐动；
目录力学,3-8,3-9,3-10,3-12,3-15,3-16,3-22，
3-26,3-29。
补充题：
1,处于保守力场中的某一质点被限制在 x 轴上运动，它的势能 Ep(x)是 x 的函数，它的总机械能
E 是一常数，设 t = 0 时，质点位置为 x0 。如果质点在以后运动过程速度方向恒指向 x 轴正方向，
试求质点位置 x 与时间 t 的关系。
2,一链条总长为 L，质量为 m，放在桌面上，
并使其下垂，下垂一端的长度为 a。设链条与 桌面之间的摩擦系数为 μ，若链条由静止开始水平缓慢上拉，则链条全部拉上桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？
第三章 能量守恒定律目录补充题 处于保守力场中的某一质点被限制在 x
轴上运动，它的势能 Ep(x)是 x 的函数，它的总机械能 E 是一常数，设 t = 0 时，质点位置为 x0 。如果质点在以后运动过程速度方向恒指向 x 轴正方向，试求质点位置 x 与时间 t 的关系。
解：在 t 时刻，质点位置为 x,速度为 v。
机械能守恒定律
E= mv2/ 2 + Ep(x) = m(dx/dt)2/ 2 + Ep(x)
)]x(EE[m2dtdx P
)]x(EE[m2
dxdt
P?
xx
Pm
2
t
0 0 )]x(EE[
dxdtt?
目录设 x = (2E/k)1/2 cos dx = - (2E/k)1/2 sin? d?
t = - o? (m/k)1/2 d? = (m/k)1/2 (?o -? )
其中?o= cos-1[(k/2E)1/2 xo],?= cos-1[(k/2E)1/2 x]。
cos-1[(k/2E)1/2 x] = cos-1[(k/2E)1/2 xo] - (k/m)1/2 t
x = (2E/k)1/2 cos{(k/m)1/2 t - cos-1[(k/2E)1/2 xo]}
x
x 2
E2
k
E2
mx
x 2
2
k
m
2
t
0 00
x1
dx
)]xE[
dx
dtt
目录补充题 一链条总长为 L，质量为 m，放在桌面上，并使其下垂，下垂一端的长度为 a。
设链条与 桌面之间的摩擦系数为 μ，若链条由静止开始水平缓慢上拉，则链条全部拉上桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？
解：设链条线密度为 ρ= m/L
1、建立坐标 OX 轴，链条下垂一端的长度为 x,则摩擦力,f =μρg（ L - x） = F
OL - x
x
X
F
目录 f = μmg（ L - x） / L
摩擦力作功,Af = ∫ a0 f dx
= ∫ a0 μmg（ L-x） / Ldx
= -μmg a（ 1- a /2L ）
2、重力作功,AG =∫ a0 mgx/Ldx
= - mg a2 / 2L
OL - x
x
X
目录 3-8 劲度系数为 k 的弹簧一端固定在墙上，另一端系一质量为 mA 的物体。当把弹簧的长度压短
xo 后，在它旁边紧贴着放一质量为 mB 的物体。
撤去外力后，设下面是光滑的水平面，求：
(1) A,B 离开时,B 以多大的速率运动；
(2) A 距起始点移动的最大距离。
BA
0- xo
vB =0
BA
0- xo
vB
解,(1) B 离开 A 的条件为
aA = 0，即 FA = 0，故 B 离开 A 时弹簧为自然长度。
(mA+ mB )vB2 /2 = kxo2 /2
vB = [ k /( mA+ mB )]1/2 xo
目录
(2) mAvB2 / 2 = kxAmax2 / 2
xAmax = (mA / k )1/2 vB
= [ mA/( mA+ mB )]1/2 xo
sAmax = xo + xAmax
= { 1+ [ mA/( mA+ mB )]1/2 } xo
A
vB
0 xAmax- xo
A
vB = 0
0 xAmax- xo
目录 3-9 用劲度系数为 k 的弹簧将质量为 m
A 和 mB的物体连接，放在光滑的水平面上,mA 紧靠墙，
在 mB 上施力将弹簧从原长压缩了长度 xo，当外力撤去后，求,(1) 弹簧和 mA,mB 所组成的系统的质心加速度的最大值； (2)质心速度的最大值。
A B
vC
A B
A B
xo
F外
(2) 当 mA 离开墙体后，
F外 = 0,aC = 0,
vC = vmax 。
解,(1) 外力撤去瞬间
F外 max = kxo
aC max = kxo /(mA + mB )
目录当弹簧恢复原长时,m
B v22 /2 = k xo2 /2
v2 = ( k/mB )1/2 xo
A B
v2
A B
vC max
此后系统在没有外力作用下运动，质心最大速度
vC max 服从关系式：
PS = (mA + mB ) vC max = 0 + mB v2 = mB v2
vC max = mB v2 / (mA + mB )
= mB ( k/mB )1/2 xo / (mA + mB )
目录 3-10 质量为 m
1 和 m2 的物体以劲度系数为 k 的弹簧相连，竖直地放在地面上,m1 在上,m2 在下。问 (1)至少先用多大的力 F 向下压 m1,突然松开时 m2 才能离地？ (2) 在力 F 撤除后，由 m1,
m2 和弹簧组成的系统质心加速度 ac 何时最大？
何时为 0？刚要离地面时 ac =？
m1
L m1g
m2
x0
0
m1
L m1g
m2
x0
0
x1
F
kx1 = F + m1g
x1 = (F + m1g)/k
解,(1) kxo = m1g
xo = m1g / k
目录
m1
L m1g
m2
x0
0
m1
L m1g
m2
x0
0
x1
F
m1
L
m1g
m2
x0
0
-x2
f
m2g弹簧伸长 x
2 时,m2 方能离地的条件为：
f = kx2 = m2g? x2 = m2g / k
压力松开后，系统能量守恒，即：
kx22/2+m1g (x1+x2) = kx12/2? k( x1- x2)= 2m1g
k[(F+m1g)/k - m2g/k]= 2m1g
F = m1g + m2g
x1 = (F + m1g)/kxo = m1g / k
目录 (2) 力 F 撤除后,( m
1 + m2 + 弹簧 ) 系统受外力：
F外 = N - ( m1 + m2 ) g （以向上为正）
因为 N = k x + m2 g
所以 F外 = k x - m1 g
当力 F 刚撤除时，
xmax = x1= (F + m1g) / k
= ( 2m1g + m2 g) / k
F外 max = k x1 - m1 g = (m1 + m2 ) g
aC max = F外 max / (m1 + m2 )
= g (向上 )
当 x = m1 g / k 时,F外 = 0,aC =0。
当 N = 0 时,x = - m2 g / k,
F外 = - m2 g - m1 g? aC = - g (向下 )
m1
L m1g
m2
x0
0
x
N
m2g
m2
m2g kx
N
目录 3-15 m
1 和 m2 静止在光滑的水平面上，以劲度系数为 k 的弹簧相连，弹簧处于自由伸展状态，一质量为 m,水平速率为 vo 的子弹入射到 m1 内，
子弹最多压缩了多少？
解：子弹入射到 m1 内，
动量守恒。
m+m1 m2
v10
m+m1 m2
v1 v2
x
m1 m2
vom
mvo = (m+m1) v10
当 v1 = v2 = v 时，
子弹压缩弹簧最多 xmax 。
mvo=(m+m1)v10=(m+m1+m2)v
(m+m1) v10 2/2 = (m+m1+m2)v2/2 + kxmax 2/2
xmax =[m2 /k (m+m1)(m+m1+m2)]1/2 mvo
目录 3-16 两球有相同的质量和半径，悬挂于同一高度，
静止时两球恰好能接触且悬线平行。已知两球碰撞的恢复系数为 e,若球 A 自高度 h1 释放，求该球碰撞后能达到的高度。
mvA0 = mvA + mvB
vA - vB = - e vA0
vA = ( 1 - e ) vA0 / 2 > 0
vB = ( 1 + e ) vA0 / 2 > vA
mghA = m vA2 / 2
mghB = m vB2 / 2
hA = vA2 / 2g
hB = vB2 / 2g
hA = ( 1 - e )2 h1 / 4
hB = ( 1 + e )2 h1 / 4
解,A球与 B球碰撞前一刻的速度为 vA0=(2gh1)1/2,碰撞后两者的速度分别为 vA,vB 。
h1
A B
hB > hA
目录 3-22 一质量为 m
o，以速率 vo 运动的粒子，碰到一质量为 2mo 静止的粒子。结果，质量为 mo的粒子偏转了 45o，并具有末速 vo / 2。求质量为
2mo的粒子偏转后的速率和方向。动能守恒吗？
解：由动量守恒得：
movo = (movo / 2 ) cos?/4 + 2mov cos?
(movo / 2 ) sin?/4 - 2mov sin? = 0
v = 0.368 vo
= 28.68o
末态动能 EK = mo ( vo / 2 )2 /2 + 2mov2 /2
= 0.52? mo vo 2 /2 < mo vo 2 /2
故动能不守恒。
vo
v
vo / 2
45o
目录 3-26 水平地面上停放着一辆小车，上站着 10 个质量相同的人，每人都以相同的方式、消耗同样的体力从车后沿水平方向跳出。设车的质量远大于 10 个人的质量，以及所有人所消耗的体力全部转化为车与人的动能，在整个过程中可略去一切阻力。为了使小车得到最大的动能，车上的人应一个一个地往后跳，还是 10 个人一起跳？
解：设每个人贡献的能量为 E,小车的质量为 M，
把 N 个人看成一个质点组，则其动能为：
EK人 = NmvC人 2 / 2 + EK人 ’
其中,vC人 =? mvi / Nm。
V车
21 N
v1 v2 vN
…
目录 E
K人 = NmvC人 2 / 2 + EK人 ’
vC人 =? mvi / Nm
EK车 = MV车 2 / 2
能量守恒,NE = EK车 + EK人
= MV车 2 / 2 + NmvC人 2 / 2 + EK人 ’
动量守恒,MV车 +? mvi = 0
vC人 =? mvi / Nm = - MV车 / Nm
NE = MV车 2 / 2 + NmvC人 2 / 2 + EK人 ’
= MV车 2 / 2 + Nm (- MV车 / Nm) 2 / 2 + EK人 ’
= (1 + M / Nm) MV车 2 / 2 + EK人 ’
EK车 = MV车 2 / 2
= Nm (NE - EK人 ’ ) / (M + Nm)
V车
21 N
v1 v2 vN
…
目录 E
K车 = Nm (NE - EK人 ’ ) / (M + Nm)
讨论：
1,当 10 个人一起跳车时,vi = vC人,vi ’ = 0，
故 EK人 ’ = 0，此时
(EK车 )一起 = N2mE / (M + Nm)
2,当 10 个人一个一个跳车时,vi? vC人,
vi ’ = vi - vC人? 0,故 EK人 ’ > 0，此时
(EK车 )一个一个 = Nm (NE - EK人 ’ ) / (M + Nm)
< (EK车 )一起所以,10 个人一起跳车时，小车获得最大动能。
目录 3-29 半径为 R 的大圆环固定的挂于顶点 A，质量为 m 的小套于其上，通过一劲度系数为 k，自然长度为 l ( l < 2R )的弹簧系于 A 点。分析在不同的参数下该装置平衡点的稳定性，并作出相应的势能曲线。
解：总势能 EP = EP重 + EP弹
= mgR(1-cos2?)+k(2Rcos?-l )2 /2
= 2mgRsin2?+k(2Rcos?-l )2/2 > 0
找平衡点,dEP /d? =0
dEP /d?=2Rsin?[kl+2(mg-kR)cos?]
sin? = 01 = 0,
或 cos? = kl /2(kR - mg)
= cos-1[kl /2(kR - mg)]
2?R
k
B mg
A
目录研究稳定性：
E’’P(?) = d2EP /d?2 = 2R cos?[ kl + 2(mg - kR) cos? ]
- 4R( mg - kR ) sin2?
(1) 对于?1 = 0,E’’P(0) = 4R( mg + kl/2- kR)
当 mg + kl/2- kR > 0,即 mg > kR - kl/2 时,
E’’P(0) > 0,?1 = 0 为 稳定平衡点,
当 mg + kl/2- kR = 0,即 mg=kR-kl/2 时,E’’P(0)=0.
因 E’’P(?) = 2klR[cos?(1- cos?) + sin2?] > 0,
故在?1=0附近,势能曲线上凹,?1=0也是 稳定平衡点
当 mg + kl/2- kR < 0,即 mg < kR - kl/2 时,
E’’P(0) < 0,?1 = 0 为不 稳定平衡点,
目录
(2) = cos-1[ kl /2( kR - mg )],
E’’P(?)= 4R( kR - mg ) sin2?
当 kR - mg > 0 时 E’’P(?) > 0,因要求 cos < 0,
mg < kR - kl /2,此时 为两个 稳定平衡点,
mg = kR - kl /2 时,cos =1=0,不属此解,
mg > kR - kl /2 时,cos > 1,不合理,应舍去,
当 kR - mg = 0 时 E’’P(?) = 0,但 cos=?,应舍去,
当 kR - mg < 0 时 E’’P(?) < 0,但 cos为负值,
| | >? / 2,不合理,应舍去,
目录 总结之：
1、当 mg < kR - kl/2时,EP 有两个 稳定平衡点
()，有一个不 稳定平衡点 (?1 = 0 )。
2,当 mg? kR - kl/2时,EP 只 有一个 稳定平衡点
(?1 = 0 )。
相应的势能曲线见下图 a，图 b 。
EP
o图 b?
-?+
EP
图 a
目录力学,8-11,8-15,8-18,8-19,8-22。
补充题：
1,光子的频率为 υ时，其能量为 hυ，试求其质量、
动量和动能。
2,试根据以下两例讨论光子的吸收和发射
(1) 质量为 mo 静止原子核 ( 或原子 )，受到能量为
E 的光子撞击、原子核 (或原子 )将光子的能量全部吸收，则此合并系统的速度 ( 反冲速度 ) 以及静止质量各为多少?
(2) 静止质量为 Mo 的静止原子发出能量为 E 的光子，则发射光子后原子的静止质量为多大?
第八章 相对论（动力学）
目录 8-11 将一个电子从静止加速到 0.1c 的速度需要作多少功？从 0.8c 加速到 0.9c 需要作多少功？已知电子的静止质量为 9.11?10-31 kg 。
21.0
2
1 c c
cm
011 EEA 2cm
解：
2223232 cmcmEEA
k e V572,?
