目 录 第 2 章第二章动 量 守 恒质 点 动 力 学目 录 第 2 章第一节惯 性 定 律目 录 第 2 章§ 2.1 惯性定律
2.1.1 惯性定律 Law of Inertia
一个自由质点永远以恒定的速度运动,
或者说,没有加速度 。 这就是说,一个自由质点可以沿直线作匀速运动,不然就是静止 (
速度为零 )。 这一定律也称牛顿第一定律 。
2.1.2 惯性系 Inertial Frame
自由质点或系统,也就是说,它不受世界上其他物体的作用 。
该参考系 称为 惯性参考系 。
目 录 第 2 章惯性定律 原为伽利略所发现,这个定律不能被直接用实验去证明 。
原因,除非我们先有这个定律,否则我们实在无法回答什么是自由质点或系统,也就是说我们无法知道该质点或系统是否受其他物体的作用,这样也就无法选择作为描写相对运动的惯性参考系 。
所以我们与 其说惯性定律还不如说惯性原理 。 它实际上是一个假说,事实上这个假说反映了我们所处 空间 的,平直,性质 。 如果空间是,弯曲,的话,则自由质点将沿,
弯曲,空间运动,不再 是沿直线运动 。
目 录 第 2 章The law of inertia can’t be proved by experiment.
Reason：
a free particle or system;
no interaction;
an inertial frame of reference;
Logical cycle appears
Galilean ideal experiment;
vo
v1 > vo
目 录 第 2 章The law of inertia can’t be proved by experiment.
Reason：
a free particle or system;
no interaction;
an inertial frame of reference;
Logical cycle appears
Galilean ideal experiment;
vo v
2 < v1
目 录 第 2 章The law of inertia can’t be proved by experiment.
Reason：
a free particle or system;
no interaction;
an inertial frame of reference;
Logical cycle appears
Galilean ideal experiment;
vo v
3 < v2
目 录 第 2 章The law of inertia can’t be proved by experiment.
Reason：
a free particle or system;
no interaction;
an inertial frame of reference;
Logical cycle appears
Galilean ideal experiment;
vo v
4 < v3
目 录 第 2 章The law of inertia can’t be proved by experiment.
Reason：
a free particle or system;
no interaction;
an inertial frame of reference;
Logical cycle appears
Galilean ideal experiment;
vo v5 < v4
目 录 第 2 章The law of inertia can’t be proved by experiments.
Reason：
a free particle or system;
no interaction;
an inertial frame of reference;
Logical cycle appears
Galilean ideal experiment;
vo v6 = vo
Therefore,the law of inertia is regard as the
principle of inertia ( a sort of hypothesis ).
目 录 第 2 章第二节动量守恒定律目 录 第 2 章§ 2.2 动量守恒定律
2.2.1 线动量 Linear Momentum
质点的线动量定义为它的质量 m和它的速度 v 的乘积,以 P 表示 。
P = mv
线动量是一个矢量,它的方向与速度相同,
它又简称 动量,在 SI中,动量的单位是公斤 ·
米 /秒 ( kg·m/s )。
我们现在可以将 惯性定律 重述如下,对一个惯性观察者而言,自由质点永远以一定的动量运动 。
目 录 第 2 章2.2.2 动量守恒定律
1、隔离系统 Isolated System
系统内质点之间有相互作用，而与外界没有任何作用。
2、动量守恒 Conservation 定律一个隔离的质点系统的总动量是恒定的
Ｐ =Ｐ 1+Ｐ 2 +Ｐ 3 +?
=?Ｐ i= 恒矢量惯性定律可以看作是动量守恒定律的一个特例（ 系统 只有一个隔离质点 ）。
目 录 第 2 章2.2.3 惯性质量 Inertial Mass 的定义在 △ t 时间内质点动量的改变为
△ P =△ (mv) = m△ v（ 假设 m与速度无关 ）
m2 / m1 =△ v1 /△ v2
上式表明质点的速度改变与质量的大小成反比 。 因为质量越大的物体我们越不容易改变其运动状态,故我们可用质量来度量物体的惯性,所以我们把这种定义的质量称为 惯性质量 。
质量单位为公斤 （ kg）
目 录 第 2 章目 录 第 2 章2.2.4 牛顿第二定律和第三定律
1、牛顿第二定律 Newton’s Second Law
两个质点系统,在时间间隔△ t = t’- t
内，质点 1 和质点 2 的动量变化之间的关系
△ P1/△ t = -△ P2/△ t
上式表示在时间间隔 △ t内,两质点动量 (矢量 )的平均变化率大小相等而方向相反 。
如果令 △ t→ 0 时,dP1/dt = - dP2/dt
力的定义,F = dP / dt
即为 牛顿第二定律 。
目 录 第 2 章2、牛顿第三定律 Newton’s Third Law
因为 dP1/dt = - dP2/dt
利用力的定义 F1 = - F2
式中 F1 = dP1/dt是质点 2对质点 1的作用力
F2 = dP2/dt是质点 1对质点 2的作用力结论,当两个质点相互作用时，作用在一个质点上的力与作用在另一个质点上的力大小相等而方向相反。这就是 牛顿第三定律 。
n 个质点对质点 m 的作用
dP1/dt= F1+ F2 + …… + Fn
在 SI 中，力的单位为牛顿 (N)。
评论,大小相同、方向相反；
同时出现、同时消失。
１、同时出现：
隐含相互作用以无限大速度传播。
２、大小相同：
如果相互作用是非接触的，例如：引力
、电力、磁力等通过“场”作用，则大小可以不相同。因此，近代物理学往往不采用牛顿第三运动定律，而直接应用动量守恒定律。
３、作用力于反作用力属于同一性质的力。
目 录 第 2 章
3、常见力和基本力常见力：
(1) 重力,物体受地球的吸引作用。
(2) 弹力,发生形变的物体企图恢复原状，
对与它接触的物体产生作用。
例如：正压力、张力、弹力等
(3) 摩擦力：
（ A）静摩擦 fs max = μs N
（ B）滑动摩擦 fk =μk N
一般来说 μk ＜ μs ＜１
目 录 第 2 章例：一绳索绕在绞盘的固定圆柱上，当绳子承受负荷巨大的拉力 TA,人可以用小得多的力 TB 拽住绳子。设绳与圆柱的摩擦系数为?,绳子绕圆柱的张角为?，试 分析摩擦力对绳子中张力分布的影响。
TATB
AB
T(?)
T(? +d?) dN? dN
d?
x
y
解：用隔离体法目 录 第 2 章考虑在? 处对圆心 张角 d?的一段线元。
切向,[ T(? +d?) - T(?) ] cos d?/2 = -? dN
法向,[ T(? +d?) +T(?) ] sin d?/2 = - dN
因 d? 很小,sin d?/2? d?/2,cos d?/2? 1，
T(? +d?) - T(?)? dT,T(? +d?) +T(?)? 2T，
故上二式可写为,dT = -? dN,T d? = dN。
消去 dN 可得：
dT / T = -? d?
TATB dT / T = -A?B d?
ln ( TB / TA ) = -? (?B -?A )
TB = TA e -
式中? =?B -?A 。 T(?)
