目 录 第 6 章第六章振 动 和 波目 录 第 6 章§ 6.1 线性振动 Oscillatory Motion
振动：质点围绕平衡位置作周期性往复运动机械振动? 空间曲线
三维直线 振动直线 振动? 傅里叶分析
Fourier Analysis
简谐振动
Simple Harmonic Motion
目 录 第 6 章6.1.1 简谐振动的运动学 Kinematics of SHM
1,简谐振动 Simple harmonic motion
一质点沿 x 轴的运动可用余弦函数 (也可以正弦函数 )来表示时,此质点的运动称为简谐振动 。
x = A cos (ωｔ + φ)
x,质点对原点的位移
ω,圆频率 Frequency of cycle
ωｔ +φ,相位 Phase
φ,初相 Initial phase ( t = 0 时 )
目 录 第 6 章
A,振幅 Amplitude
T,周期 Period
υ,频率 Frequency
圆频率,频率和周期三者之间的关系,
ω = 2πυ,υ= 1 / T
相位 是决定质点在 t 时刻的 运动状态 （
位置、速度）的重要物理量相位相差 2π 的整数倍，其质点的运动状态相同。
目 录 第 6 章2,简谐振动的旋转矢量 Rotating vector 图矢量 OM 逆时针以角速度 ω转动,矢量
OM 的端点 M 在 OX 轴上的投影点 P 的位移为：
x = A cos (ωｔ + φ )
矢量 OM 0 是 t = 0 时刻的位置,即为简谐振动的 旋转矢量图 。 M
M0
XO
φ
ωt
x
A
ω P
目 录 第 6 章
X
M
P
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
XA
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
φ’－ φ ＞ 0,Q 超前 Lead P
φ’－ φ ＜ 0,Q 落后 Lag behind P
φ’－ φ＝ 0 同相 Synchronous
φ’－ φ＝ π 反相 Antiphase
超前时间
Δt =（ φ’－ φ） / ω
超前相位
φ’－ φ =ω Δｔ
M
M’
Q P
O
x
φ
φ’
ω
目 录 第 6 章例 6-1 物体沿 X轴简谐振动，振幅为 0.12m，
周期为 2s 。当 t = 0时，位移为 0.06 m，且向
X 轴正方向运动。求运动表达式，并求以 x
= - 0.06m处回到平衡位置所需的最少时间。
解：已知 A = 0.12 m,T = 2 s，
ω = 2π/T = π ( rad/s ).
(1) 初态 t = 0 时，
x = 0.06,v ＞ 0，
初相 φ = － π/3,
运动表达式为：
x = 0.12 cos (πｔ -π/3 ) (m)
ω( t =1 s ) B ’
( t = 5/3 s) B A ( t = 0 )
x (m)
O
φ
C
0.06-0.06
● ●
Δφ
目 录 第 6 章
(2) 当 x = - 0.06 m时，物体在旋转矢量图中的位置可能在 B 或 B′处，显然 B 处回到平衡位置 C 处所需时间为最少。
因为 OB 与 OC 夹角为 △ φ =π/6，所以最少时间为：
△ t = △ φ/ω
= (π/6) /π
= 1/6 秒
ω( t =1 s ) B ’
( t = 5/3 s) B A ( t = 0 )
x (m)
O
φ
C
0.06-0.06
● ●
Δφ
目 录 第 6 章
3、简谐振动的速度和加速度
(1) 速度,ｖ = dx/dt
=－ ωA sin(ωｔ + φ)
= ωA cos(ωｔ + φ +π/2)
速度超前位移相位 π/2
(2) 加速度,a = dv/dt
=－ ω2Acos(ωｔ +φ)
=ω2.A cos(ωｔ +φ+π)
加速度与位移相反目 录 第 6 章
4,简谐振动的运动学方程
a =－ ω2 x
或 d2x /dt2 + ω2 x = 0
5,广义简谐振动任何一个物理量随时间而变化的规律如果遵从余弦 （ 正弦 ） 函数的关系,则统称为广义简谐振动 。
目 录 第 6 章
v 的周相超前 x π2
av
t
x
x
0
a 与 x 的周相相反。，
目 录 第 6 章
v 的周相超前 x π2
av
t
vx
x
0
a 与 x 的周相相反。，
目 录 第 6 章
v 的周相超前 x π2
av
a
t
vx
x
0
a 与 x 的周相相反。，
目 录 第 6 章位移、速度、加速度之间的相位关系位移 速度 加速度
x
t
va
目 录
ω,φ 以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
x
AA2 1.0
0 t
目 录
ω,φ
0{
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
目 录
ω,φ
＞ 0
0
0
{
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示目 录
ω,φ
＞ 0
0
0
{
π x
A 3
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
目 录
ω,φ
＞ 0
0
0
{ φ..,= π3
π x
A 3
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
目 录
ω,φ
＞ 0
0
0
{ φ..,= π3
1{
π x
A 3
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
t =1时 x = 0
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
目 录
ω,φ
＞ 0
0
0
{ φ..,= π3
1
1 ＜ 0
{
π x
A 3
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
t =1时 x = 0v = dx
dt
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
目 录
ω,φ
＞ 0
0
0
{ φ..,= π3
1
1 ＜ 0
{
π x
A 3
πA 2 x
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
t =1时 x = 0v = dx
dt
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
目 录
ω,φ
＞ 0
0
0
{ φ..,=
π
π
3
1
1 ＜ 0
{ Φ1= 2
π x
A 3
πA 2 x
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
t =1时 x = 0v = dx
dt
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
...
目 录
ω
ω,φ
＞ 0
0
0
{
φ
φ..,=
π
π
3
1
1 ＜ 0
{ Φ1= 2
Φ1 = t 1+ =
π x
A 3
πA 2 x
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
t =1时 x = 0v = dx
dt
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
...
目 录
ω
ω,φ
＞ 0
0
0
{
φ
φ..,=
π
π
π
3
1
1 ＜ 0
{ Φ1= 2
Φ1 = t 1+ =ω × 1 3
π x
A 3
πA 2 x
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
t =1时 x = 0v = dx
dt
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
...
目 录
ω
ω,φ
＞ 0
0
0
{
φ
φ..,=
π
π
π
3
1
1 ＜ 0
{ Φ1= 2
Φ1 = t 1+ =ω × 1 3 =π2
π x
A 3
πA 2 x
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
t =1时 x = 0v = dx
dt
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
...
目 录
ω
ω,φ
＞ 0
0
0
{
φ
φ..,=
π
π
π
3
1
1 ＜ 0
{ Φ1= 2
Φ1 = t 1+ =ω × 1 3 =π2 ω = 56 π
π x
A 3
πA 2 x
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
t =1时 x = 0v = dx
dt
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
...
...
目 录
x = A cos ( 56 π t π3 )
目 录
x = A cos ( 56 π t π3 )
本题 ω 的另一种求法：
目 录
x = A cos ( 56 π t π3 )
本题
π
3
x
At = 0
ω 的另一种求法：
目 录
x = A cos ( 56 π t π3 )
本题
π
π
3
2
A
x
A
t =1
t = 0
ω 的另一种求法：
目 录
x = A cos ( 56 π t π3 )
本题
ππ
π
π
π
3
2
A
x
A
t =1
t = 0
2 + 3
2 = T
1
ω 的另一种求法：
目 录
x = A cos ( 56 π t π3 )
本题
ππ
π
π
π
3
2
A
x
A
t =1
t = 0
2 + 3
2 = T
1
T = 125
ω 的另一种求法：
...
6.1.2 简谐振动的动力学 Dynamics of SHM
由牛顿定律,kx = m d xdt 22
d x
dt ω2
2
=+ 2x 0
km =ωk m令 2 即,ω = （弹簧振子的圆频率）
F m
X
k
0 x
x Acos )( t φ= +ω由
ω φω ( )+tv = A sin
x ω ω 00
00
A == xvv )( tg22+ φ
=
ω
当 t = 0 时
φ
φ
0
0
v =
x
A
Aco
s
s
in
初始条件,t = 0,x = xo,v = vo
注意：初相还需根据旋转矢量图中的
A 的位置来确定
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。
b
自然长度
mg
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b
自然长度
mg
b
自然长度静平衡时
mg
F
kb - mg = 0
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
x
平衡位置自然长度取静平衡位置为坐标原点
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
自然长度自然长度 b
平衡位置自然长度 b
平衡位置 0x x
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
Σ F = mg - k ( b + x ) = - kx
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
Σ F = mg - k ( b + x ) = - kx
可见小球作谐振动。
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
Σ
可见小球作谐振动。由 得：mg - kb = 0
F = mg - k ( b + x ) = - kx
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
Σ
ω = km gb=
可见小球作谐振动。由 得：mg - kb = 0
F = mg - k ( b + x ) = - kx
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
Σ
ω = km gb=
当 t 0=,
可见小球作谐振动。由 得：mg - kb = 0
F = mg - k ( b + x ) = - kx
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
Σ
ω = km gb=
00当 t 0 x b,===,v 0
可见小球作谐振动。由 得：mg - kb = 0
F = mg - k ( b + x ) = - kx
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
Σ
ω = km gb=
00
φ π
当得
t 0 x b,
A ==
=,v 0
=b,=
可见小球作谐振动。由 得：mg - kb = 0
F = mg - k ( b + x ) = - kx
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
Σ
ω = km gb=
00
φ π
x = b cos ( g t + )πb
当得
t 0 x b,
A ==
=,v 0
=b,=
可见小球作谐振动。由 得：mg - kb = 0
F = mg - k ( b + x ) = - kx
目 录 第 6 章例 6-2 在一轻弹簧下端悬挂 m
o = 100 g 砝码时，弹簧伸长 8 cm,现在这根弹簧下端悬挂
m = 250 g 的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动 4 cm,并给以向上 21cm/s
的初速度（这时 t =0）。 选 x 轴向下，求振动方程的表达式。
解,k =mog/? l = 0.1?10?0.08 =12.5 N/m
=(k/m)1/2 =(12.5/0.25)1/2 =7 rad/s
初始条件,t = 0,xo = 0.04 m,vo = - 0.21 m/s
A = (xo2+vo2/?2)1/2 = 0.05 m
tg? = - vo /?xo = - (- 0.21)/(7? 0.04) = 0.75
= 0.64 rad
振动方程,x = 0.05cos( 7t + 0.64 ) m
弹簧的串联和并联串联公式：
k1 k2
弹簧的串联和并联串联公式：
k1 k2
弹簧的串联和并联串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2 k
1 k2
弹簧的串联和并联串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2
并联公式：
k1 k2
k1
k2
弹簧的串联和并联串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2
并联公式：
k1 k2
k1
k2
弹簧的串联和并联串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2
并联公式：
k = k1 + k2
k1 k2
k1
k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解：
k
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解：
k1 k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解：
k1 k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2 k
1 k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2
因为 k1 = k2 k1 k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2
因为 k1 = k2,所以
1/k = 1/k1 +1/k1
k1 k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2
因为 k1 = k2,所以
1/k = 1/k1 +1/k1 = 2/k1
k1 k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2
因为 k1 = k2,所以
1/k = 1/k1 +1/k1 = 2/k1
故 k1 = k2 = 2k
k1 k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,k1
k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,k1
k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,并联公式：
k' = k1 + k2
k1
k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,并联公式：
k' = k1 + k2
= 2k + 2k = 4k
k1
k2
简谐振动的能量 = 振动动能 + 振动势能
W = Wk + Wp
Wk = mv2 / 2 = mω2A2sin2（ ω t+ φ ） / 2
WP = k x2 / 2 = kA2cos2（ ω t+ φ ） / 2
W = Wk + Wp= kA2 /2 = mω2A2/2
特点,
1,Wk 最大时,Wp最小为零；
Wp 最大时,Wk最小为零。
2,Wk = Wp = kA2/4 = W/2
3,Wk 和 Wp的周期是系统周期的一半。
4、系统的总能量不变。
目 录 第 6 章例 6-3 单摆 Simple Pendulum：单摆的运动是简谐振动的一个典型的实例。单摆定义为质量为 m的质点用一长为 l 而其质量可忽略的细绳悬挂在固定点 O 的系统。
解：由于拉力 T? v,T
不作功,故质点在摆动过程中机械能守恒。
设在平衡位置 C点的势能为零，则质点在 A点
EM = mv2/2 + mgl (1-cos?)
