目 录 第 8 章§ 8.4 狭义相对论的动力学
8.4.1 狭义相对性原理
The Special Principle of Relativity
1905年爱因斯坦将经典相对性原理推广到整个物理学定律，即 物理学定律在所有惯性系中是相同的，不存在一个绝对惯性系。
若按伽利略变换，麦克斯韦方程组就不能保持形式。
而用洛仑兹变换，则不仅保持光速不变原理，而且能保持物理学定律都具有相同的形式。
目 录 第 8 章8.4.2 动量、质量与速度的关系
1,动量和质量假设相对论中的动量仍定义,P = mv
其中质量 m是速度的函数。
由于空间各向同性,m只依赖于速度的大小,而不再与它的方向有关,即
m = m(v)
且当 v/c → 0 时 m → m o,mo称为静质量
rest mass，即为 经典力学中的质量 。
目 录 第 8 章考虑 A,B 两个全同粒子对心碰撞后结合成为 一 个复合粒子,
质量守恒,m(v) + mo = M(u)
动量守恒,m(v)v = M(u)u
M(u)/m(v) = [m(v) + mo]/m(v) = v/u
M(u)u
-v
K’ 系
A B
m(v)mom(v)
A B
mo
v
K 系碰撞前
M(u) u碰撞后目 录 第 8 章洛仑兹速度变换：
2cuv1
vuu'u
0
c
v
u
v
2
u
v
22
由此解得：
2
2
c
v11
u
v （,-” 舍取）
2
2
o
c
v
1
m
)v(m
2
2
o
c
v
1
vm
P
v/c
m(v)/mo
1.0
1.0
质速关系或目 录 第 8 章2、动力学方程
22
o
cv1
vm
dt
d
dt
)vm(d
dt
Pd
F
讨论,a、直线运动
dt
dv
.
cv1
m
cv1
vm
dt
d
F
2
3
22
o
22
o
注意：高能质点直线运动
F? ma = mdv/dt
目 录 第 8 章b、匀速圆周运动
dt
vd
.
cv1
m
F
22
o
c、一般曲线运动,（ at= dv/dt,an= v2/R）
R
v
.
cv1
m
F
2
22
o
n
）（ 法向加速度
dt
vd
n22
o
n a.
cv1
m
F
t
22
o
t a.
cv1
mF
2
3
。即，不平行于所以
amFaF
目 录 第 8 章例 8-1 在相对论动力学中恒力作用下的直线运动。
解,（初始条件,t = 0,xo= 0,vo= 0）
非相对论,a = F/m,v =at,x = at2/2
相对论：
22
o
cv1
vm
dt
d
F Ft
cv1
vm
22
o?
1、速度
)t(c
)0t(mFt
c.
tcmF1
tcmF
v o
22
o
o
t,v? c,P = F t
目 录 第 8 章2、位移
c d t.
tcmF1
tcmFdx
22
o
o
)t(ct
)0t(t
1tcmF1
F
cm
x
F
cm
2
m
F
2
1
22
o
2
o
2
o
o
v = Ft/mo
c
v
to o
x
t
x = ct - moc2/F
x = Ft2/2mo
目 录 第 8 章8.4.3 相对论能量和质能关系
1、相对论动能（若 v = 0,EK= 0）
)
cv-1
vm
(d?v=rd?)
cv-1
vm
(
dt
d
=rd?F=E vo
22
→
or
o 22
or
oK ∫∫∫
→→→ →→
→
→
EK = mc2 - moc2
2
o2
12
o
2
o
22
K
22
c/v1
1
vmcmcm)c2/v1(E
c2/v1,cv
22
时当
dv
cv-1
vm
cv1
vm
=vd?
cv1
vm
cv1
vm
= vo
22
o
22
2
ov
o 22
o
22
2
o ∫∫ -
--
-
-
→
→
2
o22
2
o2
o
222
o22
2
o cm -
cv1
cm=cmcv1cm+
cv1
vm=
-
--
-
目 录 第 8 章
2、相对论能量、质能关系质点总能,E = EK +moc2
= mc2
其中 moc2 称为 静能,总能 E 不包含势能。
质能关系,m = E / c2
物理意义：对于相应能量 E 有相应质量。
推广,?E =?m c2
目 录 第 8 章3、相对论能量与动量关系
vEv
c
v
1
cm
Pc
c
v
1
vm
P
2
2
2
o2
2
2
o?
(1) 速度与动量、能量关系
PEcv
2
222
2
o
22
2
o
EcP1
E
cv1
cmE
2242
o
222
o
2 cPcmcPEE
(2) 能量与动量关系目 录 第 8 章(3) 动能与动量关系因为 E2 = （ Eo + EK） 2 = Eo2 + P2c2
所以 EK = （ Eo2 + P2c2） 1/2 - Eo
例：若质点静质量 mo = 0 （光子，中微子）
E = P c
v = c2P/E
v = c
微观粒子 ( 电子、质子、中子、原子等 )的能量单位,电子伏特 ( 1eV = 1.6?10 -19 J )
动量单位,eV/c 速度单位,v/c
目 录 第 8 章例 8-2 电子的能量为 2.00? 106 eV，求电子的动能。
电子静能 Eo = mec2
= 9.11? 10-31? ( 3.00? 108 )2
= 8.20? 10-14 J
= 0.51? 106 eV
EK = E - Eo
= 2.00? 106 - 0.51? 106
= 1.49? 106 eV
目 录 第 8 章例 8-3 计算动能为 1? 105 eV 电子的速率 v,
解,EK = mc2 - moc2 2
o22 cm1cv1
1
2
o22 E1cv1
1
c
EE
E
1v
2
Ko
o?
c
1.051.0
51.01 2?