}
c
c8.0
1
1
c
c9.0
1
1
{cm
22
2
.eV 1032.0 J 101.5 614
J10095.4 16
目录 8-15 一个电子和一个正电子相碰，转化为电磁辐射 (这样的过程叫做正负电子湮没 )。正、负电子的质量皆为 9.11?10-31 kg,设恰在湮没前两电子是静止的，求电磁辐射的总能量。
解：能量守恒,E电磁 = m-e c2 + m+e c2
= 2 m-e c2
= 1.02?106 eV
目录 8-18 在实验室系中? 光子以能量 E 射向静止的质子，求此系统质心系的速度。
解,动量 能量实验室系,光子?,E / c E
质子 p,0 mpo c2
质心系,P’= 0
四维动量洛仑兹变换,Px’ =? ( Px -?E / c )
Px’= 0,Px = E / c,E = E + mpo c2
= Px c / E = E / (E + mpo c2 )
质心系的速度,vC =? c = E c / (E + mpo c2 )
或,P = E / c,M = ( E + mpo c2 ) / c2
vC = P / M = E c / (E + mpo c2 )
目录
8-19? + 介子衰变为? + 子和中微子? ；
+ + +?
求质心系中? + 子和中微子的能量，已知三粒子的静质量分别为 m?,m?和 0 。
解,E? = ( m?2 + m?2 - 02 ) c2 / 2m?
= ( m?2 + m?2 ) c2 / 2m?
E?= ( m?2 + 02 - m?2 ) c2 / 2m?
= ( m?2 - m?2 ) c2 / 2m?
目录
8-22 光生 K+ 介子的反应为：
+ p? K+ +?o
(1) 求上述反应得以发生时在实验室系 (质子静止系 )中光子的最小能量。
(2) 在飞行中?o 衰变为一个质子和一个? - 介子。
如果?o 具有速率 0.8 c,则? - 介子在实验室系中可具有的动量最大值为多少？垂直于?o 方向的实验室动量分量的最大值为多少？
已知 mK = 494 MeV/c2,m?= 1116 MeV/c2,
m? = 140 MeV/c2,mp = 938 MeV/c2 。
目录 (1) 求上述反应得以发生时在实验室系 (质子静止系 )中光子的最小能量。
解,( P?+ Pp )2 = ( PK + P? )2
实验室系,P? = E? /c,Pp = 0,Ep = 938 MeV。
(P?+ Pp )2 = P? 2 +Pp2 + 2PPp = - Ep2/c2 - 2E?Ep /c2
当在 K+ +?o 质心系中 K+ 和?o 都静止时，
即 ( PK + P? ) 2 = - ( mK + m? ) 2 c2,所需能量最小 。
- Ep2/c2 - 2E?min Ep /c2 = - ( mK + m? ) 2 c2
E? min = [( mK + m? ) 2 c4 - Ep2] / 2Ep
= [( 494+ 1116) 2 - 938 2] / 2? 938 MeV
= 912.7 MeV
目录 (2)?o 衰变为,?o - + p,如果?o 具有速率 0.8
c,则? - 介子在实验室系中可具有的动量最大值为多少？
解,P? = P? + Pp?Pp = P? - P?
Pp2 = ( P? -P? )2?Pp2 = P?2 +P?2 - 2PP?
- mp2 c2 = - m?2 c2 - m?2 c2 - 2PP?
实验室系,P? = ( P?,iE?/c ),P? = ( P?,iE?/c )
PP? = P P? - E? E? /c2
- mp2 c2 = - m?2 c2 - m?2 c2 - 2 ( P P? - E?E? /c2 )
P P? = ( mp2 - m?2 - m?2 ) c2/ 2 + E?E?/ c2
P? P? cos? = ( mp2 - m?2 - m?2 ) c2/ 2 + E?E?/ c2
= ( mp2 - m?2 - m?2 ) c2/ 2 + E?( m?2c 4 + P?2c2 )1/2/c2
目录
P?P?cos?=(mp2-m?2-
m?2)c2/2+E?(m?2c4+P?2c2 )1/2/c2
其中? 表示 实验室系中 P?与?o 方向的夹角。
当 dP? /d? = 0 时,P? 有极值。
P?dP?cos? -P?P? sin?d? =E?(m?2c 4+P?2c2)-1/2P?dP?
dP?/d? = P?P? sin?/[P?cos?-E?(m?2c 4+P?2c2)-1/2P?]
dP?/d? = 0? P? sin? = 0? P? = 0 或? = 0
当 P? = 0? 动量最小。
当? = 0,即在 实验室系中与?o 运动方向相同的? - 介 子动量最大。
目录在 质心系中：
E?’= (m? 2 + m?2 - mp2 ) c2 / 2m?
= ( 11162 + 1402 - 9382 ) /2?1116 = 172.6 MeV
P?’= (E?2- m?2 c4)1/2/c = (172.62-1402)1/2 MeV/c
= 100.9 MeV/c
在 实验室系中, = 0.8 c,
= ( 1-2 )-1/2 = ( 1- 0.82)-1/2 = 1.667
P? max =( P?’ +E?’/c)
= 1.667? ( 100.9 + 0.8? 172.6 )
= 398.4 MeV/c
E? max =( E?’+P?’c)
= 1.667? ( 172.6 + 0.8? 100.9 )
= 422.3 MeV
目录垂直于?o 方向的实验室动量分量的最大值为多少？
解：在实验室系中：
P P? =(mp2-m?2-m?2)c2/2+E?(m?2c4+P?2c2 )1/2/c2
P?P? // =(mp2-m?2-m?2)c2/2
+ E?(m?2c4 + P? //2 c2 + P2 c2 )1/2/c2
P2=[P?P?// -(mp2-m?2-m?2)c2/2]2 c2/E?2-P? //2-m?2c2
当 dP /dP? // = 0 时,P 有极值。
P?[P?P? // -(mp2-m?2-m?2)c2/2]c2/E?2 - P? // = 0
P? // = (mp2-m?2-m?2)c4P?/2 (P?2c2 - E?2 )
= - (mp2-m?2-m?2)P?/2m?2
目录 m
= 1116 MeV/c2,m?= 140 MeV/c2，
mp = 938 MeV/c2,E? max = 422.3 MeV
P? =mc = 1.667?1116?0.8 = 1488.3 MeV/c
E?=m?c2 = 1.667?1116 = 1860.4 MeV
P? // = - (mp2-m?2-m?2)P?/2m?2
= -( 9382-11162-1402)?1488.3/2?11162
= 230.2 MeV/c
P2max=[P?P?// -(mp2-m?2-m?2)c2/2]2c2/E?2
- P? //2- m?2c2
=[1488.3?230.2-(9382-11162-1402)/2]2/1860.42
- 230.22 - 1402
= 10171.7 (MeV/c)2
P max = 100.9 MeV/c
目录 补充题 1,光子的频率为 υ时，其能量为 hυ，
试求其质量、动量和动能。
解：已知 E = hυ，光子速度 v = c 。
(1)? v = c 2 P / E
P = v E / c 2
= c E / c 2
= E / c
P = hυ/c
即,P = h /?
目录
(2) m = E / c 2 = hυ/c 2
E2 = Eo2 + p2c2
Eo2 = E2 - p2c2
= E2 - ( E / c )2 c2
= 0
即,m o = Eo / c 2 = 0
光子静质量为零
(3)? E = EK + E o
EK = E - E o = E = hυ
目录补充题 2,试讨论光子的吸收和发射
(1) 质量为 mo 静止原子核 ( 或原子 )，受到能量为 E 的光子撞击、原子核 (或原子 )
将光子的能量全部吸收，则此合并系统的速度 ( 反冲速度 ) 以及静止质量各为多少?
(2) 静止质量为 Mo 的静止原子发出能量为
E 的光子，则发射光子后原子的静止质量为多大?
目录 解,1,原子,m
o,P1 = 0,E1 = moc2
光子,0,P2 = E / c,E2 = E
A + h A’
动量守恒,0 + E / c = m’v (1)
能量守恒,moc2 + E = m’c2 (2)
(1)? (2)/c? v /c = E / ( moc2 + E )
由 (2)式得,m’ = mo + E / c2
mo’ = m’ ( 1 - v2 / c2 )1/2
= ( mo + E / c )[ 1 - E2/(moc2 + E )2 ]1/2
= [ mo (mo + 2E / c2 ) ]1/2
= mo ( 1 + 2E / moc2 )1/2
目录
2,A? A” + h?
动量,0 P” E / c
能量,moc2 E” E
动量守恒,0 = P” + E / c
能量守恒,moc2 = E” + E
P” = - E / c
E” = moc2 - E
目录
P” = - E / c,E” = moc2 - E
E”2 = E”o 2 + P”2c2
E”o = ( E”2 - P”2c2 )1/2
= [ ( moc2 - E )2 - E2 ]1/2
= [ moc2 ( moc2 - 2E ) ]1/2
= moc2 ( 1 - 2E / moc2 )1/2
m”o = mo ( 1 - 2E / moc2 )1/2
目录力学,4-1,4-2,4-4,4-7,4-8，
4-11,4-14,4-29,4-31，
4-33,4-37,4-39。
第四章 角动量守恒 刚体转动目录
4-1 一质量为 m 的质点自由降落，在某时刻具有速度 v,此时它相对于 A,B,C 三参考点的距离分别为 d1,d2,d3 。 求,(1) 质点对三个点的角动量； (2) 作用在质点上的重力对三个点的力矩。
解,(1) LA = d1? mv,方向?,LA = mvd1 ；
LB = d2? mv,方向?，
LB = mvd2 sin(? + 90o) = mvd1 ；
LC = d3? mv = 0 。
(2) MA = d1? mg,方向?，
MA = mg d1
MB = d2? mg,方向?，
MB = mgd2 sin(? + 90o) = mgd1 ；
MC = d3? mg = 0 。
d1
d2
d3
v
mg
A
B C?
m
目录 4-2 一质量为 m 的粒子位于 ( x,y )处，速度为 v
= vx i + vy j，并受到一个沿 - x 方向的力 f,求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。
解,r = x i + y j,v= vx i + vy j,f = - f i + 0 j。
i j k
L = r? mv = m x y 0 = m ( x vy - y vx ) k
vx vy 0
i j k
M = r? f = x y 0 = y f k
-f 0 0
目录 4-4 圆锥摆的中央支柱是一个中空的管子，系摆锤的线穿过它，我们可将它逐渐拉短。设摆长为
l1 时的线速度为 v1，将摆长拉到 l2 时，摆锤的速度 v2 为多少？圆锥的顶角有什么变化？
解：质点的合力 F 沿 - r 方向，为向心力，故质点对支柱的角动量守恒，即：
L1 = L2? r1 v1 = r2 v2
v2 = r1 v1 / r2
= v1 l1 sin?1 / l2 sin?2
受力分析,T2 cos?2 = mg
T2 sin?2 = mv22/r2
tg?2 = v22/gr2 = v23/gr1v1 = v23/恒量
1
2 mg
mg
T2
T1
r2
r1
目录 4-7 两质点的质量分别为 m
1,m2 ( m1 > m2 )，拴在一根不可伸长的绳子的两端，以角速度? 在光滑水平桌面上旋转。它们之中哪个对质心的角动量最大？角动量之比为多少？
m2 m1
C l1l2
解,l1 = m2l /(m1+ m2 )
l2 = m1l /(m1+ m2 )
LC1 = m1 l1 v1 = m1 l12?
= m1 m22 l 2? /( m1 + m2 )2
LC2 = m2 l2 v2 = m2 l22?
= m2 m12 l 2? /( m1 + m2 )2
因为 m1 > m2,所以 LC2 > LC1 。
角动量之比,LC2 / LC1 = m1 / m2
目录 4-8 在上题中，若起初按住 不动，让 m
1 绕着它以角速度旋转。然后突然将 m2 放开，求以后此系统质心的运动，绕质心的角速度和绳中的张力。
设绳长为 l 。
解：动量守恒,m1 l? = (m1+ m2) vC
vC = m1 l? / (m1+ m2)
角动量守恒：设 m1 和 m2 绕质心的角速度为?’
m1? l 2 = (m1+ m2) vC l2 + ( m1 l1 2 + m2 l2 2 )?’
= m1 l? l2 + m1 l1?’l
l =? l2 +?’l1
l1 =?’l1
’ =?
m2 m1
C l1l2
vC
目录 l
1 = m2 l /( m1 + m2 ),l2 = m1 l /( m1 + m2 )。
绕质心的角动量：
LC = ( m1 l12 + m2 l22 )? = m1 l1 l?
= [m1 m2 /( m1 + m2 )] l 2? = l 2
其中? = m1 m2 /( m1 + m2 ) 称为折合质量。
绳中的张力：
T1 = m1 l1?2 = [m1 m2 /( m1 + m2 )]?2 l
=2 l
T2 = m2 l2?2 = [m1 m2 /( m1 + m2 )]?2 l
=2 l = T1
目录 4-11 图中 O 为有心力场的力心，排斥力与距离平方成反比,f = k/r2 ( k为常数 )。 (1) 求此力场的势能； (2) 一质量为 m 的粒子以速度 vo、瞄准距离 b 从远处入射，求它能达到最近路离和此时刻的速度。
vo
v
O
bm r
解,(1) Ep(r) =?r? k/r2 dr = k / r [令 Ep(?) = 0 ]
(2) 角动量守恒：
mvob = mvrsin?
v = vob/rsin?
能量 守恒：
mvo2 / 2 = mv2 / 2 + k / r
消除 v 得,mvo2 / 2 = mvo2 b2/2r2 sin2?+ k / r
r2 - 2kr/mvo2 - b2/sin2? = 0
目录
r2 - 2kr/mvo2 - b2/sin2? = 0
r = k/mvo2 + [ (k/mvo2)2 + b2/sin2? ]1/2 (“-”舍去 )
当? = 90o 时,sin2? =1 为最大,r 为最小。
rmin = k/mvo2 + [ (k/mvo2)2 + b2 ]1/2
= { k + [ k2 + m2vo2 b2 ]1/2 } /mvo2
v = vob/rminsin?= vob/rmin
= mvo3 b / { k + [ k2 + m2vo2 b2 ]1/2 }
目录 4-14 一根质量可忽略的细杆，长度为 l,两端各连结一质量为 m 的质点，静止的放在光滑的水平桌面上。另一相同质量的质点以速度 vo 沿 45o
角与其中一质点作弹性碰撞。求碰后杆的角速度。
m
vo
m
m
45o
碰撞前
m
v1m
m
45o
碰撞后
vC
解：设碰后入射质点的速度为 v1,细杆质心速度为 vC,杆绕质心的角速度为? 。
动量 守恒,m vo = m v1 + 2m vC
对质心的角 动量 守恒,IC = 2m( l /2 )2 = m l 2/ 2
mvo l sin45o /2= mv1 l sin45o /2 + IC?