l T
O
C v
m
目 录 第 6 章因为 υ= l d?/dt
EM = ml 2(d?/dt)2 /2 + mgl (1-cos?) = 恒量
d?2/dt2 + g sin? /l = 0
在一般情况下，单摆的摆动不正好是简谐振动 。但是，如果摆动的角度? 很小时，
≈sin? (在? ＜ 10° 内 )，这样上式可改为：
d?2/dt2 + g? /l = 0
表明在小角度的范围内，单摆的角位移 θ
作简谐振动。
圆频率,周期,
l
g
g
l 2T
目 录 第 6 章例 6-4 复摆 Physical Pendulum：复摆是能够在重力作用下绕水平轴自由振荡的任意刚体
。 ZZ’水平轴,C为物体质心，质量为 mg。
解：转动定理 MZ = Iβ
MZ = - mgb sin?
β= d2?/dt2
I d2?/dt2 = -mgb sin?
假定振动是小振幅的，
≈sin?,利用 I = mK2，
式中 K为摆的回转半径，得：
d2?/dt2 + gb? /K2 = 0
表明在? 小范围内，角运动是简谐振动
ω2 = gb/K2
Z’
Z’
C
O lb
O’
mg
目 录 第 6 章
ω2 = gb/K2
因此，振动的周期为其中 l = K2/ b叫做 等效单摆长度 Length of
the equivalent simple pendulum，因为具有这个长度的单摆，其周期与复摆的相同。
可以看出,复摆的周期与其质量无关，
也与其几何形状无关，只要 K2/ b保持相同 。
gb
K
2T
2
目 录 第 6 章非简谐振动 Anharmonic Oscillation
简谐振动 力,F = - kx，
势能,EP = kx2/ 2
或 EP = k(x - xO)2/2
EP的曲线是一抛物线弹性常数 k = d2EP/dx2
非简谐振动考虑势能不是势物线，但却具有明确的极小值的情况。在平衡位置 xo 处 ( dEP/ dx =
0 )附近的运动可视为简谐振动。
等效弹性常数,k =[d2EP/dx2]|x = x。
xo
EP
x
目 录 第 6 章例 6-5 试用等效弹性常数重新计算例 4-6单摆的周期。
解：单摆的势能,EP = mgl (1 - cosθ)，其极小值位置 θ=0，单摆离开平衡点的水平位移 x =l
sinθ，因此单摆的圆频率,
周期,
m g t gc o sl 1s i nm g ldxdddEdxdE PP
lll
mg
s e c
mg
c o s
1
s e cmg
dx
d
)m g t g(
d
d
)m g t g(
d
d
]
dx
Ed
[k
0
3
0
2
0002
P
2
l l
g
m
mg
g
22T l
阻尼振动受迫振动
6.1.3 阻尼振动 Damped Oscillation
FF’= = kx?v 阻尼力 弹性力
d xdx 2
dtdt m=kx 2?
k mm= =ω令 0 2 （阻尼因子）2
dt
d x dx 22 + + = 0ω
0dt2 x2?
rr 2 ++ 0特征方程,2 ω 2 =0?
r 2+= ω 0特征根,2
22 ω
01,小阻尼?
r ωω 0 0有两个虚根,r1 == + ii 2,
方程的解为：
A0
t
T
x
ω 00 t φ x = A e cos( )t +?
0
T = 2πω 22?ω ω 0= 22?
是一非周期运动。
临界阻尼过阻尼
t
x
阻尼
2,过阻尼动力学方程：
方程的解为：
oF =F cosωt 周期性干扰力（强迫力）
强迫力的圆频率ωoF 力幅
6.1.4 受迫振动 Forced Oscillation
dx
dt
d x
dt 2
2
Fokx + cosωt = m?
0
令 km f=ω 2 m = 2 Fom =,,
0 =
d x
dtdt
dx得 2 2
2 ++ 2 ω x f cosωt?
+t φ2ω 0 00 t 2 φAx = A e cos( )+ sin (ωt - )
随时间很快衰减为零 稳定时的振动方程在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。
稳定时的振幅：
时振幅最大，称为 振幅共振 。
当 无 阻尼 (? = 0 ) 时,ωA=ωo。
+t φ2ω 0 00 t 2 φAx = A e cos( )+ sin (ωt - )
A = ω
0
22( ) 222+ 4ω ω?
f
相位,ω 0
2 -ω 2
2? ωtgφ=
ω= 0 22 2?ωA当强迫力的圆频率为目 录 第 6 章dx
=ωA cos(ωt - φ)dtv =
vo=ωA =
ω 0 22( ) 222+ 4ω ω?
ωf
速度,
速度振幅,
当 m? - k/? = 0，
即?2 = k/m =?o2 时，
vo 为极大，发生 能量共振,此时 相位 φ= 0。
结论,当? =?o时，且速度与 强迫力同相 时，
发生 能量共振 Energy Resonance。
mω( ) 22+k
Fo
ω?
vo =
ωoO ω
vo
Fo
目 录 第 6 章
A
较小
0
ωoO
较大
ωωA
振幅共振 Amplitude Resonance
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目 录 第 6 章§ 6.2 振动 的合成
6.2.1 同方向同频率的简谐振动的叠加设两个简谐振动的频率相等为 ω,振动方向为 X 轴方向,以 x1 和 x2 分别代表两运动的质点位移：
x1 = A1 cos (ωｔ + φ1 )
x2 = A2 cos (ωｔ + φ2 )
式中 A１,A2 中 φ1,φ2 分别表示这两个简谐振动的振幅和初相位 。因此，质点的合位移为,x = x1 + x2
=A1cos(ωｔ +φ1) + A2cos(ω+φ2 )
= Acos(ωｔ +φ)
目 录 第 6 章其中 A = [A
12 + A22 + 2A1A2cos(φ2- φ1)]1/2
tg φ =（ A 1sinφ1 + A2sinφ2 ）
（ A 1cosφ1 + A2cosφ2 ）
讨论 (1)当 φ2-φ1 =± 2k? 同相 in phase
A = A1 + A2
A 最大,加强 。
(1) 当 φ2 -φ1 =± (2k+1)?
反相 in opposition
A = A1－ A2
A 最小,减弱 。
k 取整数 1,2,3,4,5,等等 。
φ
φ1
φ2
A2
A1
A
X
x2
x1
x
O
目 录 第 6 章例 6-5 两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 20 cm，与第一个简谐振动的相位差为? -?１ = π/6，若第一个简谐动的振幅为 17.3 cm，试求：
1、第二个简谐振动的振幅 A2
2、第一、二两个简谐振动的相位差?1 -? 2
解：已知 A = 20 cm
A1 = 17.3 cm
A2 =[A2 +A12 -2AA1cos(? -?１ )]1/2
= 10 cm?１
xo
A A2
A1
目 录 第 6 章
∵ A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos (?1 -? 2 )
∴ cos (?1 -? 2 ) = [A2 - A12 + A22] / 2A1A2
= 0
∵? 2－? 1 = π/2
∴?1 －?2 = － π/2
１
xo
A A2
A1
相互垂直振动的合成
)x y( A 1 A 22 = 0
x y
1 2
+ = 0AAA 22
1 2
2 2xy
A2
φ(φx xyy
1
1
1
1
2
22
2
2
2
22
+ =A AAA φφcos( ))2 sin2
合振动振幅为 1 222A AA +=xy 1A= 2A
x
y
A 1
2A0
6.2.2 同频率相互垂直振动的合成
φ )
φ
x
y
11
22 +
+
=
=
A
A
ω
ω
cos
cos (
( )t
t } 频率相同的两个分振动
φ 1 =φ 2 01.
