第 5 章目 录第五章 连续体力学
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.1 弹性体的拉伸和压缩
5.1.2 弹性体的剪切形变
5.1.3 歪曲和扭转
§ 5.2 流体力学
5.2.1 理想流体
5.2.2 静止流体内的压强
5.2.2 流体运动学的基本概念
5.2.3 伯努利方程及应用
5.2.4 粘滞流体的流动第 5 章目 录
§ 5.1 弹性体的应力和应变弹性体 —— 若物体所受外力撤消后,在外力作用下所发生的形状和体积的变化能够消失,则这种形变叫弹性形变,这种物体叫,弹性体,。
弹性体是 — 种理想模型 。
弹性体形变分类：
拉伸压缩,剪切,扭转,弯曲 。
最基本的形变,拉伸压缩,剪切形变,
弯曲和扭转可看作是由前两种形变组成的,
第 5 章目 录
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.1 弹性体的拉伸和压缩
1、外力、内力与应力假想截面外法线方向 n 。
正应力 (假想截面 S 上的拉伸或压缩应力 )：
σ= Fn / S
S,横截面积,Fn,内力在 n 上的投影,
拉伸应力：与外法线同向,σ> 0 ；
压缩应力：与外法线反向,σ< 0 。
国际制中应力的单位为叫 N/m2,称为,帕斯卡,,
可简称,帕,,国际符号为,Pa”．
外力外力外力拉伸应力拉伸应力外力外力外力压缩应力压缩应力外力 外力外法线 n
假想截面第 5 章目 录
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.1 弹性体的拉伸和压缩
2,直杆的线应变绝对伸长 △ l > 0 ;
绝对压缩 △ l < 0
相对伸长 (或压缩 )，
又叫线应变,ε=△ l / lo
拉伸形变,ε > 0 ;
压缩形变,ε< 0
横向相对形变或应变为,ε横 =△ b / bo
实验证明,│ε横 │比 │ε│小 3 — 4 倍,
bo
lo
第 5 章目 录
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.1 弹性体的拉伸和压缩
3、胡克定律对于有拉伸压缩形变的弹性体,当应变较小时,应变与应力成正比,σ＝ Yε
因 σ= Fn / S,ε=△ l / lo,故胡克定律可表示为,
Fn / S = Y △ l / lo
式中 Y 称为 杨氏模量 。 一般说来,拉伸和压缩的杨氏模量相差不多,可认为两者相同 。
若应力超过某限度，撤消外力后，应力回到零，但有剩余应变，称 塑性应变 。
第 5 章目 录
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.1 弹性体的拉伸和压缩
4、拉伸和压缩的形变势能反抗形变的弹性力是保守力,形变弹性体具有弹性势能,
弹性势能 等于自势能零点开始外力做功的正值,即,
VYSll lYdlYSdFAE o
o
l
o
l
nP
2
2
00 2
1
2
1
（略去形变过程中横截面积 S 的变化）
弹性势能密度,
2
2
1 YE o
p
第 5 章目 录
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.2 弹性体的剪切形变
1,剪切形变 ·剪切应力与应变剪切形变,当物体受到力偶作用使物体两个平行截面间发生相对平行移动,
设力 F 在该面上均匀分布,则剪应力为 τ=F / S
1、剪切形变 ·剪切应力与应变力偶,F = - F’,F’’ = - F’’’
剪切应力,τ τ’
5.1.2 弹性体的剪切形变力偶矩的平衡条件,(τa c) b = (τ’b c) a
→ τ = τ’
F
F’’F’’’
F’
a bc
1、剪切形变 ·剪切应力与应变剪切应力互等定律,
作用于互相垂直的假想截面上并垂直于该两平面交线的剪切应力是相等的,
5.1.2 弹性体的剪切形变剪切应变,平行截面间相对滑动位移与截面垂直距离之比,tg ψ = bb’/ab
若变形很小，故剪切应变可用切变角表示,ψ = bb’/ab
F
F’’F’’’
F’
b b’
a d
c’c
ψ
第 5 章目 录
