目 录 第 4 章第四章角 动量守恒刚体力学目 录 第 4 章§ 4.1 角动量守恒
4.1.1 质点的角动量 Angular momentum
1、质点的角动量质量为 m的质点相对 O点的位矢 r,以速度 v 绕 O 点运动，其角动量 L 定义,
L = r?p= r?（ mv）
大小,L = mv r sin?
若质点作圆周运动,
因 r 与 v 垂直,v=ωr，
L=mrv=mr2ω
引入角速度矢量 ω，
其方向垂直于运动平面,指向由右手定则 。
mvr o
L
L ω
目 录 第 4 章
ω ω’
ω ω’
v v’
v v’
目 录 第 4 章2、质点的角动量定理类比力的定义对角动量求时间变化率
dL/dt = d(r?p) /dt
= r? dp/dt+dr/dt? p
( 因为 dr/dt =v 平行 p，故 dr/dt? p = 0 )
dL/dt = r? dp/dt
在惯 性系中 f = dp/dt? dL/dt = r? f
定义 对参考点 O的力矩 Torque,M = r? f
故,M = r? f = dL/dt
一质点角动量的时间变化率等于作用于该质点上的力矩，这就是质点的角动量定理
。
目 录 第 4 章习题 4-1 一质量为 m 的质点自由降落，在某时刻具有速度 v,此时它相对于 A,B,C 三参考点的距离分别为 d1,d2,d3 。 求,(1) 质点对三个点的角动量； (2) 作用在质点上的重力对三个点的力矩。
解,(1) LA = d1? mv,方向?,LA = mvd1 ；
LB = d2? mv,方向?，
LB = mvd2 sin(? + 90o) = mvd1 ；
LC = d3? mv = 0 。
(2) MA = d1? mg,方向?，
MA = mg d1
MB = d2? mg,方向?，
MB = mgd2 sin(? + 90o) = mgd1 ；
MC = d3? mg = 0 。
d1
d2
d3
v
mg
A
B C?
m
目 录 第 4 章习题 4-2 一质量为 m 的粒子位于 ( x,y )处，速度为 v = vx i + vy j，并受到一个沿 - x 方向的力 f,
求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。
解,r = x i + y j,v= vx i + vy j,f = - f i + 0 j。
i j k
L = r? mv = m x y 0 = m ( x vy - y vx ) k
vx vy 0
i j k
M = r? f = x y 0 = y f k
-f 0 0
目 录 第 4 章3、质点角动量守恒定律如果 一质点对某点的力矩为零的话,它对该点的角动量是一恒矢量,这就是 质点角动量守恒定律 。
因为 L 为恒矢量,又 L 垂直于 r 和 v 所形成的平面,因此,L 为恒矢量时,质点只限制在一平面内运动 。 讨论两种特殊情况,
v
r
O
d
m(1) F=0（自由质点 v 不变）
因 M = r× F= 0,L为恒矢量。
即,L = mv rsin? =mv d
因 d= rsin?是恒量，
故其路径沿一直线。
目 录 第 4 章(2) F // r，或 F 方向通过 O点则 M = r× F = 0
一力的方向永远通过一个固定点，被称为 有心力 Central force,这固定点称为 力心 。
所以当一物体在一个有心力作用下运动时，该物体的角动量保持恒定；反之亦然。
例如，地球在一个有心力作用下绕太阳运行，这有心力的方向永远通过太阳的中心
。所以地球相对太阳的角动量是恒定的。
目 录 第 4 章例 4-1 一质量为 m 的质点系在绳子的一端,
绳的另一端穿过水平光滑桌面中央的小洞,
起初下面用手拉着不动,质点在桌面上绕 O
作匀速圆周运动,然后,慢慢地向下拉绳子
,使它在桌面上那一段缩短 。 质点绕 O 的角速度 ω如何随半径 r 变化?
解：质点受到的是一个有心力，故其角动量守恒
v = rω
L = mrv = mr2ω
角速度反比于半径的平方
ω? 1 / r2
vo
ro
r F
目 录 第 4 章试求：当绳子到达 B点（此时绳子被拉紧）
时的速度。
例,P为一水平面，一小球系于长度为 l 的细绳的一端，绳的另一端固定于 O点，开始时绳子是松弛的，球位于 A点，速度为,其方向与 AO垂直，球与 O点的距离为 d 。
v0
解：由角动量守恒得
=mv d0 mvd
l=
v d0v v0
vO
Ad
目 录 第 4 章4-2 在光滑的水平桌面上，放在质量为 M的木块，
木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在 O点，
弹簧的倔强系数为 K。没有一质量为 m 的子弹以初速 vo 射向 M，并嵌在木块内，如图 所示，弹簧原长 Lo，子弹撞击木块后，木块运动到达 B点的时刻，弹簧长度变为 L，此时 OB 与 OA垂直，
求在 B 点时，木块的运动速度 vB
m MA
vA
vBL
B
O
Lo
解：子弹与木块完全非弹性碰撞，
动量守恒。
mvB = (m+M) vA
从 A到达 B角动量守恒
Lo(m+M)vA = L(m+M)vB sinθ
机械能守恒,
(m+M)vA2 /2 = (m+M)vB2 /2 + k( L-Lo )2/2
目 录 第 4 章4.1.2 质点系角动量质点可推广到质点系质点系角动量,L = Σ Li
外力矩,M外 = Σ Mi 外
1、质点系角动量定理
(1)如果 内力满足牛顿第三 定律
(2)内力方向为两质点连线上可证明,M内 = 0
M外 = dL/dt
当 M外 = 0 时，则 dL/dt = 0 即,
L = 恒矢量上式称角动量守恒 定理 。
目 录 第 4 章习题 4-7 两质点的质量分别为 m
1,m2 ( m1 > m2 )，
拴在一根不可伸长的绳子的两端，以角速度? 在光滑水平桌面上旋转。它们之中哪个对质心的角动量最大？角动量之比为多少？
m2 m1
C l1l2
解,l1 = m2l /(m1+ m2 )
l2 = m1l /(m1+ m2 )
LC1 = m1 l1 v1 = m1 l12?
= m1 m22 l 2? /( m1 + m2 )2
LC2 = m2 l2 v2 = m2 l22?
= m2 m12 l 2? /( m1 + m2 )2
因为 m1 > m2,所以 LC2 > LC1 。
角动量之比,LC2 / LC1 = m1 / m2
目 录 第 4 章习题 4-8 在上题中，若起初按住 不动，让 m
1 绕着它以角速度旋转。然后突然将 m2 放开，求以后此系统质心的运动，绕质心的角速度和绳中的张力。设绳长为 l 。
解：动量守恒,m1 l? = (m1+ m2) vC
vC = m1 l? / (m1+ m2)
角动量守恒：设 m1 和 m2 绕质心的角速度为?’
m1? l 2 = (m1+ m2) vC l2 + ( m1 l1 2 + m2 l2 2 )?’
= m1 l? l2 + m1 l1?’l
l =? l2 +?’l1
l1 =?’l1
’ =?
m2 m1
C l1l2
vC
目 录 第 4 章l
1 = m2 l /( m1 + m2 ),l2 = m1 l /( m1 + m2 )。
绕质心的角动量：
LC = ( m1 l12 + m2 l22 )? = m1 l1 l?