π2,φφ =12 2
x y = 1+2
1 2
2
2
AA 2 x
y 1A
A 2
0
π
π2 π94
4π
5π
4
π743π2
π34
3,周相差 φφ 12 为不同值时的合成结果
νν 12拍频 =
νπ
ν 1
2 2
π1x
x =
=
A
A
cos
cos2
t
t
2
x = xx +1 2
νν ννν 2 2 111 ~ ＜＜
νννν ππ 112 2= 2A cos 2 (( ))
2 cos
tt 2 +
2
一般情况下合成后的振动是一个复杂的运动。
1、同方向 情况 —— 拍现象
6.2.3 不同频率振动的合成
t
t
t
x
x
1
2
x
ν
ν
ν
Δ =20.25s
0.75s0.50s
=
=
2
16
18
1
2,频率比为整数时相互垂直振动的合成李萨如图形
1,2 1,3 2,3
目 录 第 6 章6.2.4 振动的分解
ω
ωω
1
1
3
5
4A
πx = (
sin
sinsin t
t
t
++
+ 3
5,.,)
π=
4AΣ
k = 0
8 (2k+1)
(2k+1)
ωsin t
x
t
T
A
目 录 第 6 章
ωωω 113 54Aπx = ( sinsinsin t tt ++ 3 5 )
x
ω 基频
ω
t
目 录 第 6 章
ω 基频
3ωω
x
t
ωωω 113 54Aπx = ( sinsinsin t tt ++ 3 5 )
目 录 第 6 章
ω 基频
3ωω ω5
x
t
ωωω 113 54Aπx = ( sinsinsin t tt ++ 3 5 )
目 录 第 6 章
ω 基频
3ωω ω5
x
t
ωωω 113 54Aπx = ( sinsinsin t tt ++ 3 5 )
合成后目 录 第 6 章
ω ωω3 50
A
ω
分立谱频 谱
0
A
ω
连续谱目 录 第 6 章
6.4.1 机械波的产生和传播
1、产生条件
(1) 波源 —— 受迫振动
(2) 连续弹性 媒质
2,机械波的分类横波,质点的振动方向和波的传播方向垂直纵波,质点的振动方向和波的传播方向平行
§ 6.4 机械波目 录 第 6 章3、几何描述波线,表示波的传播途径和方向。
波阵面,所有振动相位相同的点连成的面，
最前面的那个波阵面则称波前。
例,(1)球面波 — 波阵面为球面 ;
在各向同性介质中波线与波面垂直球面波波阵面波线平面波波线波阵面
(2)平面波 — 波阵面为平面。
目 录 第 6 章4、波动是振动状态的传播，传播方向上的质元相位永远落后波源相位。
6.4.2 波动方程描述介质中同一波线上不同位置质点的位移与时间的关系。
简谐波,波源作简谐振动。由于介质中各质点在波源的扰动下作受迫振动，
所以各质点都以波源相同频率作简谐振动。
目 录 第 6 章设波以波速 u 沿着 x 轴的正方向传播，
y 轴表示 x 轴 ( 波线 ) 上质点的位移。波源
O点作简谐振动，其振动方程为：
yo = A cos (ωt +φ)
B 点落后时间为 x /u,
相应落后相位为 ωx /u,
则 B
yB = Acos(ωt+φ-ωx/u)
= Acos[ω(t - x / u)+φ]
因为 B点是任意的，所以上式即平面简谐波的波动方程。
x x
y
u
BO
1、平面简谐波目 录 第 6 章平面简谐波的波动方程,
y = A cos[ω( t - x / u ) +φ]
因 ω= 2,?= 1/ T，并设 λ= u /? = u T，
y = A cos[2? (? t - x /λ) +φ]
y = A cos[2? ( t / T - x /λ) +φ]
y = A cos[2? ( x - u t ) /λ+φ]
目 录 第 6 章2、波动方程的物理意义
(1) x 给定,y? t 曲线表示 x 处 质点振动方程 。
y
to
y
xo
(2) t 给定,y? x 曲线表示
t 时刻 波形方程,其空间周期为 λ。
波长,空间周期 λ又称为波长,它表示在波线上相距一个波长 λ的两质点的相位差为 ωλ/ u = 2λ/ u = 2?。
目 录 第 6 章(3) y 给定 ( 即 x 与 t 同时变化 )
当 t?t +Δt 时,x?x +Δx
A cos[ω( t - x / u ) +φ]
= A cos{ω[ t +Δt - ( x +Δx ) / u ] +φ}
Δx= uΔt
即,整个波形以速度 u 向传播方向移动 。
yy
x
y
x
x
t
t +?t
目 录 第 6 章解：设波动传播到 P点 ( x > xo )，则 P点落后 Po 的相位为 ω( x - xo ) / u，所以 P点的振
yP = A cos[ωt -ω( x - xo ) / u ]
因为 P点是任意的，所以上式即为该平面简谐波的波动方程。
例 6-6 有一以波速为 u，沿 x 轴正方向传播的平面简谐波。已知在波传播到 Po 点 ( 离原点为 xo ) 处的振动规律为 yPo = A cosωt，
求此波的表达式。
PPo
xo x xO
u
目 录 第 6 章例 6-7 一 平面简谐波沿 x 轴正方向传播,t = 0 s 时刻的波形如图所示，试画出 P处质点的振动在 t = 0
时刻的旋转矢量图。
u
x
y
o P yo
A
目 录 第 6 章
o y
t=2 s
t=0 s
例 6-8 图示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图
，波的振幅为 0.02m,周期为 4 s,求图中 P点处质点的振动方程。
解：已知 A = 0.02 m,T = 4 s
则有? = 2? / T =? / 2
V<0
P
uy
xo
=?P点的初相为?= -?/2
yp = 0.02cos(?t/2 -?/2 ) (SI)
=t =? / 2? 2 =?
t = 2 s 时,P点的位相为?/2
目 录 第 6 章3、波动方程的标准形式
2y/? t2 = u2? 2y/? x2
上式称为 波动方程的标准形式 。
标准形式波动方程的 一般解 形式为：
y = f ( x? u t )
其中 f 是任意函数。
简谐波只是波动方程的一个特解形式 。
从质元动力学分析可建立标准形式的波动方程，进而可确定波在介质的传播速度 u。
目 录 第 6 章例如,(1)在弹性细棒中,纵波的波速为：
u = ( Y/ρ)1/2 ( 纵波 )
式中 Y 为介质的杨氏弹性模量,ρ为介质的
(2) 在无限大弹性介质中,横波的波速为：
u = ( G/ρ)1/2 ( 横波 )
式中 G
(3) 在紧张绳索上
u = ( T/η)1/2 ( 绳索上 )
式中 T 为绳索张力,η为绳索线密度。
目 录 第 6 章6.4.3 机械波的能量和强度
1、波的能量当平面简谐波传播到体积元 ΔV 时，该体积元将具有动能 EK 和弹性势能 EP。
可以证明：
EK = EP=ρω2ΔV( A2 - y2 ) / 2
体积元的总机械能
E = EK + EP =ρω2ΔV( A2 - y2 )
波的 能量密度,w =E/ΔV= ρω2( A2 - y2 )
一个周期内的平均值,?w?=ρω2 A2 / 2
上式对所有弹性波都是适用的。
目 录 第 6 章波的能量特点,
(1) 体积元的动能和势能相等、且同相。
即：同时最大，同时最小。
y
xo
形变最小势能最小动能最小动能最大形变最大势能最大与谐振子比较,动能最大时，势能最小；
势能最大时，动能最小。
目 录 第 6 章
u s
u
平均能流,?P? =?w? u s
波的强度 I（能流密度）：
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流，即：
I =?P? / s =?w?u =ρA2ω2 u / 2
平均能流?P?与强度 I 关系,?P? = I · s
(2) 对于某一给定点，总能量随时间作周期性变化。这说明任一体积元都在不 断地接受和放出能量,所以波动传播能量。
与振动系统比较：能量守恒，不传播能量。
2、波的强度能流,单位时间内通过介质中某面积的能量。
目 录 第 6 章设离波源单位距离 ro 处的振幅为 Ao，离波源距离 r
处的振幅为 A。对于球面波
，通过球面 So和 S的能流相同。
即,? So Io · ds =? S I · ds
Io 4? ro2 = I 4? r2
ρAo2ω2 u ro2/ 2 = ρA2ω2 u r2/ 2
Ao ro = A r? A = Ao ro / r = Ao / r
球面简谐波：
y = (Ao/r) cos[ω( t - r / u ) + φ]
例：试求球面简谐波表示式。
r
ro
So
S
目 录 第 6 章6.4.4 波的干涉
1、波的迭加原理实验证明：
当介质中存在两个以上的波源时，这时各波源所激起的波可在同一介质中独立地传播；而在各个波相互交迭的区域，各点的振动 (位移或电磁场 )则是各个波在该点激起的振动的矢量和。
例如,(1)几个水波可以互不干扰地相互贯穿，然后继续按各自原来方式传播；
(2)当交响乐队演奏时，人耳仍能清晰地分辨出每个乐器演奏的旋律。
目 录 第 6 章两水波的叠加
S S1
2
目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章理论分析,
由于波动的方程式
2 y/? 2 t = u2? 2 y/? 2 x
是线性的。
可证明：
如果 y1( x,t ) 和 y2( x,t ) 分别满足波动方程，则合成波 y = y1 ( x,t ) + y2 (x,t )
也满足波动方程，这就是波的波加原理的数学表示。
目 录 第 6 章2、波的干涉
(1) 相干源两个 频率相同,振动方向相同,相位相同或 相位差恒定 的波源。
干涉现象,
两个相干源波在空间迭加时，在某些点处振动始终加强，而在另一些点处，振动始终减弱。
光既然是电磁波，也能产生干涉现象 。
目 录 第 6 章
y10 = A10 cos ( 2t +φ1 )
y20 = A20 cos ( 2t +φ2 )
S1 和 S2 发出的波到达 P点的振动分别为：
y1 = A1 cos ( 2t +φ1 - 2? r1 /λ)
y2 = A2 cos ( 2t +φ2 - 2? r2 /λ)
两个振动在 P点的相位差为
Δφ=φ2 -φ1 - 2? ( r2 - r1 ) /λ
P 点的振动就是这两个振动的合振动。
S1
S2
r1
r2
P(2) 两个相干源的干涉设波源 S
1,S2的振动方程为：
目 录 第 6 章
P点合振动,
频率 — 两同频率、同方向振动的合振动仍为 同频率 的振动；
振幅 — 由两分振动的相位差来决定。由于两波源的相位差 φ2 -φ1是恒定的，
因此，空间中任一 P点两振动的相位差也是恒量，所以,任一 P点合振幅也是恒量。
目 录 第 6 章干涉加强与减弱条件,
加强,Δφ=φ2 -φ1 - 2? ( r2 - r1 ) /λ
= ± 2k? (k = 0,1,2,3…)
合振幅 A 最大,A = A1 + A2 。
减弱,Δφ= φ2 -φ1 - 2? ( r2 - r1 ) /λ
=± (2k+1)? (k = 0,1,2,3…)
合振幅 A为最小,A = |A1 - A2|
如果 φ1=φ2，上述条件可简化为 波程差 δ：
加强,δ= r2 - r1 = ± 2k (λ/ 2)
( k = 0,1,2…) 又称为 干涉相长减弱,δ= r2 - r1 = ± ( 2k + 1 ) (λ/ 2 )
（ k = 0,1,2… ) 又称为 干涉相消目 录 第 6 章3,驻波
(1)驻波的形成和特点
(a)驻波形成的条件两列振幅相同，传播方向相反的相干波的迭加 。 ——波干涉的特例。
(b)定量分析 （以平面简谐波为例）
设两列频率、振幅及振动方向相同，传播方向相反的平面简谐波：
y1 = Acos 2?(?t - x/?),y2 = Acos 2?(?t + x/?)。
合成波,y = y1+ y2
= [ 2Acos2?x/? ] cos 2t
目 录 第 6 章合成波,y = [ 2Acos2?x /? ] cos 2t
讨论：
(A)各点都在作同频率的振动? cos 2t；
(B)位置 x 点的振幅 | 2Acos2?x /? |
(C)位置 x 点的振动相位依赖与 2Acos2?x /?