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.2 弹性体的剪切形变
2,剪切形变的胡克定律若形变在一定限度内,剪切应力与剪切应变成正比,即,τ＝ Nψ，
式中 N 为为 剪切模量 。
Y,N 和泊松系数 μ之间的关系,
N=Y / 2( 1+ μ)
单位体积剪切形变的 弹性势能,
2
2
1 NE o
p
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.3 弯曲和扭转
1、梁的弯曲,是由程度不同的拉伸压缩形变组成的．
弹性体变形的分布是连续的，因而处于中间的 CC’层必将既不伸长也不压缩，叫作中性层。
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.3 弯曲和扭转
1、梁的弯曲用中性层的半径 R 或曲率 K 可以描述纯弯曲形变,可以证明对矩形截面梁在力偶作用下的弯曲,
其关系式为,K = 1 / R = 12τ/ Ybh3
τ为加于梁的力偶矩,Y 为材料的杨氏模量,b 为梁的宽度,h 为梁的高度 。
此式可知,梁的宽度增加一倍,中性层曲率也减小一倍,但若梁的高度增加一倍,则中性层曲率将减少八倍,可见,增加梁的高度将大大有利于提高梁的抗弯能力,
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.3 弯曲和扭转
2,杆的扭转圆柱体的扭转角,圆柱体两端面相对转过的角度 υ．
扭转形变实质,由剪切形变组成,ψ角正是相应体元的剪切应变 。
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.3 弯曲和扭转
2,杆的扭转在微小形变的条件下,狭长体元的剪切应变等于
ψ=rυ/l,r 表示体元所在半径,l 表示柱长,
可见,在同一同心圆薄层内剪切应变相同,不同层内剪切应变不同,中心轴线处的狭长体元无剪切应变,圆柱表面上体元的剪切应变最大,
因此抵抗形变的任务主要是由外层材料来承担,
靠近中心轴线的材料几乎不起什么作用,所以 对承受扭转变形的构件,可采用空心柱体以节约材料和减轻重量,
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.3 弯曲和扭转
2,杆的扭转可证明,产生扭转的力偶矩 τ和实心圆柱扭转角 υ
有如下关系,τ=(πNR4/2l )υ= c υ
R 和 l 分别表示圆柱的半径与长度,N 为剪切模量,
c 称为圆柱体的扭转系数 。
当 τ一定时,R 越大,l 越小,则 υ越小,即短而粗的圆柱体具有较强的抵抗扭转形变的能力 。 反之,
细而长的圆柱体抵抗扭转变形的能力较弱 。
第 5 章目 录
§ 5.2 流体力学
5.2.1 理想流体理想流体是不可压缩又无粘性的流体,
5.2.2 静止流体内的压强
1,静止流体内一点的压强流体内部某点处的压强,p = dF/dS
dF和 dS分别表示通过该面元两侧流体相互压力的大小和假想面元的面积 。
结论,过静止流体内一点各不同方位无穷小面元上的压强大小都相等 。
5.2.2 静止流体内的压强平衡方程,px △ y △ l – pn △ n △ l cos α= 0
py△ x△ l – pn△ n△ l sin α- ρg△ x△ y△ l / 2= 0
因 △ n sin α= △ x,△ n cos α= △ y,
故 px = pn,py = pn + ρg △ y / 2
令 △ x,△ y,△ l,△ n →0,得 px = pn = py 。
因面元△ m的方位是任意选定的,故过静止流体内一点各不同方位无穷小面元上的压强大小都相等。
5.2.2 静止流体内的压强
2、静止流体中压强的分布
等高的地方压强相等柱体水平方向的平衡条件：
pA△ S – pB △ S = 0 → pA = pB
高度相差 h 的两点间压强差为 ρg h
柱体垂直方向的平衡条件：
pB△ S – pC △ S = ρg h △ S → pA - pB = ρg h
例题 1,水坝横截面如图所示，坝长 1088 m，水深 5 m，
水的密度为 1.0× 103 kg / m2．求水作用于坝身的水平推力．不计大气压。