= [m1 m2 /( m1 + m2 )] l 2? = l 2
其中? = m1 m2 /( m1 + m2 ) 称为折合质量。
绳中的张力：
T1 = m1 l1?2 = [m1 m2 /( m1 + m2 )]?2 l
=2 l
T2 = m2 l2?2 = [m1 m2 /( m1 + m2 )]?2 l
=2 l = T1
目 录 第 4 章推广到,(1)牛顿运动定律不能适 用的场合例如,原子、光子、原子核 等
(2) 内力方向不为两质点连线上。
当 M外 = 0 时,L = 恒矢量上式表示：
孤立系统或外力矩为零的系统其总角动量为一不随时间改变的恒矢量，即 角动量守恒定律。
目 录 第 4 章自然界普遍成立的三大守恒定律
1、动量守恒定律
2、角动量守恒定律
3、能量守恒定律上面三个守恒定律似乎是统治所有自然界中可能发生的一切过程的基本规则，无疑它们是物理学中三个最重要的目 录 第 4 章2,质点系的内角动量和轨道角动量质点系的角动量取决于所选取的参考点
(1) 内角动量 L内质点系的 L内 是 相对于质心 或 C - 参考系原点而计算的总角动量,即
L内 =? miriC? viC
其中 riC 和 viC 分别表示各质点相对质心的位矢和速度 。 因此,
内角动量是质点系本身所具有的一种性质
,与观察者无关 。
对于刚体或基本粒子而言,内角动量也称自旋角动量 (简称 自旋 )。
目 录 第 4 章(2) 轨道角动量 L
轨道质点系相对于 L-参考系原点的总角动量,
L轨道 = rc× P = rc× Mvc
式中 P是该系统的总动量,L轨道 相当于一质量为 M而位于系统质心处的质点的角动量。
可证明,一个质点系的角动量可表示为系统的内角动量和轨道角动量之和，
L = L内 + L轨道式中右侧第一项是系统相对质心的内角动量
，第二项是好象系统的所有质量都集中在质点处时相对于 L -参考系的轨道角动量。
目 录 第 4 章例：试证 L = L
内 + L轨道证：以质心为质心系的原点，惯性系中质心的位矢和速度分别为 rC 和 vC,惯性系与质心系的位矢和速度的变换关系分别为：
ri = riC + rC,vi = viC + vC
L=? miri? vi =? mi (riC + rC)? (viC + vC )
=? miriC? viC + rC mi viC
+? miriC? vC +? mi rC? vC
= L内 + rC? PC’ + MrC’? vC + M rc? vC
因为 PC’ =? mi viC = 0,rC’=? miriC / M = 0,
所以 L = L内 + M rC? vC = L内 + L轨道 。
目 录 第 4 章例如：
(1)一位 投球手抛出一个旋转的球,由于自旋而产生的角动量为 L内,而由于球的平动所具有的角动量是 L轨道 。
(2)地球绕太阳而运行 具有轨道角动量，
同时又绕其南北轴自旋。
(3)在 原子 中也存在类似的情形，电子一目 录 第 4 章3、质心系的角动量定理下面讨论惯性系与质心系的外力矩的变换：
M外 =? ri? Fi外 =? riC? Fi外 +? rC? Fi外
= M外 C + rC? F外而 L = L内 + M rC? vC,则
dL/dt = dL内 /dt + M drC /dt? vC
+ M rC? dvC /dt
= dL内 /dt + M vC? vC + M rC? aC
= dL内 /dt + rC? F外 (因 vC?vC = 0)
因为 M外 = dL/dt,即
M外 C + rC? F外 = dL内 /dt + rC? F外所以 M外 C = dL内 /dt
目 录 第 4 章M
外 C = dL内 /dt (1)
式中 M外 C 是外力对于质心的力矩,即自旋角动量的时间变化率等于外力相对于系统质心的力矩。 (1)式在形式上和 (2)式，即
M外 = dL/dt (2)
完全一样，但两者有着根本的不同：
(2)式只有当角动量和力矩均 相对于惯性系中的某个固定点 ( 通常是该坐标系原点 )来计算时才成立。
(1)式则是 相对于质心 而言，即使质心在惯性系中并不静止,(1)
目 录 第 4 章4.1.3 空间各向同性与角动量守恒定律考虑一对粒子 A和 B，固定
B，将 A沿以 B为心的园弧△ S
移动到 A’，势能改变：
△ EP = - ( f AB )切 △ S
空间各向同性意味着，两粒子之间的相互作用势能只与它们的距离有关，与二者之间联线在空间的取向天关。所以上述操作不改变它们之间的势能，从而△ Ep= 0，即相互作用力的切向分量 ( f AB)切 = 0，或者说：“
两粒子之间的相互作用力沿二者的联线,。
这说法与,角动量守恒,是 等价 的。于是，
我们从空间的各向同性推出了角动量守恒定律。
A’
A
B
(FAB)切
△ S
目 录 第 4 章第二节刚 体 运 动 学目 录 第 4 章§ 4.2 刚体 运 动 学
4.2.1 刚体 Rigid Body
物体在外力或外力矩作用下，其组成质点之间的距离恒保持一定。
4.2.2 平动 和 转动
(1) 平动 Translation：
刚体中的所有质点都沿平行的路径运行,因而刚体中任意两点的连线始终保持与其初始位置平行 。
b
c a
物 体 作 平 动
b
c a
物 体 作 平 动
b
c a
物 体 作 平 动
b
c a
物 体 作 平 动
a
b
c
物 体 作 平 动
a
b
c
物 体 作 平 动
b
c a
物 体 作 平 动
a
b
c
物 体 作 平 动
a
b
c
物 体 作 平 动
a
b
c
物 体 作 平 动目 录 第 4 章(2) 转动 Rotation：
刚体中的所有质点都绕一轴线 ( 称为转轴 ) 作圆周运动 。 轴线可固定，也可因运动而改变方向 。
(3)一般运动,
可以看成是 质心平动 和 绕通过质心的轴转动 的合成 。
质心的运动 和单个质点的运动完全一样
,该 质点的质量等于物体的质量，而它受的作用力就等于作用于该物体的外力之和。这种运动 可按照第三章中所阐述的质点动力学方法来分析,因而并不涉及什么新方法。
目 录 第 4 章第三节刚体 定轴 转动目 录 第 4 章4.3.1 角动量 与角速度的关系
1,定轴转动,转轴相对惯性系是固定不动
2,刚体定轴转动角动量,
设刚体以角速度 ω绕 Z 轴转动,而圆心位于 Z 轴上 。
质点 Ai
速度 vi =ω? ri
vi =ω? Ri
质点 Ai 相对于
O点的角动量,
Li = mi ri? vi
Li = mi ri vi
Li
O
ri
Ai
Ri
Liz
vi
Z
ω
i
目 录 第 4 章平行于 Z 轴的分量,
Liz= mirivi cos(?/2 -?i)
= miri sin?i?Ri= mi Ri2?
转动物体的总角动量沿转动轴 Z 的分量,
LZ= ∑i Liz = ∑i mi Ri2? = IZ?
式中 IZ =∑i mi Ri2
称为物体相对于
Z轴的 转动惯量,
物体越扩展，转动惯量就越大。
物体的总角动量 L =∑iLi,
一般不与转轴平行 。
Li
O
ri
Ai
Ri
Liz
vi
Z
ω
i
目 录 第 4 章4.3.2 转动惯量 Moment of inertia 的计算刚体是由大量紧密堆积的质点组成，所以转动惯量的 求和可用积分式来代替,即,
IZ = ∑i mi Ri2 =? R2 dm
设 ρ为物体的密度，则 dm=ρdv，
IZ =?ρR2dv =?ρ( x2 + y2 )dv
如果 物体是均匀 的，则其密度恒定，因而上式可写成,
IZ =ρ? R2 dv = ρ? ( x2 + y2 )dv
于是这个 积分 就化为一个 几何因子 。 对于具有相同形状和大小的所有物体，这个因子相同。
IX,IY的关系式与上式相似目 录 第 4 章1,垂直轴定理如果物体是薄片，沿 Z轴的厚度可看作零因为,IX=?ρy2 dv IY=?ρx2 dv
所以,IZ = IX + IY
上式仅对于薄片才成立，称垂直轴定理 。
O R
X
x
Z
P
Y
y
目 录 第 4 章2,平行轴定理 Steiner’s theorem
物体相对于两平行轴的转动惯量之间有一个很简单的关系式。
设 Z 为一任意轴,ZC为一平行于 Z 且经过物体质心的轴,
IZ = IC + md2 ( d 是二轴之间的间隔 )
式中 IZ 和 IC 分别为该物体相对于 Z轴和 ZC
轴的转动惯量,m是物体的质量。
ZZC
d
目 录 第 4 章回转半径 Radius of gyration K：
物理意义,
K表示某点至转轴的距离，该点集中了物体的全部质量而又不改变物体的转动惯量对于均匀物体而言,K由物体的几何形状所完全决定 。
我们可将它列成一表，以便用来计算转动惯量。表 4-1中列出若干种几何图形的回转半径的平方值。
2mKI
m
IK 或目 录 第 4 章
ba
L
R
L
ba
ba
R2/2
R2/4+L2/12
K2 (a2+b2)/12
(a2+b2)/12
b2/12
L2/12
目 录 第 4 章
R
R
R
R
R2/2
R2/4
R2
2R2/3
K2
球体圆盘 圆环目 录 第 4 章例 4-2 求一均匀细棒相对于 (a)垂直于棒且通过棒的一端的轴和 (b)垂直于棒且通过棒中心的轴的转动惯量。
解,(a)设 L为棒 AB的长度,S为棒的截面,
假定 S非常小,dx小段的体积为 dv=Sdx,由每一小段到 Y轴的距离为 x,并令密度 ρ恒定
，
IA =?LO ρx2 Sdx
=ρS?LO x2 dx
=ρL3S/ 3
SL为棒的体积
ρSL为棒的质量故,IA= mL2/ 3
dx
x
L X
Y
A
BS
目 录 第 4 章(b)计算通过质心 Y
C 轴的转动惯量 (三种方法 )
第 一种,分段两段，每一段的质量为 m/2,
长度为 L/2,它们 绕 YC 轴的转动惯量 为
2
2
C mL12
1L
2
1m
2
1
3
12I?