= 0.549 c
目 录 第 8 章例 8-4 (1)试计算动能为 1× 106 eV电子的动量
(2)计算一个速度为 0.8c 的电子动量解,(1) Eo2 + P2 c2 = E2 = ( Eo + EK )2
P = [( EK + Eo )2 - Eo2 ]1/2 /c
= [ EK( EK + 2 Eo ) ]1/2 /c
= [1?106?(1?106+2?0.51?106)]1/2/c
= 1.42 eV/c
(2) P = mv = mov/( 1- v2/c2 )1/2
= [ m0c2/(1- v2/c2)1/2 ]·v/c2
= [0.51? 106/( 1- 0.82 )1/2 ]·0.8/c
= 0.68? 106 eV/c
目 录 第 8 章[例 ]设有静止质量为 的粒子，以大小相同、方向相反的速度 v 相撞，反映合成一个复合粒子。试计算这个复合粒子的静止质量和运动速度。
m 0
由动量守恒和能量守恒（或质量守恒）得：
M Vm v =0 m v0
=得,V 0 M = M 0
cM 2 = 2 m 0c
2
v1 2
2c
M 0 = 2 m 0v
1 22c
目 录 第 8 章
>复合粒子质量 M 0 2 m 0
E2 k
2c== 2 m m 0( ) 2c
2c
E k为两粒子碰前的动能,
对应动能的这部分质量转化为静止质量
，静质量增加了，但相对论质量保持守恒！
实际上 M 0 =2 m是两个粒子的动质量，等于复合后粒子的静质量，质量是守恒的。
M 0 = 2 m0v1 2 2c
M 0 2 m 0 = 2 m 02 m 0v1 2 2c
目 录 第 8 章
8.4.4 相对论动量和能量的变换因为 E2 = Eo2 + P2c2 ( 在 S 系中 )
P2 - E2/c2 = Px2 + Py2 + Pz2 - E2/c2
= - mo2c2
根据相对论原理,( 在 S’ 系中 ) 必然有
P’x2 + P’y2 + P’z2 - E’2/c2 = - mo2c2
所以,Px2 + Py2 + Pz2 - E2/c2 = 不变量即,动量与能量四维空间矢量守恒目 录 第 8 章P
x2 + Py2 + Pz2 - E2/c2 = 不变量与时空四维矢量不变量比较：
x2 + y2 + z2 - c2t2 = 不变量
Px? x,Py? y,Pz? z,E/c? ct
动量与能量的变换式
22
x'
z
'
z
y
'
y
22
2
x'
x
c/u1
uPE
E
PP
PP
c/u1
c/uEP
P
22
'
x
'
'
zz
'
yy
22
2''
x
x
c/u1
uPE
E
PP
PP
c/u1
c/uEP
P
或目 录 第 8 章结论,在不同惯性系中，动量和能量是不相同的，但动量与能量四维矢量的模即大小是守恒的。
例 8-6 当质点相对于 O’ 静止，求以速度 v
相对于 O 运动时的动量和能量。
解：在 O’系中,Px’= Py’= Pz’= 0,E’= moc2
在 O 系中：
22
o
22
2
x
c/v1
vm
c/v1
c/'vE
P
22
2
o
22
c/v1
cm
c/v1
'E
E
Py= 0,Pz= 0
目 录 第 8 章8.4.5 相对论力的变换 ( 了解 )
dt
dPF
dt
dPF
dt
dPF
dt
PdF ｚ
ｚ
ｙ
ｙ
ｘ
ｘ,,
)v
c
1(
F
F
c
u
)v
c
1(
F
F
c/u1
1
v
c
1
vF
c
F
F
'
x
'
z
z
'
x
'
y
y
22
'
x
''
x
x
其中：
目 录 第 8 章例：粒子在 S’系中,v’= 0,F’.
在 S系中,v = u = ui
Fx= F’x,Fy= F’y/?,Fz= F’z/?
结论：
在粒子 v’= 0 静止于其中的参考系 S’
内测得的粒子受的力是 F’，
在粒子以速度 u 运动的参考系中测量时，
此力沿运动方向的分量不变，而沿垂直于运动方向的分量减少到 1/?