的正负号。 正号（或负号）各处 相位相同，但 正、负号之间处 相位反相。
波节波腹目 录 第 6 章
(D)在 x = k?/2处,振幅 | 2Acos2?x/? |= 2A，
振幅最大,称为 波腹 ；
在 x =(2k+1)?/4处,振幅 |2Acos2?x/?|= 0，
静止不动,称为 波节其中 k = 0,1,2… 。
(F) 相邻两个波腹或波节之间的距离为? / 2。
这为我们提供了 一种测定波长的方法波节波腹目 录 第 6 章波节波腹
(G)驻波使波线上各点作 分段振动 ( 两个相邻波节为一分段 ),在每一分段中，各点的振动相位是相同；两个相邻分段，
振动相位正好反相 。
每分段中各点的振动相位是相同的，这种波称为 驻波 ；而相位逐点传播的波称为 行波 。
目 录 第 6 章(c)驻波特点频率,各质元频率相同；
振幅,与位置有关；
相位,同一分段，相位相同；
相邻分段，相位反相。
能量,波腹处，动能为零，聚集势能；
波节处，势能为零，聚集动能。
驻波能量不断在相邻波腹与波节之间相互转换，没有单一方向的能量传播。
目 录 第 6 章入射波
y
反射波 y
(d) 半波损失绳子波在固定端反射：
叠加后的波形在反射端形成波节。在反射端入射波和反射波周相相反，即入射波到达两种媒质分界面时发生? 相位突变，称为 半波损失 。
墙体
)
波密媒质
(
目 录 第 6 章反射波叠加后的波形入射波 自由端y y
绳子波在自由端反射在反射端形成波腹。在反射端入射波和反射波周相相同,无半波损失 。
目 录 第 6 章“半波损失”将决定于波的种类和两种介质的有关性质以及入射角的大小。
机械波,波密介质 — 密度 ρ与波速 u 的乘积 ρu较大的介质。
波疏介质 — 乘积 ρu 较小的介质。
光波,光密介质 — 折射率 n 较大的介质；
光疏介质 — 折射率 n 较小的介质。
可以证明,当波从波 (光 )疏介质垂直入射到波 (光 )密介质而反射时，则反射波有?相位突变，相应有半波波程的损失 。这样在分界处出现波节，这种现象称为,半波损失,。
目 录 第 6 章例 6-9 一平面波沿 x 轴正方向传播，传到波密介质分界面 M 在 B 点发生反射。
已知坐标原点 O 到介质分界面 M 的垂直距离 L = 1.75 m，波长
λ= 1.4 m，原点 O处的振动方程为：
yo = 5? 10-3 cos ( 500?t +? /4 ) m，
并设反射波不衰减，试求：
(1)入射波和反射波的波动方程 ；
(2)O和 B之间其余波节的位置 ；
(3)离原点为 0.875 m 处质点的振幅 。
L
O B
Mu
目 录 第 6 章解,(1)已知原点振动方程为：
yo = 5? 10-3 cos (500?t +? /4) m
y入 = 5?10-3cos[2? (250t - x /1.4)+? /4] m
反射波：考虑 C点，反射波引起 C 点振动的相位落后于 O 点振动的相位为 2? (2L - x) /λ+?,
y反 = 5?10-3cos[500?t+?/4 - 2?(2L-x)/λ+? ]
= 5?10-3cos[2?(250t+x /1.4)+? /4] m
L
O B
Mu
C
x
目 录 第 6 章(2) x 处反射波与入射波引起振动相位差：
Δφ= ( 2?x /1.4 +? /4 ) - ( -2?x /1.4 +? /4)
= 4?x / 1.4
干涉减弱条件可得波节位置满足条件为：
4?x / 1.4 = ( 2k + 1 )?
x = 0.35 ( 2k + 1) m,( k = 0,1,2…)
=0.35,1.05,1.75 m
所以 O 和 B 之间其余波节位置,
x1 = 0.35 m,x2 = 1.05 m
目 录 第 6 章
(3) 在 x = 0.875 m 处，反射波和入射波间
Δφ= 4 0.875? 1.4
= 5? / 2
合振幅
A = ( A入 2 + A反 2 + 2A入 A反 cosΔφ)1/2
= 1.414 A入
= 1.414? 5? 10-3
= 7.07? 10-3 m
目 录 第 6 章4、简正模式驻波的频率由系统的固有性质和边界条件决定。
例如：一根两端固定，长为 l 的紧张弦上的驻波，必须使两端成为波节，即弦长必须是半波长的整数倍,l = kλ/ 2
λk = 2 l / k ( k = 1,2,3… )
对应的 驻波频率,( u 为弦线中的波速 )
k = k u / 2 l ( k = 1,2,3… )
/2? 3?/2
k = 1 k = 2 k = 3
目 录 第 6 章?
k = k u / 2 l ( k = 1,2,3… )
简正模式,频率由上式决定的振动方式，称为该系统的。
其中最低的频率?1 称为系统的 基频,?2，
3,?4 … 称为 二次、三次，四次,… 谐频 。
简正模式是驻波系统可能发生的振动方式。
共振,当外界驱动源频率等于 (或很接近 )系统的某一模式的频率时，系统就发生幅度很大的驻波。通常把这种现象也叫做共振。
在弹簧和质点系统中只有一个共振频率，
而驻波系统可有许多共振频率。
目 录 第 6 章一般情况下，任一振动可以表示为它的各种简正模式的迭加。各个模式的强弱和相位则由系统的具体条件和激发方式决定。
弦乐器就是基于这一原理制作的。当弦乐器因拉弦而激起振动时，就发出一定的声音来，它包含各种频率。
基音,对应最低频率?1，决定声音的 音高 ；
泛音,对应频率?k 称为第 k 泛音，泛音决定各种乐器的 音色 。
例如同奏一个,C”音，提琴和胡琴就很不同，这就是因为它们所包含的泛音不同的缘故。
目 录 第 6 章对于管、鼓、膜或空腔等驻波系统，也同样有简正模模式和共振现象。
= u ( k12 / a2 + k22 / b2 )1/2 / 2
其中 a 和 b 分别为矩形的长与宽,k1 和 k2
= u ( k12 / a2 + k22 / b2 + k32 / c2 )1/2 / 2
其中 a,b 和 c 分别为矩形空膜的长、宽和高,k1,k2 和 k3
目 录 第 6 章解：当绳索上激起强驻波时，可把绳索看作两端固定的系统，可得：
k = k ( T/η)1/2 / 2 l
式中 k 是所激起驻波包含的半波数。
例 6-10 设 A,B 间绳索长 l = 1 米，绳索线密度 η= 5 克 /米，所持砝码为 1 千克。为在绳索上激一个半波，二个半波和三个半波的强驻波，问发生器的频率 (即音叉的振动频率 )应分别为多少?
lA B P
m
目 录 第 6 章?
k = k ( T/η)1/2 / 2 l
已知,l = 1 m,T = 1 kg× 9.8 m/s2 = 9.8 N，
η= 5 g /m = 5× 10-3 kg /m，
k = 1,2,3
1 = 1? ( 9.8 / 5? 10-3 )1/2 / 2? 1
= 22.1 Hz
2 = 2? ( 9.8 / 5? 10-3 )1/2 / 2? 1
= 44.3 Hz
3 = 3? ( 9.8 / 5? 10-3 )1/2 / 2? 1
= 66.5 Hz
目 录 第 6 章单色波,频率单一的波，波列是无限长。
波包,由一群单色波组成，波列是有限长。
当波包通过有色散的介质时，其中各单色分量将以不同的波速 (相速 ) u 前进，整个波包在向前传播的同时，形状逐渐改变。 波包中振幅最大的地方叫做 它的中心 ；
波包中心前进的速度叫做 群速,记为 vg 。
vg波包：
§ 6.5 波的群速目 录 第 6 章简单起见，考虑由两列波长和频率相近的波组成的,波包,。设它们的角频率和波数分别为和 kk,且<<?,
k?<< k 。 两列波合成的波列为：
y(x,t ) = A{cos[(? +)t - (k +?k)x]
+ cos[(? -)t - (k -?k)x]}
= 2A cos( t -?k x) ·cos(? t - k x)
低频传播的 振幅 高频的波动
x
y 波包目 录 第 6 章高频波速度为?/k,相当于“波包”的相速
u ;
低频包络的传播速度为/?k，即为,波包”
的群速 vg 。将和?k 改成微分，有
vg = d? / dk
这便是 波的 群速表达式波的能量正比于振幅的平方，所以 波包的中心 正是能量集中的地方，它的前进速度
（即 群速 ） 就是 能量的 传播速度 。
目 录 第 6 章
6.6.1 经典多普勒效应当我们站在铁路旁，正遇鸣着汽笛的火车开过身旁时，会感到汽笛声忽然由高亢变得低沉了。用物理语言来说，当火车迎面而来时，汽笛声的频率显得高些；背向而去时，
实验证明，当波源不动，而观察者运动时，也有类似的情形。
多普勒效应,因波源或观察者相对于传播介质的运动而使观察者接收到的波的频率发生变化的现象。
§ 6.6 多普勒效应目 录 第 6 章为简单起见，我们只讨论运动发生在波源与观察者的连线上这一情形。
设：波源相对于介质的运动速度为 u，
u > 0 表示趋近于观察者
u < 0 表示远离于观察者观察者相对于介质的运动速度为 v，
v > 0 表示趋近于波源
v < 0 表示远离于波源波源的原频率为?,在介质中波速为 V 。
目 录 第 6 章
’ = V /?
= V / VT
= 1 / T
’ =?
t 时刻波阵面 1 秒后波阵面
V
v
V
’ = (V+v)/?
= (V+v)/VT
= (V+v)? / V
’ = ( 1+ v/V )?