解,将坝身迎水坡沿水平方向 (垂直于纸面 )分成许多狭长面元，其中任意面元的长度即坝的长度 L，宽度可用 dl 表示，长条形面积为 Ldl,若不计大气压，则水作用于此面元的力为,dF＝ ρg h·Ldl
由图可知，倾斜面元对应的高度差,dh=dl sin α
dF与斜面垂直，它沿水平方向的分力,
dF水平 = sin α· dF = sin α· ρg h·Ldh / sin α
= ρg hLdh
例题 1,水坝横截面如图所示，坝长 1088 m，水深 5 m，水的密度为 1.0× 103 kg / m3．求水作用于坝身的水平推力．不计大气压。
解,dF水平 = ρg hLdh
水作用于坝身的水平推力为,
F水平 =∫0H ρg hLdh = ρg LH2/ 2
将 H＝ 5 m,L＝ 1088 m,ρ ＝ 1× 10 3 kg/m3代入上式，得 F水平 =13.3 × 10 7 N
5.2.2 静止流体内的压强
2、静止流体中压强的分布
推论,帕斯卡原理作用在密闭容器中流体上的压强等值地传到流体各处和器壁上去。
例题 2,阿基米德原理为：物体在流体中所受浮力等于该物体排开流体的重量,证明之,
[解 ]物体表面面元 dS受到的力等于 ρghdS，
所有作用于面元上的力沿铅直方向分力之和即浮力,故浮力等于
F=∫S ρgh cosαdS，
h cosαdS 等于 dS上方以 cosαdS为底的柱体的体积 dV,因此上式积分变为
F=∫S ρg dV= ρg V
= 物体排开流体的重量 W
此即阿基米德原理,
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§ 5.2 流体力学
5.2.3 流体运动学的基本概念
1,流迹 ·流线和流管研究流体运动的方法有两种：
拉格朗日法,将流体分成许多无穷小流体微团,
并追踪流体微团求出它们各自的运动规律 。
一定流体微团运动的轨迹叫该微团的 流迹 。
欧拉法,把注意力移到各空间点,观察各流体微团经过这些空间点的流速,v = v ( r,t )
欧拉法在流体力学得到更广泛应用 。
第 5 章目 录
§ 5.2 流体力学
5.2.3 流体运动学的基本概念
1,流迹 ·流线和流管
流速场,每一点均有一定的流速矢量与之相对应的空间,
流线,在流速场中画许多曲线使得曲线上每一点的切线方向和位于该点处流体微团的速度方向一致 。
一般说来,流线走向和分布随时间而变化 。
值得注意的是,流线不会相交 。
5.2.3 流体运动学的基本概念
1、流迹 ·流线和流管
几种典型情况的流线
流管,通过流体内部封闭曲线上各点的流线所围成的细管 。
由于流线不会相交,
因此流管内外的流体都不会具有穿过流管壁面的速度,换句话说,流管内的流体不能穿越管外,管外的流体也不能穿越管内,
5.2.3 流体运动学的基本概念
2,定常流动：
任意空间点的流体流速不随时间而改变 。
v = v ( r )
定常流动时的流线和流管均保持固定的形状和位置,这时,流管像是固定的,管道,,
而流体在这些由流线所围成的管道中运动 。
定常流动时，流体既在固定的流管中运动，
而流管无限变细即成为流线，这就意味着流体微团是沿流线运动的，即 定常流动时的流线与流迹相重合 。
5.2.3 流体运动学的基本概念
3,不可压缩流体的连续性方程
流量,在 dt 时间内,通过流管某横截面 △ S的流体的体积为 dV,dV 和 dt 之比称为该横截面上的流量 Q．
Q = dV/ dt = dl △ S / dt = v △ S
不可压缩流体的连续性方程对于不可压缩流体,通过流管各横截面的流量都相等,即 v △ S = 恒量第 5 章目 录
5.2.4 伯努利方程及应用因为 V’ 体内稳定流动，能量不变。所以，
仅考虑 ΔV1,ΔV2 内能量变化。
p2
p1
△ l1
△ l2
s1
s2
v1
v2
△ V1 = s1 △ l1
△ V2 = s2 △ l2
PK
P
K
EEW
VpVplsplspW
VhVhpgE
VvVvE
,
,
)(,
,
功能原理压力作功势能变化动能变化
2211222111
1122
1
2
12
2
2
2
1
2
1
p2
p1
△ l1
△ l2
s1
s2
v1
v2
△ V1 = s1 △ l1