目 录 第 8 章8.4.6 高能过程满足,(1)在同一惯性系中,
动量守恒和能量守恒
(2)在不同惯性系中,
动量与能量四维空间矢量守恒
1、碰撞特征量 Q
Q =（ E’K1+ E’K2 ) - ( EK1+ EK2 )
因能量守恒,EK1+ m1c2 + EK2+ m2c2
= E’K1+ m’1c2 + E’K2+ m’2c2
故,Q = (m1+ m2 - m’1- m’2) c2 = - (?m) c2
目 录 第 8 章Q = (m
1+ m2 - m’1- m’2) c2 = - (?m) c2
其中：质量的改变?m = m1+ m2 - m’1- m’2
Q = 0,质量不改变?m = 0
Q < 0,质量增加?m > 0
Q > 0,质量减少?m < 0
若碰撞中产生新粒子，则 Q 定义为：
Q = (? E’ki ) - ( Ek1 + Ek2 )
= ( m1+ m2 -? m’i )c2
目 录 第 8 章2、当 Q < 0时，有入射粒子的最低阀动能,
设,A1为射体,A2为靶标,A’i为产生的粒子碰撞过程表示为,A1+ A2A’I
碰撞前：
L - 参照系,A1 [ P,E1= c(m12c2 + P2 )1/2 ]
A2 [ P = 0,E2= m2c2 ]
总能量,EL= E1+ E2= c(m12c2 + P2 )1/2 + m2c2
= EK+ m1c2 + m2c2
总动量,PL = P
C - 参照系,EC,PC = 0
满足四维动量守恒,EL2 - c2 PL2 = EC2 （ 1）
目 录 第 8 章E
L2 - c2 PL2 = EC2 （ 1）
EL= c(m12c2 + P2 )1/2 + m2c2
= EK+ m1c2 + m2c2
碰撞后,C - 参照系,P’C = PC = 0
E’C =? m’i c2 = EC
将 EL,EC代入（ 1）式，得：
[c (m12c2 + P2 )1/2 + m2c2]2 - c2 P2 = (? m’i )2c4
整理得,L - 参照系中射体得阀动能 EK
EK= - QM/2m2
其中,Q = ( m1+ m2 -? m’i ) c2
M = m1+ m2 +? m’i
目 录 第 8 章例,p+ + p+(靶子 )? p+ + p+ +?o
其中,p+ 为质子,?o为介子若靶子的质子在 L - 参照系中是静止的，则
Q = ( mp+ mp - mp - mp - m? ) c2
= - m?c2
M = mp+ mp + mp + mp + m?
= 4mp+ m?
阀动能：
Ek = - QM/2m2 = m?c2 (4mp+ m? ) /2mp
= ( 2 + m?/2mp ) m?c2 = 286 MeV
目 录 第 8 章第五节闵可夫斯基空间四维矢量与不变量目 录 第 8 章
§ 8.5 闵可夫斯基空间 四维矢量与不变量
8.5.1 闵可夫斯基空间三维空间与一维时间组成的总体称为 闵可夫斯基空间 或 四维空间 。
1、四维坐标系与世界点在四维空间中建立由三个空间坐标 x、
y,z 与一个时间坐标轴 ct 组成的 四维坐标系 。于是事件发生的地点和时间，就可以用这种四维坐标系中的点来表示，这种点叫做 世界点目 录 第 8 章2、四维间隔
a 和 b的两个事件，它们的世界点分别是 ( xa,ya,za,cta )和 ( xb,yb,zb,ctb )。
在四维空间中的间隔 sa - sb 定义为：
( sa - sb )2 = c2( ta - tb )2 - ( xa - xb )2 - ( ya - yb )2
- ( za - zb )2
(?s)2 = c2 (?t) 2 - (?x) 2 - (?y)2 - (?z) 2
利用洛仑兹变换，可以证明不同参考系中
(?s)2 = (?s’)2
上式说明,不同参考系中的观测者对空间间隔与时间间隔测量的结果并不相同。
目 录 第 8 章8.5.2 时空四维矢量
1、时空四维矢量记? = i ct，其中 i 表示虚数符号。我们把 x,y,z,?叫时空四维矢量的分量，前三个叫做 空间分量,第四个虚数分量叫做 时间分量 。
2、时空四维矢量的长度若用 s 表示世界点 ( 0,0,0,0 ) 与 ( x
,y,z,ct ) 之间的四维间隔，则有关系式：
(i s)2 = x2 + y2 + z2 +?2
i s 叫做 时空四维矢量 (x,y,z,?) 的长度目 录 第 8 章时空四维空间的洛仑兹变换式为：
x’ =? ( x + i)
y’ = y
z’ = z
’ =? (? - i? x )
3,四维矢量如果 A = ( Ax,Ay,Az,At ) 和 ( x,y,z,? )
一样地服从 洛仑兹变换：
Ax’ =? ( Ax + i?At )
Ay’ = Ay
Az’ = Az
At’ =? ( At - i?Ax )
且模方 A2 = Ax2 + Ay2 + Az2 + At2 是个洛仑兹变换下不变量，则称 A 为 四维矢量 。
目 录 第 8 章8.5.3 四维速度
1、四维速度的定义四维速度 u = ( ux,uy,uz,ut ) 定义如下：
ux = dx /d?
uy = dy /d?
uz = dz /d?
ut = d? /d?
其中 d? 为 固有时间 。
因为（ dx,dy,dz,d?）服从 洛仑兹变换，自然地四维速度 u = ( ux,uy,uz,ut )
也 服从 洛仑兹变换，即 u 为一个 四维矢量 。
目 录 第 8 章2、四维速度的分量与三维速度的分量的关系
ux = dx /d? = (dx /dt) (d? /dt) =? vx
uy = dy /d? = (dy /dt) (d? /dt) =? vy
uz = dz /d? = (dz /dt) (d? /dt) =? vz
ut = d? /d? = (d? /dt) (d? /dt) = i c?
