第 7 章 小结一、基本概念引力质量、引力场与引力线引力势与等势面、立体角、引力通量二、基本定律
1、万有引力定律
2、迭加原理（引力场、引力势）
三、描述引力场的两个重要物理量
1、引力场强,Eg = F/ m’
质点 m,Eg = - Gm/r2 ro
2、引力势,Vg(r) = Ep(r)/m’ [ Vg(?)=0 ]
质点 m,Vg(r) = - Gm / r
3、引力场与引力势之间的关系积分关系,Vg(r) =?r? Eg? dr
微分关系,Eg = - grad Vg
等势面垂直于 引 力线三,两个基本定理
1、引力场高斯定理,Φg = - 4πGΣ(S内 ) mi
物理意义,引力场是有源场
2、引力场的环路定理,∮ L Eg? dl = 0
物理意义,引力场是保守场,
引力线不能闭合。
四、引力场与引力势的计算方法
1、引力场的计算方法
(1) Eg = -?i G mi /ri 2 rio
(2) Eg = - grad Vg
(3) 利用高斯定理
2、引力势的计算方法
(1) Vg (r) =? r? Eg?dr
(2) Vg (r) = -?i G mi / ri
7 -1 大约 200 年前，法国数学家兼天文学家拉普拉斯于 1796 年曾预言：“一个密度如地球而直径为太阳 250 倍的发光恒星，由于其引力作用，将不容许任何光线离开它，
试证明之。
已知：太阳的半径是地球的 109 倍地球的逃逸速度 v逃 =11.2? 103 m / s
解：设光子能量为 E，相应质量为 m =E/c2。
光线不能离开恒星的条件为：
GmMS / RS = E
M太 = 109M地,v逃 =11.2× 103 m / s,m =E /c2,
GmMS / RS = E (1)
MS =? 4?RS3 / 3,M地 =? 4?R地 3 / 3
MS = M地 RS3 / R地 3
代入 (1)式得：
G (E /c2 )( M地 RS3 / R地 3 ) / RS = E
(RS / R地 ) 2 = c2 /(GM地 / R地 ) = c2/v逃 2
RS / R地 = c / v逃
RS = ( c / v逃 )R地 = ( c / v逃 ) R太 / 109
RS = ( 3? 108? 11.2? 103?109 ) R太
RS? 250 R太
7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
1
7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R ) E
g
1
解：当 r > R,圆柱体外，
如图作高斯面：
g高 =?g侧 +?g两底
=?g侧
∮ Eg?dS =?侧 Eg?dS
= - 2?r l Eg
Σ(S内 ) mi =R2l
- 2?r l Eg = - 4? GR2l
Eg = 2?R2G? /r
7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
E
g
7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
1
E
g
解：当 r < R,圆柱体内，
如图作高斯面：
g高 =?g侧 +?g两底
=?g侧
∮ Eg?dS =?侧 Eg?dS
= - 2?r l Eg
Σ(S内 ) mi =r2l
- 2?r l Eg = - 4? Gr2l
Eg = 2?r G?
7 -3 假定沿地球某一直径打通一个隧道，
(a) 证明在距地心 r 处质量 m 上的受力为：
F = - 4? G? m r / 3
证,?Eg = - GMr / R3,M =? 4? R3 / 3
Eg = - G (? 4? R3 / 3 ) r / R3
= - 4? G? r / 3
F = m Eg = - 4? G? m r / 3
r
m
o
FR
(b)证明 m 的运动是简诣振动，周期约 84分钟，忽略物体的摩擦力。
已知：地球的平均密度 ρ= 5.5? 103 kg / m3
G = 6.67? 10 -11 N m2 / kg2
r
m
o
FR
证,? F = - 4?G?mr/3
牛顿第二定律：
F = m d2r/dt2
m d2r/dt2 = - 4?G?mr/3
d2r/dt2 +(4?G?/3) r = 0
= (4? G? / 3) 1/2
周期 T = 2? /? = 2? /( 4? G? / 3 ) 1/2
= 5067 秒钟? 84 分 钟
(c)若隧道不沿地球直径，而是地面上任意两点的直线开挖，证明 m 的运动也是简诣振动，而且振荡周期完全相同。
证,? F = - 4?G?mr/3
Fx = - 4?G?mrsin?/3
= - 4?G?mx /3
Fx = m d2x /dt2
m d2x /dt2 = - 4?G?mx /3
d2x /dt2 +(4?G?/3) x = 0
’ = (4? G? / 3) 1/2 =?