△ V2 = s2 △ l2
压缩稳定流体伯努利方程适用于不可伯努利方程常数不可压缩流体：
功能原理压力作功势能变化动能变化
)(
,
,
)(,
,
pghvp
pghvppghvp
VV
VhVhpgVvVvVpVp
EEW
VpVplsplspW
VhVhpgE
VvVvE
PK
P
K
2
2
2
221
2
11
21
1122
2
12
2
22211
2211222111
1122
1
2
12
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
例,文特利流量计的原理：文特利管常用于测量液体在管中的流量或流速。在变截面管的下方，装有 U形管，内装水银．测量水平管道内的流速时，
可将流量计串联于管道中，根据水银表面的高度差，即可求出流量或流速．
已知管道横截面为 s1 和 s2,水银与液体的密度各为 ρ汞 与 ρ,水银面高度差为 h,求液体流量．设管中为理想流体作定常流动．
求流量所以可根据，其它参量均为常数，除
）（
）（
流量：
）（
形管内液体静止：
连续性方程：
伯努利方程：
例：文特利流量计原理汞汞
hh
ss
sg hs
svsvQ
ghpp
U
svsv
vpvp
2
2
2
1
2
2
2
1
2211
21
2211
2
22
2
11
2
2
1
2
1
[例 ] 皮托管原理：皮托管常用来测量气体的流速 。 开口 B 与气体流动的方向平行,开口 A 则垂直于气体流动的方向,两开口分别通向 U形管压强计的两端,根据液面的高度差便可求出气体的流速 。
已知气体密度为 ρ，
液体密度为 ρ液,管内液面高度差为 h,
求气体流速。气流沿水平方向，皮托管亦水平放置．空气视作理想流体，并相对于飞机作定常流功。
gh
v
ghppv
hhv
ghvpghvp
h
液液液
，假设：
伯努利方程：
。，管内液面高度差为，液体密度为设气体密度为皮托管原理例
2
2
1
0
2
1
2
1
1
12
2
1
212
2
2
221
2
11
:
力的来源。有压强差，足以说明升下关。这一公式已表明上式中的与机翼的形状有所以
，，因为
。并等于而引起的速度大小相等
，机翼上下因环流为设未经扰动的气流速度伯努利方程机翼的升力例环环环环环环环环
uvpp
vuvupp
vupvup
vpvp
vuvvuvhh
v
u
ghvpghvp
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
12
22
12
2
2
2
1
2
22
2
11
2121
2
2
221
2
11
])()[(
)( )(
,
:
第 5 章目 录
§ 5.2 流体力学
5.2.5 粘滞流体的流动
2、雷诺数,Re = ρv 特征 L /η
ρ和 η分别表示流体密度和粘性系数；
v 特征 表示特征流速,如在直圆管中流动时中轴线上的流速,绕过机翼的来自无穷远的均匀流动的流速等；
L表示流动涉及的特征长度,例如圆管直径或机翼宽度等 。
5.2.5 粘滞流体的流动
2,雷诺数流体流动,有所谓流动边界状况或称边界条件问题 。
例,(1)水在圆管中流动,圆管及其粗细为边界条件 ;
(2)来自无穷远处的均匀流动绕过一圆柱体,圆柱体表面即边界条件；
(3)飞机飞行时,机身机翼形状即构成边界条件,
相似律,若两种流动边界状况或边界条件相似且具有相同的雷诺数,则流体具有相同的动力特征,
例,在直圆管中流动但管的粗细不同,流速不同和流体种类不同,或都是来自无穷远的均匀流动绕过圆柱体但流速,圆柱直径和流体种类不同,等等,上面原理表明,若流动相似,只要雷诺数不变,流动性质就不变,亦可称一类,对称性,,即,标度对称性,,
5.2.5 粘滞流体的流动
2,雷诺数
标度对称性的实用价值,
举例,当研究设计水利工程时，可制造远小于实物的模型，并令其中流动的雷诺数与实际情况相近，则模型的流动能反映真实流动的基本特征．在空气动力学的实验中常令气流通过筒形通道，并设置测量设施，称风洞．设计飞机时，将缩尺模型置于风洞中，选择气体种类和流动，使雷诺数接近实际．这样，风洞中的气流将反映飞机飞行时空气相对飞机流动的特点．研究飞机的性能和设计，都离不开建立在相似性原理基础上的风洞实验．