T(? +d?) dN? dN
d?
x
y
基本力：
(1) 万有引力 Gravitational force
(2) 电磁力 Electromagnetic force
(3) 强力 Strong interaction
(4) 弱力 Weak interaction
类型 源 相对强度 作用距离万有引力 质量 10-38 长（无限）
弱力 所有粒子 10-15 短（ 10-17 m）
电磁力 电荷 10-2 长（无限）
强力 强子 1 短（ 10-15 m）
目 录 第 2 章[ 例 1 ]α =
= 0.10
= =mm A
A
B30
0 50kg 30kg
μ F = 150 N
求,a,T F
αB
解题步骤：
T
参照系 坐标系 画隔离体图写出用文字表达的牛顿方程用文字表达的解答 代入数字数字答案（写上单位）
目 录 第 2 章
αB
N F
f
m
TT
N
m
f AB
B
B
B
A
A
T
T
F
F
m
m
N
N
Nμ
cos
sinα
α
f
f
f
=
=
=
=
=
=
0
0
+ A
A
A
m A
A
B
Bm
B
f B μ NB
A
B
A
g
g
g g
a
A
a
目 录 第 2 章
a
F
m
A
B
μ
sincos g
=
=
=
=
=
= F ( )αα +
+
+
+
+
μ
μμ ( )m
mm
A
B
B
150
)
cos30 0.1sin30 0.1 9.8× （ 50+30））（ 0 0
50 + 30
0.74 -2
T mmm B(cos αα sin+
A
讨论：当 α aa max
由 dd cos sin μ+( )αα ==0 得,α tg-1α
( )m s.
因为 dd (cosα μ+ sinα)α22 ＜ 0 所以是极大值为何值时,
目 录 第 2 章[ 例 2 ] 一圆锥摆，已知：
ω
ω,θ
T
mg
n
n
θ
τ
n
r
T
sin
cos mg
ma
θ
=
= 0
T θ
na =
2
r = sinθ
2
= rω
解得：
θ = cos （ ）gω 21
m
l
l
l
v
v v
l 求：
目 录 第 2 章
θ
[ 例 3 ] 一小钢球，从静止开始自光滑圆柱形轨道的顶点下滑。求：小球脱轨时的角度 θ 。
mg m
mg m
cos
cos
sin
sin
sin
d
dd
d
ddt dt
dt
dvdv
dv
θ
θ
θ
θ
N
==
=
=
=
=
2
2
g
θ
R
R
R
g
g θθ
0 0
dv
( )1 θ = 2
θ R
θθ mg
N
τn
R
t = 0(1)
(2)
(3)
v
v
v
v
v
v
∫
m
∫
∫
目 录 第 2 章
mg m
cos
cos
N =
=
2
θ
θ R
脱轨条件：
0
由式 (1)得：
(4)
由 (3),(4)可解得：
= 23
θ = arc cos( )23
v
目 录 第 2 章例：一条长为 ｌ，质量均匀分布的细链条
AB，挂在半径可忽略的光滑钉子 C 上，开始时处于静止状态,BC段长为 L ( ｌ /2＜ L＜
2ｌ /3 ),释放后链条将作加速运动，试求当
BC=2ｌ /3时，链条的加速度和速度的大小。
解：设链条线密度为 ρ，
BC段长为 x 时，整个细链条受合外力 F 为：
F=xρg－（ｌ－ x） ρg （ l-x） ρg
l-x
x
B
C
xρg
l-L
L
B
C
A
目 录 第 2 章F=（ 2x －ｌ） ρg
1、加速度 a =F/ｌ ρ=（ 2x -ｌ） ρg / ｌ ρ
=（ 2x / ｌ－ 1） g
当 x =2ｌ /3时,a = g /3 。
2、因为 a = dv/dt = vdv/dx,所以
vdv/dx = （ 2x / ｌ－ 1） g
即 vdv = （ 2x / ｌ－ 1） g dx
两边积分,∫ ovvdv =∫ L2l/3（ 2x / ｌ－ 1） g dx
得,v2/2=（ x2/ｌ－ x） g |L2l/3
因此,v =[2g（ L－ L2/ｌ－ 2ｌ /9） ]1/2
目 录 第 2 章例 2-1 火箭的运动 ( 假定地球是一个惯性参考系 )
火箭 Rocket 是一种导弹,靠火箭内的燃烧室里所产生的气体不断喷出而获得连续的推动力 。
m
v
v′-dm
设 v 为火箭相对于地球的速度,v′为喷出气体相对于地球的速度，于是喷出气体相对于
ve= v′- v
t 时刻,火箭 m,v,P = mv
t + dt时刻,火箭 m + dm,v + dv
- dm,v′
注意,火箭质量在减少,dm是负值。
目 录 第 2 章P′= (m+dm)(v+dv) + (-dm)v′
= mv + mdv + vdm + dmdv - vdm
= mv + mdv - (v′- v )dm [ dmdv = 0 ]
= mv + mdv - vedm
在 dt
dP =P′- P = mdv - vedm
dP/dt = mdv/dt - vedm/dt = F
F 是作用在火箭上的 外力
vedm/dt 常称为 火箭的推力
Thrust of the rocket
目 录 第 2 章假设 v
e为定值，略去空气的阻力和重力随高度的变化，则唯一的外力是火箭的重量
mg，
火箭方程 mdv/dt - vedm/dt = mg
特例,设运动是竖直,v?,ve?,g?