周期 T’ = T
r m
R
F
o
Fx x
x
7 -4 证明将物体象洋葱似地一层层加上去形成一个半径为 R 的球体 ( 球的密度保持一定 )时所需要的能量为 E = - 3 GM2 / 5R，
其中 M 是球体的总质量。
证：设球体半径为 r 时，
质量为 m =? 4?r3/3 。
引力势分布为：
Vg = - Gm /r’ ( r’ > r )
当半径为 r，厚度为 dr 的球壳 ( 其质量为 dm =? 4?r2dr ) 从无穷远加到 半径为
r 的球体上时，外力作微功为：
dA外 = dm [ Vg (r) - Vg (?) ]
r
dr
m =? 4?r3/3,dm =? 4?r2dr
Vg = - Gm /r’ ( r’ > r )
dA外 = dm [ Vg (r) - Vg (?) ]
=? 4?r2dr ( - Gm /r - 0 )= - G? m 4?rdr
=? (? 4? r3/3) 4?rdr = 3G(? 4? /3)2 r4dr
A外 =?oR3 G (? 4? /3)2 r4dr
= 3 G (? 4? /3)2 R5/ 5
= 3 G (? 4?R3/3)2 / 5R
= 3 G M2 / 5R
即所需能量为,E = 3 G M2 / 5R
1、万有引力定律
2、迭加原理（引力场、引力势）
三、描述引力场的两个重要物理量
1、引力场强,Eg = F/ m’
质点 m,Eg = - Gm/r2 ro
2、引力势,Vg(r) = Ep(r)/m’ [ Vg(?)=0 ]
质点 m,Vg(r) = - Gm / r
3、引力场与引力势之间的关系积分关系,Vg(r) =?r? Eg? dr
微分关系,Eg = - grad Vg
等势面垂直于 引 力线三,两个基本定理
1、引力场高斯定理,Φg = - 4πGΣ(S内 ) mi
物理意义,引力场是有源场
2、引力场的环路定理,∮ L Eg? dl = 0
物理意义,引力场是保守场,
引力线不能闭合。
四、引力场与引力势的计算方法
1、引力场的计算方法
(1) Eg = -?i G mi /ri 2 rio
(2) Eg = - grad Vg
(3) 利用高斯定理
2、引力势的计算方法
(1) Vg (r) =? r? Eg?dr
(2) Vg (r) = -?i G mi / ri
7 -1 大约 200 年前，法国数学家兼天文学家拉普拉斯于 1796 年曾预言：“一个密度如地球而直径为太阳 250 倍的发光恒星，由于其引力作用，将不容许任何光线离开它，
试证明之。
已知：太阳的半径是地球的 109 倍地球的逃逸速度 v逃 =11.2? 103 m / s
解：设光子能量为 E，相应质量为 m =E/c2。
光线不能离开恒星的条件为：
GmMS / RS = E
M太 = 109M地,v逃 =11.2× 103 m / s,m =E /c2,
GmMS / RS = E (1)
MS =? 4?RS3 / 3,M地 =? 4?R地 3 / 3
MS = M地 RS3 / R地 3
代入 (1)式得：
G (E /c2 )( M地 RS3 / R地 3 ) / RS = E
(RS / R地 ) 2 = c2 /(GM地 / R地 ) = c2/v逃 2
RS / R地 = c / v逃
RS = ( c / v逃 )R地 = ( c / v逃 ) R太 / 109
RS = ( 3? 108? 11.2? 103?109 ) R太
RS? 250 R太
7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
1
7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R ) E
g
1
解：当 r > R,圆柱体外，
如图作高斯面：
g高 =?g侧 +?g两底
=?g侧
∮ Eg?dS =?侧 Eg?dS
= - 2?r l Eg
Σ(S内 ) mi =R2l
- 2?r l Eg = - 4? GR2l
Eg = 2?R2G? /r
7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
E
g
7 -2 利用高斯定理求密度均匀的无限长圆柱体产生的引力场强发布 (设圆柱体密度为
ρ，半 径为 R )
1
E
g
解：当 r < R,圆柱体内，
如图作高斯面：
g高 =?g侧 +?g两底
=?g侧
∮ Eg?dS =?侧 Eg?dS
= - 2?r l Eg
Σ(S内 ) mi =r2l
- 2?r l Eg = - 4? Gr2l
Eg = 2?r G?