综合以上各式，我们有
u = ( ux,uy,uz,ut ) = (? vx,? vy,? vz,i c? )
易验证，四维速度的不变 模方为：
u2 = ux2 + uy2 + uz2 + ut2 = - c2
目 录 第 8 章
ux’ =?V (ux + i?Vut)
uy’ = uy
uz’ = uz
ut’ =?V (ut - i?Vux)
四维速度 服从 洛仑兹变换：
’vx’ =?V? (vx + c?V)
’vy’ =? vy
’vz’ =? vz
c?’=?V? (c -?Vvx)
式中,?V = (1-?V2 )-1/2,?= (1-?2 )-1/2,
’= (1-?’)-1/2,?V= V/c,?= v/c,?’= v’/c，
这里 V 是 K’ 系相对于 K 系的速度。
c?’=?V? (c -?Vvx)V? /?’= 1 /(1- Vvx / c2 )
得,v
x’ = ( vx - V) /( 1- Vvx / c2 )
vy’ = vy /?V ( 1- Vvx / c2 )
vz’ = vz /?V ( 1- Vvx / c2 )
三维速度洛仑兹变换目 录 第 8 章8.5.4 四维动量三维动量的表达式 P = mv =? mov 中的
v 正是四维动量 u 的前三个分量，而 mo 是洛仑兹不变量。由此容易想到定义四维动量为 P = mo u 是恰当的，因为它将自动服从洛仑兹变换。 P 的第四个分量 Pt 为：
Pt = mo ut = i? mo c = i E/c
这里 E =? mo c2 = m c2 是物体的总能量。
故四维动量是由三维动量和能量组成的，即：
P = （ Px,Py,Pz,i E/c ）
而它的不变 模方为：
Px2 + Py2 + Pz2 + Pt2 = P2 - E2/c2 = - mo2 c2
目 录 第 8 章8.5.5 不变量的应用在粒子物理中经常分析质心系与实验室系之间的关系，其最基本规律是动量和能量的守恒定律。所以把守恒定律写成与参照系无关的不变形式是很方便的。设反应式为：
A1 + A2 + … = A 1’+ A2’+ …
相应的动量、能量守恒定律为：
P1 + P2+ … = P1’+ P2’+ …
E1 + E2 + … = E 1’+ E2’+ …
把它们合并为一个四维矢量式：
P1 + P2+ … = P1’+ P2’+ …
且从它可导出许多洛仑兹不变式。
目 录 第 8 章例如取两端的模方，即有：
( P1 + P2+ … ) 2 = ( P1’+ P2’+ … ) 2
这就是一个很常用的洛仑兹不变式。
在 8.4.6 高能过程中，讨论入射粒子的最低阀动能时就用到了上面的洛仑兹不变式。
在讨论分析粒子衰变时，改为另一形式来分析。
例如：一个粒子 A 衰变为两个粒子，即
A? A1 + A2
动量、能量守恒定律 P = P1 + P2 改写成
P - P1 = P2
取不变模方,( P - P1 )2 = P2 2
目 录 第 8 章( P - P
1 )2 = P2 2
或 P 2 + P12 - 2P?P1 = P2 2
或 - mo2 c2 - m1o2 c2 - 2P?P1 = - m2o2 c2
在质心系中,P = 0,E = moc2，
P?P1 = - moE1,
于是有,E1 = (mo2 + m1o2 - m2o2 ) c2 / 2mo
由粒子 1,2 的对称性可得：
E2 = (mo2 + m2o2 - m1o2 ) c2 / 2mo
目 录 第 8 章例 大统一理论预言，质子不是真正稳定的粒子，它可能进行如下的 衰变,po + e+
中性?o 介子立即 (在 10-16 s 内 )衰变为两个?
光 子,?o +?,试计算从静止 质子 p 衰变产生最大和最小的光 子能量。已知?o 介子的 静 质量为 mo = 135 MeV/c2,质子 p 和正电子 e+的 静 质量分别为 mp = 936 MeV/c2,
me = 0.52 MeV/c2 。
解,?o 介子能量为：
E? = (mp2 + m?2 - me2 ) c2 / 2mp
= ( 9362 + 1352 - 0.522 ) / 2?936 MeV
= 479 MeV
目 录 第 8 章从而?