目录
IC = 2m( l /2 )2 = m l 2/ 2
动量 守恒,m vo = m v1 + 2m vC
角 动量 守恒,mvo l sin45o /2= mv1 l sin45o /2 + IC?
动能 守恒,mvo2/2= mv12 /2 + mvC2 + IC?2 /2
vC = 4 vo / 7
v1 = - vo / 7
= 0.808 vo / l
目录 4-29 半径为 r 的小球沿斜面滚入半径为 R 的竖直环形轨道里。求小球到最高点时至少需要具备多大的速度才不致脱轨。若小球在轨道上只滚不滑，需要在斜面上多高处自由释放，它才能获得此速度？
解,N = Mv高 2/(R-r) - mg? 0? v高? [g(R-r)]1/2
能量 守恒,mghmin= mg(R-2r)+mv高 2/2 + IC? 2/2
v高 = r? =[g(R-r)]1/2
IC = 2mr2/5
hmin= (27R-17r)/10
r
h
v高
mg
R
N
目录 4-31 一质量为 m、半径为 R 的圆筒垂直于行驶方向横躺在载重汽车的粗糙地板上，其间摩擦系数为?，若汽车以匀加速度? 起动，问,(1)? 满足什么条件时圆筒作无滑滚动？ (2) 此时圆筒质心的加速度?C和角加速度? 为何？
R?C
mf?
解,(1) 以圆筒质心为参照系
f - m? = - m?C = - m R?
R f = IC? = mR2?
f = m? /2 mg
2? g
(2) f - m? = - m?CC =? - f /m =? -? /2 =? /2
=?C / R =?/ 2R
目录 4-33 足球质量为 m，半径为 R，在地面上作无滑滚动，球心速度为 vo 。球与光滑墙壁做完全弹性碰撞后怎样运动？
vo
o
A vc
f
t=0
P
解：设足球原转速为?o,vo = R?o,对 A 点的角动量守恒，故 碰后足球的 角速度仍为?o 。因 墙的质量 >> m,故 碰后足球的质心 速度 vc = - vo 。
设此时为 t = 0,vP = vo + R?o = 2vo,足球一边向前滑动，一边倒着转动,f = -?mg 。
目录
vo
o
A vc
f
t=0
P
vc=vo /3
=0 t1
P
-?mg = mac = m dvc /dt
-?mgR = (2mR2/3) d? /dt
vc = vo -? gt
=?o - 3? gt /2R
讨论：
(1) 记 t1 = 2vo / 3? g，当 t < t1 时，球还在倒转；
当 t = t1 时,?= 0,vc = vo - 2vo /3 = vo /3，
vP = vc + R? = vo -? gt1 +R?o - 3? gt1 /2 = vo /3，球不转，只是滑动；
当 t > t1 时,?< 0，在摩擦力矩作用下,足球按顺时 转动。
目录
vo
o
A vc
f
t=0
P
vc=vo /3
=0 t1
P
vc=vo /5
=?o /5 t2
P
vc = vo -? gt,?=?o - 3? gt /2R
(2) vP = vc + R? = vo -? gt2 + R?o - 3? gt2 /2
= 2vo - 5? gt2 /2 = 0，
亦即 t2 = 4vo /5? g 时，球只滚不滑，此时,vc = vo
-? gt2 = vo /5,? =?o - 3? gt2 /2R = -?o /5 < 0，若不计滚动摩擦，此后,vc,? 保持不变。
(3) 令 t3 = vo /? g,此时 vc= 0,?= -?o /2，这种情况不会出现，因为在 t = t3前后，球已是纯滚动了。
目录 4-37 (1) 沿水平方向击台球时，应在球心上方多高 h 处击球才能保证球开始无滑滚动？
(2) 若台球与桌面间的摩擦系数为?,试分析朝着中心击球的后果。
hvC
F
f
O
解,(1) F - f = maC = mR?
F h + f h = IC? = ( 2mR2 /5 )?
f = F( 2 - 5h /R ) / 7 mg
h? R ( 2 - 7? mg /F ) / 5
考虑到? 可以很小，若在 h = 2R / 5 处击球，
肯定能保证台球一开始就作无滑滚动。
目录 F - f = ma
C
f = F( 2 - 5h /R ) / 7 mg
(2) 当 h = 0，无滑滚动的要求给出 f = 2F / 7mg
2F / 7mg,当 f =? mg 时，台球只是滚动，
没有滑动，此时 aC = F / m -? g ；
当? < 2F / 7mg 时,f = 2F/7 >? mg，则先出现的是滑动。
目录
a b
m g
f
O
N
4-39 一高为 b，长为 a 的匀质木箱，放在倾角为
的斜面上，两者之间的摩擦系数为?，逐渐加大?,木箱何时倾倒，或下滑？
解：当 木箱刚好可以倾倒时，
但对 O 点的力矩为：
mgb sin? / 2 - mga cos? /2 > 0
> arc tg (a/b) =?1
a b
m g
f
O
N
若 木箱不能倾倒只能滑动，此时有：
mg sin? -? N = ma > 0
N - mg cos? = 0
> arc tg? =?2
目录?
1 = arc tg (a/b),?2 = arc tg?
讨论 倾倒或滑动的次序：
1,当?>a/b 时,?1<?2，则?在到达?1时发生 倾倒。
2,当?<a/b 时,?1>?2，则?在到达?2时发生 滑动。
3,当?=a/b 时,?1=?2，则? 在到达?1=?2 时 滑动和倾倒同时 发生。
目录力学,6-1,6-3,6-5,6-7,6-9,6-21；
6-26,6-27,6-33,6-35,6-40。
第六章 振动和波目录 6-1 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为 12.0 cm，
周期为 2.0 s，在 t = 0 时物体位于 6.0 cm 处且向正 x 方向运动。求 (1) 初位相； (2) t = 0.5 s 时，
物体的位置、速度和加速度； (3) 在 x = - 0.6 cm
处且向负 x 方向运动时，物体的速度和加速度。
解,(1) A=12.0 cm,T=2 s,?= 2? / T =? rad/s
xo
t=0
6.0-6.0
t=1
(3) x = 0.6 cm? t = 1 s，
v = - 32.6 cm/s，
a = 59.2 cm/s2
(2) t = 0.5 s,x = 10.4 cm,
v = - 18.8 cm/s
a = - 102.6 cm/s2
t = 0,x = 6.0 cm? 初位相,?= -?/3
振动方程,x = 12.0 cos(? t -?/3 ) cm
目录 6-2 一简谐振动为 x = cos(? t + a ),试作出初相位 分别为 0,?/3,?/2,-?/3 时的 x - t 图。
t
x
o 21 3
a = 0
t
x
o 21 3
a =?/3
t
x
o 21 3
a =?/2
t
x
o 21 3
a = -?/3
目录解：设进入 U 形管的质量为 m,比重为?,管的截面积为 s,初始左右液面高度之差为 2h,t
时刻左右液面高度之差为 2x,左右液面压力差为 2xs?g,整个 液体在此作用下进行振荡。
应用动量定理,- 2xs?g = md2x /dt2
d2x /dt2 + ( 2s?g /m) x = 0
液柱的振荡是简谐运动
= ( 2s?g /m)1/2
T = 2? /?
=? ( 2m/s?g )1/2
2h2x
x
o
6-5 把液体灌入 U 形管内，液柱的振荡是简谐运动吗？周期为多少？
目录 6-7 一竖直弹簧下挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后撒手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置在初始位置下方 10.0
cm 处。求,(1) 振动频率；
b
x
o
lo
t = 0
b
解,mg = kb? b = mg / k = ( k /m )1/2
初始条件,t = 0,xo = - b,vo = 0。
A = b = mg / k,? =?。
2b = 10.0 cm? b = 5.0 cm
k = mg / b
= ( k /m )1/2 = ( g / b )1/2
= ( 9.8 / 0.05 )1/2 = 14 rad/s
v =? / 2? = 14 / 2? = 2.33 Hz
振动方程,x = 5 cos ( 14 t +? ) cm
目录 (2) 物体在初始位置下方 8.0 cm 处的速率大小；
x = 8 - 5 = 5 cos ( 14 t +? )
cos ( 14 t +? ) = 0.6? sin ( 14 t +? ) = - 0.8
vx =3 cm = - 14?5 sin ( 14 t +? ) = 56 cm/s
x
o
lo
t = 0
8.0 cm
(3) 若将一个 300 g 的砝码系在该物体上，系统振动频率就变为原来频率的一半，则原物体的质量为多少？
m = 300 g,m’= m+?m
’ = ( k /m’ )1/2 = ( k /m )1/2 / 2
m =?m / 3 = 300 /3 =100 g
(4)原物体与砝码系在一起时，
其新的平衡位置在何处？
b’ =(m+?m)g / k = 4b = 20 cm
目录 6-9 在劲度系数为 k 的弹簧下悬挂一托盘，一质量为 m 的重物自高度 h 处落到盘中作完全非弹性碰撞。已知盘子原来静止，质量为 M，求盘子振动的振幅和初相位（以碰后为 t = 0 时刻）。
解：自由落体,vm = (2gh)1/2
与托盘作完全非弹性碰撞后的速度为,vM+m = m(2gh)1/2/(M+m)
又,xM =Mg/k,xm=mg/k。
(M+m)d2x/dt2 = (M+m)g -k(x+ xM + xm) = - kx
d2x/dt2 + [k/(M+m)] x = 0? 作 简谐振动
= [k/(M+m)]1/2
x
o
lo
t = 0
h
xm
xM
目录
vM+m = m(2gh)1/2/(M+m)
xm= mg/k,?= [k/(M+m)]1/2
t = 0,xo = - xm,vo = vM+m
x
o
lo
t = 0
h
xm
xM
A = [1+2kh/(M+m)g]1/2mg/k
=? + tg-1[2kh/(M+m)g]1/2
- xm
xo
目录 6-21 设有两个同方向同频率的 简谐振动
x1 = Acos (? t +? /4 ),x1 = 31/2Acos (? t +3? /4 )。
求合成振动的振幅和初相位。
A1A2
A合解,A合 = [ A2 + 3A2 + 2A 31/2Acos ( 3? /4 -? /4 )]1/2
= [ A2 + 3A2 ]1/2 = 2A
tg? = ( sin?/4 + 31/2sin3?/4 )/(cos?/4 + 31/2cos3?/4 )
= 3.732
= 180o - tg-1 3.732
= 180o - 75o
= 105o
目录 6-26 本题图为 t = 0 时刻平面简谐波的形，波朝负 x 方向传播，波速为 v = 330 m/s。试写出波函数 u(x,t) 的表达式。
x
u
o
0.1 m
v
0.001m
解,?= 0.2 m,A = 0.001 m，
= 2? v/? =3300? rad/s,?=? / 2。
u(x,t) = 0.001 cos[ 3300?( t + x/330 ) +? / 2] (m)
= 0.001 cos[ 3300?t + 10? x +? / 2] (m)
uo
/2
o 点振动目录 6-27 设有一维简谐波
u(x,t) = 2.0 cos[2?( t /0.010 - x / 30 )]
式中 x,u 的单位为 cm,t 的单位为 s。求振幅、
波长、频率、波速，以及 x = 10 cm 处振动的初相位。
解：波动方程,u(x,t) = A cos[2?( t / T - x /? )]
A = 2.0 cm,? = 30 cm,T = 0.010 s,v = 100 Hz，
v = v? = 100? 30 = 3000 cm / s。
当 x = 10 cm 时，
u(x,t) = 2.0 cos[2?( t /0.010 - 10 / 30 )]
= 2.0 cos[ 200? t - 2? /3 )] (cm)
初相位? = - 2? /3
目录 6-33 本题图中所示为某一瞬时入射波的波形，在固定端全反射。试画出此时刻反射波的波形。
X
解：反射波（向左）在固定端有 180o 的相位跃变
（设振幅无损失），故其波形如右图所示。
目录 6-35 设入射波为 u( x,t ) = Acos[2?( t/T + x/? )]。
在 x = 0 处发生反 射,反 射点为一自由端。
求 (1)反 射波的表达式； (2)合成的驻波的表达式，
并说明哪里是波腹，哪里是波节。
解,(1) 反射点是自由端，所以在 x = 0 处 反射波与入射波相位相同，且振幅为 A,故反射波的方程式为,u反 ( x,t ) = Acos[2? ( t /T - x/? ) ]
(2) u驻 (x,t)=Acos[2?(t/T+x/?)]+Acos[2?(t/T-x/?)]
=2Acos(2?x/?)cos(2?t/T)
= 2?(t/T+x/?) - 2?(t/T-x/?) = 4?x/? = (2k+1)?
波节,x = (2k+1)?/4 （ k = 0,1,2… ）
= 4?x/? = 2k?