现分四种情形进行讨论：
1,u = 0,v = 0
2,u = 0,v? 0
目 录 第 6 章
V
’
t 时刻波阵面 1 秒后波阵面
’ =? - uT
’ = V/?’ = V/ (? - uT ) = V/ ( VT - uT )
= V? / ( V - u )
’ =? / ( 1 - u / V )
3,u? 0,v = 0
目 录 第 6 章4,u? 0,v? 0
’ =? - uT
’ = ( V + v ) /?’ = ( V + v ) / (? - uT )
= ( V + v ) / ( VT - uT )
’ =? ( V + v ) / ( V - u )
波源相对介质运动和观察者相对介质运动两者产生的多普勒效应是不同的。
因此，当波源与观察者有相对运动时可以由实验来判断，究竟哪一个相对于介目 录 第 6 章例 6-11 一个观察者站在铁路附近，听到迎面开来的火车汽笛声为 A4音 (频率为 440 Hz)，
当火车驶过他身旁后，汽笛声降为 G4 音 (频率为 392 Hz)，问火车的速率为多少? 已知空气中的声速为 330 m/s。
解：设汽笛原来的频率为?0，
当火车驶近观察者时，接收到的频率为? ’，
’ = V? 0 / ( V - u )
当火车驶过观察者后，接收到的频率为
’’ = V? 0 / ( V + u )
’ /?’’ = ( V + u ) / ( V- u )
火车速率 u = (?’-?’’ ) V/ (?’+?’’ ) = 19 m/s
振动：质点围绕平衡位置作周期性往复运动机械振动? 空间曲线
三维直线 振动直线 振动? 傅里叶分析
Fourier Analysis
简谐振动
Simple Harmonic Motion
目 录 第 6 章6.1.1 简谐振动的运动学 Kinematics of SHM
1,简谐振动 Simple harmonic motion
一质点沿 x 轴的运动可用余弦函数 (也可以正弦函数 )来表示时,此质点的运动称为简谐振动 。
x = A cos (ωｔ + φ)
x,质点对原点的位移
ω,圆频率 Frequency of cycle
ωｔ +φ,相位 Phase
φ,初相 Initial phase ( t = 0 时 )
目 录 第 6 章
A,振幅 Amplitude
T,周期 Period
υ,频率 Frequency
圆频率,频率和周期三者之间的关系,
ω = 2πυ,υ= 1 / T
相位 是决定质点在 t 时刻的 运动状态 （
位置、速度）的重要物理量相位相差 2π 的整数倍，其质点的运动状态相同。
目 录 第 6 章2,简谐振动的旋转矢量 Rotating vector 图矢量 OM 逆时针以角速度 ω转动,矢量
OM 的端点 M 在 OX 轴上的投影点 P 的位移为：
x = A cos (ωｔ + φ )
矢量 OM 0 是 t = 0 时刻的位置,即为简谐振动的 旋转矢量图 。 M
M0
XO
φ
ωt
x
A
ω P
目 录 第 6 章
X
M
P
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
XA
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
X
A
目 录 第 6 章
φ’－ φ ＞ 0,Q 超前 Lead P
φ’－ φ ＜ 0,Q 落后 Lag behind P
φ’－ φ＝ 0 同相 Synchronous
φ’－ φ＝ π 反相 Antiphase
超前时间
Δt =（ φ’－ φ） / ω
超前相位
φ’－ φ =ω Δｔ
M
M’
Q P
O
x
φ
φ’
ω
目 录 第 6 章例 6-1 物体沿 X轴简谐振动，振幅为 0.12m，
周期为 2s 。当 t = 0时，位移为 0.06 m，且向
X 轴正方向运动。求运动表达式，并求以 x
= - 0.06m处回到平衡位置所需的最少时间。
解：已知 A = 0.12 m,T = 2 s，
ω = 2π/T = π ( rad/s ).
(1) 初态 t = 0 时，
x = 0.06,v ＞ 0，
初相 φ = － π/3,
运动表达式为：
x = 0.12 cos (πｔ -π/3 ) (m)
ω( t =1 s ) B ’
( t = 5/3 s) B A ( t = 0 )
x (m)
O
φ
C
0.06-0.06
● ●
Δφ
目 录 第 6 章
(2) 当 x = - 0.06 m时，物体在旋转矢量图中的位置可能在 B 或 B′处，显然 B 处回到平衡位置 C 处所需时间为最少。
因为 OB 与 OC 夹角为 △ φ =π/6，所以最少时间为：
△ t = △ φ/ω
= (π/6) /π
= 1/6 秒
ω( t =1 s ) B ’
( t = 5/3 s) B A ( t = 0 )
x (m)
O
φ
C
0.06-0.06
● ●
Δφ
目 录 第 6 章
3、简谐振动的速度和加速度
(1) 速度,ｖ = dx/dt
=－ ωA sin(ωｔ + φ)
= ωA cos(ωｔ + φ +π/2)
速度超前位移相位 π/2
(2) 加速度,a = dv/dt
=－ ω2Acos(ωｔ +φ)
=ω2.A cos(ωｔ +φ+π)
加速度与位移相反目 录 第 6 章
4,简谐振动的运动学方程
a =－ ω2 x
或 d2x /dt2 + ω2 x = 0
5,广义简谐振动任何一个物理量随时间而变化的规律如果遵从余弦 （ 正弦 ） 函数的关系,则统称为广义简谐振动 。
目 录 第 6 章
v 的周相超前 x π2
av
t
x
x
0
a 与 x 的周相相反。，
目 录 第 6 章
v 的周相超前 x π2
av
t
vx
x
0
a 与 x 的周相相反。，
目 录 第 6 章
v 的周相超前 x π2
av
a
t
vx
x
0
a 与 x 的周相相反。，
目 录 第 6 章位移、速度、加速度之间的相位关系位移 速度 加速度
x
t
va
目 录
ω,φ 以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
x
AA2 1.0
0 t
目 录
ω,φ
0{
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
目 录
ω,φ
＞ 0
0
0
{
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示目 录
ω,φ
＞ 0
0
0
{
π x
A 3
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
目 录
ω,φ
＞ 0
0
0
{ φ..,= π3
π x
A 3
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
目 录
ω,φ
＞ 0
0
0
{ φ..,= π3
1{
π x
A 3
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
t =1时 x = 0
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
目 录
ω,φ
＞ 0
0
0
{ φ..,= π3
1
1 ＜ 0
{
π x
A 3
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
t =1时 x = 0v = dx
dt
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
目 录
ω,φ
＞ 0
0
0
{ φ..,= π3
1
1 ＜ 0
{
π x
A 3
πA 2 x
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
t =1时 x = 0v = dx
dt
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
目 录
ω,φ
＞ 0
0
0
{ φ..,=
π
π
3
1
1 ＜ 0
{ Φ1= 2
π x
A 3
πA 2 x
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
t =1时 x = 0v = dx
dt
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
...
目 录
ω
ω,φ
＞ 0
0
0
{
φ
φ..,=
π
π
3
1
1 ＜ 0
{ Φ1= 2
Φ1 = t 1+ =
π x
A 3
πA 2 x
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
t =1时 x = 0v = dx
dt
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
...
目 录
ω
ω,φ
＞ 0
0
0
{
φ
φ..,=
π
π
π
3
1
1 ＜ 0
{ Φ1= 2
Φ1 = t 1+ =ω × 1 3
π x
A 3
πA 2 x
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
t =1时 x = 0v = dx
dt
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
...
目 录
ω
ω,φ
＞ 0
0
0
{
φ
φ..,=
π
π
π
3
1
1 ＜ 0
{ Φ1= 2
Φ1 = t 1+ =ω × 1 3 =π2
π x
A 3
πA 2 x
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
t =1时 x = 0v = dx
dt
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
...
目 录
ω
ω,φ
＞ 0
0
0
{
φ
φ..,=
π
π
π
3
1
1 ＜ 0
{ Φ1= 2
Φ1 = t 1+ =ω × 1 3 =π2 ω = 56 π
π x
A 3
πA 2 x
x
AA2 1.0
0 t
t = 0时 x =
A
2
v
t =1时 x = 0v = dx
dt
以及振动方程。求：
[ 例 ] 一谐振动的振动曲线如图所示。
...
...
目 录
x = A cos ( 56 π t π3 )
目 录
x = A cos ( 56 π t π3 )
本题 ω 的另一种求法：
目 录
x = A cos ( 56 π t π3 )
本题
π
3
x
At = 0
ω 的另一种求法：
目 录
x = A cos ( 56 π t π3 )
本题
π
π
3
2
A
x
A
t =1
t = 0
ω 的另一种求法：
目 录
x = A cos ( 56 π t π3 )
本题
ππ
π
π
π
3
2
A
x
A
t =1
t = 0
2 + 3
2 = T
1
ω 的另一种求法：
目 录
x = A cos ( 56 π t π3 )
本题
ππ
π
π
π
3
2
A
x
A
t =1
t = 0
2 + 3
2 = T
1
T = 125
ω 的另一种求法：
...
6.1.2 简谐振动的动力学 Dynamics of SHM
由牛顿定律,kx = m d xdt 22
d x
dt ω2
2
=+ 2x 0
km =ωk m令 2 即,ω = （弹簧振子的圆频率）
F m
X
k
0 x
x Acos )( t φ= +ω由
ω φω ( )+tv = A sin
x ω ω 00
00
A == xvv )( tg22+ φ
=
ω
当 t = 0 时
φ
φ
0
0
v =
x
A
Aco
s
s
in
初始条件,t = 0,x = xo,v = vo
注意：初相还需根据旋转矢量图中的
A 的位置来确定
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。
b
自然长度
mg
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b
自然长度
mg
b
自然长度静平衡时
mg
F
kb - mg = 0
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
x
平衡位置自然长度取静平衡位置为坐标原点
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
b0
b
x
[ 例 ] 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为 m
的小球，弹簧伸长量为 b 。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。
求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。
自然长度自然长度 b
平衡位置自然长度 b
平衡位置 0x x
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
Σ F = mg - k ( b + x ) = - kx
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
Σ F = mg - k ( b + x ) = - kx
可见小球作谐振动。
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
Σ
可见小球作谐振动。由 得：mg - kb = 0
F = mg - k ( b + x ) = - kx
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
Σ
ω = km gb=
可见小球作谐振动。由 得：mg - kb = 0
F = mg - k ( b + x ) = - kx
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
Σ
ω = km gb=
当 t 0=,
可见小球作谐振动。由 得：mg - kb = 0
F = mg - k ( b + x ) = - kx
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
Σ
ω = km gb=
00当 t 0 x b,===,v 0
可见小球作谐振动。由 得：mg - kb = 0
F = mg - k ( b + x ) = - kx
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
Σ
ω = km gb=
00
φ π
当得
t 0 x b,
A ==
=,v 0
=b,=
可见小球作谐振动。由 得：mg - kb = 0
F = mg - k ( b + x ) = - kx
自然长度 b
平衡位置 0x x
任意位置时小球所受到的合外力为：
Σ
ω = km gb=
00
φ π
x = b cos ( g t + )πb
当得
t 0 x b,
A ==
=,v 0
=b,=
可见小球作谐振动。由 得：mg - kb = 0
F = mg - k ( b + x ) = - kx
目 录 第 6 章例 6-2 在一轻弹簧下端悬挂 m
o = 100 g 砝码时，弹簧伸长 8 cm,现在这根弹簧下端悬挂
m = 250 g 的物体，构成弹簧振子。将物体从平衡位置向下拉动 4 cm,并给以向上 21cm/s
的初速度（这时 t =0）。 选 x 轴向下，求振动方程的表达式。
解,k =mog/? l = 0.1?10?0.08 =12.5 N/m
=(k/m)1/2 =(12.5/0.25)1/2 =7 rad/s
初始条件,t = 0,xo = 0.04 m,vo = - 0.21 m/s
A = (xo2+vo2/?2)1/2 = 0.05 m
tg? = - vo /?xo = - (- 0.21)/(7? 0.04) = 0.75
= 0.64 rad
振动方程,x = 0.05cos( 7t + 0.64 ) m
弹簧的串联和并联串联公式：
k1 k2
弹簧的串联和并联串联公式：
k1 k2
弹簧的串联和并联串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2 k
1 k2
弹簧的串联和并联串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2
并联公式：
k1 k2
k1
k2
弹簧的串联和并联串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2
并联公式：
k1 k2
k1
k2
弹簧的串联和并联串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2
并联公式：
k = k1 + k2
k1 k2
k1
k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解：
k
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解：
k1 k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解：
k1 k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2 k
1 k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2
因为 k1 = k2 k1 k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2
因为 k1 = k2,所以
1/k = 1/k1 +1/k1
k1 k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2
因为 k1 = k2,所以
1/k = 1/k1 +1/k1 = 2/k1
k1 k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,串联公式：
1/k = 1/k1 +1/k2
因为 k1 = k2,所以
1/k = 1/k1 +1/k1 = 2/k1
故 k1 = k2 = 2k
k1 k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,k1
k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,k1
k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,并联公式：
k' = k1 + k2
k1
k2
例,一劲度系数为 k 的弹簧均分为二，试求均分后两弹簧并联的等效劲度系数 k'。
解,并联公式：
k' = k1 + k2
= 2k + 2k = 4k
k1
k2
简谐振动的能量 = 振动动能 + 振动势能
W = Wk + Wp
Wk = mv2 / 2 = mω2A2sin2（ ω t+ φ ） / 2
WP = k x2 / 2 = kA2cos2（ ω t+ φ ） / 2
W = Wk + Wp= kA2 /2 = mω2A2/2
特点,
1,Wk 最大时,Wp最小为零；
Wp 最大时,Wk最小为零。
2,Wk = Wp = kA2/4 = W/2
3,Wk 和 Wp的周期是系统周期的一半。
4、系统的总能量不变。
目 录 第 6 章例 6-3 单摆 Simple Pendulum：单摆的运动是简谐振动的一个典型的实例。单摆定义为质量为 m的质点用一长为 l 而其质量可忽略的细绳悬挂在固定点 O 的系统。
解：由于拉力 T? v,T
不作功,故质点在摆动过程中机械能守恒。
设在平衡位置 C点的势能为零，则质点在 A点
EM = mv2/2 + mgl (1-cos?)