= (1-2)-1/2 = E? /m?c2 = 3.548，
= (1--2)1/2 = 0.9595。
在?o 介子的参考系中两光子相反方向传播，它们的能量 E?相等，故 m?c2 = 2E?。
在 实验室系 (质子 静止 系 )里与?o 介子运动方向相同的?光子能量最大，相反的能量最小。注意到光子没有 静 质能量，动量与能量的关系为 P? = E? /c,做 洛仑兹变换，变到实验室系,最大和最小光子能量为：
E?’=( EP? c ) =E? ( 1 )
= m?c2 ( 1 ) / 2
M e V 9,7 M e V 3.4 6 9 最小。最大，
8.4.1 狭义相对性原理
The Special Principle of Relativity
1905年爱因斯坦将经典相对性原理推广到整个物理学定律，即 物理学定律在所有惯性系中是相同的，不存在一个绝对惯性系。
若按伽利略变换，麦克斯韦方程组就不能保持形式。
而用洛仑兹变换，则不仅保持光速不变原理，而且能保持物理学定律都具有相同的形式。
目 录 第 8 章8.4.2 动量、质量与速度的关系
1,动量和质量假设相对论中的动量仍定义,P = mv
其中质量 m是速度的函数。
由于空间各向同性,m只依赖于速度的大小,而不再与它的方向有关,即
m = m(v)
且当 v/c → 0 时 m → m o,mo称为静质量
rest mass，即为 经典力学中的质量 。
目 录 第 8 章考虑 A,B 两个全同粒子对心碰撞后结合成为 一 个复合粒子,
质量守恒,m(v) + mo = M(u)
动量守恒,m(v)v = M(u)u
M(u)/m(v) = [m(v) + mo]/m(v) = v/u
M(u)u
-v
K’ 系
A B
m(v)mom(v)
A B
mo
v
K 系碰撞前
M(u) u碰撞后目 录 第 8 章洛仑兹速度变换：
2cuv1
vuu'u
0
c
v
u
v
2
u
v
22
由此解得：
2
2
c
v11
u
v （,-” 舍取）
2
2
o
c
v
1
m
)v(m
2
2
o
c
v
1
vm
P
v/c
m(v)/mo
1.0
1.0
质速关系或目 录 第 8 章2、动力学方程
22
o
cv1
vm
dt
d
dt
)vm(d
dt
Pd
F
讨论,a、直线运动
dt
dv
.
cv1
m
cv1
vm
dt
d
F
2
3
22
o
22
o
注意：高能质点直线运动
F? ma = mdv/dt
目 录 第 8 章b、匀速圆周运动
dt
vd
.
cv1
m
F
22
o
c、一般曲线运动,（ at= dv/dt,an= v2/R）
R
v
.
cv1
m
F
2
22
o
n
）（ 法向加速度
dt
vd
n22
o
n a.
cv1
m
F
t
22
o
t a.
cv1
mF
2
3
。即，不平行于所以
amFaF
目 录 第 8 章例 8-1 在相对论动力学中恒力作用下的直线运动。
解,（初始条件,t = 0,xo= 0,vo= 0）
非相对论,a = F/m,v =at,x = at2/2
相对论：
22
o
cv1
vm
dt
d
F Ft
cv1
vm
22
o?
1、速度
)t(c
)0t(mFt
c.
tcmF1
tcmF
v o
22
o
o
t,v? c,P = F t
目 录 第 8 章2、位移
c d t.
tcmF1
tcmFdx
22
o
o
)t(ct
)0t(t
1tcmF1
F
cm
x
F
cm
2
m
F
2
1
22
o
2
o
2
o
o
v = Ft/mo
c
v
to o
x
t
x = ct - moc2/F
x = Ft2/2mo
目 录 第 8 章8.4.3 相对论能量和质能关系
1、相对论动能（若 v = 0,EK= 0）
)
cv-1
vm
(d?v=rd?)
cv-1
vm
(
dt
d
=rd?F=E vo
22
→
or
o 22
or
oK ∫∫∫
→→→ →→
→
→
EK = mc2 - moc2
2
o2
12
o
2
o
22
K
22
c/v1
1
vmcmcm)c2/v1(E
c2/v1,cv
22
时当
dv
cv-1
vm
cv1
vm
=vd?
cv1
vm
cv1
vm
= vo
22
o
22
2
ov
o 22
o
22
2
o ∫∫ -
--
-
-
→
→
2
o22
2
o2
o
222
o22
2
o cm -
cv1
cm=cmcv1cm+
cv1
vm=
-
--
-
目 录 第 8 章
2、相对论能量、质能关系质点总能,E = EK +moc2
= mc2
其中 moc2 称为 静能,总能 E 不包含势能。
质能关系,m = E / c2
物理意义：对于相应能量 E 有相应质量。
推广,?E =?m c2
目 录 第 8 章3、相对论能量与动量关系
vEv
c
v
1
cm
Pc
c
v
1
vm
P
2
2
2
o2
2
2
o?
(1) 速度与动量、能量关系
PEcv
2
222
2
o
22
2
o
EcP1
E
cv1
cmE
2242
o
222
o
2 cPcmcPEE
(2) 能量与动量关系目 录 第 8 章(3) 动能与动量关系因为 E2 = （ Eo + EK） 2 = Eo2 + P2c2
所以 EK = （ Eo2 + P2c2） 1/2 - Eo
例：若质点静质量 mo = 0 （光子，中微子）
E = P c
v = c2P/E
v = c
微观粒子 ( 电子、质子、中子、原子等 )的能量单位,电子伏特 ( 1eV = 1.6?10 -19 J )
动量单位,eV/c 速度单位,v/c
目 录 第 8 章例 8-2 电子的能量为 2.00? 106 eV，求电子的动能。
电子静能 Eo = mec2
= 9.11? 10-31? ( 3.00? 108 )2
= 8.20? 10-14 J
= 0.51? 106 eV
EK = E - Eo
= 2.00? 106 - 0.51? 106
= 1.49? 106 eV
目 录 第 8 章例 8-3 计算动能为 1? 105 eV 电子的速率 v,
解,EK = mc2 - moc2 2
o22 cm1cv1
1
2
o22 E1cv1
1
c
EE
E
1v
2
Ko
o?
c
1.051.0
51.01 2?