波腹,x = k? /2 （ k = 0,1,2… ）
目录 6-40 一音叉以 2.5 m/s 的速率接近墙壁，观察者在音叉后面听到拍音的频率为 3 Hz，求音叉振动的频率 v。已知声速 340 m/s。
v’’
v’’
v’?
u
解,V = 340 m/s,u = 2.5 m/s,v拍 = v’’- v’= 3 Hz。
v’ = Vv / ( V + u ),v’’ = Vv / ( V - u )。
v拍 = v’’- v’ = Vv / ( V - u ) - Vv / ( V + u )
= 2Vu v / ( V2 - u2 )
v = ( V2 - u2 ) v拍 / 2Vu
= ( 3402-2.52 )? 3/2? 340? 2.5
= 204 Hz
目录第七章 万有引力
7-1,7-2,7-3,7-4
目录 7 -1 大约 200 年前，法国数学家兼天文学家拉普拉斯于 1796 年曾预言：“一个密度如地球而直径为太阳 250 倍的发光恒星，由于其引力作用，将不容许任何光线离开它，
试证明之。
已知：太阳的半径是地球的 109 倍地球的逃逸速度 v逃 =11.2? 103 m / s
解：设光子能量为 E，相应质量为 m =E/c2。
光线不能离开恒星的条件为：
GmMS / RS = E
目录 M
太 = 109M地,v逃 =11.2× 103 m / s,m =E /c2,
GmMS / RS = E (1)
MS =? 4?RS3 / 3,M地 =? 4?R地 3 / 3
MS = M地 RS3 / R地 3
代入 (1)式得：
G (E /c2 )( M地 RS3 / R地 3 ) / RS = E
(RS / R地 ) 2 = c2 /(GM地 / R地 ) = c2/v逃 2
RS / R地 = c / v逃
RS = ( c / v逃 )R地 = ( c / v逃 ) R太 / 109
RS = ( 3? 108? 11.2? 103?109 ) R太
RS? 250 R太目录 7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
目录 7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
1
目录 7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R ) E
g
1
解：当 r > R,圆柱体外，
如图作高斯面：
g高 =?g侧 +?g两底
=?g侧
∮ Eg?dS =?侧 Eg?dS
= - 2?r l Eg
Σ(S内 ) mi =R2l
- 2?r l Eg = - 4? GR2l
Eg = 2?R2G? /r
目录 7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
目录 7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
E
g
目录 7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
1
E
g
解：当 r < R,圆柱体内，
如图作高斯面：
g高 =?g侧 +?g两底
=?g侧
∮ Eg?dS =?侧 Eg?dS
= - 2?r l Eg
Σ(S内 ) mi =r2l
- 2?r l Eg = - 4? Gr2l
Eg = 2?r G?
目录
7 -3 假定沿地球某一直径打通一个隧道，
(a) 证明在距地心 r 处质量 m 上的受力为：
F = - 4? G? m r / 3
证,?Eg = - GMr / R3,M =? 4? R3 / 3
Eg = - G (? 4? R3 / 3 ) r / R3
= - 4? G? r / 3
F = m Eg = - 4? G? m r / 3
r
m
o
FR
目录(b)证明 m 的运动是简诣振动，周期约 84分钟，忽略物体的摩擦力。
已知：地球的平均密度 ρ= 5.5? 103 kg / m3
G = 6.67? 10 -11 N m2 / kg2
r
m
o
FR
证,? F = - 4?G?mr/3
牛顿第二定律：
F = m d2r/dt2
m d2r/dt2 = - 4?G?mr/3
d2r/dt2 +(4?G?/3) r = 0
= (4? G? / 3) 1/2
周期 T = 2? /? = 2? /( 4? G? / 3 ) 1/2
= 5067 秒钟? 84 分 钟目录 (c)若隧道不沿地球直径，而是地面上任意两点的直线开挖，证明 m 的运动也是简诣振动，而且振荡周期完全相同。
证,? F = - 4?G?mr/3
Fx = - 4?G?mrsin?/3
= - 4?G?mx /3
Fx = m d2x /dt2
m d2x /dt2 = - 4?G?mx /3
d2x /dt2 +(4?G?/3) x = 0
’ = (4? G? / 3) 1/2 =?
周期 T’ = T
r m
R
F
o
Fx x
x
目录 7 -4 证明将物体象洋葱似地一层层加上去形成一个半径为 R 的球体 ( 球的密度保持一定 )时所需要的能量为 E = - 3 GM2 / 5R，
其中 M 是球体的总质量。
证：设球体半径为 r 时，
质量为 m =? 4?r3/3 。
引力势分布为：
Vg = - Gm /r’ ( r’ > r )
当半径为 r，厚度为 dr 的球壳 ( 其质量为 dm =? 4?r2dr ) 从无穷远加到 半径为
r 的球体上时，外力作微功为：
dA外 = dm [ Vg (r) - Vg (?) ]
r
dr
目录
m =? 4?r3/3,dm =? 4?r2dr
Vg = - Gm /r’ ( r’ > r )
dA外 = dm [ Vg (r) - Vg (?) ]
=? 4?r2dr ( - Gm /r - 0 )= - G? m 4?rdr
=? (? 4? r3/3) 4?rdr = 3G(? 4? /3)2 r4dr
A外 =?oR3 G (? 4? /3)2 r4dr
= 3 G (? 4? /3)2 R5/ 5
= 3 G (? 4?R3/3)2 / 5R
= 3 G M2 / 5R
即所需能量为,E = 3 G M2 / 5R
目录力学,1-1,1-2,1-3。
补充题：
1,一物体沿 x 轴运动，其加速度与位置的关系为 a = 2 + 6x，物体在 x = 0 处的速度为 10 m/s，
求物体速度与位置的关系。
2,一石子从空中静止下落，已知加速度
a = A - B v，式中 A,B 为常量，试求石子的速度随时间变化规律和运动方程。
3,一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反、大小与速率平方成正比，即 dv/dt = - k v2，式中 k 为常数，
试求速度与路程之间的关系 (设发动机关闭时电艇速度为 vo)
第一章 质点运动学目录 思考题
1、已知一质点的加速度为时间函数，即
a = a(t)，在 to 时刻速度为 vo,试求任一时刻 t 时质点的速度 v(t)
2、已知一质点的加速度为位置矢量的函数，
即 a = a (r)。如果质点在 ro 处的速率为 vo，
试求质点沿 路径 L 到达 r
目录 力学,1-13,1-14
补充题：
4,5 m 长的梯子斜靠在墙上，
最初上端离地面为 4 m。设以 2 m/s 的速度匀速向下滑，
求下端的运动方程和速度。
5,一辆汽车以 v1 速度在雨中行使，雨滴落下的速度与竖直方向成角?，问在什么条件下车后的一捆行李不会被淋湿？设行李伸出车外的长度为 l，距车顶的距离为 h。
A
B
4
O
Y(m)
L
X (m)
l
h
v1?v2
目录
1-1 已知质点沿轴作周期性运动，其运动方程为
x = 3 sin?t/6，求 t = 0,3,6,9,12 s时的质点的位移、速度和加速度。 ( 设 x 单位为 m )
解：位移?x = x(t) - x(0) = 3 sin?t/6
速度 v = dx/dt = (?/2) cos?t/6
加速度 a = dv/dt = - (?2/12) sin?t/6
t(s)?x(m) v(m/s) a(m/s2)
0 0?/2 0
3 3 0 -?2/12
6 0 -?/2 0
9 -3 0?2/12
12 0?/2 0
目录 1-2 已知质点位矢随时间变化的函数形式为：
)j ts i ni t( c osRr
求 (1) 质点轨迹,(2) 速度和加速度，并证明其加速度总指向一点。
解,(1) x = R cos?t,y = R sin?t
质点轨迹方程,x2 + y2 = R2，是圆心在圆点的圆。
(2)速度,vx = dx/dt = -? R sin?t
vy = dy/dt =? R cos?t
)j tc osi ts i n(Rv
加速度,ax = dvx /dt = -?2 R cos?t
ay = dvy /dt = -?2 R sin?t
r)j ts i ni t( c osRa 22
目录 1-3 在一定单位制下质点位矢随时间变化的函数形式为：
j )3t2(i t4r 2
求 (1) 质点轨迹,(2) 从 t = 0 到 t = 1 的位移，
(3) t = 0 和 t = 1 两时刻的速度和加速度。
解,(1) x = 4t2,y = 2t + 3
质点轨迹方程,x= ( y - 3)2，故 x > 0,y > 3,质点轨迹为抛物线的一段。
j 2i 4)0(r-( 1 )rr
,j 5i 4( 1 )r,j 3)0(r
(2)
(3)
i 8)1(a,j 2i 8)1(v
i 8)0(a,j 2)0(v,i 8a,j 2i t8v
目录 1-13 一弹性球自静止竖直地落在斜面上的 A 点，
下落高度 h = 0.20 m,斜面与水平夹角? = 30o，
问弹性球第二次碰到斜面的位置 B 距 A多远。设弹性球与斜面碰撞前后速度数值相等，碰撞时入射角等于反射角。
B
A
O?
h
y
x
g?
vo
解,vo = ( 2gh )1/2,取 xy 坐标轴如图。
vx = dx / dt = vo sin30o + g sin30o t
= 0.5 ( vo + g t )
vy = dy / dt = vo cos30o - g cos30o t
= 0.866 ( vo - g t )
x = 0.5 ( vo t + g t2 / 2 )
y = 0.866 ( vo t - g t2 / 2 ) ； y = 0? t = 2vo / g?
x = 0.5 ( vo? 2vo /g + g? ( 2vo /g ) 2 / 2 ) = 2vo2 / g
= 4 h = 4? 0.20 = 0.80 m
目录 1-14 一物体从静止开始作圆周运动，切向加速度，
at = 3.00 m / s2,圆的半径 R = 300 m，问经过多少时间物体的加速度 a 恰与半径成 45o 夹角。
a
at
o
R
解,?= 45o,
at = dv / dt? dv = at dt? v = at t
an = v2 / R = at2 t2 / R
根据题意,at = an = at2 t2 / R
t = ( R / at )1/2 = ( 300 / 3.00)1/2
= 10 s
目录补充题 1,一物体沿 x 轴运动，其加速度与位置的关系为 a = 2 + 6x，物体在 x = 0 处的速度为 10 m/s，求物体速度与位置的关系。
解,a = dv/dt = v dv/dx = 2+6x
v dv = ( 2+6x ) dx
vov v dv =?ox ( 2+6x ) dx
v2 / 2 - vo2 / 2 = 2x + 3x2
v2 = 6x2 + 4x + vo2
= 6x2 + 4x + 100 ( SI )
目录补充题 2,一石子从空中静止下落，已知加速度
a = A - B v，式中 A,B 为常量，试求石子的速度随时间变化规律和运动方程。
解,a = dv/dt = A - B v
dv /(A - B v) = dt
vov dv /(A - B v) =?ot dt
ln( 1 - B v/A) = - B t
石子的速度随时间变化规律,v = A( 1 - e -B t ) / B
石子的运动方程,x =?ot v dt
=?ot A( 1 - e -B t ) / B dt
= A t / B + A( e -B t - 1 ) / B2
目录 补充题 3,一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反、大小与速率平方成正比，即 dv/dt = - k v2，式中 k 为常数，试求速度与路程之间的关系 (设发动机关闭时电艇速度为 vo )。
解：设 x 的原点为关闭发动机时的位置，
dv/dt = v dv/dx = - kv2
整理得,dv/v = - k dx
两边积分,∫vov dv/v = -∫ｏ x k dx
得,ln（ v/vo） = - k x
因此,v = voe - kx = voe - ks
( 路程为 s = x - 0 = x )
解：设某一时刻梯子的位置如图由几何关系得,x2 = L 2 - y2
因为 A点匀速下滑，所以
y = yo -vot = 4 - 2t
故,x2 =L2 - y2 = 52 -（ 4 - 2t） 2
（ 1）运动方程,x2 = 9 + 16t - 4t2 (SI)
（ 2）两边对时间求导,2xdx/dt = 16 - 8t
vx = dx/dt =（ 8 - 4t） /x
=（ 8 - 4t） /（ 9 + 16t - 4t2） 1/2 (SI)
x
A
B
y
O
Y
L
X
补充题 4,5m长的梯子斜靠在墙上，最初上端离地面为 4m。设以 2m/s 的速度匀速向下滑，求下端的运动方程和速度 。
目录 补充题 5,一辆汽车以 v
1 速度在雨中行使，雨滴落下的速度与竖直方向成角?，问在什么条件下车后的一捆行李不会被淋湿？设行李伸出车外的长度为 l，距车顶的距离为 h。
l
h
v1?v2
v1
v2v雨车
l
h?
v雨车 = v2 - v1
tg? = v2 cos? /( v1 - v2 sin? )tg? = h / l
行李不被淋湿的条件, tg tg?
h / l? v2 cos? /( v1 - v2 sin? )
目录 思考题
1、已知一质点的加速度为时间函数，即
a = a(t)，在 to 时刻速度为 vo,试求任一时刻 t 时质点的速度 v(t)。
解,a = dv/dt = a(t)
dv = a(t) dt
vov dv =?tot a(t) dt
v - vo =?tot a(t) dt
v(t) = vo +?tot a(t) dt
目录 2、已知一质点的加速度为位置矢量的函数，
即 a = a (r)。如果质点在 ro 处的速率为 vo，
试求质点沿 路径 L 到达 r 处的速率。
解,a = dv/dt = a (r)
dv · dr/dt = a (r) · dr
v · dv = a (r) · dr
v · dv = vx dvx + vydvy + vz dvz
= ( dvx2 + dvy2 + dvz2 ) / 2
= d( vx2 + vy2 + vz2 ) / 2 = d ( v2 ) / 2
= v dv
vov v dv =?L,ro? r a (r) · dr
v2 / 2 - vo2 / 2 =?L,ro? r a (r) · dr
目录力学,8-2,8-3,8-6,8-8，
补充题：
1,一列静长为 lo = 0.5 km 的火车，以 v =
100 km /h 的速度在地面上匀速前进。在地面上的观察者看到两个闪电同时击中火车头尾，在火车上的观察者测出这两个闪电的时间差是多少? 先出中车头还是车尾?
2,牛朗星与地球相距约 16 光年，一宇航员准备用 4 年时间抵达牛朗星，问宇宙飞船将以多大的速度飞行?
第八章 相对论（时空）
目录 3,甲、乙、丙三飞船静止时长度相同都是
lo，现在分别在三条平行线上沿同方向匀速运动，甲观测到乙的长度为 lo / 2，乙观测到丙的长度也为 lo /2，甲观测到丙比乙快，
则甲观测到丙的长度为多少?
