第 7 章目 录第一定律,行星以太阳为一焦点而作椭圆轨道运动。
第二定律,任何行星对太阳的位置矢量在同样时间内在它椭圆上所扫过的面积是相等的。
第三定律,旋转周期的平方和行星与太阳之间的平均距离的立方成正比。
第七章 万有引力
§ 7.1 开普勒三大定律,Kepler’s Laws
第 7 章目 录
7.2.1 万有引力定律 Law of Gravitation
1、万有引力是有心力
t? t +dt，质点 A? B
扫过面积矢量,dA = r? dr / 2
定值 = dA/dt
=(r?dr/dt)/2
= r?v/2
质点的角动量
L = r?p = mr?v
= 定值即,角动量守恒，说明万有引力是有心力。
drt
t+dt
r
L
r+drO
A
B
§ 7.2 万有引力定律第 7 章目 录
2、与作用距离的平方成反比考虑行星轨道为圆的特例开普勒第一定律说明作用力指向圆心法向力,F = mv2/r = m( 2?r/ T )2/r
= 4?2mr/T2
开普勒第三定律,T2 = kr3 ( k为常数 )
故,F = 4?2mr/T2
= 4?2mr/kr3
= 4?2m/kr2
即,F? 1/r2?与作用距离的平方成反比第 7 章目 录3、引力质量 Gravitational Mass 的引入万有引力与物体的本性有关，在物理学中用引力质量来定量地表示。
引力质量的数值规定如下：
若质点 A和质点 C的引力为 FAC，质点 B
和质点 C的引力为 FBC，距离 AC等于距离
BC，则,m / m’ = FAC / FBC = 常数规定标准引力质量，单位为公斤 kg
因为,m 与 m’ 的作用力 F?m m’
所以,万有引力定律 F = G m m’/r2
引力常数 G = 6.67? 10-11 Nm2 / kg2
第 7 章目 录万有引力定律物理意义：
两个物体之间的万有引力作用可以用一个有心吸力来代表，它和二者的质量成正比，而与二者之间的距离平方成反比。
万有引力定律是自然界最普遍的定律之一。
一切物体不论它们是怎样微小或怎样巨大，是元素或化合物，有生命或无生命的都遵从这个定律。
除天体外，万有引力与电磁力、强力、弱力相比小到可略去不计。地球上物体所受到的重力就是万有引力的一个特例，物体下落时的重力加速度就是物体受地球引力作用的结果。地面以上的物体离地心较远时重力较小，所以当物体从极第 7 章目 录7.2.2 引力质量和惯性质量引力质量 —— 表征物体的引力特性惯性质量 —— 表征物体的惯性特性在经典力学中它们是两个不同的物理量。但许多实验都证明，惯性质量与引力质量在数值上成正比。地面上同一地点一切物体下落的加速度相同就是惯性质量与引力质量成正比最简单的实验证明。
既然惯性质量与引力质量的数值成正比，那么只要选取适当的单位，引力质量与惯性质量在数值上相等。
因此，平时不必再区分惯性质量和引力质量，
而统称为质量。
第 7 章目 录
7.2.3 引力势能万有 引力矢量形式；
or
r
'mmG -=F
2
由于万有引力是有心力，而且只依距离而变，它相当于一个保守力，所以我们可以引入 引力势能 。
r
mm’ F ro
第 7 章目 录引力势能,
] 0=)(E [ r 'mmG -=)r(E pp ∞
r
'mm
G -=dr
r
'mm
G-=
rd?r
r
m m '
G-=rd?F =)r(E
∫
∫ ∫
∞
r 2
∞
r
∞
r 2p
o
设无限远处 (r=∞) 的势能为零,EP(∞)=0
[例 ] 引力相互作用下二质点系统的总能量：
E = mv2/2 + m’v’2/2 - Gmm’/r
第 7 章目 录
Ep = -Gmm’/rEk
o
E
E<0
r
E
Ep = -Gmm’/r
Eko
E
E>0