= 0.549 c
目 录 第 8 章例 8-4 (1)试计算动能为 1× 106 eV电子的动量
(2)计算一个速度为 0.8c 的电子动量解,(1) Eo2 + P2 c2 = E2 = ( Eo + EK )2
P = [( EK + Eo )2 - Eo2 ]1/2 /c
= [ EK( EK + 2 Eo ) ]1/2 /c
= [1?106?(1?106+2?0.51?106)]1/2/c
= 1.42 eV/c
(2) P = mv = mov/( 1- v2/c2 )1/2
= [ m0c2/(1- v2/c2)1/2 ]·v/c2
= [0.51? 106/( 1- 0.82 )1/2 ]·0.8/c
= 0.68? 106 eV/c
目 录 第 8 章[例 ]设有静止质量为 的粒子，以大小相同、方向相反的速度 v 相撞，反映合成一个复合粒子。试计算这个复合粒子的静止质量和运动速度。
m 0
由动量守恒和能量守恒（或质量守恒）得：
M Vm v =0 m v0
=得,V 0 M = M 0
cM 2 = 2 m 0c
2
v1 2
2c
M 0 = 2 m 0v
1 22c
目 录 第 8 章
>复合粒子质量 M 0 2 m 0
E2 k
2c== 2 m m 0( ) 2c
2c
E k为两粒子碰前的动能,
对应动能的这部分质量转化为静止质量
，静质量增加了，但相对论质量保持守恒！
实际上 M 0 =2 m是两个粒子的动质量，等于复合后粒子的静质量，质量是守恒的。
M 0 = 2 m0v1 2 2c
M 0 2 m 0 = 2 m 02 m 0v1 2 2c
目 录 第 8 章
8.4.4 相对论动量和能量的变换因为 E2 = Eo2 + P2c2 ( 在 S 系中 )
P2 - E2/c2 = Px2 + Py2 + Pz2 - E2/c2
= - mo2c2
根据相对论原理,( 在 S’ 系中 ) 必然有
P’x2 + P’y2 + P’z2 - E’2/c2 = - mo2c2
所以,Px2 + Py2 + Pz2 - E2/c2 = 不变量即,动量与能量四维空间矢量守恒目 录 第 8 章P
x2 + Py2 + Pz2 - E2/c2 = 不变量与时空四维矢量不变量比较：
x2 + y2 + z2 - c2t2 = 不变量
Px? x,Py? y,Pz? z,E/c? ct
动量与能量的变换式
22
x'
z
'
z
y
'
y
22
2
x'
x
c/u1
uPE
E
PP
PP
c/u1
c/uEP
P
22
'
x
'
'
zz
'
yy
22
2''
x
x
c/u1
uPE
E
PP
PP
c/u1
c/uEP
P
或目 录 第 8 章结论,在不同惯性系中，动量和能量是不相同的，但动量与能量四维矢量的模即大小是守恒的。
例 8-6 当质点相对于 O’ 静止，求以速度 v
相对于 O 运动时的动量和能量。
解：在 O’系中,Px’= Py’= Pz’= 0,E’= moc2
在 O 系中：
22
o
22
2
x
c/v1
vm
c/v1
c/'vE
P
22
2
o
22
c/v1
cm
c/v1
'E
E
Py= 0,Pz= 0
目 录 第 8 章8.4.5 相对论力的变换 ( 了解 )
dt
dPF
dt
dPF
dt
dPF
dt
PdF ｚ
ｚ
ｙ
ｙ
ｘ
ｘ,,
)v
c
1(
F
F
c
u
)v
c
1(
F
F
c/u1
1
v
c
1
vF
c
F
F
'
x
'
z
z
'
x
'
y
y
22
'
x
''
x
x
其中：
目 录 第 8 章例：粒子在 S’系中,v’= 0,F’.
在 S系中,v = u = ui
Fx= F’x,Fy= F’y/?,Fz= F’z/?
结论：
在粒子 v’= 0 静止于其中的参考系 S’
内测得的粒子受的力是 F’，
在粒子以速度 u 运动的参考系中测量时，
此力沿运动方向的分量不变，而沿垂直于运动方向的分量减少到 1/?