l T
O
C v
m
目 录 第 6 章因为 υ= l d?/dt
EM = ml 2(d?/dt)2 /2 + mgl (1-cos?) = 恒量
d?2/dt2 + g sin? /l = 0
在一般情况下，单摆的摆动不正好是简谐振动 。但是，如果摆动的角度? 很小时，
≈sin? (在? ＜ 10° 内 )，这样上式可改为：
d?2/dt2 + g? /l = 0
表明在小角度的范围内，单摆的角位移 θ
作简谐振动。
圆频率,周期,
l
g
g
l 2T
目 录 第 6 章例 6-4 复摆 Physical Pendulum：复摆是能够在重力作用下绕水平轴自由振荡的任意刚体
。 ZZ’水平轴,C为物体质心，质量为 mg。
解：转动定理 MZ = Iβ
MZ = - mgb sin?
β= d2?/dt2
I d2?/dt2 = -mgb sin?
假定振动是小振幅的，
≈sin?,利用 I = mK2，
式中 K为摆的回转半径，得：
d2?/dt2 + gb? /K2 = 0
表明在? 小范围内，角运动是简谐振动
ω2 = gb/K2
Z’
Z’
C
O lb
O’
mg
目 录 第 6 章
ω2 = gb/K2
因此，振动的周期为其中 l = K2/ b叫做 等效单摆长度 Length of
the equivalent simple pendulum，因为具有这个长度的单摆，其周期与复摆的相同。
可以看出,复摆的周期与其质量无关，
也与其几何形状无关，只要 K2/ b保持相同 。
gb
K
2T
2
目 录 第 6 章非简谐振动 Anharmonic Oscillation
简谐振动 力,F = - kx，
势能,EP = kx2/ 2
或 EP = k(x - xO)2/2
EP的曲线是一抛物线弹性常数 k = d2EP/dx2
非简谐振动考虑势能不是势物线，但却具有明确的极小值的情况。在平衡位置 xo 处 ( dEP/ dx =
0 )附近的运动可视为简谐振动。
等效弹性常数,k =[d2EP/dx2]|x = x。
xo
EP
x
目 录 第 6 章例 6-5 试用等效弹性常数重新计算例 4-6单摆的周期。
解：单摆的势能,EP = mgl (1 - cosθ)，其极小值位置 θ=0，单摆离开平衡点的水平位移 x =l
sinθ，因此单摆的圆频率,
周期,
m g t gc o sl 1s i nm g ldxdddEdxdE PP
lll
mg
s e c
mg
c o s
1
s e cmg
dx
d
)m g t g(
d
d
)m g t g(
d
d
]
dx
Ed
[k
0
3
0
2
0002
P
2
l l
g
m
mg
g
22T l
阻尼振动受迫振动
6.1.3 阻尼振动 Damped Oscillation
FF’= = kx?v 阻尼力 弹性力
d xdx 2
dtdt m=kx 2?
k mm= =ω令 0 2 （阻尼因子）2
dt
d x dx 22 + + = 0ω
0dt2 x2?
rr 2 ++ 0特征方程,2 ω 2 =0?
r 2+= ω 0特征根,2
22 ω
01,小阻尼?
r ωω 0 0有两个虚根,r1 == + ii 2,
方程的解为：
A0
t
T
x
ω 00 t φ x = A e cos( )t +?
0
T = 2πω 22?ω ω 0= 22?
是一非周期运动。
临界阻尼过阻尼
t
x
阻尼
2,过阻尼动力学方程：
方程的解为：
oF =F cosωt 周期性干扰力（强迫力）
强迫力的圆频率ωoF 力幅
6.1.4 受迫振动 Forced Oscillation
dx
dt
d x
dt 2
2
Fokx + cosωt = m?
0
令 km f=ω 2 m = 2 Fom =,,
0 =
d x
dtdt
dx得 2 2
2 ++ 2 ω x f cosωt?
+t φ2ω 0 00 t 2 φAx = A e cos( )+ sin (ωt - )
随时间很快衰减为零 稳定时的振动方程在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。
稳定时的振幅：
时振幅最大，称为 振幅共振 。
当 无 阻尼 (? = 0 ) 时,ωA=ωo。
+t φ2ω 0 00 t 2 φAx = A e cos( )+ sin (ωt - )
A = ω
0
22( ) 222+ 4ω ω?
f
相位,ω 0
2 -ω 2
2? ωtgφ=
ω= 0 22 2?ωA当强迫力的圆频率为目 录 第 6 章dx
=ωA cos(ωt - φ)dtv =
vo=ωA =
ω 0 22( ) 222+ 4ω ω?
ωf
速度,
速度振幅,
当 m? - k/? = 0，
即?2 = k/m =?o2 时，
vo 为极大，发生 能量共振,此时 相位 φ= 0。
结论,当? =?o时，且速度与 强迫力同相 时，
发生 能量共振 Energy Resonance。
mω( ) 22+k
Fo
ω?
vo =
ωoO ω
vo
Fo
目 录 第 6 章
A
较小
0
ωoO
较大
ωωA
振幅共振 Amplitude Resonance
目 录 第 6 章共振实验：
1
2
3
6
4
5
目 录 第 6 章共振实验：
1
2
3
6
4
5
目 录 第 6 章共振实验：
1
2
3
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目 录 第 6 章§ 6.2 振动 的合成
6.2.1 同方向同频率的简谐振动的叠加设两个简谐振动的频率相等为 ω,振动方向为 X 轴方向,以 x1 和 x2 分别代表两运动的质点位移：
x1 = A1 cos (ωｔ + φ1 )
x2 = A2 cos (ωｔ + φ2 )
式中 A１,A2 中 φ1,φ2 分别表示这两个简谐振动的振幅和初相位 。因此，质点的合位移为,x = x1 + x2
=A1cos(ωｔ +φ1) + A2cos(ω+φ2 )
= Acos(ωｔ +φ)
目 录 第 6 章其中 A = [A
12 + A22 + 2A1A2cos(φ2- φ1)]1/2
tg φ =（ A 1sinφ1 + A2sinφ2 ）
（ A 1cosφ1 + A2cosφ2 ）
讨论 (1)当 φ2-φ1 =± 2k? 同相 in phase
A = A1 + A2
A 最大,加强 。
(1) 当 φ2 -φ1 =± (2k+1)?
反相 in opposition
A = A1－ A2
A 最小,减弱 。
k 取整数 1,2,3,4,5,等等 。
φ
φ1
φ2
A2
A1
A
X
x2
x1
x
O
目 录 第 6 章例 6-5 两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 20 cm，与第一个简谐振动的相位差为? -?１ = π/6，若第一个简谐动的振幅为 17.3 cm，试求：
1、第二个简谐振动的振幅 A2
2、第一、二两个简谐振动的相位差?1 -? 2
解：已知 A = 20 cm
A1 = 17.3 cm
A2 =[A2 +A12 -2AA1cos(? -?１ )]1/2
= 10 cm?１
xo
A A2
A1
目 录 第 6 章
∵ A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos (?1 -? 2 )
∴ cos (?1 -? 2 ) = [A2 - A12 + A22] / 2A1A2
= 0
∵? 2－? 1 = π/2
∴?1 －?2 = － π/2
１
xo
A A2
A1
相互垂直振动的合成
)x y( A 1 A 22 = 0
x y
1 2
+ = 0AAA 22
1 2
2 2xy
A2
φ(φx xyy
1
1
1
1
2
22
2
2
2
22
+ =A AAA φφcos( ))2 sin2
合振动振幅为 1 222A AA +=xy 1A= 2A
x
y
A 1
2A0
6.2.2 同频率相互垂直振动的合成
φ )
φ
x
y
11
22 +
+
=
=
A
A
ω
ω
cos
cos (
( )t
t } 频率相同的两个分振动
φ 1 =φ 2 01.