目录 8-2 1952年杜宾等人报导，把?+ 介子加速到相对于实验室的速度为 1/5 c 时，它在自身静止的参照系内的平均寿命为 2.5? 10-8 s,它在实验室参照系内的平均寿命为多少？通过的平均距离为多少？
解：实验室参照系内的平均寿命?t’
t’ =?t/( 1- u2/c2 )1/2
= 2.5? 10-8 s /[1-(1/5 )2]1/2
= 2.55? 10-8 s
实验室参照系内通过的平均距离 S
S = u?t’ = 1/5 c? 2.55? 10-8
= 1.53 m
目录 8-3 在惯性系 K 中观测到两事件发生在同一地点的，时间先后相差 2 秒，在另一相对于 K 运动的惯性系 K’ 中观测到两事件之间的时间间隔为 3 秒，求 K’系相对于 K 系的速率和其中得两事件之间的空间距离。
解：已知?x = 0,?t = 2 s,?t’ = 3 s
t’= (?t - u?x/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2
=?t/( 1- u2/c2 )1/2
u = c [ 1- (?t/?t’)2 ]1/2 = c [ 1- ( 2 / 3)2 ]1/2
= 0.745 c
x’ = u?t’= 0.745 c? 3
= 6.71? 108 m
目录 8-6 斜放的直尺以速度 V 相对于惯性系 K 沿 x 方向运动，它的固有长度为 lo，在与之共动的惯性系 K’ 中它与 x’ 轴的夹角为?’ 。试证明：对于
K系的观察者来说，其长度 l 和与 x 轴的夹角?
分别为
22
2222
o
c/V-1
'tg
t g
's i n)'c osc/V1(
l l
y
’
lo
l
x’
y’
xo o’
惯性系
K
惯性系
K’
目录解,惯性系 K’ x’ = lo cos?’
y’ = lo sin?’
惯性系 K x = ( 1 - V2 / c2 )1/2 lo cos?’
y = lo sin?’
y
’
lo
l
x’
y’
xo o’
惯性系
K
惯性系
K’
's i n)'c o sc/V1(
)'s i n()'c o sc/V1(
yx
2222
o
2
o
2
o
22
22
l
ll
l
c/V-1
'tg
'c o sc/V-1
's in
x
y
t g
22
o
22
o
l
l
目录 8-8 一原子核以 0.5 c 的速率离开某观察者运动。
原子核在它的运动方向上向后发射一光子，向前发射一电子，电子相对于核的速度为 0.8 c，对于静止的观察者，电子和光子各具有多大的速度？
解：对于静止的观察者，电子具有的速度为
ve = ( ve’ + u ) / ( 1 + u ve’ / c2 )
= ( 0.8 c + 0.5 c ) / ( 1 + 0.5 c? 0.8 c / c2 )
= 1.3 c / ( 1 + 0.4 ) = 0.9286 c
对于静止的观察者，光子具有的速度为
v?= ( v?’ + u ) / ( 1 + u v? ’ / c2 )
= ( - c + 0.5 c ) / ( 1 - 0.5 c? c / c2 )
= - 0.5 c / 0.5 = - c
目录 补充题 1,一列静长为 l
0 = 0.5 km 的火车，以 v
= 100 km /h 的速度在地面上匀速前进。在地面上的观察者看到两个闪电同时击中火车头尾，在火车上的观察者测出这两个闪电的时间差是多少?
先出中车头还是车尾?
解：已知?x’=0.5 km,u =100 km/h,?t = 0 s
由 洛仑兹变换
t = (?t’ + u?x’/c2 ) /( 1- u2/c2 )1/2
得,?t’ = - u?x’/c2
= - ( 100000/3600 )?500/( 3?108 )2
= - 1.54? 10-13 s
因?t’ = t’头 - t’尾 < 0,故 先出中车头,
目录 补充题 2,牛朗星与地球相距约 16 光年，一宇航员准备用 4 年时间抵达牛朗星，问宇宙飞船将以多大的速度飞行?
解,方法 1,地球为 S,宇宙飞船为 S’系。
已知?x = 16cy,?t’ = 4 y
设 宇宙飞船速度为 u,则有?t =?x/u
t’ = (?t - u?x/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2
= (?x/u - u?x/c2 )/( 1- u2/c2 )1/2
=?x/u( 1- u2/c2 )1/2
得 ( c?t’/?x )(u/c) = ( 1- u2/c2 )1/2
两边平方,( c?t’/?x )2 u2/c2 = 1- u2/c2
整理,u = c /[ 1 + ( c?t’/?x )2 ]1/2
= c /[ 1 + ( 4c/16c )2 ]1/2= ( 16/17 )1/2 c
目录 方法 2,宇宙飞船为 S,地球为 S’系。
已知 Lo = 16cy,?t = 4 y
宇宙飞船测得牛朗星与地球相距为,
L = Lo ( 1- u2/c2 )1/2
则有 u?t = L= Lo ( 1- u2/c2 )1/2
→ u?t / Lo = ( 1- u2/c2 )1/2
→ u2 (?t /Lo)2 = 1- u2/c2
→ u2 (c?t /Lo)2 = c2 - u2
→ u2 [1+(c?t /Lo)2 ]= c2
→ u = c /[ 1 + ( c?t/Lo)2 ]1/2
= c /[ 1 + ( 4c/16c )2 ]1/2
= ( 16/17 )1/2 c
目录补充题 3.甲、乙、丙三飞船静止时长度相同都是
lo，现在分别在三条平行线上沿同方向匀速运动，
甲观测到乙的长度为 lo / 2，乙观测到丙的长度也为 lo /2，甲观测到丙比乙快，则甲观测到丙的长度为多少?
解：
2
2
c
u1 乙甲
2
oo ll c2
3u
乙甲丙快于乙）”（舍“同理,丙乙 c
2
3u
)c
2
3
u(0
)c
2
3
u(c
7
34
22 c
uu
1
uu
c
uu
1
uu
u
乙甲乙甲乙甲丙乙乙甲丙乙甲乙丙乙甲乙丙乙丙甲目录
c
7
34
uuu
丙甲乙甲丙甲?
)c
2
3
u(0
)c
2
3
u(c
7
34
u
乙甲乙甲丙甲
77
34
1
c
u
1
2
2
2
o
oo
l
lll?
丙甲目录力学,2-5,2-10,2-13,2-15,2-28,2-30。
第二章 动量守恒 质点动力学目录 2-5 质量 70 kg 的渔民站在小船上，设船和渔民的总质量为 200 kg 。若渔民向船头走了 4.0 m 后停止。试问：以岸为参考系，渔民走了多远？
解：设渔民相对岸的速度为 v渔民,相对船的速度为 u渔民,船相对岸的速度为 v船 。
则 v渔民 = u渔民 + v船? v船 = v渔民 - u渔民水平方向动量守恒：
m船 v船 + m渔民 v渔民 =m船 (v渔民 - u渔民 ) +m渔民 v渔民
=0
v渔民 = m船 u渔民 / ( m船 + m渔民 )
x =?ot v渔民 dt = [ m船 / ( m船 + m渔民 )]?ot u 渔民 / dt
= [ 130? 200 ]? 4.0 = 2.6 m
目录
2-10 求每分钟射出 240 发子弹的机枪平均反冲力，
假定每粒子弹的质量为 10 g，腔口速度为 900m/s.
解：设平均反冲力为 F平均
F平均 t =机枪动量变化 = 子弹动量变化
= 240 mv - 0 = 240 mv
F平均 = 240 mv / t
= 240? 10? 10 -3? 900? 60
= 36 N
目录 2-13 一宇宙飞船以恒速 v 在空间飞行，飞行过程中遇到一股微尘粒子流，后者以 dm/dt 的速率沉积在飞船上。尘粒在落到飞船之前的速度为 u,
方向与 v 相反，在时刻 t 飞船的总质量为 M(t),
试问：要保持飞船匀速，需多大的力 F？
v
飞 船 M(t) 微尘粒子流
u
解,飞船动量 尘粒 动量
t 时刻 M(t) v u dm
t + dt 时刻 [M(t)+dm] v
F = {[M(t)+dm] v-M(t) v - udm}/dt = (v - u) dm/dt
向前推力,F = ( v + u) dm/dt
目录
2-15 一质量为 m 的质点在 x-y 平面上运动，其位矢为 r = a cos? t i + b sin? t j,求受力的情况。
解：质点运动方程,x = a cos? t
y = b sin? t
质点运动轨迹为椭圆,x2 / a2 + y2 / b2 = 1
v = -? a sin? t i +? b cos? t j
a = -? 2 a cos? t i -? 2b sin? t j
= -? 2 r
质点受力 f = m a = - m? 2 r,恒指向原点。
目录 2-28 一条均匀的绳子，质量为 m，长度为 l，将它栓在转轴上，以角速度? 旋转，试证明：略去重力时，绳中的张力分布为 T(r) = m?2 (l 2- r2) /2l,
式中 r 为到转轴的距离。
r r + dr
l
ro
T(r) T(r+dr)
解：在 r 处的张力 T 等于从 r 到 l 这一段绳子作圆周运动所需的向心力，
对 dr 这一段，所需向心力为：
dT = T(r+dr) - T(r)
= -?2rdm = -m?2r/ldr
T(r)T(l) dT = -?rl m?2 r/l dr
T(l)-T(r)= - m?2 (l 2 - r2)/2l T(r) = m?
2 (l 2 - r2)/2l
0
目录 2-30 抛物线形弯管的表面光滑，可绕铅直轴以匀角速率转动。抛物线方程为 y = ax2,a 为常数。
小环套于弯管上。求,(1) 弯管角速度多大，小环可在管上任意位置相对弯管静止。 (2) 若为圆形光滑弯管，情形如何？
解,(1) N cos? = mg (1)
N sin? = man = m?2 x (2)
(2)? (1) tg? =?2 x / g
由 抛物线方程 y = ax2 可得：
tg? = dy/dx = 2a x
2 x / g = 2a x
= ( 2ag )1/2? mg
N
an
x
y
o
x
目录 (2)圆形方程为 (y-R)2+x2 =R2
mg
N
mg
N
an
y
o x
an
mg
N
mg
N mg
N
an?
D.当 0 < y < R 时，
N cos? = mg,N sin? = man = m?2 x
tg? = dy/dx = x / ( R - y)
= ( g tg? /x)1/2 = [ g / ( R - y) ]1/2
A.当 y = 0,2R 时,?取任何值均可；
B.当 R < y < 2R 时,N 若要提供垂直力与重力平衡，则不能提供向心力，故小环会谐动；
C.当 y = R 时，在垂直方向只有重力,N 不能提供切向力，故小环也会谐动；
目录力学,3-8,3-9,3-10,3-12,3-15,3-16,3-22，
3-26,3-29。
补充题：
1,处于保守力场中的某一质点被限制在 x 轴上运动，它的势能 Ep(x)是 x 的函数，它的总机械能
E 是一常数，设 t = 0 时，质点位置为 x0 。如果质点在以后运动过程速度方向恒指向 x 轴正方向，
试求质点位置 x 与时间 t 的关系。
2,一链条总长为 L，质量为 m，放在桌面上，
并使其下垂，下垂一端的长度为 a。设链条与 桌面之间的摩擦系数为 μ，若链条由静止开始水平缓慢上拉，则链条全部拉上桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？
第三章 能量守恒定律目录补充题 处于保守力场中的某一质点被限制在 x
轴上运动，它的势能 Ep(x)是 x 的函数，它的总机械能 E 是一常数，设 t = 0 时，质点位置为 x0 。如果质点在以后运动过程速度方向恒指向 x 轴正方向，试求质点位置 x 与时间 t 的关系。
解：在 t 时刻，质点位置为 x,速度为 v。
机械能守恒定律
E= mv2/ 2 + Ep(x) = m(dx/dt)2/ 2 + Ep(x)
)]x(EE[m2dtdx P
)]x(EE[m2
dxdt
P?
xx
Pm
2
t
0 0 )]x(EE[
dxdtt?
目录设 x = (2E/k)1/2 cos dx = - (2E/k)1/2 sin? d?