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.1 弹性体的拉伸和压缩
5.1.2 弹性体的剪切形变
5.1.3 歪曲和扭转
§ 5.2 流体力学
5.2.1 理想流体
5.2.2 静止流体内的压强
5.2.2 流体运动学的基本概念
5.2.3 伯努利方程及应用
5.2.4 粘滞流体的流动第 5 章目 录
§ 5.1 弹性体的应力和应变弹性体 —— 若物体所受外力撤消后,在外力作用下所发生的形状和体积的变化能够消失,则这种形变叫弹性形变,这种物体叫,弹性体,。
弹性体是 — 种理想模型 。
弹性体形变分类：
拉伸压缩,剪切,扭转,弯曲 。
最基本的形变,拉伸压缩,剪切形变,
弯曲和扭转可看作是由前两种形变组成的,
第 5 章目 录
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.1 弹性体的拉伸和压缩
1、外力、内力与应力假想截面外法线方向 n 。
正应力 (假想截面 S 上的拉伸或压缩应力 )：
σ= Fn / S
S,横截面积,Fn,内力在 n 上的投影,
拉伸应力：与外法线同向,σ> 0 ；
压缩应力：与外法线反向,σ< 0 。
国际制中应力的单位为叫 N/m2,称为,帕斯卡,,
可简称,帕,,国际符号为,Pa”．
外力外力外力拉伸应力拉伸应力外力外力外力压缩应力压缩应力外力 外力外法线 n
假想截面第 5 章目 录
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.1 弹性体的拉伸和压缩
2,直杆的线应变绝对伸长 △ l > 0 ;
绝对压缩 △ l < 0
相对伸长 (或压缩 )，
又叫线应变,ε=△ l / lo
拉伸形变,ε > 0 ;
压缩形变,ε< 0
横向相对形变或应变为,ε横 =△ b / bo
实验证明,│ε横 │比 │ε│小 3 — 4 倍,
bo
lo
第 5 章目 录
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.1 弹性体的拉伸和压缩
3、胡克定律对于有拉伸压缩形变的弹性体,当应变较小时,应变与应力成正比,σ＝ Yε
因 σ= Fn / S,ε=△ l / lo,故胡克定律可表示为,
Fn / S = Y △ l / lo
式中 Y 称为 杨氏模量 。 一般说来,拉伸和压缩的杨氏模量相差不多,可认为两者相同 。
若应力超过某限度，撤消外力后，应力回到零，但有剩余应变，称 塑性应变 。
第 5 章目 录
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.1 弹性体的拉伸和压缩
4、拉伸和压缩的形变势能反抗形变的弹性力是保守力,形变弹性体具有弹性势能,
弹性势能 等于自势能零点开始外力做功的正值,即,
VYSll lYdlYSdFAE o
o
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2
2
00 2
1
2
1
（略去形变过程中横截面积 S 的变化）
弹性势能密度,
2
2
1 YE o
p
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§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.2 弹性体的剪切形变
1,剪切形变 ·剪切应力与应变剪切形变,当物体受到力偶作用使物体两个平行截面间发生相对平行移动,
设力 F 在该面上均匀分布,则剪应力为 τ=F / S
1、剪切形变 ·剪切应力与应变力偶,F = - F’,F’’ = - F’’’
剪切应力,τ τ’
5.1.2 弹性体的剪切形变力偶矩的平衡条件,(τa c) b = (τ’b c) a
→ τ = τ’
F
F’’F’’’
F’
a bc
1、剪切形变 ·剪切应力与应变剪切应力互等定律,
作用于互相垂直的假想截面上并垂直于该两平面交线的剪切应力是相等的,
5.1.2 弹性体的剪切形变剪切应变,平行截面间相对滑动位移与截面垂直距离之比,tg ψ = bb’/ab
若变形很小，故剪切应变可用切变角表示,ψ = bb’/ab
F
F’’F’’’