目 录 第 8 章8.4.6 高能过程满足,(1)在同一惯性系中,
动量守恒和能量守恒
(2)在不同惯性系中,
动量与能量四维空间矢量守恒
1、碰撞特征量 Q
Q =（ E’K1+ E’K2 ) - ( EK1+ EK2 )
因能量守恒,EK1+ m1c2 + EK2+ m2c2
= E’K1+ m’1c2 + E’K2+ m’2c2
故,Q = (m1+ m2 - m’1- m’2) c2 = - (?m) c2
目 录 第 8 章Q = (m
1+ m2 - m’1- m’2) c2 = - (?m) c2
其中：质量的改变?m = m1+ m2 - m’1- m’2
Q = 0,质量不改变?m = 0
Q < 0,质量增加?m > 0
Q > 0,质量减少?m < 0
若碰撞中产生新粒子，则 Q 定义为：
Q = (? E’ki ) - ( Ek1 + Ek2 )
= ( m1+ m2 -? m’i )c2
目 录 第 8 章2、当 Q < 0时，有入射粒子的最低阀动能,
设,A1为射体,A2为靶标,A’i为产生的粒子碰撞过程表示为,A1+ A2A’I
碰撞前：
L - 参照系,A1 [ P,E1= c(m12c2 + P2 )1/2 ]
A2 [ P = 0,E2= m2c2 ]
总能量,EL= E1+ E2= c(m12c2 + P2 )1/2 + m2c2
= EK+ m1c2 + m2c2
总动量,PL = P
C - 参照系,EC,PC = 0
满足四维动量守恒,EL2 - c2 PL2 = EC2 （ 1）
目 录 第 8 章E
L2 - c2 PL2 = EC2 （ 1）
EL= c(m12c2 + P2 )1/2 + m2c2
= EK+ m1c2 + m2c2
碰撞后,C - 参照系,P’C = PC = 0
E’C =? m’i c2 = EC
将 EL,EC代入（ 1）式，得：
[c (m12c2 + P2 )1/2 + m2c2]2 - c2 P2 = (? m’i )2c4
整理得,L - 参照系中射体得阀动能 EK
EK= - QM/2m2
其中,Q = ( m1+ m2 -? m’i ) c2
M = m1+ m2 +? m’i
目 录 第 8 章例,p+ + p+(靶子 )? p+ + p+ +?o
其中,p+ 为质子,?o为介子若靶子的质子在 L - 参照系中是静止的，则
Q = ( mp+ mp - mp - mp - m? ) c2
= - m?c2
M = mp+ mp + mp + mp + m?
= 4mp+ m?
阀动能：
Ek = - QM/2m2 = m?c2 (4mp+ m? ) /2mp
= ( 2 + m?/2mp ) m?c2 = 286 MeV
目 录 第 8 章第五节闵可夫斯基空间四维矢量与不变量目 录 第 8 章
§ 8.5 闵可夫斯基空间 四维矢量与不变量
8.5.1 闵可夫斯基空间三维空间与一维时间组成的总体称为 闵可夫斯基空间 或 四维空间 。
1、四维坐标系与世界点在四维空间中建立由三个空间坐标 x、
y,z 与一个时间坐标轴 ct 组成的 四维坐标系 。于是事件发生的地点和时间，就可以用这种四维坐标系中的点来表示，这种点叫做 世界点目 录 第 8 章2、四维间隔
a 和 b的两个事件，它们的世界点分别是 ( xa,ya,za,cta )和 ( xb,yb,zb,ctb )。
在四维空间中的间隔 sa - sb 定义为：
( sa - sb )2 = c2( ta - tb )2 - ( xa - xb )2 - ( ya - yb )2
- ( za - zb )2
(?s)2 = c2 (?t) 2 - (?x) 2 - (?y)2 - (?z) 2
利用洛仑兹变换，可以证明不同参考系中
(?s)2 = (?s’)2
上式说明,不同参考系中的观测者对空间间隔与时间间隔测量的结果并不相同。
目 录 第 8 章8.5.2 时空四维矢量
1、时空四维矢量记? = i ct，其中 i 表示虚数符号。我们把 x,y,z,?叫时空四维矢量的分量，前三个叫做 空间分量,第四个虚数分量叫做 时间分量 。
2、时空四维矢量的长度若用 s 表示世界点 ( 0,0,0,0 ) 与 ( x
,y,z,ct ) 之间的四维间隔，则有关系式：
(i s)2 = x2 + y2 + z2 +?2
i s 叫做 时空四维矢量 (x,y,z,?) 的长度目 录 第 8 章时空四维空间的洛仑兹变换式为：
x’ =? ( x + i)
y’ = y
z’ = z
’ =? (? - i? x )
3,四维矢量如果 A = ( Ax,Ay,Az,At ) 和 ( x,y,z,? )
一样地服从 洛仑兹变换：
Ax’ =? ( Ax + i?At )
Ay’ = Ay
Az’ = Az
At’ =? ( At - i?Ax )
且模方 A2 = Ax2 + Ay2 + Az2 + At2 是个洛仑兹变换下不变量，则称 A 为 四维矢量 。
目 录 第 8 章8.5.3 四维速度
1、四维速度的定义四维速度 u = ( ux,uy,uz,ut ) 定义如下：
ux = dx /d?
uy = dy /d?
uz = dz /d?
ut = d? /d?
其中 d? 为 固有时间 。
因为（ dx,dy,dz,d?）服从 洛仑兹变换，自然地四维速度 u = ( ux,uy,uz,ut )
也 服从 洛仑兹变换，即 u 为一个 四维矢量 。
目 录 第 8 章2、四维速度的分量与三维速度的分量的关系
ux = dx /d? = (dx /dt) (d? /dt) =? vx
uy = dy /d? = (dy /dt) (d? /dt) =? vy
uz = dz /d? = (dz /dt) (d? /dt) =? vz
ut = d? /d? = (d? /dt) (d? /dt) = i c?