火箭方程的标量形式：
mdv/dt + vedm/dt = - mg
初始条件,t = 0,v0,m0； t 时刻,v,m
dv + ve dm/ m = - gdt
v0vdv + ve? m0mdm/m= - g?t0t dt
得 v - v0+ veln(m/mo) = - gt
v = v0+ veln(m0/m) - gt
目 录 第 2 章v = v
0+ veln(m0/m) - gt
如果 t 是用完全部燃料所需的时间，于是上式中的 m 就是最后的质量，而 v是火箭所能达到的最大速度。
例如火箭的初始质量为 2.72× 106 kg，
燃料用完后的质量为 2.52× 106 kg，气体的排出速度为 1290 kg/s，则用完燃料所需的时间 t = 155 s。如果我们假定喷出气体的速度 ve=55000 m/s,v0 = 0,则火箭的最大速度为,v = 55000ln( 2.72× 106/2.52× 106 )
- 9.8× 155
= 2681 m/s
目 录 第 2 章资料片,火箭
1970年 4月 24日 长征 3号运载火箭把中国 第一颗人造地球卫星 ——“东方红一号” 送上太空，使中国航天技术迈出了重要的一步。
目 录 第 2 章2.2.5 动量定理
1,质心 Center of Mass
考虑由质量为 m1,m2,…… 等若干质点组成的系统,它们相对于惯性参考系的位矢分别为 r1,r2,……,
rc=∑miri/∑mi= ∑miri /M
其中 M =∑mi 是系统的总质量 。
2,质心速度 （ 系统速度 ）
假定这些质点的质量与其速度无关,
vc = drc/dt =∑mi dri /dt / M
=∑mi vi / M =∑Pi/M = P/M
目 录 第 2 章
3,质心参考系我们可选一个参照坐标系 Xc,Yc,Zc，
其原点固连在一个系统的质心上,则相对于此坐标系,质心是静止的 (vc=0)。 这个参考系称为质心参考系或 C—参考系,相对于
C—参考系,质点系的总动量恒为零,
Pc=∑Pi = 0 ( 在 C — 参考系中 )
C — 参考系之所以重要是因为我们在实验室或 L — 参考系中所作的许多实验可以在 C — 参考系内 得到更简单的分析 。
目 录 第 2 章4,动量定理孤立系,S 和 S′ 研究对象,S系统内力,S 系质点之间的相互作用外力,S′系作用于 S
系质点上的力
S + S′孤立系统,动量守恒定律 。
P = PS + PS′=∑Pi + ∑Pj = 恒矢量
dPi/dt = Fi + Fi1 + Fi2 + …
= Fi + ∑j,i≠jFij
其中 Fi 为外力,Fij为质点 j 对质点 i 的内力
S
S’
目 录 第 2 章d∑P
i /dt =∑ dPi/dt
= ∑Fi + ∑ j ∑j,i≠jFij= ∑Fi
= 0
dPs /dt = F外 动量定理的微分形式
dPS’/dt = F外’ F外 = - F外’
讨论：
(1)动量定理是矢量等式，三个分量等式。
(2)合外力分量仅对该系统分量的动量起作用，对其他分量是无贡献。如果合外力在某方向上的分量为零，尽管系统动量不守恒，
但在该 分量的动量却是守恒 的。
目 录 第 2 章(3) 在有些场合，如发生 碰撞,爆炸 等，系统所受外力显然存在，但远比系统内力为小
，它们可以忽略不计，对这些过程就可用 动量守恒定律 来处理。或者可忽略合外力在某一方向分量的作用，运用该方向动量守恒来解决。
5、质心定理因为 vc=PS /M,所以 F外 =Mdvc /dt = Mac
其中 ac 是 S 系的质心加速度 。
此结果与质点牛顿第二定律比较可知：
质点系的质心运动有如系统中的所有质量集中于质心在外力作用下的运动 。
例 2-2 水平地面上一辆静止的炮车发射炮弹
，炮车质量为 M，炮身仰角为 θ,炮弹质量为 m，炮弹刚出口时，相对于炮身的速度为 u，（ 1）求炮弹刚出口时，炮车的反冲速度的大小 VX ；（ 2）若炮筒长为 L，求发炮过程中炮车移动的距离 ΔX 。
解：设炮弹相对地面速度为 v弹地炮车反冲速度为 V车地相对速度公式,
v弹地 = u弹车 +V车地
x
u
m
M
θ
1、水平方向内力很大，可忽略地面摩擦的影响，因此水平方向动量守恒。
水平速度分量,vx = ucosθ + Vx
水平动量守恒：
0 = MVx + mvx = MVx + m(ucosθ+ Vx )
故得,Vx = - mucosθ／ (M + m)
负号表示向后退 。
x
u
m
M
θ
2、以 u(t) 表示发炮过程中任一时刻炮弹相对炮身的速度，则该瞬时炮车的速度应为：
Vx(t)= - mu(t)cosθ／ (M + m)
积分求炮车后退距离：
ΔX =?o T Vx(t)dt ( T发炮过程所需时间 )
= - mcosθ /(M + m)?o T u(t)dt
= - mLcosθ /(M +m)
负号表示向后退 。 x
u
m
M
θ
目 录 第 2 章例 2-3 水力采煤就是利用水枪在高压下喷射出来的强力水柱冲去煤层而使煤层碎裂 。 设所用水枪直径为 d=3× 10-2m,水速为
v=60m/s,水柱与煤层表面垂直 。 求水柱施于煤层的作用力 。
解：建立坐标系 Oxy，
取水枪 dt时间内喷出的水作为质点系,该质点系在冲击煤层时受到两个外力：煤层对它的反作用力和重力,重力略去不计 。
x
y
O
目 录 第 2 章在冲击煤层前,dM为质点系的总质量,v 为水柱在冲击煤层前速度,ρ表示水的密度,总质量可表示,dM=ρπd2vdt/4
总动量,P1 =dMv i =ρv2πd2 dt /4 i
P2=0。所以该质点系在冲出煤层 前后总动量的变化 为
dP = P2 - P1 = -ρv2πd2 dt /4 i
煤层对该质点系的反作用力 F′：
F′= dP/dt = -ρv2πd2/4 i
水柱作用于煤层的作用力,F = - F′，故
F = - F′= ρv2πd2/4 i
= 1000× 602× 3.14× 0.032/4 i
= 2545 i 牛顿目 录 第 2 章6、冲量定理
(1)质点已知力只是时间函数 F(t),试求质点速度
v(t) 和运动方程。初始条件,t = 0,v = vo
牛顿第二定律,F(t) = d(mv)/dt
∫ otF(t)dt =∫ vov d(mv) = mv - mvo
定义,冲量 I = ∫ otF(t)dt
I = P - Po （ 动量定理积分形式 ）
v (t) = vo + I / m
r(t) = ro + vo(t - to) +∫ ot I dt / m
(2)质点系 I外 = ∫ otF外 (t)dt = PS - PSO
目 录 第 2 章例 2-4 一质量为 2 kg的质点,在 xy 平面上运动,受到外力 F=4i -24t2j (SI)的作用,t=0
时,它的初速度为 vo =3 i+4 j (m/s),求 t=1s
时质点受到的法向力 Fn的大小和方向 。
解：设 质点质量 m =2kg,t =1s时，速度为 v
动量定理,mv-mvo=?o1 Fdt=?o1 (4 i - 24t2 j)dt
v =?o1 (2 i - 12t2 j)dt + vo
=2 i - 4 j +3 i +4 j
=5 i m/s
即切向方向为 i,法向方向为 j。所以 t = 1 s
时质点受到的法向力 Fn= -24t2 j|t=1= -24 j (N)
目 录 第 2 章当力连续变化时
tF ~x冲量的几何意义,冲量在数值上等于图线与坐标轴所围的面积。
I F=∫ dtt
t
1
2
F
0 t t
1 2
t
x
+
x x
y y
I F
I F
=∫
=∫
dt
dt
t
t
1
2
t
t
1
2
z zI F=∫ dtt
t
1
2
目 录 第 2 章平均冲力,
用平均冲力表示的动量原理为：
t t( )2 1F x = mv mv 12 x x
= mv mv 12 y yt t( )2 1F y
F
ttt
1 20
F
x
x
t t( )2 1xF dttt
1
2 = F
x∫
目 录 第 2 章解一,对碰撞过程应用动量原理
[ 例 2-5 ] 质量为一吨的蒸汽锤自 1.5m高的地方落下，它与工件的碰撞时间为 τ=0.01s