r
E
Ep = -Gmm’/r
Ek
o E
E=0
r
E
m
m’
椭圆
m
m’
双曲线
m’
m
抛物线第 7 章目 录
E=0
抛物线
E>0
双曲线
E<0
椭圆
A
h
R
vo
人造卫星轨道,设从地面发射一颗卫星，卫星在 A
点达到它的最大高度 h 之后，受到一推力而产生一水平速度 vo
第 7 章目 录例 7-1 试计算一物体在地球上的逃逸速度，即在地球上发射一物体使之到达无限远处所需的最小发射速度。
解：欲使物体到达无限远处，总能量必须为零或为正；显然,最小速度对应于总能量为零 。因此，
令 E=0，并设 M为地球的质量,R为地球半径,ve
为物体的逃逸速度，则得：
mve2/2 - GmMR = 0
因此,ve =(2GM/R)1/2 =1.2× 104 m/s
注意,逃逸速度与物体的质量无关 。但是，
加速一物体使之达到逃逸速度所需的推力则与这物体的质量有关系。因此，质量较大的导弹和卫星就需要功率较大的助推器。
第 7 章目 录
7.3.1 引力场 Gravitational Field
牛顿时代认为,引力作用为超距作用，
无需作用时间。
现代观点,引力作用以引力场（引力子）
为媒介起作用，作用需传递时间，
引力子传递速度为光速 c。
1、引力场强定义：
Eg = F/m’ ( m’ 为试验质量 )
质点 m 在 m’ 所在地点的引力场强度为：
Eg = - Gm/r2 ro （ 引力场指向质 点 m）
单位是 N·kg-1 或 m·s-2,与加速度相同。
§ 7.3 引力场和引力势第 7 章目 录任何一个放在这区域内质点所受的引力可由该质点的质量 M 乘以相应 Eg 而得出，即：
F = MEg
与质点的重力 W = Mg 相比较，重力加速度 g 可以被当作是在地球表面处的引力场强度。
第 7 章目 录2、引力场迭加原理假定有几个质量
m1,m2,m3,…,分别产生各自引力场 Egi，
F = mEg1 + mEg2 + mEg3 + …
= m( Eg1 + Eg2 + Eg3 + … ）
于是,P
Eg = Eg1 + Eg2 + Eg3 + …
P m
m1
m3
Eg3
Eg2
Eg1
r3
r2
r1
m2
作用在质量为 m 的质点 P 上总力为：
第 7 章目 录
3、引力线 Line of Gravitational Force
引力场可以在用力线来表示。在每一点，力线都与场的方向相切，所画力线的密度和场的强度成正比。
右图是一个质量周围的场，全部力线都是径向的。
Eg
第 7 章目 录
7.3.2 引力势 Gravitational Potential
1、引力势定义：
置于引力场中的每单位质量的势能
Vg(r) = Ep(r)/m’ =?r? Eg? dr (积分关系 )
引力势的单位为 J·kg-1 或 m2·s -2
因为,Ep(r) = - Gmm’/r
所以对质点 m,r
Vg(r) = - Gm / r
其中规定 Vg(?) = 0。
第 7 章目 录2、引力势迭加原理如果不是一个质点，而有若干个质点，
则 P 点的引力势为：
Vg = Vg1 + Vg2 + Vg3 + …
3、引力场和引力势之间的关系因为,F = - grad EP
所以,Eg = - grad Vg （微分关系）
由此可见,引力场等于引力势梯度的负值 。引力势的概念非常有用，因为它是一个标量，非常容易计算；以后可以用上式来计算引力场强度。
第 7 章目 录
4、引力场作功与引力场（势）关系如果一质量为 m 的质点自 P1 点沿任一路径移至另一 P2 点，引力场所作的功为：
A = EP1 - EP2 = m( Vg1 - Vg2 )
其中 Vg1 - Vg2 称为引力势差。
5、等势面与引力场关系