dxx
L/2 X
Y
A
BS
YC
C
L/2
目 录 第 4 章第二 种,与 (a)中相同，
但积分范围是从 -L/2
到 + L/2,我们把这个解留给学生去完成。
第三种,
利用平行轴定理
IA= IC + md2
= IC + m( L/2)2 ( d= L/2)
得,IC = IA - m( L/2)2
= mL2/3 - mL2/4
= mL2/12
dxx
L/2 X
Y
A
BS
YC
C
L/2
目 录 第 4 章4.3.3 定轴转动的转动定律质点系力矩与角动量的关系,M= dL /dt
Z轴分量,MZ = dLZ / dt = d(IZω)/dt (1)
刚体定轴 MZ = IZ dω/dt
转动定律,MZ = IZβ ( 与 F= ma 相似 )
I 下标省略形式,MZ = Iβ
若物体不是刚体,但其各质点的 ω相同
，这时转动惯量是变量,必须用 (1)式来分析和解决问题。
刚体通过质心 非 定轴转动,
M外 C = ICβ (? )
目 录 第 4 章如果刚体所受外力矩 M
Z= 0,则 LZ= Iω
= 常量，即刚体对该轴的 角动量保持不变 。
由于 刚体 转动惯量 I 为常量,所以 ω也是恒定的，即刚体以恒定角速度绕该轴转动，
这可以看作是 转动的惯性定律如果物体的 转动惯量是可变 的，则条件
IZω=常数要求,如果 I 增加 (或减少 )，则 ω就应减少 (或增加 )。
例如,舞蹈演员，溜冰运动员等在旋转的时候，往往先把两臂张开旋转，然后迅速把两臂改回靠近身体使自己的转动惯量迅速减少
，因而旋转速度加快。
ω
花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速目 录 第 4 章
=I 1 22 m rTg mm
2 2 = 2 a a
= rβ
1 TT 2
+
β
m
T 1T2 βIrr =
=1T 11 mm g a
[ 例 ] 在图示的装置中求 T β.a,,,1 2
滑轮可视作均质圆盘。
T
m
m
m1 2
r
TT1 2 m2
T
2
2
gm
a
g
m1
T1
1m
a
a
2
m m
m mm
g12
1 2
= ++( ))(
)mm
mm
g
2
2
2
1
1
= + +β (( )m r
T m g211
2
2=
2
2+( )m
m
m1 mm+ +
g1
2
2= 2T )(
m1
mm
+ +
+
mm
m
2
2
2
目 录 第 4 章如图所示，一圆柱体质量为 m，
长为 l,半径为 R，用两根轻软的绳子对称地绕在圆柱两端，两绳的另一端分别系在天花板上。现将圆柱体从静止释放，试求：
（ 1）它向下运动的线加速度；
（ 2）向下加速运动时，两绳的张力。
l
目 录 第 4 章
gm 2T mac=
R I=gm
2
2
1 += ( )Rm 2Rm?
R =gm 223 Rm? gR= 32?
=ac R? g= 32 = 61T gm
解：设系统做纯滚动
l gm
T T
目 录 第 4 章4.3.4 刚体 的功和能
1、刚体的重力 能
EP = ∑i? mi g hi
= g ∑i? mi hi
= mg hC
EP = mg hC
m = ∑i? mi 为总质量,hC 为质心 C 的高度目 录 第 4 章
2,定轴转动动能
EK = ∑i mivi 2 /2
= ∑i mi(ωRi )2 /2
= (∑i miRi 2)ω2/2
EK = Iω2/2
3,力矩作功动能定理,dA = dEK = d ( Iω2/2 )
= Iωdω = I (d? /dt)·dω
= Iβd? = MZ d?
dA = MZ d?
目 录 第 4 章[例 4-3 ] 一质量为 M长度为 L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为 m的橡皮泥以速度 v 和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。
试求：
1,碰撞后系统的角速度；
2,碰撞后杆子能上摆的最大角度。
θ L
v
4
m
M
3L
目 录 第 4 章碰撞过程角动量守恒,得：
mv m M34 ωIIL = )( +
mmMM 3 34I I LL2 2= = )(1
mv4
99
16 16
ω LLL2 2 == ++ 1 1
3
3
3
mm MM
4 mv
LL 3
上摆过程机械能守恒，得：
3L
θ
L
4
v
m
M
θω coscosI 2 22 ( )) ( (+ +1 m 43I MM =mg LL 1 θg 1 )
M34
9
16
L
2
2
2
= )
( +
1
m
4 M Lθ
g
g
max
(( 3 mm ++
1
1 9
16 3M
)
) m varc cos 2
目 录 第 4 章[ 例 ] 人和转盘的转动惯量为 I
1
0
,
为 初始转速为的质量,ωm
哑铃
2rr1
求：双臂收缩变为 时的由角速度及机械能增量。 r r12
mm
I 0
ω 1
目 录 第 4 章非保守内力作正功,机械能增加
rr1 2
mm
I 0ω 1
ωI= 21 ( 0+ )Δ E k 22 222 rm
ωI1 )10+2 ( 22 12 rm
ω I
I
I= 2 0+( 1(
0
0
02
11
1 ++ )) 22 1
I ＞2
2m mr r
2 rm 22
ω ωII= 0 + )( 1 12
2
2
( 0 + )2
rm2
2mr
由角动量守恒
ωω II =1 2( ) 00 ++ 222 )(12m rr m2
目 录 第 4 章在一半径为 R、质量为 m 的水平圆盘的边上，站着一个质量为 m′的人。这圆盘可绕通过中心的竖直轴转动，转轴与轴承之间的摩擦阻力可忽略不计。当人沿盘的边缘走一周回到盘上原有位置时，这圆盘将转过多大的角度？
ω
R m′ m
目 录 第 4 章盘对地的角速度 ω
由角动量守恒得,′ ω 0+″ =R 2m Iω
RI 221= m解：
′= Rvω人对盘的角速度 r
0=ωR 2
2
1 m+R 2m R +ωv( )′ r
′ ω+ ==ω″ ω R +ωv人对地的角速度 r
=ω
R 221 m+
Rm v
R 2m
′ r
′
ω
R m′ m
= ′
R21 m+
m v
m
r′
( )
目 录 第 4 章
tΔ由题意在 时间内，人相对盘转过的角度为：
′ r=
′ R2m+
m v
m( )
R
rv
π2 ′=
′2 m+
m
m( )
π4
′ rω? tΔ ==
′ R+
m v
m( )
tΔ
2m
tΔ在 时间内，人相对地转过的角度为：
R=
rv
tΔ π2∴R′ ==ω tΔ rv tΔ π2? =′
目 录 第 4 章§ 4.4 刚体 的平面平行 运动
4.4.1 刚体一般运动的动力学刚体 看作 质 点系，对于一 质 点系，,质心,
的概念有着重要的意义。因为：
对于 平 动,有 质心运动 定理,
F外 = M dvc /dt
对于 绕 质心 的 转动,有 质心系角动量定理
M外 C = dL内 /dt
因此，利用以上两条定理，就可全部解决 刚体 的动力学问题。
目 录 第 4 章4.4.2 平面平行 运动平面平行 运动,刚体内所有的运动点都平行于某一平面。
对于平面平行 运动,刚体的角速度矢量? (或者说转轴 )只能垂直于运动平面，
与定轴转动的区别 仅在于 转轴本身是可以横向移动 。
归纳,刚体平面平行 运动 可分解为 质心 的运动 和 绕 质心 的 转动,动 力学方程分别为：
质心 定理,F外 = M dvc /dt
质心 转 动定律,M外 C = IC? = IC d?/dt
目 录 第 4 章例 4-4 半径相同的球，圆柱的圆环，从高度 h
处开始沿一斜面无滑动滚动下来。试求每一物体在斜面底部的速度。
解：质心定理：
Mg sin? - f = Ma （ 1）
质心 转 动定律：
f R = IC? =MK2? （ 2）
角量与线量关系：
a = R? （ 3）
式中 K为 回转半径 。
(1)式? R,MgR sin? - f R = MRa （ 4）
(3)式代 (2)式,f R = MK2 a / R （ 5）
A
B
N
Mgv
h
f
目 录 第 4 章MgR sin? - f R = MRa （ 4）
f R = MK2 a / R （ 5）
（ 4）式 +（ 5）式,
MgR sin? = MRa + MK2 a / R
= MRa ( 1 + K2/R2 )
得,a = g sin? /(1 + K2/R2 )
v2 = 2aS
= 2[gsin?/(1+K2/R2 )] [h/sin? ]
= 2g h /(1+K2/R2 )
A
B
h
v
目 录 第 4 章求：棒从碰撞开始到停止转动所用的时间。
质量为 m1,长度为 l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为 的水平桌面上，它可绕端点 O转动。另有一水平运动的质量为 m2的小滑块，它与棒的 A端相碰撞，碰撞前后的速度分别为 及
v1 v2。
A
m
v
l
1
v2
1
m 2
O
目 录 第 4 章
1
3=I m1l
2
+=ω
I
m v l2 1 m v l2 2 = +m v2 1
m
v
l1
23 ( )
A
O
m
v l1
v2
1
m2
解：由角动量守恒得
ωIm v l2 1 = m v l2 2
棒上 dx段与桌面间的摩擦力为：
g xf m d? 1= ld
=dM fdx = g xm d? 1lx
dx段所产生摩擦力力矩为：
目 录 第 4 章
M 0= g xm d? 1lxl 12= gm? 1 l
= +m v2 1m vl
1
22 ( )
t
摩擦力力矩为：
dM = g xm d? 1lx
由角动量原理：
M0 =t td Mt ω0 13 m1l 2=
)= 1
3 m1l
2 +m v2 1
m
v
l1
23 (.