，求：打击的平均冲力。
= × ×6 61.66 101 + 0 03 0,( )N
=0 2ghv
=N mg ) )(( 0 m 0v
N
mg
h
0
m
m
v
工件
m
= 2ghN mgm τ +
目 录 第 2 章解二,对整个过程应用动量原理
=τN mgmg ( ) 00+t
N )( +mg = 1.69 = tτ 1 × 610 ( )N
N
mg
h
0
m
m
v
工件
m
目 录 第 2 章
mv α( )cos
vv
α α
Y
X
=Nx 0
N mgcosΔ ty = +α2mv
Δ = ααN mvmv sinsintx
ΔN mvmg costy = α( )
N
N
N
x
y
mg
= 2.0 + 0.2 ( N )
= 2.2 ( N )
[ 例 2-6 ] 一小球与地面碰撞 × 3
-1
m=2 10 kg
vvα = 600,= = 5.0m s,碰撞时间求,平均冲力。
0.05st=Δ
目 录 第 2 章[例 2-7] 质量为 m 均匀链条，全长为 L，手持其上端，下端与地面的距离为 h。手一松
，链条自由下落在地面上，试求链条下落在地面的长度为 l 的瞬时，地面所受链条作用力的大小。
L
l
L -lh
o
y
h+l解：设链条线密度为 ρ则 ρ= m / L。
若链条下落在地面的长度为 l,则该段链条的质量为
ml =m l / L。
l 段对地面的作用力：
ml g = ml g / L
目 录 第 2 章此时，未落地部分的速度为
v =[ 2g( h + l )] 1/ 2
在 dt 时间内，微元段
vdt 落地。落地前速度为 - v，
落地后速度为 0，这是在时间 dt 内受地面冲力 f 而致。
动量原理,f dt = 0 - ( - ρvdt v) = ρv2 dt
所以 f = ρv2 = 2mg（ h + l） / L
地面所受总作用力的大小为：
F总 = ml g/L+ 2mg（ h + l） / L
= mg（ 2h + 3 l） / L
L
l
L -lh
o
y
h+l
目 录 第 2 章§ 2.3 伽利略相对性原理和非惯性系
2.3.1 经典相对性原理
The Classical Principle of Relativity
力学定律在所有惯性系中都相同，亦即力学定律在不同的惯性系中具有相同的形式
，这个结论称 经典相对性原理,也称 力学相对性原理 。
如果没有外力作用于这些质点上，则根据在经典力学中，一切惯性系都等效，我们不可能借助任何力学实验把某一惯性系与其他任一惯性系区别开来。
目 录 第 2 章此原理可用伽利略变换来解释
1、动量守恒定律考虑两个质点系统；
惯性系 O,( m1,v1 ),( m2,v2 )
惯性系 O’,( m1,v1’ = v1 - u ),
( m2,v2’ = v2 - u )
惯性系 O,m1v1+ m2v2 = 恒矢量惯性系 O’,m1v1’+ m2v2’
= m1(v1- u ) + m2 (v2 - u )
= m1v1+ m2v2 + ( m1+ m2 )u
= 恒矢量目 录 第 2 章2、牛顿第二定律惯性系 O,F = ma
惯性系 O’,F’= ma’
因为 a = a’ （伽利略速度变换）
所以 F’= ma’= ma = F
尽管经典相对性原理是根据伽利略变换直接推出的结果，但它却是普遍的原理。
经典相对性原理并没有绝对时空这一前提，也就是说，伽利略变换只是满足经典相对性原理的一种变换。
目 录 第 2 章2.3.2 惯性力
1、直线加速参考系中的惯性力在非惯性系 K’中：
每个质点具有相同的加速度 A
惯性系 K与非惯性系 K’ 之间加速度变换,
a = a’+ A
在惯性系 K中,f = ma = m(a’+ A)
或 f - mA = ma’
- mA 称为惯性力，记为 f惯在非惯性系 K’中,采用牛顿第二定律形式
f’ = f + f惯 = ma’
其中 f’是质点在 K’系中受到的总有效力。
目 录 第 2 章f’是“真实的”力 f与,假想的,惯性力 f
惯 的合成例：设车厢以加速度 a 作直线运动，其中一张光滑的桌子上放着一个静止的物体 m 。地面观察者应用牛顿定律解释：
物体 m不受作用力，
加速度为零，静止。
m v = 0
af = 0
m-a
f惯 = -ma 车厢内观察者应用牛顿定律解释：
物体 m加速度为 -a,
受一 惯性力 f惯 = -ma。
目 录 第 2 章若用弹簧将物体牵连着：
车厢内观察者：
弹簧伸长，有一力 f =
ma 作用在物体 m 上，使物体获得与车厢一样的加速度 a，但相对于车厢，
物体并没有加速度。
m
ff惯车厢内观察者应用牛顿定律解释：
必须设想除 f 外还有一力 f惯 = - f = - ma
作用在物体上，从而使物体静止。
目 录 第 2 章注意：
惯性力 f惯 不是由物体的相互作用引起的，而是在非惯性系中能沿用牛顿定律而引入的“假想力”。“真实的”力 f 有反作用力，而“假想的”惯性力 f惯 不存在反作用力。
目 录 第 2 章
（ 2）失重台秤支持力 N = - m(g - a)
压力 N’= - N < mg
实例：超重和失重
（ 1）超重台秤支持力 N = - m(g + a)
压力 N’= - N > mg
a
N
N’
a
N
N’
a
θ m
解得：
T ga= m +2 2
cosθ = ga g
+
arc
22
T s = 0F惯 θin
T mgc θ = 0os
例 2-8 加速运动中的一单摆处于平衡状态
θ。已知,a,m 求,T,
F
mg
T
惯
ma=F惯目 录 第 2 章2、惯性离心力地面观察者,物体作匀速圆周运动物体 m 受 弹簧拉力：
f = mv2/R = mR?2
又称向心力 (提供向心加速度 )。
R
f惯f
R f
以物体为观察者,物体静止应用牛顿定律解释：
物体 m 受 弹簧拉力 f 外还受与向心加速度方向相反的 惯性力 f惯 与其平衡，
f惯 = - mR?2,此 惯性力又 称 惯性离心力。
目 录 第 2 章3、科里奥利力若质点相对于转动的参考系运动，则质点还可能受到 科里奥利力。
设一圆盘绕铅直以角速度? 转动，盘心有一光滑小孔，沿半径方向有光滑槽，其中置一小球 m,以细线连之，
绕另一端穿过小孔，可控制小球在槽中作匀速运动。
m
目 录 第 2 章现令小球以匀速 v
相沿槽中向外运动，经很短时间?t,圆盘转过角
=t,而小球自 A 运动至 B,A’B = v?t
地面观察者解释：
在 A 点 小球具有径向速度 v相 和切向速度?r。
A A’
B
B’
O
此二速度合成应使小球在?t 时间内达到 B’，
但实际上到达 B,这表明槽对小球作用有切向方向的力，它使小球获得加速度，并使小球多走弧长 B’B。
目 录 第 2 章
A A’
B
B’
O
显然：弧长 B’B = (OA + A’B) - OA·
= (r + v相?t)t -?r?t
=? v相?t2
因?t 很短，可设小球以恒加速度 aC 多走出弧长 B’B,故：
弧长 B’B = aC?t2/2
于是有,aC = 2? v相一般形式,aC = 2 v相
aC 称为 科里奥利 加速度。
槽壁作用于小球的推力：
f = 2 m v相目 录 第 2 章f = 2 m v
相
ω右手法则
ωv相
f
m
v相
f
目 录 第 2 章旋转系中观察者,小球作惯性运动按牛顿定律解释：
小球受到槽的侧向推力 f,但并未发生与槽垂直运动，故必存在惯性力 fC,又称为科里奥利力,fC = - f = - 2 m v相
= 2 m v相
m
v相
f
fC
傅科摆实验直接证明了地球的自转例：在光滑水平直管中有一质量为 m 的小球。
此管以匀角速 ω绕通过其一端的竖直轴转动。开始时，球距转动轴的距离为 a,球相对管的速率为零，而的总长为 2a 。
o x
y
z
mg
Nz
Ny
Fc mω
2x
vvz
vx
ω
求球刚离开管口时的相对速度与绝对速度，并求球从开始运动到离开管口时所需时间。
k xm2i xj m2vm2F
i xm
NNj mg-
k x rvj i xvi xr
C
2
zy
相牵相科氏力惯性离心力
，，反约束力：重力受力：
。，，，解：
a7
a4a3vvv
a3xa3xx d xxdx