（ 1）等势面：
把引力势有相同值的点连起来，就可得到一系列的等势面。
第 7 章目 录例如：在单一质点的情况下，等势面是 r
= 常数的球面。
结论,1、等势面垂直于引力线，
2、引力场的方向垂直于等势面注意,引力可用引力场或引力势唯一独自来描述。
因为 引力势 是一个标量，因此计算非常容易。
等势面第 7 章目 录
7.4.1 引力通量 Flux
引力通量 Φg定义：
dΦg = Eg ·dS = Eg cos? dS
式中 θ为引力场 Eg 与面元 dS 法向之间的夹角。
n
θ
Eg
dS
S
dS
Eg
θ= 0
Eg
n
dS
θ
§ 7.4 引力场高斯定理第 7 章目 录因此,从里向外穿过曲面的通量为正，
n
θ
Eg
dS
S
m
计算通过有限大小曲面的通量，需要对上式进行面积分，即：
Φg =?S Eg ·dS
约定,闭合曲面上的面元 dS 方向从里向外为法向矢量 n。
第 7 章目 录7.4.2 单个质点的引力通量
dΦg = - Gm ro ·dS / r2 = - GmdΩ
式中 dΩ= ro ·dS/r2 。
dΩ称为面元 dS 对应的立体角 ( 单位为球面度，
符号为 sr )，它的大小为垂直径矢方向的投影面积 dS’ = ro ·dS 与面元 dS 离质点 m 的距离平方之比。
O
n
dΩ
dS’
dS
ro
立体角第 7 章目 录 立体角的球面度与平面角的弧度相对应。正像整个圆周对圆心所张平面角是 2π
弧度一样，整个球面对球心所张的立体角是 4π球面度。
当一个闭合曲面 S 将顶点 O 包围在内时，它所张的立体角和球面是一样的，为 4π球面度。
然而，它对其外的顶点 O′所张的立体角正负两部分相消，其代数和恒为零。
o’
S
o S
第 7 章目 录7.4.3 高斯定理
1、闭合曲面 S 内有一质点 m,则通过闭合曲面 S 的引力通量为：
Φg =∮ S dΦg
= -∮ S Gm dΩ
= - Gm∮ S dΩ
Φg = - 4πGm
若质点 m 在闭合曲面 S 外，则通过闭合曲面 S 的引力通量为零,Φg = 0 。
m
S内
m
S外第 7 章目 录2、闭合曲面内有 n 个质点由场强迭加原理,Eg = Eg1 + Eg2 + Eg3 + …
dΦg = Eg ·dS
= Eg1 ·dS + Eg2 ·dS + Eg3 ·dS + …
= dΦg1 + dΦg2 + dΦg3 + …
故,Φg = Φg1 + Φg2 + Φg3 + …
= -4πGm1- 4πGm2- 4πGm3 - …
Φg = - 4πGΣ(S内 ) mi
即计算引力通量时，上式右端只对 S 面内的质点求和，该式称为 高斯定理 。
它是对所有的平方反比有心力场都适第 7 章目 录例 7-2 利用高斯定理求质量为 m 的均匀球体产生的引力场强分布。
解：设球体的半径为 R，密度 ρ= 3m/4πR3，
根据对称性，同心的球面上场强的大小相等，
方向与此曲面垂直指向球心。
作 通过场点 P的同心球面为高斯面 S
1,P点在球外 (r＞ R)
θ=π,cosθ= - 1，
Φg =∮ SEg·dS = -4πr2Eg
高斯定理,Φg = - 4πGm
故,Eg = Gm / r2
R
Egr高斯面第 7 章目 录
Φg = - 4πr2Eg ρ= 3m /4πR3
高斯定理,Φg = - 4πGΣ(S内 ) mi
被高斯面包围的球体体积,4πr3 / 3
质量,Σ(S内 ) mi = ρ4πr3 / 3 = m r3 / R3
故按高斯定理有：
- 4πr2Eg = - 4πGmr3/ R3
得,Eg = Gm r / R3
)R r ( r
)R r ( r
E
o
2
o
3
r
Gm
R
G m r
g?