t = - o? (m/k)1/2 d? = (m/k)1/2 (?o -? )
其中?o= cos-1[(k/2E)1/2 xo],?= cos-1[(k/2E)1/2 x]。
cos-1[(k/2E)1/2 x] = cos-1[(k/2E)1/2 xo] - (k/m)1/2 t
x = (2E/k)1/2 cos{(k/m)1/2 t - cos-1[(k/2E)1/2 xo]}
x
x 2
E2
k
E2
mx
x 2
2
k
m
2
t
0 00
x1
dx
)]xE[
dx
dtt
目录补充题 一链条总长为 L，质量为 m，放在桌面上，并使其下垂，下垂一端的长度为 a。
设链条与 桌面之间的摩擦系数为 μ，若链条由静止开始水平缓慢上拉，则链条全部拉上桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？
解：设链条线密度为 ρ= m/L
1、建立坐标 OX 轴，链条下垂一端的长度为 x,则摩擦力,f =μρg（ L - x） = F
OL - x
x
X
F
目录 f = μmg（ L - x） / L
摩擦力作功,Af = ∫ a0 f dx
= ∫ a0 μmg（ L-x） / Ldx
= -μmg a（ 1- a /2L ）
2、重力作功,AG =∫ a0 mgx/Ldx
= - mg a2 / 2L
OL - x
x
X
目录 3-8 劲度系数为 k 的弹簧一端固定在墙上，另一端系一质量为 mA 的物体。当把弹簧的长度压短
xo 后，在它旁边紧贴着放一质量为 mB 的物体。
撤去外力后，设下面是光滑的水平面，求：
(1) A,B 离开时,B 以多大的速率运动；
(2) A 距起始点移动的最大距离。
BA
0- xo
vB =0
BA
0- xo
vB
解,(1) B 离开 A 的条件为
aA = 0，即 FA = 0，故 B 离开 A 时弹簧为自然长度。
(mA+ mB )vB2 /2 = kxo2 /2
vB = [ k /( mA+ mB )]1/2 xo
目录
(2) mAvB2 / 2 = kxAmax2 / 2
xAmax = (mA / k )1/2 vB
= [ mA/( mA+ mB )]1/2 xo
sAmax = xo + xAmax
= { 1+ [ mA/( mA+ mB )]1/2 } xo
A
vB
0 xAmax- xo
A
vB = 0
0 xAmax- xo
目录 3-9 用劲度系数为 k 的弹簧将质量为 m
A 和 mB的物体连接，放在光滑的水平面上,mA 紧靠墙，
在 mB 上施力将弹簧从原长压缩了长度 xo，当外力撤去后，求,(1) 弹簧和 mA,mB 所组成的系统的质心加速度的最大值； (2)质心速度的最大值。
A B
vC
A B
A B
xo
F外
(2) 当 mA 离开墙体后，
F外 = 0,aC = 0,
vC = vmax 。
解,(1) 外力撤去瞬间
F外 max = kxo
aC max = kxo /(mA + mB )
目录当弹簧恢复原长时,m
B v22 /2 = k xo2 /2
v2 = ( k/mB )1/2 xo
A B
v2
A B
vC max
此后系统在没有外力作用下运动，质心最大速度
vC max 服从关系式：
PS = (mA + mB ) vC max = 0 + mB v2 = mB v2
vC max = mB v2 / (mA + mB )
= mB ( k/mB )1/2 xo / (mA + mB )
目录 3-10 质量为 m
1 和 m2 的物体以劲度系数为 k 的弹簧相连，竖直地放在地面上,m1 在上,m2 在下。问 (1)至少先用多大的力 F 向下压 m1,突然松开时 m2 才能离地？ (2) 在力 F 撤除后，由 m1,
m2 和弹簧组成的系统质心加速度 ac 何时最大？
何时为 0？刚要离地面时 ac =？
m1
L m1g
m2
x0
0
m1
L m1g
m2
x0
0
x1
F
kx1 = F + m1g
x1 = (F + m1g)/k
解,(1) kxo = m1g
xo = m1g / k
目录
m1
L m1g
m2
x0
0
m1
L m1g
m2
x0
0
x1
F
m1
L
m1g
m2
x0
0
-x2
f
m2g弹簧伸长 x
2 时,m2 方能离地的条件为：
f = kx2 = m2g? x2 = m2g / k
压力松开后，系统能量守恒，即：
kx22/2+m1g (x1+x2) = kx12/2? k( x1- x2)= 2m1g
k[(F+m1g)/k - m2g/k]= 2m1g
F = m1g + m2g
x1 = (F + m1g)/kxo = m1g / k
目录 (2) 力 F 撤除后,( m
1 + m2 + 弹簧 ) 系统受外力：
F外 = N - ( m1 + m2 ) g （以向上为正）
因为 N = k x + m2 g
所以 F外 = k x - m1 g
当力 F 刚撤除时，
xmax = x1= (F + m1g) / k
= ( 2m1g + m2 g) / k
F外 max = k x1 - m1 g = (m1 + m2 ) g
aC max = F外 max / (m1 + m2 )
= g (向上 )
当 x = m1 g / k 时,F外 = 0,aC =0。
当 N = 0 时,x = - m2 g / k,
F外 = - m2 g - m1 g? aC = - g (向下 )
m1
L m1g
m2
x0
0
x
N
m2g
m2
m2g kx
N
目录 3-15 m
1 和 m2 静止在光滑的水平面上，以劲度系数为 k 的弹簧相连，弹簧处于自由伸展状态，一质量为 m,水平速率为 vo 的子弹入射到 m1 内，
子弹最多压缩了多少？
解：子弹入射到 m1 内，
动量守恒。
m+m1 m2
v10
m+m1 m2
v1 v2
x
m1 m2
vom
mvo = (m+m1) v10
当 v1 = v2 = v 时，
子弹压缩弹簧最多 xmax 。
mvo=(m+m1)v10=(m+m1+m2)v
(m+m1) v10 2/2 = (m+m1+m2)v2/2 + kxmax 2/2
xmax =[m2 /k (m+m1)(m+m1+m2)]1/2 mvo
目录 3-16 两球有相同的质量和半径，悬挂于同一高度，
静止时两球恰好能接触且悬线平行。已知两球碰撞的恢复系数为 e,若球 A 自高度 h1 释放，求该球碰撞后能达到的高度。
mvA0 = mvA + mvB
vA - vB = - e vA0
vA = ( 1 - e ) vA0 / 2 > 0
vB = ( 1 + e ) vA0 / 2 > vA
mghA = m vA2 / 2
mghB = m vB2 / 2
hA = vA2 / 2g
hB = vB2 / 2g
hA = ( 1 - e )2 h1 / 4
hB = ( 1 + e )2 h1 / 4
解,A球与 B球碰撞前一刻的速度为 vA0=(2gh1)1/2,碰撞后两者的速度分别为 vA,vB 。
h1
A B
hB > hA
目录 3-22 一质量为 m
o，以速率 vo 运动的粒子，碰到一质量为 2mo 静止的粒子。结果，质量为 mo的粒子偏转了 45o，并具有末速 vo / 2。求质量为
2mo的粒子偏转后的速率和方向。动能守恒吗？
解：由动量守恒得：
movo = (movo / 2 ) cos?/4 + 2mov cos?
(movo / 2 ) sin?/4 - 2mov sin? = 0
v = 0.368 vo
= 28.68o
末态动能 EK = mo ( vo / 2 )2 /2 + 2mov2 /2
= 0.52? mo vo 2 /2 < mo vo 2 /2
故动能不守恒。
vo
v
vo / 2
45o
目录 3-26 水平地面上停放着一辆小车，上站着 10 个质量相同的人，每人都以相同的方式、消耗同样的体力从车后沿水平方向跳出。设车的质量远大于 10 个人的质量，以及所有人所消耗的体力全部转化为车与人的动能，在整个过程中可略去一切阻力。为了使小车得到最大的动能，车上的人应一个一个地往后跳，还是 10 个人一起跳？
解：设每个人贡献的能量为 E,小车的质量为 M，
把 N 个人看成一个质点组，则其动能为：
EK人 = NmvC人 2 / 2 + EK人 ’
其中,vC人 =? mvi / Nm。
V车
21 N
v1 v2 vN
…
目录 E
K人 = NmvC人 2 / 2 + EK人 ’
vC人 =? mvi / Nm
EK车 = MV车 2 / 2
能量守恒,NE = EK车 + EK人
= MV车 2 / 2 + NmvC人 2 / 2 + EK人 ’
动量守恒,MV车 +? mvi = 0
vC人 =? mvi / Nm = - MV车 / Nm
NE = MV车 2 / 2 + NmvC人 2 / 2 + EK人 ’
= MV车 2 / 2 + Nm (- MV车 / Nm) 2 / 2 + EK人 ’
= (1 + M / Nm) MV车 2 / 2 + EK人 ’
EK车 = MV车 2 / 2
= Nm (NE - EK人 ’ ) / (M + Nm)
V车
21 N
v1 v2 vN
…
目录 E
K车 = Nm (NE - EK人 ’ ) / (M + Nm)
讨论：
1,当 10 个人一起跳车时,vi = vC人,vi ’ = 0，
故 EK人 ’ = 0，此时
(EK车 )一起 = N2mE / (M + Nm)
2,当 10 个人一个一个跳车时,vi? vC人,
vi ’ = vi - vC人? 0,故 EK人 ’ > 0，此时
(EK车 )一个一个 = Nm (NE - EK人 ’ ) / (M + Nm)
< (EK车 )一起所以,10 个人一起跳车时，小车获得最大动能。
目录 3-29 半径为 R 的大圆环固定的挂于顶点 A，质量为 m 的小套于其上，通过一劲度系数为 k，自然长度为 l ( l < 2R )的弹簧系于 A 点。分析在不同的参数下该装置平衡点的稳定性，并作出相应的势能曲线。
解：总势能 EP = EP重 + EP弹
= mgR(1-cos2?)+k(2Rcos?-l )2 /2
= 2mgRsin2?+k(2Rcos?-l )2/2 > 0
找平衡点,dEP /d? =0
dEP /d?=2Rsin?[kl+2(mg-kR)cos?]
sin? = 01 = 0,
或 cos? = kl /2(kR - mg)
= cos-1[kl /2(kR - mg)]
2?R
k
B mg
A
目录研究稳定性：
E’’P(?) = d2EP /d?2 = 2R cos?[ kl + 2(mg - kR) cos? ]
- 4R( mg - kR ) sin2?
(1) 对于?1 = 0,E’’P(0) = 4R( mg + kl/2- kR)
当 mg + kl/2- kR > 0,即 mg > kR - kl/2 时,
E’’P(0) > 0,?1 = 0 为 稳定平衡点,
当 mg + kl/2- kR = 0,即 mg=kR-kl/2 时,E’’P(0)=0.
因 E’’P(?) = 2klR[cos?(1- cos?) + sin2?] > 0,
故在?1=0附近,势能曲线上凹,?1=0也是 稳定平衡点
当 mg + kl/2- kR < 0,即 mg < kR - kl/2 时,
E’’P(0) < 0,?1 = 0 为不 稳定平衡点,
目录
(2) = cos-1[ kl /2( kR - mg )],
E’’P(?)= 4R( kR - mg ) sin2?
当 kR - mg > 0 时 E’’P(?) > 0,因要求 cos < 0,
mg < kR - kl /2,此时 为两个 稳定平衡点,
mg = kR - kl /2 时,cos =1=0,不属此解,
mg > kR - kl /2 时,cos > 1,不合理,应舍去,
当 kR - mg = 0 时 E’’P(?) = 0,但 cos=?,应舍去,
当 kR - mg < 0 时 E’’P(?) < 0,但 cos为负值,
| | >? / 2,不合理,应舍去,
目录 总结之：
1、当 mg < kR - kl/2时,EP 有两个 稳定平衡点
()，有一个不 稳定平衡点 (?1 = 0 )。
2,当 mg? kR - kl/2时,EP 只 有一个 稳定平衡点
(?1 = 0 )。
相应的势能曲线见下图 a，图 b 。
EP
o图 b?
-?+
EP
图 a
目录力学,8-11,8-15,8-18,8-19,8-22。
补充题：
1,光子的频率为 υ时，其能量为 hυ，试求其质量、
动量和动能。
2,试根据以下两例讨论光子的吸收和发射
(1) 质量为 mo 静止原子核 ( 或原子 )，受到能量为
E 的光子撞击、原子核 (或原子 )将光子的能量全部吸收，则此合并系统的速度 ( 反冲速度 ) 以及静止质量各为多少?
(2) 静止质量为 Mo 的静止原子发出能量为 E 的光子，则发射光子后原子的静止质量为多大?
第八章 相对论（动力学）
目录 8-11 将一个电子从静止加速到 0.1c 的速度需要作多少功？从 0.8c 加速到 0.9c 需要作多少功？已知电子的静止质量为 9.11?10-31 kg 。
21.0
2
1 c c
cm
011 EEA 2cm
解：
2223232 cmcmEEA
k e V572,?
}
c
c8.0
1
1
c
c9.0
1
1
{cm
22
2
.eV 1032.0 J 101.5 614
J10095.4 16
目录 8-15 一个电子和一个正电子相碰，转化为电磁辐射 (这样的过程叫做正负电子湮没 )。正、负电子的质量皆为 9.11?10-31 kg,设恰在湮没前两电子是静止的，求电磁辐射的总能量。
解：能量守恒,E电磁 = m-e c2 + m+e c2
= 2 m-e c2
= 1.02?106 eV
目录 8-18 在实验室系中? 光子以能量 E 射向静止的质子，求此系统质心系的速度。
解,动量 能量实验室系,光子?,E / c E
质子 p,0 mpo c2
质心系,P’= 0
四维动量洛仑兹变换,Px’ =? ( Px -?E / c )
Px’= 0,Px = E / c,E = E + mpo c2
= Px c / E = E / (E + mpo c2 )
质心系的速度,vC =? c = E c / (E + mpo c2 )
或,P = E / c,M = ( E + mpo c2 ) / c2
vC = P / M = E c / (E + mpo c2 )
目录
8-19? + 介子衰变为? + 子和中微子? ；
+ + +?
求质心系中? + 子和中微子的能量，已知三粒子的静质量分别为 m?,m?和 0 。
解,E? = ( m?2 + m?2 - 02 ) c2 / 2m?
= ( m?2 + m?2 ) c2 / 2m?
E?= ( m?2 + 02 - m?2 ) c2 / 2m?
= ( m?2 - m?2 ) c2 / 2m?
目录
8-22 光生 K+ 介子的反应为：
+ p? K+ +?o
(1) 求上述反应得以发生时在实验室系 (质子静止系 )中光子的最小能量。
(2) 在飞行中?o 衰变为一个质子和一个? - 介子。
如果?o 具有速率 0.8 c,则? - 介子在实验室系中可具有的动量最大值为多少？垂直于?o 方向的实验室动量分量的最大值为多少？
已知 mK = 494 MeV/c2,m?= 1116 MeV/c2,
m? = 140 MeV/c2,mp = 938 MeV/c2 。
目录 (1) 求上述反应得以发生时在实验室系 (质子静止系 )中光子的最小能量。
解,( P?+ Pp )2 = ( PK + P? )2
实验室系,P? = E? /c,Pp = 0,Ep = 938 MeV。
(P?+ Pp )2 = P? 2 +Pp2 + 2PPp = - Ep2/c2 - 2E?Ep /c2
当在 K+ +?o 质心系中 K+ 和?o 都静止时，
即 ( PK + P? ) 2 = - ( mK + m? ) 2 c2,所需能量最小 。
- Ep2/c2 - 2E?min Ep /c2 = - ( mK + m? ) 2 c2
E? min = [( mK + m? ) 2 c4 - Ep2] / 2Ep
= [( 494+ 1116) 2 - 938 2] / 2? 938 MeV
= 912.7 MeV
目录 (2)?o 衰变为,?o - + p,如果?o 具有速率 0.8
c,则? - 介子在实验室系中可具有的动量最大值为多少？
解,P? = P? + Pp?Pp = P? - P?
Pp2 = ( P? -P? )2?Pp2 = P?2 +P?2 - 2PP?
- mp2 c2 = - m?2 c2 - m?2 c2 - 2PP?
实验室系,P? = ( P?,iE?/c ),P? = ( P?,iE?/c )
PP? = P P? - E? E? /c2
- mp2 c2 = - m?2 c2 - m?2 c2 - 2 ( P P? - E?E? /c2 )
P P? = ( mp2 - m?2 - m?2 ) c2/ 2 + E?E?/ c2
P? P? cos? = ( mp2 - m?2 - m?2 ) c2/ 2 + E?E?/ c2
= ( mp2 - m?2 - m?2 ) c2/ 2 + E?( m?2c 4 + P?2c2 )1/2/c2
目录
P?P?cos?=(mp2-m?2-
m?2)c2/2+E?(m?2c4+P?2c2 )1/2/c2
其中? 表示 实验室系中 P?与?o 方向的夹角。
当 dP? /d? = 0 时,P? 有极值。
P?dP?cos? -P?P? sin?d? =E?(m?2c 4+P?2c2)-1/2P?dP?
dP?/d? = P?P? sin?/[P?cos?-E?(m?2c 4+P?2c2)-1/2P?]
dP?/d? = 0? P? sin? = 0? P? = 0 或? = 0
当 P? = 0? 动量最小。
当? = 0,即在 实验室系中与?o 运动方向相同的? - 介 子动量最大。
目录在 质心系中：
E?’= (m? 2 + m?2 - mp2 ) c2 / 2m?