( 4 ) x d xxdxxx
dx
xd
dt
dx
dx
xd
x:)1(
)3( Nxm2zm
( 2 ) mgNym
( 1 ) xmxm
222222
222
a2
a
2
x
0
22
z
y
2
牵相绝对速度：
得由动力学方程：
o x
y
z
mg
Nz
Ny
Fc mω
2x
vvz
vx
ω
32ln
1
t
t
a)a(a
a)a2(a2
ln
dt
)ax(
dx
dt
)ax(
dx
)ax(x
)ax(xxd xxdx
xd xxdx
22
22
t
0
a2
a 2222
22
2222
x
a
2
x
0
2
2.1.1 惯性定律 Law of Inertia
一个自由质点永远以恒定的速度运动,
或者说,没有加速度 。 这就是说,一个自由质点可以沿直线作匀速运动,不然就是静止 (
速度为零 )。 这一定律也称牛顿第一定律 。
2.1.2 惯性系 Inertial Frame
自由质点或系统,也就是说,它不受世界上其他物体的作用 。
该参考系 称为 惯性参考系 。
目 录 第 2 章惯性定律 原为伽利略所发现,这个定律不能被直接用实验去证明 。
原因,除非我们先有这个定律,否则我们实在无法回答什么是自由质点或系统,也就是说我们无法知道该质点或系统是否受其他物体的作用,这样也就无法选择作为描写相对运动的惯性参考系 。
所以我们与 其说惯性定律还不如说惯性原理 。 它实际上是一个假说,事实上这个假说反映了我们所处 空间 的,平直,性质 。 如果空间是,弯曲,的话,则自由质点将沿,
弯曲,空间运动,不再 是沿直线运动 。
目 录 第 2 章The law of inertia can’t be proved by experiment.
Reason：
a free particle or system;
no interaction;
an inertial frame of reference;
Logical cycle appears
Galilean ideal experiment;
vo
v1 > vo
目 录 第 2 章The law of inertia can’t be proved by experiment.
Reason：
a free particle or system;
no interaction;
an inertial frame of reference;
Logical cycle appears
Galilean ideal experiment;
vo v
2 < v1
目 录 第 2 章The law of inertia can’t be proved by experiment.
Reason：
a free particle or system;
no interaction;
an inertial frame of reference;
Logical cycle appears
Galilean ideal experiment;
vo v
3 < v2
目 录 第 2 章The law of inertia can’t be proved by experiment.
Reason：
a free particle or system;
no interaction;
an inertial frame of reference;
Logical cycle appears
Galilean ideal experiment;
vo v
4 < v3
目 录 第 2 章The law of inertia can’t be proved by experiment.
Reason：
a free particle or system;
no interaction;
an inertial frame of reference;
Logical cycle appears
Galilean ideal experiment;
vo v5 < v4
目 录 第 2 章The law of inertia can’t be proved by experiments.
Reason：
a free particle or system;
no interaction;
an inertial frame of reference;
Logical cycle appears
Galilean ideal experiment;
vo v6 = vo
Therefore,the law of inertia is regard as the
principle of inertia ( a sort of hypothesis ).
目 录 第 2 章第二节动量守恒定律目 录 第 2 章§ 2.2 动量守恒定律
2.2.1 线动量 Linear Momentum
质点的线动量定义为它的质量 m和它的速度 v 的乘积,以 P 表示 。
P = mv
线动量是一个矢量,它的方向与速度相同,
它又简称 动量,在 SI中,动量的单位是公斤 ·
米 /秒 ( kg·m/s )。
我们现在可以将 惯性定律 重述如下,对一个惯性观察者而言,自由质点永远以一定的动量运动 。
目 录 第 2 章2.2.2 动量守恒定律
1、隔离系统 Isolated System
系统内质点之间有相互作用，而与外界没有任何作用。
2、动量守恒 Conservation 定律一个隔离的质点系统的总动量是恒定的
Ｐ =Ｐ 1+Ｐ 2 +Ｐ 3 +?
=?Ｐ i= 恒矢量惯性定律可以看作是动量守恒定律的一个特例（ 系统 只有一个隔离质点 ）。
目 录 第 2 章2.2.3 惯性质量 Inertial Mass 的定义在 △ t 时间内质点动量的改变为
△ P =△ (mv) = m△ v（ 假设 m与速度无关 ）
m2 / m1 =△ v1 /△ v2
上式表明质点的速度改变与质量的大小成反比 。 因为质量越大的物体我们越不容易改变其运动状态,故我们可用质量来度量物体的惯性,所以我们把这种定义的质量称为 惯性质量 。
质量单位为公斤 （ kg）
目 录 第 2 章目 录 第 2 章2.2.4 牛顿第二定律和第三定律
1、牛顿第二定律 Newton’s Second Law
两个质点系统,在时间间隔△ t = t’- t
内，质点 1 和质点 2 的动量变化之间的关系
△ P1/△ t = -△ P2/△ t
上式表示在时间间隔 △ t内,两质点动量 (矢量 )的平均变化率大小相等而方向相反 。
如果令 △ t→ 0 时,dP1/dt = - dP2/dt
力的定义,F = dP / dt
即为 牛顿第二定律 。
目 录 第 2 章2、牛顿第三定律 Newton’s Third Law
因为 dP1/dt = - dP2/dt
利用力的定义 F1 = - F2
式中 F1 = dP1/dt是质点 2对质点 1的作用力
F2 = dP2/dt是质点 1对质点 2的作用力结论,当两个质点相互作用时，作用在一个质点上的力与作用在另一个质点上的力大小相等而方向相反。这就是 牛顿第三定律 。
n 个质点对质点 m 的作用
dP1/dt= F1+ F2 + …… + Fn
在 SI 中，力的单位为牛顿 (N)。
评论,大小相同、方向相反；
同时出现、同时消失。
１、同时出现：
隐含相互作用以无限大速度传播。
２、大小相同：
如果相互作用是非接触的，例如：引力
、电力、磁力等通过“场”作用，则大小可以不相同。因此，近代物理学往往不采用牛顿第三运动定律，而直接应用动量守恒定律。
３、作用力于反作用力属于同一性质的力。
目 录 第 2 章
3、常见力和基本力常见力：
(1) 重力,物体受地球的吸引作用。
(2) 弹力,发生形变的物体企图恢复原状，
对与它接触的物体产生作用。
例如：正压力、张力、弹力等
(3) 摩擦力：
（ A）静摩擦 fs max = μs N
（ B）滑动摩擦 fk =μk N
一般来说 μk ＜ μs ＜１
目 录 第 2 章例：一绳索绕在绞盘的固定圆柱上，当绳子承受负荷巨大的拉力 TA,人可以用小得多的力 TB 拽住绳子。设绳与圆柱的摩擦系数为?,绳子绕圆柱的张角为?，试 分析摩擦力对绳子中张力分布的影响。
TATB
AB
T(?)