所用的时间为：
目 录 第 4 章4.4.3 平面平行 运动 的 动 能刚体总动能,EK = MVC 2/ 2 +EKC
= MVC 2/ 2 + ICω2/2,
式中 M 是总质量,VC 是质心的速度,IC 是相对于通过质心的转动轴的转动惯量。
由于刚体运动时，刚体内质点之间的距离并不改变，内势能 Epi 保持不变。
刚体总能量,E = EK + EP
= MVC 2/ 2 + ICω2/2 + EP
= 恒量其中 EP 是于外力相关联的势能 (这里将势能的脚标,e”去掉了 )。
目 录 第 4 章例如,物体受重力作用而下落时,EP= Mgh
,其中 h是物体质心相对于一水平参照而的高度，用而总能量为：
E = MVC 2/ 2 + ICω2/2 + Mgh = 恒量目 录 第 4 章例 4-4 半径相同的球，圆柱的圆环，从高度 h
处开始沿一斜面无滑动滚动下来。试求每一物体在斜面底部的速度。
解,因为 静摩擦力 不 作功,
所以 总能量 守恒 。
起始 B点,
总能量 E = Mgh
在斜面底部,
E = MV2/ 2 + ICω2/2
= MV 2/ 2 + MK2 V2/R2/2
= M (1 + K2 /R2 ) V2/2
式中 V为 质心平动速度,K为 回转半径 。
A
B
N
Mgv
h
f
目 录 第 4 章总能量 守恒,M (1 + K2 /R2 ) V2/2 = Mgh
换句话说，球体向下滚得最快，其次是圆柱，最慢的是圆环。
重要结果,均匀物体沿着具有一定斜率的斜面无滑动滚下时，其速率与物体的质量和实际尺寸大小均无关，仅取决于物体的形状 。
1
2
1
5
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2 34
710
R
K
R
K
R
K
R
K
gh
V
gh
gh
gh
圆环圆柱球体
/
/
目 录 第 4 章
4.5.1 刚体的平衡方程刚体平衡的充分必要条件：
（ 1）合外力为零? fi外 = 0
（ 2）对任意参考点的合外力矩为零
Mi外 =? ri? fi外 = 0
当 刚体 的运动受到某种限制时,刚体平衡方程的个数可以减少。
例如,刚体平面平行运动的平衡方程为
fi外 x = 0,? fi外 y = 0 ；
Mi外 z =? ( xi? fi外 y - yi? fi外 x ) = 0
§ 4.5 刚体的平衡目 录 第 4 章例 4.5 一架均匀梯子，重为 W，长为 2l，上端靠于光滑的墙上，下端置于粗糙的地面上，
梯与地面的摩擦系数为?，有一体重 W1 的人攀登到距 梯下端 l1 的地方，求梯子不滑动的条件。
解：假定梯子不滑动，
设它与地面的夹角为?，
地面与 墙的法向力分别为 N1 和 N2，地面的摩擦力为 f，
l1 N1
N2
W1
W?
f
C
目 录 第 4 章
l1 N1
N2
W1
W?
f
C
水平和铅直力的平衡方程：
N2 - f = 0 (1)
N1 - W - W1 = 0 (2)
选 C 为 力矩参考点，合外力矩 平衡方程：
2 f l sin? - W l cos? - W1 l1 cos? = 0 (3)
由 (1),(2),(3)方程组解得：
N1 = W + W1
N2 = (Wl +W1l1)ctg?/2l
= f
梯子不滑动的条件为：
f <? N1
目 录 第 4 章即,( Wl + W
1l1)ctg? / 2l <? ( W + W1)
对于一定的倾角?,人所能攀登的高度为
l1 < 2 l? ( W + W1) tg? / W1 - Wl / W1
讨论,?角越大，允许 人攀登的 越 高；
越大，允许 人攀登的也 越 高。
如果要求 攀到一定的高度 l1,则要求梯子的倾角：
> arctg (Wl + W1l1 ) / 2 l? (W + W1 )
讨论,l1 越小，允许? 越小，
越大，允许? 也 越小。
如果墙与梯之间的摩擦不可忽略，则多出了一个未知数，称为 静不定问题。
目 录 第 4 章§ 4.6 回转运动把飞轮的一个轴端做成球形。放在一固定竖直杆顶的凹槽内。如果使飞轮高速地绕轴转动起来 (这种旋转叫自旋 )，当松手后，有趣的现象出现了，飞轮居然不再不落，反而它的轴却在水平面内以杆顶为中心转动起来。
这种高速自旋物体的转动轴绕一固定轴的转动现象叫做 进动 Precession 。表现这种现象的具有对称轴的物体叫 回转仪 。
Mg
L?
目 录 第 4 章角动量定理：
M = dL/dt? dL = Mdt,dL? L
M 作用,改变 L 的方向，
不改变大小。
设在 dt 内,L 进动角位移 d?，
Ld? = dL = Mdt
进动角速度? = d?/dt = M/L = M / I?
L
L
dL Md?
俯视：
目 录 第 4 章例,半径 R 为 30 cm 的轮子，装在一根长 l 为 40 cm 的轴的中部，并可绕其转动，轮和轴的质量共 5kg，系统的回转半径为 25cm，轴的一端 A用一根链条挂起，如果原来轴在水平位置，并使轮子以 ω自 =12
rad／ s的角速度旋转，方向如图所示，求：
（ 1）该轮自转的角动量；
（ 2）作用于轴上的外力矩；
（ 3）系统的进动角速度，
并判断进动方向。 BA
ω
R
l
O
目 录 第 4 章
= 0.313 kg.m2
5 0.25RI m 2 ×== ( )2回(1)
ω 3.769.8I ===进动 MAω
自
2.61rad/s(3)
5× 9.8× 0.2=2 9.8 N.mg lMA m ==(2)
解：
BA
ω
R
l
O
俯视时，进动方向为逆时针方向。
4.1.1 质点的角动量 Angular momentum
1、质点的角动量质量为 m的质点相对 O点的位矢 r,以速度 v 绕 O 点运动，其角动量 L 定义,
L = r?p= r?（ mv）
大小,L = mv r sin?