= ( 11162 + 1402 - 9382 ) /2?1116 = 172.6 MeV
P?’= (E?2- m?2 c4)1/2/c = (172.62-1402)1/2 MeV/c
= 100.9 MeV/c
在 实验室系中, = 0.8 c,
= ( 1-2 )-1/2 = ( 1- 0.82)-1/2 = 1.667
P? max =( P?’ +E?’/c)
= 1.667? ( 100.9 + 0.8? 172.6 )
= 398.4 MeV/c
E? max =( E?’+P?’c)
= 1.667? ( 172.6 + 0.8? 100.9 )
= 422.3 MeV
目录垂直于?o 方向的实验室动量分量的最大值为多少？
解：在实验室系中：
P P? =(mp2-m?2-m?2)c2/2+E?(m?2c4+P?2c2 )1/2/c2
P?P? // =(mp2-m?2-m?2)c2/2
+ E?(m?2c4 + P? //2 c2 + P2 c2 )1/2/c2
P2=[P?P?// -(mp2-m?2-m?2)c2/2]2 c2/E?2-P? //2-m?2c2
当 dP /dP? // = 0 时,P 有极值。
P?[P?P? // -(mp2-m?2-m?2)c2/2]c2/E?2 - P? // = 0
P? // = (mp2-m?2-m?2)c4P?/2 (P?2c2 - E?2 )
= - (mp2-m?2-m?2)P?/2m?2
目录 m
= 1116 MeV/c2,m?= 140 MeV/c2，
mp = 938 MeV/c2,E? max = 422.3 MeV
P? =mc = 1.667?1116?0.8 = 1488.3 MeV/c
E?=m?c2 = 1.667?1116 = 1860.4 MeV
P? // = - (mp2-m?2-m?2)P?/2m?2
= -( 9382-11162-1402)?1488.3/2?11162
= 230.2 MeV/c
P2max=[P?P?// -(mp2-m?2-m?2)c2/2]2c2/E?2
- P? //2- m?2c2
=[1488.3?230.2-(9382-11162-1402)/2]2/1860.42
- 230.22 - 1402
= 10171.7 (MeV/c)2
P max = 100.9 MeV/c
目录 补充题 1,光子的频率为 υ时，其能量为 hυ，
试求其质量、动量和动能。
解：已知 E = hυ，光子速度 v = c 。
(1)? v = c 2 P / E
P = v E / c 2
= c E / c 2
= E / c
P = hυ/c
即,P = h /?
目录
(2) m = E / c 2 = hυ/c 2
E2 = Eo2 + p2c2
Eo2 = E2 - p2c2
= E2 - ( E / c )2 c2
= 0
即,m o = Eo / c 2 = 0
光子静质量为零
(3)? E = EK + E o
EK = E - E o = E = hυ
目录补充题 2,试讨论光子的吸收和发射
(1) 质量为 mo 静止原子核 ( 或原子 )，受到能量为 E 的光子撞击、原子核 (或原子 )
将光子的能量全部吸收，则此合并系统的速度 ( 反冲速度 ) 以及静止质量各为多少?
(2) 静止质量为 Mo 的静止原子发出能量为
E 的光子，则发射光子后原子的静止质量为多大?
目录 解,1,原子,m
o,P1 = 0,E1 = moc2
光子,0,P2 = E / c,E2 = E
A + h A’
动量守恒,0 + E / c = m’v (1)
能量守恒,moc2 + E = m’c2 (2)
(1)? (2)/c? v /c = E / ( moc2 + E )
由 (2)式得,m’ = mo + E / c2
mo’ = m’ ( 1 - v2 / c2 )1/2
= ( mo + E / c )[ 1 - E2/(moc2 + E )2 ]1/2
= [ mo (mo + 2E / c2 ) ]1/2
= mo ( 1 + 2E / moc2 )1/2
目录
2,A? A” + h?
动量,0 P” E / c
能量,moc2 E” E
动量守恒,0 = P” + E / c
能量守恒,moc2 = E” + E
P” = - E / c
E” = moc2 - E
目录
P” = - E / c,E” = moc2 - E
E”2 = E”o 2 + P”2c2
E”o = ( E”2 - P”2c2 )1/2
= [ ( moc2 - E )2 - E2 ]1/2
= [ moc2 ( moc2 - 2E ) ]1/2
= moc2 ( 1 - 2E / moc2 )1/2
m”o = mo ( 1 - 2E / moc2 )1/2
目录力学,4-1,4-2,4-4,4-7,4-8，
4-11,4-14,4-29,4-31，
4-33,4-37,4-39。
第四章 角动量守恒 刚体转动目录
4-1 一质量为 m 的质点自由降落，在某时刻具有速度 v,此时它相对于 A,B,C 三参考点的距离分别为 d1,d2,d3 。 求,(1) 质点对三个点的角动量； (2) 作用在质点上的重力对三个点的力矩。
解,(1) LA = d1? mv,方向?,LA = mvd1 ；
LB = d2? mv,方向?，
LB = mvd2 sin(? + 90o) = mvd1 ；
LC = d3? mv = 0 。
(2) MA = d1? mg,方向?，
MA = mg d1
MB = d2? mg,方向?，
MB = mgd2 sin(? + 90o) = mgd1 ；
MC = d3? mg = 0 。
d1
d2
d3
v
mg
A
B C?
m
目录 4-2 一质量为 m 的粒子位于 ( x,y )处，速度为 v
= vx i + vy j，并受到一个沿 - x 方向的力 f,求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。
解,r = x i + y j,v= vx i + vy j,f = - f i + 0 j。
i j k
L = r? mv = m x y 0 = m ( x vy - y vx ) k
vx vy 0
i j k
M = r? f = x y 0 = y f k
-f 0 0
目录 4-4 圆锥摆的中央支柱是一个中空的管子，系摆锤的线穿过它，我们可将它逐渐拉短。设摆长为
l1 时的线速度为 v1，将摆长拉到 l2 时，摆锤的速度 v2 为多少？圆锥的顶角有什么变化？
解：质点的合力 F 沿 - r 方向，为向心力，故质点对支柱的角动量守恒，即：
L1 = L2? r1 v1 = r2 v2
v2 = r1 v1 / r2
= v1 l1 sin?1 / l2 sin?2
受力分析,T2 cos?2 = mg
T2 sin?2 = mv22/r2
tg?2 = v22/gr2 = v23/gr1v1 = v23/恒量
1
2 mg
mg
T2
T1
r2
r1
目录 4-7 两质点的质量分别为 m
1,m2 ( m1 > m2 )，拴在一根不可伸长的绳子的两端，以角速度? 在光滑水平桌面上旋转。它们之中哪个对质心的角动量最大？角动量之比为多少？
m2 m1
C l1l2
解,l1 = m2l /(m1+ m2 )
l2 = m1l /(m1+ m2 )
LC1 = m1 l1 v1 = m1 l12?
= m1 m22 l 2? /( m1 + m2 )2
LC2 = m2 l2 v2 = m2 l22?
= m2 m12 l 2? /( m1 + m2 )2
因为 m1 > m2,所以 LC2 > LC1 。
角动量之比,LC2 / LC1 = m1 / m2
目录 4-8 在上题中，若起初按住 不动，让 m
1 绕着它以角速度旋转。然后突然将 m2 放开，求以后此系统质心的运动，绕质心的角速度和绳中的张力。
设绳长为 l 。
解：动量守恒,m1 l? = (m1+ m2) vC
vC = m1 l? / (m1+ m2)
角动量守恒：设 m1 和 m2 绕质心的角速度为?’
m1? l 2 = (m1+ m2) vC l2 + ( m1 l1 2 + m2 l2 2 )?’
= m1 l? l2 + m1 l1?’l
l =? l2 +?’l1
l1 =?’l1
’ =?
m2 m1
C l1l2
vC
目录 l
1 = m2 l /( m1 + m2 ),l2 = m1 l /( m1 + m2 )。
绕质心的角动量：
LC = ( m1 l12 + m2 l22 )? = m1 l1 l?
= [m1 m2 /( m1 + m2 )] l 2? = l 2
其中? = m1 m2 /( m1 + m2 ) 称为折合质量。
绳中的张力：
T1 = m1 l1?2 = [m1 m2 /( m1 + m2 )]?2 l
=2 l
T2 = m2 l2?2 = [m1 m2 /( m1 + m2 )]?2 l
=2 l = T1
目录 4-11 图中 O 为有心力场的力心，排斥力与距离平方成反比,f = k/r2 ( k为常数 )。 (1) 求此力场的势能； (2) 一质量为 m 的粒子以速度 vo、瞄准距离 b 从远处入射，求它能达到最近路离和此时刻的速度。
vo
v
O
bm r
解,(1) Ep(r) =?r? k/r2 dr = k / r [令 Ep(?) = 0 ]
(2) 角动量守恒：
mvob = mvrsin?
v = vob/rsin?
能量 守恒：
mvo2 / 2 = mv2 / 2 + k / r
消除 v 得,mvo2 / 2 = mvo2 b2/2r2 sin2?+ k / r
r2 - 2kr/mvo2 - b2/sin2? = 0
目录
r2 - 2kr/mvo2 - b2/sin2? = 0
r = k/mvo2 + [ (k/mvo2)2 + b2/sin2? ]1/2 (“-”舍去 )
当? = 90o 时,sin2? =1 为最大,r 为最小。
rmin = k/mvo2 + [ (k/mvo2)2 + b2 ]1/2
= { k + [ k2 + m2vo2 b2 ]1/2 } /mvo2
v = vob/rminsin?= vob/rmin
= mvo3 b / { k + [ k2 + m2vo2 b2 ]1/2 }
目录 4-14 一根质量可忽略的细杆，长度为 l,两端各连结一质量为 m 的质点，静止的放在光滑的水平桌面上。另一相同质量的质点以速度 vo 沿 45o
角与其中一质点作弹性碰撞。求碰后杆的角速度。
m
vo
m
m
45o
碰撞前
m
v1m
m
45o
碰撞后
vC
解：设碰后入射质点的速度为 v1,细杆质心速度为 vC,杆绕质心的角速度为? 。
动量 守恒,m vo = m v1 + 2m vC
对质心的角 动量 守恒,IC = 2m( l /2 )2 = m l 2/ 2
mvo l sin45o /2= mv1 l sin45o /2 + IC?
目录
IC = 2m( l /2 )2 = m l 2/ 2
动量 守恒,m vo = m v1 + 2m vC
角 动量 守恒,mvo l sin45o /2= mv1 l sin45o /2 + IC?
动能 守恒,mvo2/2= mv12 /2 + mvC2 + IC?2 /2
vC = 4 vo / 7
v1 = - vo / 7
= 0.808 vo / l
目录 4-29 半径为 r 的小球沿斜面滚入半径为 R 的竖直环形轨道里。求小球到最高点时至少需要具备多大的速度才不致脱轨。若小球在轨道上只滚不滑，需要在斜面上多高处自由释放，它才能获得此速度？
解,N = Mv高 2/(R-r) - mg? 0? v高? [g(R-r)]1/2
能量 守恒,mghmin= mg(R-2r)+mv高 2/2 + IC? 2/2
v高 = r? =[g(R-r)]1/2
IC = 2mr2/5
hmin= (27R-17r)/10
r
h
v高
mg
R
N
目录 4-31 一质量为 m、半径为 R 的圆筒垂直于行驶方向横躺在载重汽车的粗糙地板上，其间摩擦系数为?，若汽车以匀加速度? 起动，问,(1)? 满足什么条件时圆筒作无滑滚动？ (2) 此时圆筒质心的加速度?C和角加速度? 为何？
R?C
mf?
解,(1) 以圆筒质心为参照系
f - m? = - m?C = - m R?
R f = IC? = mR2?
f = m? /2 mg
2? g
(2) f - m? = - m?CC =? - f /m =? -? /2 =? /2
=?C / R =?/ 2R
目录 4-33 足球质量为 m，半径为 R，在地面上作无滑滚动，球心速度为 vo 。球与光滑墙壁做完全弹性碰撞后怎样运动？
vo
o
A vc
f
t=0
P
解：设足球原转速为?o,vo = R?o,对 A 点的角动量守恒，故 碰后足球的 角速度仍为?o 。因 墙的质量 >> m,故 碰后足球的质心 速度 vc = - vo 。
设此时为 t = 0,vP = vo + R?o = 2vo,足球一边向前滑动，一边倒着转动,f = -?mg 。
目录
vo
o
A vc
f
t=0
P
vc=vo /3
=0 t1
P
-?mg = mac = m dvc /dt
-?mgR = (2mR2/3) d? /dt
vc = vo -? gt
=?o - 3? gt /2R
讨论：
(1) 记 t1 = 2vo / 3? g，当 t < t1 时，球还在倒转；
当 t = t1 时,?= 0,vc = vo - 2vo /3 = vo /3，
vP = vc + R? = vo -? gt1 +R?o - 3? gt1 /2 = vo /3，球不转，只是滑动；
当 t > t1 时,?< 0，在摩擦力矩作用下,足球按顺时 转动。
目录
vo
o
A vc
f
t=0
P
vc=vo /3
=0 t1
P
vc=vo /5
=?o /5 t2
P
vc = vo -? gt,?=?o - 3? gt /2R
(2) vP = vc + R? = vo -? gt2 + R?o - 3? gt2 /2
= 2vo - 5? gt2 /2 = 0，
亦即 t2 = 4vo /5? g 时，球只滚不滑，此时,vc = vo
-? gt2 = vo /5,? =?o - 3? gt2 /2R = -?o /5 < 0，若不计滚动摩擦，此后,vc,? 保持不变。
(3) 令 t3 = vo /? g,此时 vc= 0,?= -?o /2，这种情况不会出现，因为在 t = t3前后，球已是纯滚动了。
目录 4-37 (1) 沿水平方向击台球时，应在球心上方多高 h 处击球才能保证球开始无滑滚动？
(2) 若台球与桌面间的摩擦系数为?,试分析朝着中心击球的后果。
hvC
F
f
O
解,(1) F - f = maC = mR?