T(? +d?) dN? dN
d?
x
y
解：用隔离体法目 录 第 2 章考虑在? 处对圆心 张角 d?的一段线元。
切向,[ T(? +d?) - T(?) ] cos d?/2 = -? dN
法向,[ T(? +d?) +T(?) ] sin d?/2 = - dN
因 d? 很小,sin d?/2? d?/2,cos d?/2? 1，
T(? +d?) - T(?)? dT,T(? +d?) +T(?)? 2T，
故上二式可写为,dT = -? dN,T d? = dN。
消去 dN 可得：
dT / T = -? d?
TATB dT / T = -A?B d?
ln ( TB / TA ) = -? (?B -?A )
TB = TA e -
式中? =?B -?A 。 T(?)
T(? +d?) dN? dN
d?
x
y
基本力：
(1) 万有引力 Gravitational force
(2) 电磁力 Electromagnetic force
(3) 强力 Strong interaction
(4) 弱力 Weak interaction
类型 源 相对强度 作用距离万有引力 质量 10-38 长（无限）
弱力 所有粒子 10-15 短（ 10-17 m）
电磁力 电荷 10-2 长（无限）
强力 强子 1 短（ 10-15 m）
目 录 第 2 章[ 例 1 ]α =
= 0.10
= =mm A
A
B30
0 50kg 30kg
μ F = 150 N
求,a,T F
αB
解题步骤：
T
参照系 坐标系 画隔离体图写出用文字表达的牛顿方程用文字表达的解答 代入数字数字答案（写上单位）
目 录 第 2 章
αB
N F
f
m
TT
N
m
f AB
B
B
B
A
A
T
T
F
F
m
m
N
N
Nμ
cos
sinα
α
f
f
f
=
=
=
=
=
=
0
0
+ A
A
A
m A
A
B
Bm
B
f B μ NB
A
B
A
g
g
g g
a
A
a
目 录 第 2 章
a
F
m
A
B
μ
sincos g
=
=
=
=
=
= F ( )αα +
+
+
+
+
μ
μμ ( )m
mm
A
B
B
150
)
cos30 0.1sin30 0.1 9.8× （ 50+30））（ 0 0
50 + 30
0.74 -2
T mmm B(cos αα sin+
A
讨论：当 α aa max
由 dd cos sin μ+( )αα ==0 得,α tg-1α
( )m s.
因为 dd (cosα μ+ sinα)α22 ＜ 0 所以是极大值为何值时,
目 录 第 2 章[ 例 2 ] 一圆锥摆，已知：
ω
ω,θ
T
mg
n
n
θ
τ
n
r
T
sin
cos mg
ma
θ
=
= 0
T θ
na =
2
r = sinθ
2
= rω
解得：
θ = cos （ ）gω 21
m
l
l
l
v
v v
l 求：
目 录 第 2 章
θ
[ 例 3 ] 一小钢球，从静止开始自光滑圆柱形轨道的顶点下滑。求：小球脱轨时的角度 θ 。
mg m
mg m
cos
cos
sin
sin
sin
d
dd
d
ddt dt
dt
dvdv
dv
θ
θ
θ
θ
N
==
=
=
=
=
2
2
g
θ
R
R
R
g
g θθ
0 0
dv
( )1 θ = 2
θ R
θθ mg
N
τn
R
t = 0(1)
(2)
(3)
v
v
v
v
v
v
∫
m
∫
∫
目 录 第 2 章
mg m
cos
cos
N =
=
2
θ
θ R
脱轨条件：
0
由式 (1)得：
(4)
由 (3),(4)可解得：
= 23
θ = arc cos( )23
v
目 录 第 2 章例：一条长为 ｌ，质量均匀分布的细链条
AB，挂在半径可忽略的光滑钉子 C 上，开始时处于静止状态,BC段长为 L ( ｌ /2＜ L＜
2ｌ /3 ),释放后链条将作加速运动，试求当
BC=2ｌ /3时，链条的加速度和速度的大小。
解：设链条线密度为 ρ，
BC段长为 x 时，整个细链条受合外力 F 为：
F=xρg－（ｌ－ x） ρg （ l-x） ρg
l-x
x
B
C
xρg
l-L
L
B
C
A
目 录 第 2 章F=（ 2x －ｌ） ρg
1、加速度 a =F/ｌ ρ=（ 2x -ｌ） ρg / ｌ ρ
=（ 2x / ｌ－ 1） g
当 x =2ｌ /3时,a = g /3 。
2、因为 a = dv/dt = vdv/dx,所以
vdv/dx = （ 2x / ｌ－ 1） g
即 vdv = （ 2x / ｌ－ 1） g dx
两边积分,∫ ovvdv =∫ L2l/3（ 2x / ｌ－ 1） g dx
得,v2/2=（ x2/ｌ－ x） g |L2l/3
因此,v =[2g（ L－ L2/ｌ－ 2ｌ /9） ]1/2
目 录 第 2 章例 2-1 火箭的运动 ( 假定地球是一个惯性参考系 )
火箭 Rocket 是一种导弹,靠火箭内的燃烧室里所产生的气体不断喷出而获得连续的推动力 。
m
v
v′-dm
设 v 为火箭相对于地球的速度,v′为喷出气体相对于地球的速度，于是喷出气体相对于
ve= v′- v
t 时刻,火箭 m,v,P = mv
t + dt时刻,火箭 m + dm,v + dv
- dm,v′
注意,火箭质量在减少,dm是负值。
目 录 第 2 章P′= (m+dm)(v+dv) + (-dm)v′
= mv + mdv + vdm + dmdv - vdm
= mv + mdv - (v′- v )dm [ dmdv = 0 ]
= mv + mdv - vedm
在 dt
dP =P′- P = mdv - vedm
dP/dt = mdv/dt - vedm/dt = F
F 是作用在火箭上的 外力
vedm/dt 常称为 火箭的推力
Thrust of the rocket
目 录 第 2 章假设 v
e为定值，略去空气的阻力和重力随高度的变化，则唯一的外力是火箭的重量
mg，
火箭方程 mdv/dt - vedm/dt = mg
特例,设运动是竖直,v?,ve?,g?