F’
b b’
a d
c’c
ψ
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§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.2 弹性体的剪切形变
2,剪切形变的胡克定律若形变在一定限度内,剪切应力与剪切应变成正比,即,τ＝ Nψ，
式中 N 为为 剪切模量 。
Y,N 和泊松系数 μ之间的关系,
N=Y / 2( 1+ μ)
单位体积剪切形变的 弹性势能,
2
2
1 NE o
p
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.3 弯曲和扭转
1、梁的弯曲,是由程度不同的拉伸压缩形变组成的．
弹性体变形的分布是连续的，因而处于中间的 CC’层必将既不伸长也不压缩，叫作中性层。
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.3 弯曲和扭转
1、梁的弯曲用中性层的半径 R 或曲率 K 可以描述纯弯曲形变,可以证明对矩形截面梁在力偶作用下的弯曲,
其关系式为,K = 1 / R = 12τ/ Ybh3
τ为加于梁的力偶矩,Y 为材料的杨氏模量,b 为梁的宽度,h 为梁的高度 。
此式可知,梁的宽度增加一倍,中性层曲率也减小一倍,但若梁的高度增加一倍,则中性层曲率将减少八倍,可见,增加梁的高度将大大有利于提高梁的抗弯能力,
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.3 弯曲和扭转
2,杆的扭转圆柱体的扭转角,圆柱体两端面相对转过的角度 υ．
扭转形变实质,由剪切形变组成,ψ角正是相应体元的剪切应变 。
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.3 弯曲和扭转
2,杆的扭转在微小形变的条件下,狭长体元的剪切应变等于
ψ=rυ/l,r 表示体元所在半径,l 表示柱长,
可见,在同一同心圆薄层内剪切应变相同,不同层内剪切应变不同,中心轴线处的狭长体元无剪切应变,圆柱表面上体元的剪切应变最大,
因此抵抗形变的任务主要是由外层材料来承担,
靠近中心轴线的材料几乎不起什么作用,所以 对承受扭转变形的构件,可采用空心柱体以节约材料和减轻重量,
§ 5.1 弹性体的应力和应变
5.1.3 弯曲和扭转
2,杆的扭转可证明,产生扭转的力偶矩 τ和实心圆柱扭转角 υ
有如下关系,τ=(πNR4/2l )υ= c υ
R 和 l 分别表示圆柱的半径与长度,N 为剪切模量,
c 称为圆柱体的扭转系数 。
当 τ一定时,R 越大,l 越小,则 υ越小,即短而粗的圆柱体具有较强的抵抗扭转形变的能力 。 反之,
细而长的圆柱体抵抗扭转变形的能力较弱 。
第 5 章目 录
§ 5.2 流体力学
5.2.1 理想流体理想流体是不可压缩又无粘性的流体,
5.2.2 静止流体内的压强
1,静止流体内一点的压强流体内部某点处的压强,p = dF/dS
dF和 dS分别表示通过该面元两侧流体相互压力的大小和假想面元的面积 。
结论,过静止流体内一点各不同方位无穷小面元上的压强大小都相等 。
5.2.2 静止流体内的压强平衡方程,px △ y △ l – pn △ n △ l cos α= 0
py△ x△ l – pn△ n△ l sin α- ρg△ x△ y△ l / 2= 0
因 △ n sin α= △ x,△ n cos α= △ y,
故 px = pn,py = pn + ρg △ y / 2
令 △ x,△ y,△ l,△ n →0,得 px = pn = py 。
因面元△ m的方位是任意选定的,故过静止流体内一点各不同方位无穷小面元上的压强大小都相等。
5.2.2 静止流体内的压强
2、静止流体中压强的分布
等高的地方压强相等柱体水平方向的平衡条件：
pA△ S – pB △ S = 0 → pA = pB
高度相差 h 的两点间压强差为 ρg h
柱体垂直方向的平衡条件：
pB△ S – pC △ S = ρg h △ S → pA - pB = ρg h
例题 1,水坝横截面如图所示，坝长 1088 m，水深 5 m，