综合以上各式，我们有
u = ( ux,uy,uz,ut ) = (? vx,? vy,? vz,i c? )
易验证，四维速度的不变 模方为：
u2 = ux2 + uy2 + uz2 + ut2 = - c2
目 录 第 8 章
ux’ =?V (ux + i?Vut)
uy’ = uy
uz’ = uz
ut’ =?V (ut - i?Vux)
四维速度 服从 洛仑兹变换：
’vx’ =?V? (vx + c?V)
’vy’ =? vy
’vz’ =? vz
c?’=?V? (c -?Vvx)
式中,?V = (1-?V2 )-1/2,?= (1-?2 )-1/2,
’= (1-?’)-1/2,?V= V/c,?= v/c,?’= v’/c，
这里 V 是 K’ 系相对于 K 系的速度。
c?’=?V? (c -?Vvx)V? /?’= 1 /(1- Vvx / c2 )
得,v
x’ = ( vx - V) /( 1- Vvx / c2 )
vy’ = vy /?V ( 1- Vvx / c2 )
vz’ = vz /?V ( 1- Vvx / c2 )
三维速度洛仑兹变换目 录 第 8 章8.5.4 四维动量三维动量的表达式 P = mv =? mov 中的
v 正是四维动量 u 的前三个分量，而 mo 是洛仑兹不变量。由此容易想到定义四维动量为 P = mo u 是恰当的，因为它将自动服从洛仑兹变换。 P 的第四个分量 Pt 为：
Pt = mo ut = i? mo c = i E/c
这里 E =? mo c2 = m c2 是物体的总能量。
故四维动量是由三维动量和能量组成的，即：
P = （ Px,Py,Pz,i E/c ）
而它的不变 模方为：
Px2 + Py2 + Pz2 + Pt2 = P2 - E2/c2 = - mo2 c2
目 录 第 8 章8.5.5 不变量的应用在粒子物理中经常分析质心系与实验室系之间的关系，其最基本规律是动量和能量的守恒定律。所以把守恒定律写成与参照系无关的不变形式是很方便的。设反应式为：
A1 + A2 + … = A 1’+ A2’+ …
相应的动量、能量守恒定律为：
P1 + P2+ … = P1’+ P2’+ …
E1 + E2 + … = E 1’+ E2’+ …
把它们合并为一个四维矢量式：
P1 + P2+ … = P1’+ P2’+ …
且从它可导出许多洛仑兹不变式。
目 录 第 8 章例如取两端的模方，即有：
( P1 + P2+ … ) 2 = ( P1’+ P2’+ … ) 2
这就是一个很常用的洛仑兹不变式。
在 8.4.6 高能过程中，讨论入射粒子的最低阀动能时就用到了上面的洛仑兹不变式。
在讨论分析粒子衰变时，改为另一形式来分析。
例如：一个粒子 A 衰变为两个粒子，即
A? A1 + A2
动量、能量守恒定律 P = P1 + P2 改写成
P - P1 = P2
取不变模方,( P - P1 )2 = P2 2
目 录 第 8 章( P - P
1 )2 = P2 2
或 P 2 + P12 - 2P?P1 = P2 2
或 - mo2 c2 - m1o2 c2 - 2P?P1 = - m2o2 c2
在质心系中,P = 0,E = moc2，
P?P1 = - moE1,
于是有,E1 = (mo2 + m1o2 - m2o2 ) c2 / 2mo
由粒子 1,2 的对称性可得：
E2 = (mo2 + m2o2 - m1o2 ) c2 / 2mo
目 录 第 8 章例 大统一理论预言，质子不是真正稳定的粒子，它可能进行如下的 衰变,po + e+
中性?o 介子立即 (在 10-16 s 内 )衰变为两个?
光 子,?o +?,试计算从静止 质子 p 衰变产生最大和最小的光 子能量。已知?o 介子的 静 质量为 mo = 135 MeV/c2,质子 p 和正电子 e+的 静 质量分别为 mp = 936 MeV/c2,
me = 0.52 MeV/c2 。
解,?o 介子能量为：
E? = (mp2 + m?2 - me2 ) c2 / 2mp
= ( 9362 + 1352 - 0.522 ) / 2?936 MeV
= 479 MeV
目 录 第 8 章从而?
= (1-2)-1/2 = E? /m?c2 = 3.548，
= (1--2)1/2 = 0.9595。
在?o 介子的参考系中两光子相反方向传播，它们的能量 E?相等，故 m?c2 = 2E?。
在 实验室系 (质子 静止 系 )里与?o 介子运动方向相同的?光子能量最大，相反的能量最小。注意到光子没有 静 质能量，动量与能量的关系为 P? = E? /c,做 洛仑兹变换，变到实验室系,最大和最小光子能量为：
E?’=( EP? c ) =E? ( 1 )
= m?c2 ( 1 ) / 2
M e V 9,7 M e V 3.4 6 9 最小。最大，