若质点作圆周运动,
因 r 与 v 垂直,v=ωr，
L=mrv=mr2ω
引入角速度矢量 ω，
其方向垂直于运动平面,指向由右手定则 。
mvr o
L
L ω
目 录 第 4 章
ω ω’
ω ω’
v v’
v v’
目 录 第 4 章2、质点的角动量定理类比力的定义对角动量求时间变化率
dL/dt = d(r?p) /dt
= r? dp/dt+dr/dt? p
( 因为 dr/dt =v 平行 p，故 dr/dt? p = 0 )
dL/dt = r? dp/dt
在惯 性系中 f = dp/dt? dL/dt = r? f
定义 对参考点 O的力矩 Torque,M = r? f
故,M = r? f = dL/dt
一质点角动量的时间变化率等于作用于该质点上的力矩，这就是质点的角动量定理
。
目 录 第 4 章习题 4-1 一质量为 m 的质点自由降落，在某时刻具有速度 v,此时它相对于 A,B,C 三参考点的距离分别为 d1,d2,d3 。 求,(1) 质点对三个点的角动量； (2) 作用在质点上的重力对三个点的力矩。
解,(1) LA = d1? mv,方向?,LA = mvd1 ；
LB = d2? mv,方向?，
LB = mvd2 sin(? + 90o) = mvd1 ；
LC = d3? mv = 0 。
(2) MA = d1? mg,方向?，
MA = mg d1
MB = d2? mg,方向?，
MB = mgd2 sin(? + 90o) = mgd1 ；
MC = d3? mg = 0 。
d1
d2
d3
v
mg
A
B C?
m
目 录 第 4 章习题 4-2 一质量为 m 的粒子位于 ( x,y )处，速度为 v = vx i + vy j，并受到一个沿 - x 方向的力 f,
求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。
解,r = x i + y j,v= vx i + vy j,f = - f i + 0 j。
i j k
L = r? mv = m x y 0 = m ( x vy - y vx ) k
vx vy 0
i j k
M = r? f = x y 0 = y f k
-f 0 0
目 录 第 4 章3、质点角动量守恒定律如果 一质点对某点的力矩为零的话,它对该点的角动量是一恒矢量,这就是 质点角动量守恒定律 。
因为 L 为恒矢量,又 L 垂直于 r 和 v 所形成的平面,因此,L 为恒矢量时,质点只限制在一平面内运动 。 讨论两种特殊情况,
v
r
O
d
m(1) F=0（自由质点 v 不变）
因 M = r× F= 0,L为恒矢量。
即,L = mv rsin? =mv d
因 d= rsin?是恒量，
故其路径沿一直线。
目 录 第 4 章(2) F // r，或 F 方向通过 O点则 M = r× F = 0
一力的方向永远通过一个固定点，被称为 有心力 Central force,这固定点称为 力心 。
所以当一物体在一个有心力作用下运动时，该物体的角动量保持恒定；反之亦然。
例如，地球在一个有心力作用下绕太阳运行，这有心力的方向永远通过太阳的中心
。所以地球相对太阳的角动量是恒定的。
目 录 第 4 章例 4-1 一质量为 m 的质点系在绳子的一端,
绳的另一端穿过水平光滑桌面中央的小洞,
起初下面用手拉着不动,质点在桌面上绕 O
作匀速圆周运动,然后,慢慢地向下拉绳子
,使它在桌面上那一段缩短 。 质点绕 O 的角速度 ω如何随半径 r 变化?
解：质点受到的是一个有心力，故其角动量守恒
v = rω
L = mrv = mr2ω
角速度反比于半径的平方
ω? 1 / r2
vo
ro
r F
目 录 第 4 章试求：当绳子到达 B点（此时绳子被拉紧）
时的速度。
例,P为一水平面，一小球系于长度为 l 的细绳的一端，绳的另一端固定于 O点，开始时绳子是松弛的，球位于 A点，速度为,其方向与 AO垂直，球与 O点的距离为 d 。
v0
解：由角动量守恒得
=mv d0 mvd
l=
v d0v v0
vO
Ad
目 录 第 4 章4-2 在光滑的水平桌面上，放在质量为 M的木块，
木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在 O点，
弹簧的倔强系数为 K。没有一质量为 m 的子弹以初速 vo 射向 M，并嵌在木块内，如图 所示，弹簧原长 Lo，子弹撞击木块后，木块运动到达 B点的时刻，弹簧长度变为 L，此时 OB 与 OA垂直，
求在 B 点时，木块的运动速度 vB
m MA
vA
vBL
B
O
Lo
解：子弹与木块完全非弹性碰撞，
动量守恒。
mvB = (m+M) vA
从 A到达 B角动量守恒
Lo(m+M)vA = L(m+M)vB sinθ
机械能守恒,
(m+M)vA2 /2 = (m+M)vB2 /2 + k( L-Lo )2/2
目 录 第 4 章4.1.2 质点系角动量质点可推广到质点系质点系角动量,L = Σ Li
外力矩,M外 = Σ Mi 外
1、质点系角动量定理
(1)如果 内力满足牛顿第三 定律
(2)内力方向为两质点连线上可证明,M内 = 0
M外 = dL/dt
当 M外 = 0 时，则 dL/dt = 0 即,
L = 恒矢量上式称角动量守恒 定理 。
目 录 第 4 章习题 4-7 两质点的质量分别为 m
1,m2 ( m1 > m2 )，
拴在一根不可伸长的绳子的两端，以角速度? 在光滑水平桌面上旋转。它们之中哪个对质心的角动量最大？角动量之比为多少？
m2 m1
C l1l2
解,l1 = m2l /(m1+ m2 )
l2 = m1l /(m1+ m2 )
LC1 = m1 l1 v1 = m1 l12?
= m1 m22 l 2? /( m1 + m2 )2
LC2 = m2 l2 v2 = m2 l22?
= m2 m12 l 2? /( m1 + m2 )2
因为 m1 > m2,所以 LC2 > LC1 。
角动量之比,LC2 / LC1 = m1 / m2
目 录 第 4 章习题 4-8 在上题中，若起初按住 不动，让 m
1 绕着它以角速度旋转。然后突然将 m2 放开，求以后此系统质心的运动，绕质心的角速度和绳中的张力。设绳长为 l 。
解：动量守恒,m1 l? = (m1+ m2) vC
vC = m1 l? / (m1+ m2)
角动量守恒：设 m1 和 m2 绕质心的角速度为?’
m1? l 2 = (m1+ m2) vC l2 + ( m1 l1 2 + m2 l2 2 )?’
= m1 l? l2 + m1 l1?’l
l =? l2 +?’l1
l1 =?’l1
’ =?
m2 m1
C l1l2
vC
目 录 第 4 章l
1 = m2 l /( m1 + m2 ),l2 = m1 l /( m1 + m2 )。
绕质心的角动量：
LC = ( m1 l12 + m2 l22 )? = m1 l1 l?