R
Eg
r
高斯面
2,P点在球内 ( r＜ R )
作 通过场点 P 的同心球面为高斯面 S
第二定律,任何行星对太阳的位置矢量在同样时间内在它椭圆上所扫过的面积是相等的。
第三定律,旋转周期的平方和行星与太阳之间的平均距离的立方成正比。
第七章 万有引力
§ 7.1 开普勒三大定律,Kepler’s Laws
第 7 章目 录
7.2.1 万有引力定律 Law of Gravitation
1、万有引力是有心力
t? t +dt，质点 A? B
扫过面积矢量,dA = r? dr / 2
定值 = dA/dt
=(r?dr/dt)/2
= r?v/2
质点的角动量
L = r?p = mr?v
= 定值即,角动量守恒，说明万有引力是有心力。
drt
t+dt
r
L
r+drO
A
B
§ 7.2 万有引力定律第 7 章目 录
2、与作用距离的平方成反比考虑行星轨道为圆的特例开普勒第一定律说明作用力指向圆心法向力,F = mv2/r = m( 2?r/ T )2/r
= 4?2mr/T2
开普勒第三定律,T2 = kr3 ( k为常数 )
故,F = 4?2mr/T2
= 4?2mr/kr3
= 4?2m/kr2
即,F? 1/r2?与作用距离的平方成反比第 7 章目 录3、引力质量 Gravitational Mass 的引入万有引力与物体的本性有关，在物理学中用引力质量来定量地表示。
引力质量的数值规定如下：
若质点 A和质点 C的引力为 FAC，质点 B
和质点 C的引力为 FBC，距离 AC等于距离
BC，则,m / m’ = FAC / FBC = 常数规定标准引力质量，单位为公斤 kg
因为,m 与 m’ 的作用力 F?m m’
所以,万有引力定律 F = G m m’/r2
引力常数 G = 6.67? 10-11 Nm2 / kg2
第 7 章目 录万有引力定律物理意义：
两个物体之间的万有引力作用可以用一个有心吸力来代表，它和二者的质量成正比，而与二者之间的距离平方成反比。
万有引力定律是自然界最普遍的定律之一。
一切物体不论它们是怎样微小或怎样巨大，是元素或化合物，有生命或无生命的都遵从这个定律。
除天体外，万有引力与电磁力、强力、弱力相比小到可略去不计。地球上物体所受到的重力就是万有引力的一个特例，物体下落时的重力加速度就是物体受地球引力作用的结果。地面以上的物体离地心较远时重力较小，所以当物体从极第 7 章目 录7.2.2 引力质量和惯性质量引力质量 —— 表征物体的引力特性惯性质量 —— 表征物体的惯性特性在经典力学中它们是两个不同的物理量。但许多实验都证明，惯性质量与引力质量在数值上成正比。地面上同一地点一切物体下落的加速度相同就是惯性质量与引力质量成正比最简单的实验证明。
既然惯性质量与引力质量的数值成正比，那么只要选取适当的单位，引力质量与惯性质量在数值上相等。
因此，平时不必再区分惯性质量和引力质量，
而统称为质量。
第 7 章目 录
7.2.3 引力势能万有 引力矢量形式；
or
r
'mmG -=F
2
由于万有引力是有心力，而且只依距离而变，它相当于一个保守力，所以我们可以引入 引力势能 。
r
mm’ F ro
第 7 章目 录引力势能,
] 0=)(E [ r 'mmG -=)r(E pp ∞
r
'mm
G -=dr
r
'mm
G-=
rd?r
r
m m '
G-=rd?F =)r(E
∫
∫ ∫
∞
r 2
∞
r
∞
r 2p
o
设无限远处 (r=∞) 的势能为零,EP(∞)=0
[例 ] 引力相互作用下二质点系统的总能量：
E = mv2/2 + m’v’2/2 - Gmm’/r
第 7 章目 录
Ep = -Gmm’/rEk
o
E
E<0
r
E
Ep = -Gmm’/r
Eko
E
E>0
r
E