水的密度为 1.0× 103 kg / m2．求水作用于坝身的水平推力．不计大气压。
解,将坝身迎水坡沿水平方向 (垂直于纸面 )分成许多狭长面元，其中任意面元的长度即坝的长度 L，宽度可用 dl 表示，长条形面积为 Ldl,若不计大气压，则水作用于此面元的力为,dF＝ ρg h·Ldl
由图可知，倾斜面元对应的高度差,dh=dl sin α
dF与斜面垂直，它沿水平方向的分力,
dF水平 = sin α· dF = sin α· ρg h·Ldh / sin α
= ρg hLdh
例题 1,水坝横截面如图所示，坝长 1088 m，水深 5 m，水的密度为 1.0× 103 kg / m3．求水作用于坝身的水平推力．不计大气压。
解,dF水平 = ρg hLdh
水作用于坝身的水平推力为,
F水平 =∫0H ρg hLdh = ρg LH2/ 2
将 H＝ 5 m,L＝ 1088 m,ρ ＝ 1× 10 3 kg/m3代入上式，得 F水平 =13.3 × 10 7 N
5.2.2 静止流体内的压强
2、静止流体中压强的分布
推论,帕斯卡原理作用在密闭容器中流体上的压强等值地传到流体各处和器壁上去。
例题 2,阿基米德原理为：物体在流体中所受浮力等于该物体排开流体的重量,证明之,
[解 ]物体表面面元 dS受到的力等于 ρghdS，
所有作用于面元上的力沿铅直方向分力之和即浮力,故浮力等于
F=∫S ρgh cosαdS，
h cosαdS 等于 dS上方以 cosαdS为底的柱体的体积 dV,因此上式积分变为
F=∫S ρg dV= ρg V
= 物体排开流体的重量 W
此即阿基米德原理,
第 5 章目 录
§ 5.2 流体力学
5.2.3 流体运动学的基本概念
1,流迹 ·流线和流管研究流体运动的方法有两种：
拉格朗日法,将流体分成许多无穷小流体微团,
并追踪流体微团求出它们各自的运动规律 。
一定流体微团运动的轨迹叫该微团的 流迹 。
欧拉法,把注意力移到各空间点,观察各流体微团经过这些空间点的流速,v = v ( r,t )
欧拉法在流体力学得到更广泛应用 。
第 5 章目 录
§ 5.2 流体力学
5.2.3 流体运动学的基本概念
1,流迹 ·流线和流管
流速场,每一点均有一定的流速矢量与之相对应的空间,
流线,在流速场中画许多曲线使得曲线上每一点的切线方向和位于该点处流体微团的速度方向一致 。
一般说来,流线走向和分布随时间而变化 。
值得注意的是,流线不会相交 。
5.2.3 流体运动学的基本概念
1、流迹 ·流线和流管
几种典型情况的流线
流管,通过流体内部封闭曲线上各点的流线所围成的细管 。
由于流线不会相交,
因此流管内外的流体都不会具有穿过流管壁面的速度,换句话说,流管内的流体不能穿越管外,管外的流体也不能穿越管内,
5.2.3 流体运动学的基本概念
2,定常流动：
任意空间点的流体流速不随时间而改变 。
v = v ( r )
定常流动时的流线和流管均保持固定的形状和位置,这时,流管像是固定的,管道,,
而流体在这些由流线所围成的管道中运动 。
定常流动时，流体既在固定的流管中运动，
而流管无限变细即成为流线，这就意味着流体微团是沿流线运动的，即 定常流动时的流线与流迹相重合 。
5.2.3 流体运动学的基本概念
3,不可压缩流体的连续性方程
流量,在 dt 时间内,通过流管某横截面 △ S的流体的体积为 dV,dV 和 dt 之比称为该横截面上的流量 Q．
Q = dV/ dt = dl △ S / dt = v △ S
不可压缩流体的连续性方程对于不可压缩流体,通过流管各横截面的流量都相等,即 v △ S = 恒量第 5 章目 录
5.2.4 伯努利方程及应用因为 V’ 体内稳定流动，能量不变。所以，
仅考虑 ΔV1,ΔV2 内能量变化。
p2
p1
△ l1
△ l2
s1
s2
v1
v2
△ V1 = s1 △ l1
△ V2 = s2 △ l2
PK
P
K
EEW
VpVplsplspW
VhVhpgE
VvVvE
,
,
)(,
,
功能原理压力作功势能变化动能变化
2211222111
1122
1
2
12
2
2
2
1
2
1
p2
p1
△ l1
△ l2
s1
s2
v1
v2