= [m1 m2 /( m1 + m2 )] l 2? = l 2
其中? = m1 m2 /( m1 + m2 ) 称为折合质量。
绳中的张力：
T1 = m1 l1?2 = [m1 m2 /( m1 + m2 )]?2 l
=2 l
T2 = m2 l2?2 = [m1 m2 /( m1 + m2 )]?2 l
=2 l = T1
目 录 第 4 章推广到,(1)牛顿运动定律不能适 用的场合例如,原子、光子、原子核 等
(2) 内力方向不为两质点连线上。
当 M外 = 0 时,L = 恒矢量上式表示：
孤立系统或外力矩为零的系统其总角动量为一不随时间改变的恒矢量，即 角动量守恒定律。
目 录 第 4 章自然界普遍成立的三大守恒定律
1、动量守恒定律
2、角动量守恒定律
3、能量守恒定律上面三个守恒定律似乎是统治所有自然界中可能发生的一切过程的基本规则，无疑它们是物理学中三个最重要的目 录 第 4 章2,质点系的内角动量和轨道角动量质点系的角动量取决于所选取的参考点
(1) 内角动量 L内质点系的 L内 是 相对于质心 或 C - 参考系原点而计算的总角动量,即
L内 =? miriC? viC
其中 riC 和 viC 分别表示各质点相对质心的位矢和速度 。 因此,
内角动量是质点系本身所具有的一种性质
,与观察者无关 。
对于刚体或基本粒子而言,内角动量也称自旋角动量 (简称 自旋 )。
目 录 第 4 章(2) 轨道角动量 L
轨道质点系相对于 L-参考系原点的总角动量,
L轨道 = rc× P = rc× Mvc
式中 P是该系统的总动量,L轨道 相当于一质量为 M而位于系统质心处的质点的角动量。
可证明,一个质点系的角动量可表示为系统的内角动量和轨道角动量之和，
L = L内 + L轨道式中右侧第一项是系统相对质心的内角动量
，第二项是好象系统的所有质量都集中在质点处时相对于 L -参考系的轨道角动量。
目 录 第 4 章例：试证 L = L
内 + L轨道证：以质心为质心系的原点，惯性系中质心的位矢和速度分别为 rC 和 vC,惯性系与质心系的位矢和速度的变换关系分别为：
ri = riC + rC,vi = viC + vC
L=? miri? vi =? mi (riC + rC)? (viC + vC )
=? miriC? viC + rC mi viC
+? miriC? vC +? mi rC? vC
= L内 + rC? PC’ + MrC’? vC + M rc? vC
因为 PC’ =? mi viC = 0,rC’=? miriC / M = 0,
所以 L = L内 + M rC? vC = L内 + L轨道 。
目 录 第 4 章例如：
(1)一位 投球手抛出一个旋转的球,由于自旋而产生的角动量为 L内,而由于球的平动所具有的角动量是 L轨道 。
(2)地球绕太阳而运行 具有轨道角动量，
同时又绕其南北轴自旋。
(3)在 原子 中也存在类似的情形，电子一目 录 第 4 章3、质心系的角动量定理下面讨论惯性系与质心系的外力矩的变换：
M外 =? ri? Fi外 =? riC? Fi外 +? rC? Fi外
= M外 C + rC? F外而 L = L内 + M rC? vC,则
dL/dt = dL内 /dt + M drC /dt? vC
+ M rC? dvC /dt
= dL内 /dt + M vC? vC + M rC? aC
= dL内 /dt + rC? F外 (因 vC?vC = 0)
因为 M外 = dL/dt,即
M外 C + rC? F外 = dL内 /dt + rC? F外所以 M外 C = dL内 /dt
目 录 第 4 章M
外 C = dL内 /dt (1)
式中 M外 C 是外力对于质心的力矩,即自旋角动量的时间变化率等于外力相对于系统质心的力矩。 (1)式在形式上和 (2)式，即
M外 = dL/dt (2)
完全一样，但两者有着根本的不同：
(2)式只有当角动量和力矩均 相对于惯性系中的某个固定点 ( 通常是该坐标系原点 )来计算时才成立。
(1)式则是 相对于质心 而言，即使质心在惯性系中并不静止,(1)
目 录 第 4 章4.1.3 空间各向同性与角动量守恒定律考虑一对粒子 A和 B，固定
B，将 A沿以 B为心的园弧△ S
移动到 A’，势能改变：
△ EP = - ( f AB )切 △ S
空间各向同性意味着，两粒子之间的相互作用势能只与它们的距离有关，与二者之间联线在空间的取向天关。所以上述操作不改变它们之间的势能，从而△ Ep= 0，即相互作用力的切向分量 ( f AB)切 = 0，或者说：“
两粒子之间的相互作用力沿二者的联线,。
这说法与,角动量守恒,是 等价 的。于是，
我们从空间的各向同性推出了角动量守恒定律。
A’
A
B
(FAB)切
△ S
目 录 第 4 章第二节刚 体 运 动 学目 录 第 4 章§ 4.2 刚体 运 动 学
4.2.1 刚体 Rigid Body
物体在外力或外力矩作用下，其组成质点之间的距离恒保持一定。
4.2.2 平动 和 转动
(1) 平动 Translation：
刚体中的所有质点都沿平行的路径运行,因而刚体中任意两点的连线始终保持与其初始位置平行 。
b
c a
物 体 作 平 动
b
c a
物 体 作 平 动
b
c a
物 体 作 平 动
b
c a
物 体 作 平 动
a
b
c
物 体 作 平 动
a
b
c
物 体 作 平 动
b
c a
物 体 作 平 动
a
b
c
物 体 作 平 动
a
b
c
物 体 作 平 动
a
b
c
物 体 作 平 动目 录 第 4 章(2) 转动 Rotation：
刚体中的所有质点都绕一轴线 ( 称为转轴 ) 作圆周运动 。 轴线可固定，也可因运动而改变方向 。
(3)一般运动,
可以看成是 质心平动 和 绕通过质心的轴转动 的合成 。
质心的运动 和单个质点的运动完全一样
,该 质点的质量等于物体的质量，而它受的作用力就等于作用于该物体的外力之和。这种运动 可按照第三章中所阐述的质点动力学方法来分析,因而并不涉及什么新方法。
目 录 第 4 章第三节刚体 定轴 转动目 录 第 4 章4.3.1 角动量 与角速度的关系
1,定轴转动,转轴相对惯性系是固定不动
2,刚体定轴转动角动量,
设刚体以角速度 ω绕 Z 轴转动,而圆心位于 Z 轴上 。
质点 Ai
速度 vi =ω? ri
vi =ω? Ri
质点 Ai 相对于
O点的角动量,
Li = mi ri? vi
Li = mi ri vi
Li
O
ri
Ai
Ri
Liz
vi
Z
ω
i
目 录 第 4 章平行于 Z 轴的分量,
Liz= mirivi cos(?/2 -?i)
= miri sin?i?Ri= mi Ri2?
转动物体的总角动量沿转动轴 Z 的分量,
LZ= ∑i Liz = ∑i mi Ri2? = IZ?
式中 IZ =∑i mi Ri2
称为物体相对于
Z轴的 转动惯量,
物体越扩展，转动惯量就越大。
物体的总角动量 L =∑iLi,
一般不与转轴平行 。
Li
O
ri
Ai
Ri
Liz
vi
Z
ω
i
目 录 第 4 章4.3.2 转动惯量 Moment of inertia 的计算刚体是由大量紧密堆积的质点组成，所以转动惯量的 求和可用积分式来代替,即,
IZ = ∑i mi Ri2 =? R2 dm
设 ρ为物体的密度，则 dm=ρdv，
IZ =?ρR2dv =?ρ( x2 + y2 )dv
如果 物体是均匀 的，则其密度恒定，因而上式可写成,
IZ =ρ? R2 dv = ρ? ( x2 + y2 )dv
于是这个 积分 就化为一个 几何因子 。 对于具有相同形状和大小的所有物体，这个因子相同。
IX,IY的关系式与上式相似目 录 第 4 章1,垂直轴定理如果物体是薄片，沿 Z轴的厚度可看作零因为,IX=?ρy2 dv IY=?ρx2 dv
所以,IZ = IX + IY
上式仅对于薄片才成立，称垂直轴定理 。
O R
X
x
Z
P
Y
y
目 录 第 4 章2,平行轴定理 Steiner’s theorem
物体相对于两平行轴的转动惯量之间有一个很简单的关系式。
设 Z 为一任意轴,ZC为一平行于 Z 且经过物体质心的轴,
IZ = IC + md2 ( d 是二轴之间的间隔 )
式中 IZ 和 IC 分别为该物体相对于 Z轴和 ZC
轴的转动惯量,m是物体的质量。
ZZC
d
目 录 第 4 章回转半径 Radius of gyration K：
物理意义,
K表示某点至转轴的距离，该点集中了物体的全部质量而又不改变物体的转动惯量对于均匀物体而言,K由物体的几何形状所完全决定 。
我们可将它列成一表，以便用来计算转动惯量。表 4-1中列出若干种几何图形的回转半径的平方值。
2mKI
m
IK 或目 录 第 4 章
ba
L
R
L
ba
ba
R2/2
R2/4+L2/12
K2 (a2+b2)/12
(a2+b2)/12
b2/12
L2/12
目 录 第 4 章
R
R
R
R
R2/2
R2/4
R2
2R2/3
K2
球体圆盘 圆环目 录 第 4 章例 4-2 求一均匀细棒相对于 (a)垂直于棒且通过棒的一端的轴和 (b)垂直于棒且通过棒中心的轴的转动惯量。
解,(a)设 L为棒 AB的长度,S为棒的截面,
假定 S非常小,dx小段的体积为 dv=Sdx,由每一小段到 Y轴的距离为 x,并令密度 ρ恒定
，
IA =?LO ρx2 Sdx
=ρS?LO x2 dx
=ρL3S/ 3
SL为棒的体积
ρSL为棒的质量故,IA= mL2/ 3
dx
x
L X
Y
A
BS
目 录 第 4 章(b)计算通过质心 Y
C 轴的转动惯量 (三种方法 )
第 一种,分段两段，每一段的质量为 m/2,
长度为 L/2,它们 绕 YC 轴的转动惯量 为
2
2
C mL12
1L
2
1m
2
1
3
12I?