F h + f h = IC? = ( 2mR2 /5 )?
f = F( 2 - 5h /R ) / 7 mg
h? R ( 2 - 7? mg /F ) / 5
考虑到? 可以很小，若在 h = 2R / 5 处击球，
肯定能保证台球一开始就作无滑滚动。
目录 F - f = ma
C
f = F( 2 - 5h /R ) / 7 mg
(2) 当 h = 0，无滑滚动的要求给出 f = 2F / 7mg
2F / 7mg,当 f =? mg 时，台球只是滚动，
没有滑动，此时 aC = F / m -? g ；
当? < 2F / 7mg 时,f = 2F/7 >? mg，则先出现的是滑动。
目录
a b
m g
f
O
N
4-39 一高为 b，长为 a 的匀质木箱，放在倾角为
的斜面上，两者之间的摩擦系数为?，逐渐加大?,木箱何时倾倒，或下滑？
解：当 木箱刚好可以倾倒时，
但对 O 点的力矩为：
mgb sin? / 2 - mga cos? /2 > 0
> arc tg (a/b) =?1
a b
m g
f
O
N
若 木箱不能倾倒只能滑动，此时有：
mg sin? -? N = ma > 0
N - mg cos? = 0
> arc tg? =?2
目录?
1 = arc tg (a/b),?2 = arc tg?
讨论 倾倒或滑动的次序：
1,当?>a/b 时,?1<?2，则?在到达?1时发生 倾倒。
2,当?<a/b 时,?1>?2，则?在到达?2时发生 滑动。
3,当?=a/b 时,?1=?2，则? 在到达?1=?2 时 滑动和倾倒同时 发生。
目录力学,6-1,6-3,6-5,6-7,6-9,6-21；
6-26,6-27,6-33,6-35,6-40。
第六章 振动和波目录 6-1 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为 12.0 cm，
周期为 2.0 s，在 t = 0 时物体位于 6.0 cm 处且向正 x 方向运动。求 (1) 初位相； (2) t = 0.5 s 时，
物体的位置、速度和加速度； (3) 在 x = - 0.6 cm
处且向负 x 方向运动时，物体的速度和加速度。
解,(1) A=12.0 cm,T=2 s,?= 2? / T =? rad/s
xo
t=0
6.0-6.0
t=1
(3) x = 0.6 cm? t = 1 s，
v = - 32.6 cm/s，
a = 59.2 cm/s2
(2) t = 0.5 s,x = 10.4 cm,
v = - 18.8 cm/s
a = - 102.6 cm/s2
t = 0,x = 6.0 cm? 初位相,?= -?/3
振动方程,x = 12.0 cos(? t -?/3 ) cm
目录 6-2 一简谐振动为 x = cos(? t + a ),试作出初相位 分别为 0,?/3,?/2,-?/3 时的 x - t 图。
t
x
o 21 3
a = 0
t
x
o 21 3
a =?/3
t
x
o 21 3
a =?/2
t
x
o 21 3
a = -?/3
目录解：设进入 U 形管的质量为 m,比重为?,管的截面积为 s,初始左右液面高度之差为 2h,t
时刻左右液面高度之差为 2x,左右液面压力差为 2xs?g,整个 液体在此作用下进行振荡。
应用动量定理,- 2xs?g = md2x /dt2
d2x /dt2 + ( 2s?g /m) x = 0
液柱的振荡是简谐运动
= ( 2s?g /m)1/2
T = 2? /?
=? ( 2m/s?g )1/2
2h2x
x
o
6-5 把液体灌入 U 形管内，液柱的振荡是简谐运动吗？周期为多少？
目录 6-7 一竖直弹簧下挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后撒手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置在初始位置下方 10.0
cm 处。求,(1) 振动频率；
b
x
o
lo
t = 0
b
解,mg = kb? b = mg / k = ( k /m )1/2
初始条件,t = 0,xo = - b,vo = 0。
A = b = mg / k,? =?。
2b = 10.0 cm? b = 5.0 cm
k = mg / b
= ( k /m )1/2 = ( g / b )1/2
= ( 9.8 / 0.05 )1/2 = 14 rad/s
v =? / 2? = 14 / 2? = 2.33 Hz
振动方程,x = 5 cos ( 14 t +? ) cm
目录 (2) 物体在初始位置下方 8.0 cm 处的速率大小；
x = 8 - 5 = 5 cos ( 14 t +? )
cos ( 14 t +? ) = 0.6? sin ( 14 t +? ) = - 0.8
vx =3 cm = - 14?5 sin ( 14 t +? ) = 56 cm/s
x
o
lo
t = 0
8.0 cm
(3) 若将一个 300 g 的砝码系在该物体上，系统振动频率就变为原来频率的一半，则原物体的质量为多少？
m = 300 g,m’= m+?m
’ = ( k /m’ )1/2 = ( k /m )1/2 / 2
m =?m / 3 = 300 /3 =100 g
(4)原物体与砝码系在一起时，
其新的平衡位置在何处？
b’ =(m+?m)g / k = 4b = 20 cm
目录 6-9 在劲度系数为 k 的弹簧下悬挂一托盘，一质量为 m 的重物自高度 h 处落到盘中作完全非弹性碰撞。已知盘子原来静止，质量为 M，求盘子振动的振幅和初相位（以碰后为 t = 0 时刻）。
解：自由落体,vm = (2gh)1/2
与托盘作完全非弹性碰撞后的速度为,vM+m = m(2gh)1/2/(M+m)
又,xM =Mg/k,xm=mg/k。
(M+m)d2x/dt2 = (M+m)g -k(x+ xM + xm) = - kx
d2x/dt2 + [k/(M+m)] x = 0? 作 简谐振动
= [k/(M+m)]1/2
x
o
lo
t = 0
h
xm
xM
目录
vM+m = m(2gh)1/2/(M+m)
xm= mg/k,?= [k/(M+m)]1/2
t = 0,xo = - xm,vo = vM+m
x
o
lo
t = 0
h
xm
xM
A = [1+2kh/(M+m)g]1/2mg/k
=? + tg-1[2kh/(M+m)g]1/2
- xm
xo
目录 6-21 设有两个同方向同频率的 简谐振动
x1 = Acos (? t +? /4 ),x1 = 31/2Acos (? t +3? /4 )。
求合成振动的振幅和初相位。
A1A2
A合解,A合 = [ A2 + 3A2 + 2A 31/2Acos ( 3? /4 -? /4 )]1/2
= [ A2 + 3A2 ]1/2 = 2A
tg? = ( sin?/4 + 31/2sin3?/4 )/(cos?/4 + 31/2cos3?/4 )
= 3.732
= 180o - tg-1 3.732
= 180o - 75o
= 105o
目录 6-26 本题图为 t = 0 时刻平面简谐波的形，波朝负 x 方向传播，波速为 v = 330 m/s。试写出波函数 u(x,t) 的表达式。
x
u
o
0.1 m
v
0.001m
解,?= 0.2 m,A = 0.001 m，
= 2? v/? =3300? rad/s,?=? / 2。
u(x,t) = 0.001 cos[ 3300?( t + x/330 ) +? / 2] (m)
= 0.001 cos[ 3300?t + 10? x +? / 2] (m)
uo
/2
o 点振动目录 6-27 设有一维简谐波
u(x,t) = 2.0 cos[2?( t /0.010 - x / 30 )]
式中 x,u 的单位为 cm,t 的单位为 s。求振幅、
波长、频率、波速，以及 x = 10 cm 处振动的初相位。
解：波动方程,u(x,t) = A cos[2?( t / T - x /? )]
A = 2.0 cm,? = 30 cm,T = 0.010 s,v = 100 Hz，
v = v? = 100? 30 = 3000 cm / s。
当 x = 10 cm 时，
u(x,t) = 2.0 cos[2?( t /0.010 - 10 / 30 )]
= 2.0 cos[ 200? t - 2? /3 )] (cm)
初相位? = - 2? /3
目录 6-33 本题图中所示为某一瞬时入射波的波形，在固定端全反射。试画出此时刻反射波的波形。
X
解：反射波（向左）在固定端有 180o 的相位跃变
（设振幅无损失），故其波形如右图所示。
目录 6-35 设入射波为 u( x,t ) = Acos[2?( t/T + x/? )]。
在 x = 0 处发生反 射,反 射点为一自由端。
求 (1)反 射波的表达式； (2)合成的驻波的表达式，
并说明哪里是波腹，哪里是波节。
解,(1) 反射点是自由端，所以在 x = 0 处 反射波与入射波相位相同，且振幅为 A,故反射波的方程式为,u反 ( x,t ) = Acos[2? ( t /T - x/? ) ]
(2) u驻 (x,t)=Acos[2?(t/T+x/?)]+Acos[2?(t/T-x/?)]
=2Acos(2?x/?)cos(2?t/T)
= 2?(t/T+x/?) - 2?(t/T-x/?) = 4?x/? = (2k+1)?
波节,x = (2k+1)?/4 （ k = 0,1,2… ）
= 4?x/? = 2k?
波腹,x = k? /2 （ k = 0,1,2… ）
目录 6-40 一音叉以 2.5 m/s 的速率接近墙壁，观察者在音叉后面听到拍音的频率为 3 Hz，求音叉振动的频率 v。已知声速 340 m/s。
v’’
v’’
v’?
u
解,V = 340 m/s,u = 2.5 m/s,v拍 = v’’- v’= 3 Hz。
v’ = Vv / ( V + u ),v’’ = Vv / ( V - u )。
v拍 = v’’- v’ = Vv / ( V - u ) - Vv / ( V + u )
= 2Vu v / ( V2 - u2 )
v = ( V2 - u2 ) v拍 / 2Vu
= ( 3402-2.52 )? 3/2? 340? 2.5
= 204 Hz
目录第七章 万有引力
7-1,7-2,7-3,7-4
目录 7 -1 大约 200 年前，法国数学家兼天文学家拉普拉斯于 1796 年曾预言：“一个密度如地球而直径为太阳 250 倍的发光恒星，由于其引力作用，将不容许任何光线离开它，
试证明之。
已知：太阳的半径是地球的 109 倍地球的逃逸速度 v逃 =11.2? 103 m / s
解：设光子能量为 E，相应质量为 m =E/c2。
光线不能离开恒星的条件为：
GmMS / RS = E
目录 M
太 = 109M地,v逃 =11.2× 103 m / s,m =E /c2,
GmMS / RS = E (1)
MS =? 4?RS3 / 3,M地 =? 4?R地 3 / 3
MS = M地 RS3 / R地 3
代入 (1)式得：
G (E /c2 )( M地 RS3 / R地 3 ) / RS = E
(RS / R地 ) 2 = c2 /(GM地 / R地 ) = c2/v逃 2
RS / R地 = c / v逃
RS = ( c / v逃 )R地 = ( c / v逃 ) R太 / 109
RS = ( 3? 108? 11.2? 103?109 ) R太
RS? 250 R太目录 7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
目录 7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
1
目录 7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R ) E
g
1
解：当 r > R,圆柱体外，
如图作高斯面：
g高 =?g侧 +?g两底
=?g侧
∮ Eg?dS =?侧 Eg?dS
= - 2?r l Eg
Σ(S内 ) mi =R2l
- 2?r l Eg = - 4? GR2l
Eg = 2?R2G? /r
目录 7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
目录 7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
E
g
目录 7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
1
E
g
解：当 r < R,圆柱体内，
如图作高斯面：
g高 =?g侧 +?g两底
=?g侧
∮ Eg?dS =?侧 Eg?dS
= - 2?r l Eg
Σ(S内 ) mi =r2l
- 2?r l Eg = - 4? Gr2l
Eg = 2?r G?
目录
7 -3 假定沿地球某一直径打通一个隧道，
(a) 证明在距地心 r 处质量 m 上的受力为：
F = - 4? G? m r / 3
证,?Eg = - GMr / R3,M =? 4? R3 / 3
Eg = - G (? 4? R3 / 3 ) r / R3
= - 4? G? r / 3
F = m Eg = - 4? G? m r / 3
r
m
o
FR
目录(b)证明 m 的运动是简诣振动，周期约 84分钟，忽略物体的摩擦力。
已知：地球的平均密度 ρ= 5.5? 103 kg / m3
G = 6.67? 10 -11 N m2 / kg2
r
m
o
FR
证,? F = - 4?G?mr/3
牛顿第二定律：
F = m d2r/dt2
m d2r/dt2 = - 4?G?mr/3
d2r/dt2 +(4?G?/3) r = 0
= (4? G? / 3) 1/2
周期 T = 2? /? = 2? /( 4? G? / 3 ) 1/2
= 5067 秒钟? 84 分 钟目录 (c)若隧道不沿地球直径，而是地面上任意两点的直线开挖，证明 m 的运动也是简诣振动，而且振荡周期完全相同。
证,? F = - 4?G?mr/3
Fx = - 4?G?mrsin?/3
= - 4?G?mx /3
Fx = m d2x /dt2
m d2x /dt2 = - 4?G?mx /3
d2x /dt2 +(4?G?/3) x = 0
’ = (4? G? / 3) 1/2 =?
周期 T’ = T
r m
R
F
o
Fx x
x
目录 7 -4 证明将物体象洋葱似地一层层加上去形成一个半径为 R 的球体 ( 球的密度保持一定 )时所需要的能量为 E = - 3 GM2 / 5R，
其中 M 是球体的总质量。
证：设球体半径为 r 时，
质量为 m =? 4?r3/3 。
引力势分布为：
Vg = - Gm /r’ ( r’ > r )
当半径为 r，厚度为 dr 的球壳 ( 其质量为 dm =? 4?r2dr ) 从无穷远加到 半径为
r 的球体上时，外力作微功为：
dA外 = dm [ Vg (r) - Vg (?) ]
r
dr
目录
m =? 4?r3/3,dm =? 4?r2dr
Vg = - Gm /r’ ( r’ > r )
dA外 = dm [ Vg (r) - Vg (?) ]
=? 4?r2dr ( - Gm /r - 0 )= - G? m 4?rdr
=? (? 4? r3/3) 4?rdr = 3G(? 4? /3)2 r4dr
A外 =?oR3 G (? 4? /3)2 r4dr
= 3 G (? 4? /3)2 R5/ 5
= 3 G (? 4?R3/3)2 / 5R
= 3 G M2 / 5R
即所需能量为,E = 3 G M2 / 5R