Ep = -Gmm’/r
Ek
o E
E=0
r
E
m
m’
椭圆
m
m’
双曲线
m’
m
抛物线第 7 章目 录
E=0
抛物线
E>0
双曲线
E<0
椭圆
A
h
R
vo
人造卫星轨道,设从地面发射一颗卫星，卫星在 A
点达到它的最大高度 h 之后，受到一推力而产生一水平速度 vo
第 7 章目 录例 7-1 试计算一物体在地球上的逃逸速度，即在地球上发射一物体使之到达无限远处所需的最小发射速度。
解：欲使物体到达无限远处，总能量必须为零或为正；显然,最小速度对应于总能量为零 。因此，
令 E=0，并设 M为地球的质量,R为地球半径,ve
为物体的逃逸速度，则得：
mve2/2 - GmMR = 0
因此,ve =(2GM/R)1/2 =1.2× 104 m/s
注意,逃逸速度与物体的质量无关 。但是，
加速一物体使之达到逃逸速度所需的推力则与这物体的质量有关系。因此，质量较大的导弹和卫星就需要功率较大的助推器。
第 7 章目 录
7.3.1 引力场 Gravitational Field
牛顿时代认为,引力作用为超距作用，
无需作用时间。
现代观点,引力作用以引力场（引力子）
为媒介起作用，作用需传递时间，
引力子传递速度为光速 c。
1、引力场强定义：
Eg = F/m’ ( m’ 为试验质量 )
质点 m 在 m’ 所在地点的引力场强度为：
Eg = - Gm/r2 ro （ 引力场指向质 点 m）
单位是 N·kg-1 或 m·s-2,与加速度相同。
§ 7.3 引力场和引力势第 7 章目 录任何一个放在这区域内质点所受的引力可由该质点的质量 M 乘以相应 Eg 而得出，即：
F = MEg
与质点的重力 W = Mg 相比较，重力加速度 g 可以被当作是在地球表面处的引力场强度。
第 7 章目 录2、引力场迭加原理假定有几个质量
m1,m2,m3,…,分别产生各自引力场 Egi，
F = mEg1 + mEg2 + mEg3 + …
= m( Eg1 + Eg2 + Eg3 + … ）
于是,P
Eg = Eg1 + Eg2 + Eg3 + …
P m
m1
m3
Eg3
Eg2
Eg1
r3
r2
r1
m2
作用在质量为 m 的质点 P 上总力为：
第 7 章目 录
3、引力线 Line of Gravitational Force
引力场可以在用力线来表示。在每一点，力线都与场的方向相切，所画力线的密度和场的强度成正比。
右图是一个质量周围的场，全部力线都是径向的。
Eg
第 7 章目 录
7.3.2 引力势 Gravitational Potential
1、引力势定义：
置于引力场中的每单位质量的势能
Vg(r) = Ep(r)/m’ =?r? Eg? dr (积分关系 )
引力势的单位为 J·kg-1 或 m2·s -2
因为,Ep(r) = - Gmm’/r
所以对质点 m,r
Vg(r) = - Gm / r
其中规定 Vg(?) = 0。
第 7 章目 录2、引力势迭加原理如果不是一个质点，而有若干个质点，
则 P 点的引力势为：
Vg = Vg1 + Vg2 + Vg3 + …
3、引力场和引力势之间的关系因为,F = - grad EP
所以,Eg = - grad Vg （微分关系）
由此可见,引力场等于引力势梯度的负值 。引力势的概念非常有用，因为它是一个标量，非常容易计算；以后可以用上式来计算引力场强度。
第 7 章目 录
4、引力场作功与引力场（势）关系如果一质量为 m 的质点自 P1 点沿任一路径移至另一 P2 点，引力场所作的功为：
A = EP1 - EP2 = m( Vg1 - Vg2 )
其中 Vg1 - Vg2 称为引力势差。
5、等势面与引力场关系
（ 1）等势面：
把引力势有相同值的点连起来，就可得到一系列的等势面。