△ V1 = s1 △ l1
△ V2 = s2 △ l2
压缩稳定流体伯努利方程适用于不可伯努利方程常数不可压缩流体：
功能原理压力作功势能变化动能变化
)(
,
,
)(,
,
pghvp
pghvppghvp
VV
VhVhpgVvVvVpVp
EEW
VpVplsplspW
VhVhpgE
VvVvE
PK
P
K
2
2
2
221
2
11
21
1122
2
12
2
22211
2211222111
1122
1
2
12
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
例,文特利流量计的原理：文特利管常用于测量液体在管中的流量或流速。在变截面管的下方，装有 U形管，内装水银．测量水平管道内的流速时，
可将流量计串联于管道中，根据水银表面的高度差，即可求出流量或流速．
已知管道横截面为 s1 和 s2,水银与液体的密度各为 ρ汞 与 ρ,水银面高度差为 h,求液体流量．设管中为理想流体作定常流动．
求流量所以可根据，其它参量均为常数，除
）（
）（
流量：
）（
形管内液体静止：
连续性方程：
伯努利方程：
例：文特利流量计原理汞汞
hh
ss
sg hs
svsvQ
ghpp
U
svsv
vpvp
2
2
2
1
2
2
2
1
2211
21
2211
2
22
2
11
2
2
1
2
1
[例 ] 皮托管原理：皮托管常用来测量气体的流速 。 开口 B 与气体流动的方向平行,开口 A 则垂直于气体流动的方向,两开口分别通向 U形管压强计的两端,根据液面的高度差便可求出气体的流速 。
已知气体密度为 ρ，
液体密度为 ρ液,管内液面高度差为 h,
求气体流速。气流沿水平方向，皮托管亦水平放置．空气视作理想流体，并相对于飞机作定常流功。
gh
v
ghppv
hhv
ghvpghvp
h
液液液
，假设：
伯努利方程：
。，管内液面高度差为，液体密度为设气体密度为皮托管原理例
2
2
1
0
2
1
2
1
1
12
2
1
212
2
2
221
2
11
:
力的来源。有压强差，足以说明升下关。这一公式已表明上式中的与机翼的形状有所以
，，因为
。并等于而引起的速度大小相等
，机翼上下因环流为设未经扰动的气流速度伯努利方程机翼的升力例环环环环环环环环
uvpp
vuvupp
vupvup
vpvp
vuvvuvhh
v
u
ghvpghvp
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
12
22
12
2
2
2
1
2
22
2
11
2121
2
2
221
2
11
])()[(
)( )(
,
:
第 5 章目 录
§ 5.2 流体力学
5.2.5 粘滞流体的流动
2、雷诺数,Re = ρv 特征 L /η
ρ和 η分别表示流体密度和粘性系数；
v 特征 表示特征流速,如在直圆管中流动时中轴线上的流速,绕过机翼的来自无穷远的均匀流动的流速等；
L表示流动涉及的特征长度,例如圆管直径或机翼宽度等 。
5.2.5 粘滞流体的流动
2,雷诺数流体流动,有所谓流动边界状况或称边界条件问题 。
例,(1)水在圆管中流动,圆管及其粗细为边界条件 ;
(2)来自无穷远处的均匀流动绕过一圆柱体,圆柱体表面即边界条件；
(3)飞机飞行时,机身机翼形状即构成边界条件,
相似律,若两种流动边界状况或边界条件相似且具有相同的雷诺数,则流体具有相同的动力特征,
例,在直圆管中流动但管的粗细不同,流速不同和流体种类不同,或都是来自无穷远的均匀流动绕过圆柱体但流速,圆柱直径和流体种类不同,等等,上面原理表明,若流动相似,只要雷诺数不变,流动性质就不变,亦可称一类,对称性,,即,标度对称性,,
5.2.5 粘滞流体的流动
2,雷诺数
标度对称性的实用价值,
举例,当研究设计水利工程时，可制造远小于实物的模型，并令其中流动的雷诺数与实际情况相近，则模型的流动能反映真实流动的基本特征．在空气动力学的实验中常令气流通过筒形通道，并设置测量设施，称风洞．设计飞机时，将缩尺模型置于风洞中，选择气体种类和流动，使雷诺数接近实际．这样，风洞中的气流将反映飞机飞行时空气相对飞机流动的特点．研究飞机的性能和设计，都离不开建立在相似性原理基础上的风洞实验．