dxx
L/2 X
Y
A
BS
YC
C
L/2
目 录 第 4 章第二 种,与 (a)中相同，
但积分范围是从 -L/2
到 + L/2,我们把这个解留给学生去完成。
第三种,
利用平行轴定理
IA= IC + md2
= IC + m( L/2)2 ( d= L/2)
得,IC = IA - m( L/2)2
= mL2/3 - mL2/4
= mL2/12
dxx
L/2 X
Y
A
BS
YC
C
L/2
目 录 第 4 章4.3.3 定轴转动的转动定律质点系力矩与角动量的关系,M= dL /dt
Z轴分量,MZ = dLZ / dt = d(IZω)/dt (1)
刚体定轴 MZ = IZ dω/dt
转动定律,MZ = IZβ ( 与 F= ma 相似 )
I 下标省略形式,MZ = Iβ
若物体不是刚体,但其各质点的 ω相同
，这时转动惯量是变量,必须用 (1)式来分析和解决问题。
刚体通过质心 非 定轴转动,
M外 C = ICβ (? )
目 录 第 4 章如果刚体所受外力矩 M
Z= 0,则 LZ= Iω
= 常量，即刚体对该轴的 角动量保持不变 。
由于 刚体 转动惯量 I 为常量,所以 ω也是恒定的，即刚体以恒定角速度绕该轴转动，
这可以看作是 转动的惯性定律如果物体的 转动惯量是可变 的，则条件
IZω=常数要求,如果 I 增加 (或减少 )，则 ω就应减少 (或增加 )。
例如,舞蹈演员，溜冰运动员等在旋转的时候，往往先把两臂张开旋转，然后迅速把两臂改回靠近身体使自己的转动惯量迅速减少
，因而旋转速度加快。
ω
花样滑冰运动员通过改变身体姿态即改变转动惯量来改变转速目 录 第 4 章
=I 1 22 m rTg mm
2 2 = 2 a a
= rβ
1 TT 2
+
β
m
T 1T2 βIrr =
=1T 11 mm g a
[ 例 ] 在图示的装置中求 T β.a,,,1 2
滑轮可视作均质圆盘。
T
m
m
m1 2
r
TT1 2 m2
T
2
2
gm
a
g
m1
T1
1m
a
a
2
m m
m mm
g12
1 2
= ++( ))(
)mm
mm
g
2
2
2
1
1
= + +β (( )m r
T m g211
2
2=
2
2+( )m
m
m1 mm+ +
g1
2
2= 2T )(
m1
mm
+ +
+
mm
m
2
2
2
目 录 第 4 章如图所示，一圆柱体质量为 m，
长为 l,半径为 R，用两根轻软的绳子对称地绕在圆柱两端，两绳的另一端分别系在天花板上。现将圆柱体从静止释放，试求：
（ 1）它向下运动的线加速度；
（ 2）向下加速运动时，两绳的张力。
l
目 录 第 4 章
gm 2T mac=
R I=gm
2
2
1 += ( )Rm 2Rm?
R =gm 223 Rm? gR= 32?
=ac R? g= 32 = 61T gm
解：设系统做纯滚动
l gm
T T
目 录 第 4 章4.3.4 刚体 的功和能
1、刚体的重力 能
EP = ∑i? mi g hi
= g ∑i? mi hi
= mg hC
EP = mg hC
m = ∑i? mi 为总质量,hC 为质心 C 的高度目 录 第 4 章
2,定轴转动动能
EK = ∑i mivi 2 /2
= ∑i mi(ωRi )2 /2
= (∑i miRi 2)ω2/2
EK = Iω2/2
3,力矩作功动能定理,dA = dEK = d ( Iω2/2 )
= Iωdω = I (d? /dt)·dω
= Iβd? = MZ d?
dA = MZ d?
目 录 第 4 章[例 4-3 ] 一质量为 M长度为 L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为 m的橡皮泥以速度 v 和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。
试求：
1,碰撞后系统的角速度；
2,碰撞后杆子能上摆的最大角度。
θ L
v
4
m
M
3L
目 录 第 4 章碰撞过程角动量守恒,得：
mv m M34 ωIIL = )( +
mmMM 3 34I I LL2 2= = )(1
mv4
99
16 16
ω LLL2 2 == ++ 1 1
3
3
3
mm MM
4 mv
LL 3
上摆过程机械能守恒，得：
3L
θ
L
4
v
m
M
θω coscosI 2 22 ( )) ( (+ +1 m 43I MM =mg LL 1 θg 1 )
M34
9
16
L
2
2
2
= )
( +
1
m
4 M Lθ
g
g
max
(( 3 mm ++
1
1 9
16 3M
)
) m varc cos 2
目 录 第 4 章[ 例 ] 人和转盘的转动惯量为 I
1
0
,
为 初始转速为的质量,ωm
哑铃
2rr1
求：双臂收缩变为 时的由角速度及机械能增量。 r r12
mm
I 0
ω 1
目 录 第 4 章非保守内力作正功,机械能增加
rr1 2
mm
I 0ω 1
ωI= 21 ( 0+ )Δ E k 22 222 rm
ωI1 )10+2 ( 22 12 rm
ω I
I
I= 2 0+( 1(
0
0
02
11
1 ++ )) 22 1
I ＞2
2m mr r
2 rm 22
ω ωII= 0 + )( 1 12
2
2
( 0 + )2
rm2
2mr
由角动量守恒
ωω II =1 2( ) 00 ++ 222 )(12m rr m2
目 录 第 4 章在一半径为 R、质量为 m 的水平圆盘的边上，站着一个质量为 m′的人。这圆盘可绕通过中心的竖直轴转动，转轴与轴承之间的摩擦阻力可忽略不计。当人沿盘的边缘走一周回到盘上原有位置时，这圆盘将转过多大的角度？
ω
R m′ m
目 录 第 4 章盘对地的角速度 ω
由角动量守恒得,′ ω 0+″ =R 2m Iω
RI 221= m解：
′= Rvω人对盘的角速度 r
0=ωR 2
2
1 m+R 2m R +ωv( )′ r
′ ω+ ==ω″ ω R +ωv人对地的角速度 r
=ω
R 221 m+
Rm v
R 2m
′ r
′
ω
R m′ m
= ′
R21 m+
m v
m
r′
( )
目 录 第 4 章
tΔ由题意在 时间内，人相对盘转过的角度为：
′ r=
′ R2m+
m v
m( )
R
rv
π2 ′=
′2 m+
m
m( )
π4
′ rω? tΔ ==
′ R+
m v
m( )
tΔ
2m
tΔ在 时间内，人相对地转过的角度为：
R=
rv
tΔ π2∴R′ ==ω tΔ rv tΔ π2? =′
目 录 第 4 章§ 4.4 刚体 的平面平行 运动
4.4.1 刚体一般运动的动力学刚体 看作 质 点系，对于一 质 点系，,质心,
的概念有着重要的意义。因为：
对于 平 动,有 质心运动 定理,
F外 = M dvc /dt
对于 绕 质心 的 转动,有 质心系角动量定理
M外 C = dL内 /dt
因此，利用以上两条定理，就可全部解决 刚体 的动力学问题。
目 录 第 4 章4.4.2 平面平行 运动平面平行 运动,刚体内所有的运动点都平行于某一平面。
对于平面平行 运动,刚体的角速度矢量? (或者说转轴 )只能垂直于运动平面，
与定轴转动的区别 仅在于 转轴本身是可以横向移动 。
归纳,刚体平面平行 运动 可分解为 质心 的运动 和 绕 质心 的 转动,动 力学方程分别为：
质心 定理,F外 = M dvc /dt
质心 转 动定律,M外 C = IC? = IC d?/dt
目 录 第 4 章例 4-4 半径相同的球，圆柱的圆环，从高度 h
处开始沿一斜面无滑动滚动下来。试求每一物体在斜面底部的速度。
解：质心定理：
Mg sin? - f = Ma （ 1）
质心 转 动定律：
f R = IC? =MK2? （ 2）
角量与线量关系：
a = R? （ 3）
式中 K为 回转半径 。
(1)式? R,MgR sin? - f R = MRa （ 4）
(3)式代 (2)式,f R = MK2 a / R （ 5）
A
B
N
Mgv
h
f
目 录 第 4 章MgR sin? - f R = MRa （ 4）
f R = MK2 a / R （ 5）
（ 4）式 +（ 5）式,
MgR sin? = MRa + MK2 a / R
= MRa ( 1 + K2/R2 )
得,a = g sin? /(1 + K2/R2 )
v2 = 2aS
= 2[gsin?/(1+K2/R2 )] [h/sin? ]
= 2g h /(1+K2/R2 )
A
B
h
v
目 录 第 4 章求：棒从碰撞开始到停止转动所用的时间。
质量为 m1,长度为 l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为 的水平桌面上，它可绕端点 O转动。另有一水平运动的质量为 m2的小滑块，它与棒的 A端相碰撞，碰撞前后的速度分别为 及
v1 v2。
A
m
v
l
1
v2
1
m 2
O
目 录 第 4 章
1
3=I m1l
2
+=ω
I
m v l2 1 m v l2 2 = +m v2 1
m
v
l1
23 ( )
A
O
m
v l1
v2
1
m2
解：由角动量守恒得
ωIm v l2 1 = m v l2 2
棒上 dx段与桌面间的摩擦力为：
g xf m d? 1= ld
=dM fdx = g xm d? 1lx
dx段所产生摩擦力力矩为：
目 录 第 4 章
M 0= g xm d? 1lxl 12= gm? 1 l
= +m v2 1m vl
1
22 ( )
t
摩擦力力矩为：
dM = g xm d? 1lx
由角动量原理：
M0 =t td Mt ω0 13 m1l 2=
)= 1
3 m1l
2 +m v2 1
m
v
l1
23 (.