第 7 章目 录例如：在单一质点的情况下，等势面是 r
= 常数的球面。
结论,1、等势面垂直于引力线，
2、引力场的方向垂直于等势面注意,引力可用引力场或引力势唯一独自来描述。
因为 引力势 是一个标量，因此计算非常容易。
等势面第 7 章目 录
7.4.1 引力通量 Flux
引力通量 Φg定义：
dΦg = Eg ·dS = Eg cos? dS
式中 θ为引力场 Eg 与面元 dS 法向之间的夹角。
n
θ
Eg
dS
S
dS
Eg
θ= 0
Eg
n
dS
θ
§ 7.4 引力场高斯定理第 7 章目 录因此,从里向外穿过曲面的通量为正，
n
θ
Eg
dS
S
m
计算通过有限大小曲面的通量，需要对上式进行面积分，即：
Φg =?S Eg ·dS
约定,闭合曲面上的面元 dS 方向从里向外为法向矢量 n。
第 7 章目 录7.4.2 单个质点的引力通量
dΦg = - Gm ro ·dS / r2 = - GmdΩ
式中 dΩ= ro ·dS/r2 。
dΩ称为面元 dS 对应的立体角 ( 单位为球面度，
符号为 sr )，它的大小为垂直径矢方向的投影面积 dS’ = ro ·dS 与面元 dS 离质点 m 的距离平方之比。
O
n
dΩ
dS’
dS
ro
立体角第 7 章目 录 立体角的球面度与平面角的弧度相对应。正像整个圆周对圆心所张平面角是 2π
弧度一样，整个球面对球心所张的立体角是 4π球面度。
当一个闭合曲面 S 将顶点 O 包围在内时，它所张的立体角和球面是一样的，为 4π球面度。
然而，它对其外的顶点 O′所张的立体角正负两部分相消，其代数和恒为零。
o’
S
o S
第 7 章目 录7.4.3 高斯定理
1、闭合曲面 S 内有一质点 m,则通过闭合曲面 S 的引力通量为：
Φg =∮ S dΦg
= -∮ S Gm dΩ
= - Gm∮ S dΩ
Φg = - 4πGm
若质点 m 在闭合曲面 S 外，则通过闭合曲面 S 的引力通量为零,Φg = 0 。
m
S内
m
S外第 7 章目 录2、闭合曲面内有 n 个质点由场强迭加原理,Eg = Eg1 + Eg2 + Eg3 + …
dΦg = Eg ·dS
= Eg1 ·dS + Eg2 ·dS + Eg3 ·dS + …
= dΦg1 + dΦg2 + dΦg3 + …
故,Φg = Φg1 + Φg2 + Φg3 + …
= -4πGm1- 4πGm2- 4πGm3 - …
Φg = - 4πGΣ(S内 ) mi
即计算引力通量时，上式右端只对 S 面内的质点求和，该式称为 高斯定理 。
它是对所有的平方反比有心力场都适第 7 章目 录例 7-2 利用高斯定理求质量为 m 的均匀球体产生的引力场强分布。
解：设球体的半径为 R，密度 ρ= 3m/4πR3，
根据对称性，同心的球面上场强的大小相等，
方向与此曲面垂直指向球心。
作 通过场点 P的同心球面为高斯面 S
1,P点在球外 (r＞ R)
θ=π,cosθ= - 1，
Φg =∮ SEg·dS = -4πr2Eg
高斯定理,Φg = - 4πGm
故,Eg = Gm / r2
R
Egr高斯面第 7 章目 录
Φg = - 4πr2Eg ρ= 3m /4πR3
高斯定理,Φg = - 4πGΣ(S内 ) mi
被高斯面包围的球体体积,4πr3 / 3
质量,Σ(S内 ) mi = ρ4πr3 / 3 = m r3 / R3
故按高斯定理有：
- 4πr2Eg = - 4πGmr3/ R3
得,Eg = Gm r / R3
)R r ( r
)R r ( r
E
o
2
o
3
r
Gm
R
G m r
g?
R
Eg
r
高斯面
2,P点在球内 ( r＜ R )
作 通过场点 P 的同心球面为高斯面 S