π2,φφ =12 2
x y = 1+2
1 2
2
2
AA 2 x
y 1A
A 2
0
π
π2 π94
4π
5π
4
π743π2
π34
3,周相差 φφ 12 为不同值时的合成结果
νν 12拍频 =
νπ
ν 1
2 2
π1x
x =
=
A
A
cos
cos2
t
t
2
x = xx +1 2
νν ννν 2 2 111 ~ ＜＜
νννν ππ 112 2= 2A cos 2 (( ))
2 cos
tt 2 +
2
一般情况下合成后的振动是一个复杂的运动。
1、同方向 情况 —— 拍现象
6.2.3 不同频率振动的合成
t
t
t
x
x
1
2
x
ν
ν
ν
Δ =20.25s
0.75s0.50s
=
=
2
16
18
1
2,频率比为整数时相互垂直振动的合成李萨如图形
1,2 1,3 2,3
目 录 第 6 章6.2.4 振动的分解
ω
ωω
1
1
3
5
4A
πx = (
sin
sinsin t
t
t
++
+ 3
5,.,)
π=
4AΣ
k = 0
8 (2k+1)
(2k+1)
ωsin t
x
t
T
A
目 录 第 6 章
ωωω 113 54Aπx = ( sinsinsin t tt ++ 3 5 )
x
ω 基频
ω
t
目 录 第 6 章
ω 基频
3ωω
x
t
ωωω 113 54Aπx = ( sinsinsin t tt ++ 3 5 )
目 录 第 6 章
ω 基频
3ωω ω5
x
t
ωωω 113 54Aπx = ( sinsinsin t tt ++ 3 5 )
目 录 第 6 章
ω 基频
3ωω ω5
x
t
ωωω 113 54Aπx = ( sinsinsin t tt ++ 3 5 )
合成后目 录 第 6 章
ω ωω3 50
A
ω
分立谱频 谱
0
A
ω
连续谱目 录 第 6 章
6.4.1 机械波的产生和传播
1、产生条件
(1) 波源 —— 受迫振动
(2) 连续弹性 媒质
2,机械波的分类横波,质点的振动方向和波的传播方向垂直纵波,质点的振动方向和波的传播方向平行
§ 6.4 机械波目 录 第 6 章3、几何描述波线,表示波的传播途径和方向。
波阵面,所有振动相位相同的点连成的面，
最前面的那个波阵面则称波前。
例,(1)球面波 — 波阵面为球面 ;
在各向同性介质中波线与波面垂直球面波波阵面波线平面波波线波阵面
(2)平面波 — 波阵面为平面。
目 录 第 6 章4、波动是振动状态的传播，传播方向上的质元相位永远落后波源相位。
6.4.2 波动方程描述介质中同一波线上不同位置质点的位移与时间的关系。
简谐波,波源作简谐振动。由于介质中各质点在波源的扰动下作受迫振动，
所以各质点都以波源相同频率作简谐振动。
目 录 第 6 章设波以波速 u 沿着 x 轴的正方向传播，
y 轴表示 x 轴 ( 波线 ) 上质点的位移。波源
O点作简谐振动，其振动方程为：
yo = A cos (ωt +φ)
B 点落后时间为 x /u,
相应落后相位为 ωx /u,
则 B
yB = Acos(ωt+φ-ωx/u)
= Acos[ω(t - x / u)+φ]
因为 B点是任意的，所以上式即平面简谐波的波动方程。
x x
y
u
BO
1、平面简谐波目 录 第 6 章平面简谐波的波动方程,
y = A cos[ω( t - x / u ) +φ]
因 ω= 2,?= 1/ T，并设 λ= u /? = u T，
y = A cos[2? (? t - x /λ) +φ]
y = A cos[2? ( t / T - x /λ) +φ]
y = A cos[2? ( x - u t ) /λ+φ]
目 录 第 6 章2、波动方程的物理意义
(1) x 给定,y? t 曲线表示 x 处 质点振动方程 。
y
to
y
xo
(2) t 给定,y? x 曲线表示
t 时刻 波形方程,其空间周期为 λ。
波长,空间周期 λ又称为波长,它表示在波线上相距一个波长 λ的两质点的相位差为 ωλ/ u = 2λ/ u = 2?。
目 录 第 6 章(3) y 给定 ( 即 x 与 t 同时变化 )
当 t?t +Δt 时,x?x +Δx
A cos[ω( t - x / u ) +φ]
= A cos{ω[ t +Δt - ( x +Δx ) / u ] +φ}
Δx= uΔt
即,整个波形以速度 u 向传播方向移动 。
yy
x
y
x
x
t
t +?t
目 录 第 6 章解：设波动传播到 P点 ( x > xo )，则 P点落后 Po 的相位为 ω( x - xo ) / u，所以 P点的振
yP = A cos[ωt -ω( x - xo ) / u ]
因为 P点是任意的，所以上式即为该平面简谐波的波动方程。
例 6-6 有一以波速为 u，沿 x 轴正方向传播的平面简谐波。已知在波传播到 Po 点 ( 离原点为 xo ) 处的振动规律为 yPo = A cosωt，
求此波的表达式。
PPo
xo x xO
u
目 录 第 6 章例 6-7 一 平面简谐波沿 x 轴正方向传播,t = 0 s 时刻的波形如图所示，试画出 P处质点的振动在 t = 0
时刻的旋转矢量图。
u
x
y
o P yo
A
目 录 第 6 章
o y
t=2 s
t=0 s
例 6-8 图示为一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图
，波的振幅为 0.02m,周期为 4 s,求图中 P点处质点的振动方程。
解：已知 A = 0.02 m,T = 4 s
则有? = 2? / T =? / 2
V<0
P
uy
xo
=?P点的初相为?= -?/2
yp = 0.02cos(?t/2 -?/2 ) (SI)
=t =? / 2? 2 =?
t = 2 s 时,P点的位相为?/2
目 录 第 6 章3、波动方程的标准形式
2y/? t2 = u2? 2y/? x2
上式称为 波动方程的标准形式 。
标准形式波动方程的 一般解 形式为：
y = f ( x? u t )
其中 f 是任意函数。
简谐波只是波动方程的一个特解形式 。
从质元动力学分析可建立标准形式的波动方程，进而可确定波在介质的传播速度 u。
目 录 第 6 章例如,(1)在弹性细棒中,纵波的波速为：
u = ( Y/ρ)1/2 ( 纵波 )
式中 Y 为介质的杨氏弹性模量,ρ为介质的
(2) 在无限大弹性介质中,横波的波速为：
u = ( G/ρ)1/2 ( 横波 )
式中 G
(3) 在紧张绳索上
u = ( T/η)1/2 ( 绳索上 )
式中 T 为绳索张力,η为绳索线密度。
目 录 第 6 章6.4.3 机械波的能量和强度
1、波的能量当平面简谐波传播到体积元 ΔV 时，该体积元将具有动能 EK 和弹性势能 EP。
可以证明：
EK = EP=ρω2ΔV( A2 - y2 ) / 2
体积元的总机械能
E = EK + EP =ρω2ΔV( A2 - y2 )
波的 能量密度,w =E/ΔV= ρω2( A2 - y2 )
一个周期内的平均值,?w?=ρω2 A2 / 2
上式对所有弹性波都是适用的。
目 录 第 6 章波的能量特点,
(1) 体积元的动能和势能相等、且同相。
即：同时最大，同时最小。
y
xo
形变最小势能最小动能最小动能最大形变最大势能最大与谐振子比较,动能最大时，势能最小；
势能最大时，动能最小。
目 录 第 6 章
u s
u
平均能流,?P? =?w? u s
波的强度 I（能流密度）：
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流，即：
I =?P? / s =?w?u =ρA2ω2 u / 2
平均能流?P?与强度 I 关系,?P? = I · s
(2) 对于某一给定点，总能量随时间作周期性变化。这说明任一体积元都在不 断地接受和放出能量,所以波动传播能量。
与振动系统比较：能量守恒，不传播能量。
2、波的强度能流,单位时间内通过介质中某面积的能量。
目 录 第 6 章设离波源单位距离 ro 处的振幅为 Ao，离波源距离 r
处的振幅为 A。对于球面波
，通过球面 So和 S的能流相同。
即,? So Io · ds =? S I · ds
Io 4? ro2 = I 4? r2
ρAo2ω2 u ro2/ 2 = ρA2ω2 u r2/ 2
Ao ro = A r? A = Ao ro / r = Ao / r
球面简谐波：
y = (Ao/r) cos[ω( t - r / u ) + φ]
例：试求球面简谐波表示式。
r
ro
So
S
目 录 第 6 章6.4.4 波的干涉
1、波的迭加原理实验证明：
当介质中存在两个以上的波源时，这时各波源所激起的波可在同一介质中独立地传播；而在各个波相互交迭的区域，各点的振动 (位移或电磁场 )则是各个波在该点激起的振动的矢量和。
例如,(1)几个水波可以互不干扰地相互贯穿，然后继续按各自原来方式传播；
(2)当交响乐队演奏时，人耳仍能清晰地分辨出每个乐器演奏的旋律。
目 录 第 6 章两水波的叠加
S S1
2
目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加目 录 第 6 章理论分析,
由于波动的方程式
2 y/? 2 t = u2? 2 y/? 2 x
是线性的。
可证明：
如果 y1( x,t ) 和 y2( x,t ) 分别满足波动方程，则合成波 y = y1 ( x,t ) + y2 (x,t )
也满足波动方程，这就是波的波加原理的数学表示。
目 录 第 6 章2、波的干涉
(1) 相干源两个 频率相同,振动方向相同,相位相同或 相位差恒定 的波源。
干涉现象,
两个相干源波在空间迭加时，在某些点处振动始终加强，而在另一些点处，振动始终减弱。
光既然是电磁波，也能产生干涉现象 。
目 录 第 6 章
y10 = A10 cos ( 2t +φ1 )
y20 = A20 cos ( 2t +φ2 )
S1 和 S2 发出的波到达 P点的振动分别为：
y1 = A1 cos ( 2t +φ1 - 2? r1 /λ)
y2 = A2 cos ( 2t +φ2 - 2? r2 /λ)
两个振动在 P点的相位差为
Δφ=φ2 -φ1 - 2? ( r2 - r1 ) /λ
P 点的振动就是这两个振动的合振动。
S1
S2
r1
r2
P(2) 两个相干源的干涉设波源 S
1,S2的振动方程为：
目 录 第 6 章
P点合振动,
频率 — 两同频率、同方向振动的合振动仍为 同频率 的振动；
振幅 — 由两分振动的相位差来决定。由于两波源的相位差 φ2 -φ1是恒定的，
因此，空间中任一 P点两振动的相位差也是恒量，所以,任一 P点合振幅也是恒量。
目 录 第 6 章干涉加强与减弱条件,
加强,Δφ=φ2 -φ1 - 2? ( r2 - r1 ) /λ
= ± 2k? (k = 0,1,2,3…)
合振幅 A 最大,A = A1 + A2 。
减弱,Δφ= φ2 -φ1 - 2? ( r2 - r1 ) /λ
=± (2k+1)? (k = 0,1,2,3…)
合振幅 A为最小,A = |A1 - A2|
如果 φ1=φ2，上述条件可简化为 波程差 δ：
加强,δ= r2 - r1 = ± 2k (λ/ 2)
( k = 0,1,2…) 又称为 干涉相长减弱,δ= r2 - r1 = ± ( 2k + 1 ) (λ/ 2 )
（ k = 0,1,2… ) 又称为 干涉相消目 录 第 6 章3,驻波
(1)驻波的形成和特点
(a)驻波形成的条件两列振幅相同，传播方向相反的相干波的迭加 。 ——波干涉的特例。
(b)定量分析 （以平面简谐波为例）
设两列频率、振幅及振动方向相同，传播方向相反的平面简谐波：
y1 = Acos 2?(?t - x/?),y2 = Acos 2?(?t + x/?)。
合成波,y = y1+ y2
= [ 2Acos2?x/? ] cos 2t
目 录 第 6 章合成波,y = [ 2Acos2?x /? ] cos 2t
讨论：
(A)各点都在作同频率的振动? cos 2t；
(B)位置 x 点的振幅 | 2Acos2?x /? |
(C)位置 x 点的振动相位依赖与 2Acos2?x /?