7 -3 假定沿地球某一直径打通一个隧道，
(a) 证明在距地心 r 处质量 m 上的受力为：
F = - 4? G? m r / 3
证,?Eg = - GMr / R3,M =? 4? R3 / 3
Eg = - G (? 4? R3 / 3 ) r / R3
= - 4? G? r / 3
F = m Eg = - 4? G? m r / 3
r
m
o
FR
(b)证明 m 的运动是简诣振动，周期约 84分钟，忽略物体的摩擦力。
已知：地球的平均密度 ρ= 5.5? 103 kg / m3
G = 6.67? 10 -11 N m2 / kg2
r
m
o
FR
证,? F = - 4?G?mr/3
牛顿第二定律：
F = m d2r/dt2
m d2r/dt2 = - 4?G?mr/3
d2r/dt2 +(4?G?/3) r = 0
= (4? G? / 3) 1/2
周期 T = 2? /? = 2? /( 4? G? / 3 ) 1/2
= 5067 秒钟? 84 分 钟
(c)若隧道不沿地球直径，而是地面上任意两点的直线开挖，证明 m 的运动也是简诣振动，而且振荡周期完全相同。
证,? F = - 4?G?mr/3
Fx = - 4?G?mrsin?/3
= - 4?G?mx /3
Fx = m d2x /dt2
m d2x /dt2 = - 4?G?mx /3
d2x /dt2 +(4?G?/3) x = 0
’ = (4? G? / 3) 1/2 =?
周期 T’ = T
r m
R
F
o
Fx x
x
7 -4 证明将物体象洋葱似地一层层加上去形成一个半径为 R 的球体 ( 球的密度保持一定 )时所需要的能量为 E = - 3 GM2 / 5R，
其中 M 是球体的总质量。
证：设球体半径为 r 时，
质量为 m =? 4?r3/3 。
引力势分布为：
Vg = - Gm /r’ ( r’ > r )
当半径为 r，厚度为 dr 的球壳 ( 其质量为 dm =? 4?r2dr ) 从无穷远加到 半径为
r 的球体上时，外力作微功为：
dA外 = dm [ Vg (r) - Vg (?) ]
r
dr
m =? 4?r3/3,dm =? 4?r2dr
Vg = - Gm /r’ ( r’ > r )
dA外 = dm [ Vg (r) - Vg (?) ]
=? 4?r2dr ( - Gm /r - 0 )= - G? m 4?rdr
=? (? 4? r3/3) 4?rdr = 3G(? 4? /3)2 r4dr
A外 =?oR3 G (? 4? /3)2 r4dr
= 3 G (? 4? /3)2 R5/ 5
= 3 G (? 4?R3/3)2 / 5R
= 3 G M2 / 5R
即所需能量为,E = 3 G M2 / 5R