火箭方程的标量形式：
mdv/dt + vedm/dt = - mg
初始条件,t = 0,v0,m0； t 时刻,v,m
dv + ve dm/ m = - gdt
v0vdv + ve? m0mdm/m= - g?t0t dt
得 v - v0+ veln(m/mo) = - gt
v = v0+ veln(m0/m) - gt
目 录 第 2 章v = v
0+ veln(m0/m) - gt
如果 t 是用完全部燃料所需的时间，于是上式中的 m 就是最后的质量，而 v是火箭所能达到的最大速度。
例如火箭的初始质量为 2.72× 106 kg，
燃料用完后的质量为 2.52× 106 kg，气体的排出速度为 1290 kg/s，则用完燃料所需的时间 t = 155 s。如果我们假定喷出气体的速度 ve=55000 m/s,v0 = 0,则火箭的最大速度为,v = 55000ln( 2.72× 106/2.52× 106 )
- 9.8× 155
= 2681 m/s
目 录 第 2 章资料片,火箭
1970年 4月 24日 长征 3号运载火箭把中国 第一颗人造地球卫星 ——“东方红一号” 送上太空，使中国航天技术迈出了重要的一步。
目 录 第 2 章2.2.5 动量定理
1,质心 Center of Mass
考虑由质量为 m1,m2,…… 等若干质点组成的系统,它们相对于惯性参考系的位矢分别为 r1,r2,……,
rc=∑miri/∑mi= ∑miri /M
其中 M =∑mi 是系统的总质量 。
2,质心速度 （ 系统速度 ）
假定这些质点的质量与其速度无关,
vc = drc/dt =∑mi dri /dt / M
=∑mi vi / M =∑Pi/M = P/M
目 录 第 2 章
3,质心参考系我们可选一个参照坐标系 Xc,Yc,Zc，
其原点固连在一个系统的质心上,则相对于此坐标系,质心是静止的 (vc=0)。 这个参考系称为质心参考系或 C—参考系,相对于
C—参考系,质点系的总动量恒为零,
Pc=∑Pi = 0 ( 在 C — 参考系中 )
C — 参考系之所以重要是因为我们在实验室或 L — 参考系中所作的许多实验可以在 C — 参考系内 得到更简单的分析 。
目 录 第 2 章4,动量定理孤立系,S 和 S′ 研究对象,S系统内力,S 系质点之间的相互作用外力,S′系作用于 S
系质点上的力
S + S′孤立系统,动量守恒定律 。
P = PS + PS′=∑Pi + ∑Pj = 恒矢量
dPi/dt = Fi + Fi1 + Fi2 + …
= Fi + ∑j,i≠jFij
其中 Fi 为外力,Fij为质点 j 对质点 i 的内力
S
S’
目 录 第 2 章d∑P
i /dt =∑ dPi/dt
= ∑Fi + ∑ j ∑j,i≠jFij= ∑Fi
= 0
dPs /dt = F外 动量定理的微分形式
dPS’/dt = F外’ F外 = - F外’
讨论：
(1)动量定理是矢量等式，三个分量等式。
(2)合外力分量仅对该系统分量的动量起作用，对其他分量是无贡献。如果合外力在某方向上的分量为零，尽管系统动量不守恒，
但在该 分量的动量却是守恒 的。
目 录 第 2 章(3) 在有些场合，如发生 碰撞,爆炸 等，系统所受外力显然存在，但远比系统内力为小
，它们可以忽略不计，对这些过程就可用 动量守恒定律 来处理。或者可忽略合外力在某一方向分量的作用，运用该方向动量守恒来解决。
5、质心定理因为 vc=PS /M,所以 F外 =Mdvc /dt = Mac
其中 ac 是 S 系的质心加速度 。
此结果与质点牛顿第二定律比较可知：
质点系的质心运动有如系统中的所有质量集中于质心在外力作用下的运动 。
例 2-2 水平地面上一辆静止的炮车发射炮弹
，炮车质量为 M，炮身仰角为 θ,炮弹质量为 m，炮弹刚出口时，相对于炮身的速度为 u，（ 1）求炮弹刚出口时，炮车的反冲速度的大小 VX ；（ 2）若炮筒长为 L，求发炮过程中炮车移动的距离 ΔX 。
解：设炮弹相对地面速度为 v弹地炮车反冲速度为 V车地相对速度公式,
v弹地 = u弹车 +V车地
x
u
m
M
θ
1、水平方向内力很大，可忽略地面摩擦的影响，因此水平方向动量守恒。
水平速度分量,vx = ucosθ + Vx
水平动量守恒：
0 = MVx + mvx = MVx + m(ucosθ+ Vx )
故得,Vx = - mucosθ／ (M + m)
负号表示向后退 。
x
u
m
M
θ
2、以 u(t) 表示发炮过程中任一时刻炮弹相对炮身的速度，则该瞬时炮车的速度应为：
Vx(t)= - mu(t)cosθ／ (M + m)
积分求炮车后退距离：
ΔX =?o T Vx(t)dt ( T发炮过程所需时间 )
= - mcosθ /(M + m)?o T u(t)dt
= - mLcosθ /(M +m)
负号表示向后退 。 x
u
m
M
θ
目 录 第 2 章例 2-3 水力采煤就是利用水枪在高压下喷射出来的强力水柱冲去煤层而使煤层碎裂 。 设所用水枪直径为 d=3× 10-2m,水速为
v=60m/s,水柱与煤层表面垂直 。 求水柱施于煤层的作用力 。
解：建立坐标系 Oxy，
取水枪 dt时间内喷出的水作为质点系,该质点系在冲击煤层时受到两个外力：煤层对它的反作用力和重力,重力略去不计 。
x
y
O
目 录 第 2 章在冲击煤层前,dM为质点系的总质量,v 为水柱在冲击煤层前速度,ρ表示水的密度,总质量可表示,dM=ρπd2vdt/4
总动量,P1 =dMv i =ρv2πd2 dt /4 i
P2=0。所以该质点系在冲出煤层 前后总动量的变化 为
dP = P2 - P1 = -ρv2πd2 dt /4 i
煤层对该质点系的反作用力 F′：
F′= dP/dt = -ρv2πd2/4 i
水柱作用于煤层的作用力,F = - F′，故
F = - F′= ρv2πd2/4 i
= 1000× 602× 3.14× 0.032/4 i
= 2545 i 牛顿目 录 第 2 章6、冲量定理
(1)质点已知力只是时间函数 F(t),试求质点速度
v(t) 和运动方程。初始条件,t = 0,v = vo
牛顿第二定律,F(t) = d(mv)/dt
∫ otF(t)dt =∫ vov d(mv) = mv - mvo
定义,冲量 I = ∫ otF(t)dt
I = P - Po （ 动量定理积分形式 ）
v (t) = vo + I / m
r(t) = ro + vo(t - to) +∫ ot I dt / m
(2)质点系 I外 = ∫ otF外 (t)dt = PS - PSO
目 录 第 2 章例 2-4 一质量为 2 kg的质点,在 xy 平面上运动,受到外力 F=4i -24t2j (SI)的作用,t=0