所用的时间为：
目 录 第 4 章4.4.3 平面平行 运动 的 动 能刚体总动能,EK = MVC 2/ 2 +EKC
= MVC 2/ 2 + ICω2/2,
式中 M 是总质量,VC 是质心的速度,IC 是相对于通过质心的转动轴的转动惯量。
由于刚体运动时，刚体内质点之间的距离并不改变，内势能 Epi 保持不变。
刚体总能量,E = EK + EP
= MVC 2/ 2 + ICω2/2 + EP
= 恒量其中 EP 是于外力相关联的势能 (这里将势能的脚标,e”去掉了 )。
目 录 第 4 章例如,物体受重力作用而下落时,EP= Mgh
,其中 h是物体质心相对于一水平参照而的高度，用而总能量为：
E = MVC 2/ 2 + ICω2/2 + Mgh = 恒量目 录 第 4 章例 4-4 半径相同的球，圆柱的圆环，从高度 h
处开始沿一斜面无滑动滚动下来。试求每一物体在斜面底部的速度。
解,因为 静摩擦力 不 作功,
所以 总能量 守恒 。
起始 B点,
总能量 E = Mgh
在斜面底部,
E = MV2/ 2 + ICω2/2
= MV 2/ 2 + MK2 V2/R2/2
= M (1 + K2 /R2 ) V2/2
式中 V为 质心平动速度,K为 回转半径 。
A
B
N
Mgv
h
f
目 录 第 4 章总能量 守恒,M (1 + K2 /R2 ) V2/2 = Mgh
换句话说，球体向下滚得最快，其次是圆柱，最慢的是圆环。
重要结果,均匀物体沿着具有一定斜率的斜面无滑动滚下时，其速率与物体的质量和实际尺寸大小均无关，仅取决于物体的形状 。
1
2
1
5
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2 34
710
R
K
R
K
R
K
R
K
gh
V
gh
gh
gh
圆环圆柱球体
/
/
目 录 第 4 章
4.5.1 刚体的平衡方程刚体平衡的充分必要条件：
（ 1）合外力为零? fi外 = 0
（ 2）对任意参考点的合外力矩为零
Mi外 =? ri? fi外 = 0
当 刚体 的运动受到某种限制时,刚体平衡方程的个数可以减少。
例如,刚体平面平行运动的平衡方程为
fi外 x = 0,? fi外 y = 0 ；
Mi外 z =? ( xi? fi外 y - yi? fi外 x ) = 0
§ 4.5 刚体的平衡目 录 第 4 章例 4.5 一架均匀梯子，重为 W，长为 2l，上端靠于光滑的墙上，下端置于粗糙的地面上，
梯与地面的摩擦系数为?，有一体重 W1 的人攀登到距 梯下端 l1 的地方，求梯子不滑动的条件。
解：假定梯子不滑动，
设它与地面的夹角为?，
地面与 墙的法向力分别为 N1 和 N2，地面的摩擦力为 f，
l1 N1
N2
W1
W?
f
C
目 录 第 4 章
l1 N1
N2
W1
W?
f
C
水平和铅直力的平衡方程：
N2 - f = 0 (1)
N1 - W - W1 = 0 (2)
选 C 为 力矩参考点，合外力矩 平衡方程：
2 f l sin? - W l cos? - W1 l1 cos? = 0 (3)
由 (1),(2),(3)方程组解得：
N1 = W + W1
N2 = (Wl +W1l1)ctg?/2l
= f
梯子不滑动的条件为：
f <? N1
目 录 第 4 章即,( Wl + W
1l1)ctg? / 2l <? ( W + W1)
对于一定的倾角?,人所能攀登的高度为
l1 < 2 l? ( W + W1) tg? / W1 - Wl / W1
讨论,?角越大，允许 人攀登的 越 高；
越大，允许 人攀登的也 越 高。
如果要求 攀到一定的高度 l1,则要求梯子的倾角：
> arctg (Wl + W1l1 ) / 2 l? (W + W1 )
讨论,l1 越小，允许? 越小，
越大，允许? 也 越小。
如果墙与梯之间的摩擦不可忽略，则多出了一个未知数，称为 静不定问题。
目 录 第 4 章§ 4.6 回转运动把飞轮的一个轴端做成球形。放在一固定竖直杆顶的凹槽内。如果使飞轮高速地绕轴转动起来 (这种旋转叫自旋 )，当松手后，有趣的现象出现了，飞轮居然不再不落，反而它的轴却在水平面内以杆顶为中心转动起来。
这种高速自旋物体的转动轴绕一固定轴的转动现象叫做 进动 Precession 。表现这种现象的具有对称轴的物体叫 回转仪 。
Mg
L?
目 录 第 4 章角动量定理：
M = dL/dt? dL = Mdt,dL? L
M 作用,改变 L 的方向，
不改变大小。
设在 dt 内,L 进动角位移 d?，
Ld? = dL = Mdt
进动角速度? = d?/dt = M/L = M / I?
L
L
dL Md?
俯视：
目 录 第 4 章例,半径 R 为 30 cm 的轮子，装在一根长 l 为 40 cm 的轴的中部，并可绕其转动，轮和轴的质量共 5kg，系统的回转半径为 25cm，轴的一端 A用一根链条挂起，如果原来轴在水平位置，并使轮子以 ω自 =12
rad／ s的角速度旋转，方向如图所示，求：
（ 1）该轮自转的角动量；
（ 2）作用于轴上的外力矩；
（ 3）系统的进动角速度，
并判断进动方向。 BA
ω
R
l
O
目 录 第 4 章
= 0.313 kg.m2
5 0.25RI m 2 ×== ( )2回(1)
ω 3.769.8I ===进动 MAω
自
2.61rad/s(3)
5× 9.8× 0.2=2 9.8 N.mg lMA m ==(2)
解：
BA
ω
R
l
O
俯视时，进动方向为逆时针方向。