的正负号。 正号（或负号）各处 相位相同，但 正、负号之间处 相位反相。
波节波腹目 录 第 6 章
(D)在 x = k?/2处,振幅 | 2Acos2?x/? |= 2A，
振幅最大,称为 波腹 ；
在 x =(2k+1)?/4处,振幅 |2Acos2?x/?|= 0，
静止不动,称为 波节其中 k = 0,1,2… 。
(F) 相邻两个波腹或波节之间的距离为? / 2。
这为我们提供了 一种测定波长的方法波节波腹目 录 第 6 章波节波腹
(G)驻波使波线上各点作 分段振动 ( 两个相邻波节为一分段 ),在每一分段中，各点的振动相位是相同；两个相邻分段，
振动相位正好反相 。
每分段中各点的振动相位是相同的，这种波称为 驻波 ；而相位逐点传播的波称为 行波 。
目 录 第 6 章(c)驻波特点频率,各质元频率相同；
振幅,与位置有关；
相位,同一分段，相位相同；
相邻分段，相位反相。
能量,波腹处，动能为零，聚集势能；
波节处，势能为零，聚集动能。
驻波能量不断在相邻波腹与波节之间相互转换，没有单一方向的能量传播。
目 录 第 6 章入射波
y
反射波 y
(d) 半波损失绳子波在固定端反射：
叠加后的波形在反射端形成波节。在反射端入射波和反射波周相相反，即入射波到达两种媒质分界面时发生? 相位突变，称为 半波损失 。
墙体
)
波密媒质
(
目 录 第 6 章反射波叠加后的波形入射波 自由端y y
绳子波在自由端反射在反射端形成波腹。在反射端入射波和反射波周相相同,无半波损失 。
目 录 第 6 章“半波损失”将决定于波的种类和两种介质的有关性质以及入射角的大小。
机械波,波密介质 — 密度 ρ与波速 u 的乘积 ρu较大的介质。
波疏介质 — 乘积 ρu 较小的介质。
光波,光密介质 — 折射率 n 较大的介质；
光疏介质 — 折射率 n 较小的介质。
可以证明,当波从波 (光 )疏介质垂直入射到波 (光 )密介质而反射时，则反射波有?相位突变，相应有半波波程的损失 。这样在分界处出现波节，这种现象称为,半波损失,。
目 录 第 6 章例 6-9 一平面波沿 x 轴正方向传播，传到波密介质分界面 M 在 B 点发生反射。
已知坐标原点 O 到介质分界面 M 的垂直距离 L = 1.75 m，波长
λ= 1.4 m，原点 O处的振动方程为：
yo = 5? 10-3 cos ( 500?t +? /4 ) m，
并设反射波不衰减，试求：
(1)入射波和反射波的波动方程 ；
(2)O和 B之间其余波节的位置 ；
(3)离原点为 0.875 m 处质点的振幅 。
L
O B
Mu
目 录 第 6 章解,(1)已知原点振动方程为：
yo = 5? 10-3 cos (500?t +? /4) m
y入 = 5?10-3cos[2? (250t - x /1.4)+? /4] m
反射波：考虑 C点，反射波引起 C 点振动的相位落后于 O 点振动的相位为 2? (2L - x) /λ+?,
y反 = 5?10-3cos[500?t+?/4 - 2?(2L-x)/λ+? ]
= 5?10-3cos[2?(250t+x /1.4)+? /4] m
L
O B
Mu
C
x
目 录 第 6 章(2) x 处反射波与入射波引起振动相位差：
Δφ= ( 2?x /1.4 +? /4 ) - ( -2?x /1.4 +? /4)
= 4?x / 1.4
干涉减弱条件可得波节位置满足条件为：
4?x / 1.4 = ( 2k + 1 )?
x = 0.35 ( 2k + 1) m,( k = 0,1,2…)
=0.35,1.05,1.75 m
所以 O 和 B 之间其余波节位置,
x1 = 0.35 m,x2 = 1.05 m
目 录 第 6 章
(3) 在 x = 0.875 m 处，反射波和入射波间
Δφ= 4 0.875? 1.4
= 5? / 2
合振幅
A = ( A入 2 + A反 2 + 2A入 A反 cosΔφ)1/2
= 1.414 A入
= 1.414? 5? 10-3
= 7.07? 10-3 m
目 录 第 6 章4、简正模式驻波的频率由系统的固有性质和边界条件决定。
例如：一根两端固定，长为 l 的紧张弦上的驻波，必须使两端成为波节，即弦长必须是半波长的整数倍,l = kλ/ 2
λk = 2 l / k ( k = 1,2,3… )
对应的 驻波频率,( u 为弦线中的波速 )
k = k u / 2 l ( k = 1,2,3… )
/2? 3?/2
k = 1 k = 2 k = 3
目 录 第 6 章?
k = k u / 2 l ( k = 1,2,3… )
简正模式,频率由上式决定的振动方式，称为该系统的。
其中最低的频率?1 称为系统的 基频,?2，
3,?4 … 称为 二次、三次，四次,… 谐频 。
简正模式是驻波系统可能发生的振动方式。
共振,当外界驱动源频率等于 (或很接近 )系统的某一模式的频率时，系统就发生幅度很大的驻波。通常把这种现象也叫做共振。
在弹簧和质点系统中只有一个共振频率，
而驻波系统可有许多共振频率。
目 录 第 6 章一般情况下，任一振动可以表示为它的各种简正模式的迭加。各个模式的强弱和相位则由系统的具体条件和激发方式决定。
弦乐器就是基于这一原理制作的。当弦乐器因拉弦而激起振动时，就发出一定的声音来，它包含各种频率。
基音,对应最低频率?1，决定声音的 音高 ；
泛音,对应频率?k 称为第 k 泛音，泛音决定各种乐器的 音色 。
例如同奏一个,C”音，提琴和胡琴就很不同，这就是因为它们所包含的泛音不同的缘故。
目 录 第 6 章对于管、鼓、膜或空腔等驻波系统，也同样有简正模模式和共振现象。
= u ( k12 / a2 + k22 / b2 )1/2 / 2
其中 a 和 b 分别为矩形的长与宽,k1 和 k2
= u ( k12 / a2 + k22 / b2 + k32 / c2 )1/2 / 2
其中 a,b 和 c 分别为矩形空膜的长、宽和高,k1,k2 和 k3
目 录 第 6 章解：当绳索上激起强驻波时，可把绳索看作两端固定的系统，可得：
k = k ( T/η)1/2 / 2 l
式中 k 是所激起驻波包含的半波数。
例 6-10 设 A,B 间绳索长 l = 1 米，绳索线密度 η= 5 克 /米，所持砝码为 1 千克。为在绳索上激一个半波，二个半波和三个半波的强驻波，问发生器的频率 (即音叉的振动频率 )应分别为多少?
lA B P
m
目 录 第 6 章?
k = k ( T/η)1/2 / 2 l
已知,l = 1 m,T = 1 kg× 9.8 m/s2 = 9.8 N，
η= 5 g /m = 5× 10-3 kg /m，
k = 1,2,3
1 = 1? ( 9.8 / 5? 10-3 )1/2 / 2? 1
= 22.1 Hz
2 = 2? ( 9.8 / 5? 10-3 )1/2 / 2? 1
= 44.3 Hz
3 = 3? ( 9.8 / 5? 10-3 )1/2 / 2? 1
= 66.5 Hz
目 录 第 6 章单色波,频率单一的波，波列是无限长。
波包,由一群单色波组成，波列是有限长。
当波包通过有色散的介质时，其中各单色分量将以不同的波速 (相速 ) u 前进，整个波包在向前传播的同时，形状逐渐改变。 波包中振幅最大的地方叫做 它的中心 ；
波包中心前进的速度叫做 群速,记为 vg 。
vg波包：
§ 6.5 波的群速目 录 第 6 章简单起见，考虑由两列波长和频率相近的波组成的,波包,。设它们的角频率和波数分别为和 kk,且<<?,
k?<< k 。 两列波合成的波列为：
y(x,t ) = A{cos[(? +)t - (k +?k)x]
+ cos[(? -)t - (k -?k)x]}
= 2A cos( t -?k x) ·cos(? t - k x)
低频传播的 振幅 高频的波动
x
y 波包目 录 第 6 章高频波速度为?/k,相当于“波包”的相速
u ;
低频包络的传播速度为/?k，即为,波包”
的群速 vg 。将和?k 改成微分，有
vg = d? / dk
这便是 波的 群速表达式波的能量正比于振幅的平方，所以 波包的中心 正是能量集中的地方，它的前进速度
（即 群速 ） 就是 能量的 传播速度 。
目 录 第 6 章
6.6.1 经典多普勒效应当我们站在铁路旁，正遇鸣着汽笛的火车开过身旁时，会感到汽笛声忽然由高亢变得低沉了。用物理语言来说，当火车迎面而来时，汽笛声的频率显得高些；背向而去时，
实验证明，当波源不动，而观察者运动时，也有类似的情形。
多普勒效应,因波源或观察者相对于传播介质的运动而使观察者接收到的波的频率发生变化的现象。
§ 6.6 多普勒效应目 录 第 6 章为简单起见，我们只讨论运动发生在波源与观察者的连线上这一情形。
设：波源相对于介质的运动速度为 u，
u > 0 表示趋近于观察者
u < 0 表示远离于观察者观察者相对于介质的运动速度为 v，
v > 0 表示趋近于波源
v < 0 表示远离于波源波源的原频率为?,在介质中波速为 V 。
目 录 第 6 章
’ = V /?
= V / VT
= 1 / T
’ =?
t 时刻波阵面 1 秒后波阵面
V
v
V
’ = (V+v)/?
= (V+v)/VT
= (V+v)? / V
’ = ( 1+ v/V )?
现分四种情形进行讨论：
1,u = 0,v = 0
2,u = 0,v? 0
目 录 第 6 章
V
’
t 时刻波阵面 1 秒后波阵面
’ =? - uT
’ = V/?’ = V/ (? - uT ) = V/ ( VT - uT )
= V? / ( V - u )
’ =? / ( 1 - u / V )
3,u? 0,v = 0
目 录 第 6 章4,u? 0,v? 0
’ =? - uT
’ = ( V + v ) /?’ = ( V + v ) / (? - uT )
= ( V + v ) / ( VT - uT )
’ =? ( V + v ) / ( V - u )
波源相对介质运动和观察者相对介质运动两者产生的多普勒效应是不同的。
因此，当波源与观察者有相对运动时可以由实验来判断，究竟哪一个相对于介目 录 第 6 章例 6-11 一个观察者站在铁路附近，听到迎面开来的火车汽笛声为 A4音 (频率为 440 Hz)，
当火车驶过他身旁后，汽笛声降为 G4 音 (频率为 392 Hz)，问火车的速率为多少? 已知空气中的声速为 330 m/s。
解：设汽笛原来的频率为?0，
当火车驶近观察者时，接收到的频率为? ’，
’ = V? 0 / ( V - u )
当火车驶过观察者后，接收到的频率为
’’ = V? 0 / ( V + u )
’ /?’’ = ( V + u ) / ( V- u )
火车速率 u = (?’-?’’ ) V/ (?’+?’’ ) = 19 m/s