时,它的初速度为 vo =3 i+4 j (m/s),求 t=1s
时质点受到的法向力 Fn的大小和方向 。
解：设 质点质量 m =2kg,t =1s时，速度为 v
动量定理,mv-mvo=?o1 Fdt=?o1 (4 i - 24t2 j)dt
v =?o1 (2 i - 12t2 j)dt + vo
=2 i - 4 j +3 i +4 j
=5 i m/s
即切向方向为 i,法向方向为 j。所以 t = 1 s
时质点受到的法向力 Fn= -24t2 j|t=1= -24 j (N)
目 录 第 2 章当力连续变化时
tF ~x冲量的几何意义,冲量在数值上等于图线与坐标轴所围的面积。
I F=∫ dtt
t
1
2
F
0 t t
1 2
t
x
+
x x
y y
I F
I F
=∫
=∫
dt
dt
t
t
1
2
t
t
1
2
z zI F=∫ dtt
t
1
2
目 录 第 2 章平均冲力,
用平均冲力表示的动量原理为：
t t( )2 1F x = mv mv 12 x x
= mv mv 12 y yt t( )2 1F y
F
ttt
1 20
F
x
x
t t( )2 1xF dttt
1
2 = F
x∫
目 录 第 2 章解一,对碰撞过程应用动量原理
[ 例 2-5 ] 质量为一吨的蒸汽锤自 1.5m高的地方落下，它与工件的碰撞时间为 τ=0.01s
，求：打击的平均冲力。
= × ×6 61.66 101 + 0 03 0,( )N
=0 2ghv
=N mg ) )(( 0 m 0v
N
mg
h
0
m
m
v
工件
m
= 2ghN mgm τ +
目 录 第 2 章解二,对整个过程应用动量原理
=τN mgmg ( ) 00+t
N )( +mg = 1.69 = tτ 1 × 610 ( )N
N
mg
h
0
m
m
v
工件
m
目 录 第 2 章
mv α( )cos
vv
α α
Y
X
=Nx 0
N mgcosΔ ty = +α2mv
Δ = ααN mvmv sinsintx
ΔN mvmg costy = α( )
N
N
N
x
y
mg
= 2.0 + 0.2 ( N )
= 2.2 ( N )
[ 例 2-6 ] 一小球与地面碰撞 × 3
-1
m=2 10 kg
vvα = 600,= = 5.0m s,碰撞时间求,平均冲力。
0.05st=Δ
目 录 第 2 章[例 2-7] 质量为 m 均匀链条，全长为 L，手持其上端，下端与地面的距离为 h。手一松
，链条自由下落在地面上，试求链条下落在地面的长度为 l 的瞬时，地面所受链条作用力的大小。
L
l
L -lh
o
y
h+l解：设链条线密度为 ρ则 ρ= m / L。
若链条下落在地面的长度为 l,则该段链条的质量为
ml =m l / L。
l 段对地面的作用力：
ml g = ml g / L
目 录 第 2 章此时，未落地部分的速度为
v =[ 2g( h + l )] 1/ 2
在 dt 时间内，微元段
vdt 落地。落地前速度为 - v，
落地后速度为 0，这是在时间 dt 内受地面冲力 f 而致。
动量原理,f dt = 0 - ( - ρvdt v) = ρv2 dt
所以 f = ρv2 = 2mg（ h + l） / L
地面所受总作用力的大小为：
F总 = ml g/L+ 2mg（ h + l） / L
= mg（ 2h + 3 l） / L
L
l
L -lh
o
y
h+l
目 录 第 2 章§ 2.3 伽利略相对性原理和非惯性系
2.3.1 经典相对性原理
The Classical Principle of Relativity
力学定律在所有惯性系中都相同，亦即力学定律在不同的惯性系中具有相同的形式
，这个结论称 经典相对性原理,也称 力学相对性原理 。
如果没有外力作用于这些质点上，则根据在经典力学中，一切惯性系都等效，我们不可能借助任何力学实验把某一惯性系与其他任一惯性系区别开来。
目 录 第 2 章此原理可用伽利略变换来解释
1、动量守恒定律考虑两个质点系统；
惯性系 O,( m1,v1 ),( m2,v2 )
惯性系 O’,( m1,v1’ = v1 - u ),
( m2,v2’ = v2 - u )
惯性系 O,m1v1+ m2v2 = 恒矢量惯性系 O’,m1v1’+ m2v2’
= m1(v1- u ) + m2 (v2 - u )
= m1v1+ m2v2 + ( m1+ m2 )u
= 恒矢量目 录 第 2 章2、牛顿第二定律惯性系 O,F = ma
惯性系 O’,F’= ma’
因为 a = a’ （伽利略速度变换）
所以 F’= ma’= ma = F
尽管经典相对性原理是根据伽利略变换直接推出的结果，但它却是普遍的原理。
经典相对性原理并没有绝对时空这一前提，也就是说，伽利略变换只是满足经典相对性原理的一种变换。
目 录 第 2 章2.3.2 惯性力
1、直线加速参考系中的惯性力在非惯性系 K’中：
每个质点具有相同的加速度 A
惯性系 K与非惯性系 K’ 之间加速度变换,
a = a’+ A
在惯性系 K中,f = ma = m(a’+ A)
或 f - mA = ma’
- mA 称为惯性力，记为 f惯在非惯性系 K’中,采用牛顿第二定律形式
f’ = f + f惯 = ma’
其中 f’是质点在 K’系中受到的总有效力。
目 录 第 2 章f’是“真实的”力 f与,假想的,惯性力 f
惯 的合成例：设车厢以加速度 a 作直线运动，其中一张光滑的桌子上放着一个静止的物体 m 。地面观察者应用牛顿定律解释：
物体 m不受作用力，
加速度为零，静止。
m v = 0
af = 0
m-a
f惯 = -ma 车厢内观察者应用牛顿定律解释：
物体 m加速度为 -a,
受一 惯性力 f惯 = -ma。
目 录 第 2 章若用弹簧将物体牵连着：
车厢内观察者：
弹簧伸长，有一力 f =
ma 作用在物体 m 上，使物体获得与车厢一样的加速度 a，但相对于车厢，
物体并没有加速度。
m
ff惯车厢内观察者应用牛顿定律解释：
必须设想除 f 外还有一力 f惯 = - f = - ma
作用在物体上，从而使物体静止。
目 录 第 2 章注意：
惯性力 f惯 不是由物体的相互作用引起的，而是在非惯性系中能沿用牛顿定律而引入的“假想力”。“真实的”力 f 有反作用力，而“假想的”惯性力 f惯 不存在反作用力。
目 录 第 2 章
（ 2）失重台秤支持力 N = - m(g - a)
压力 N’= - N < mg
实例：超重和失重
（ 1）超重台秤支持力 N = - m(g + a)
压力 N’= - N > mg
a
N
N’
a
N
N’
a
θ m
解得：
T ga= m +2 2
cosθ = ga g
+
arc
22
T s = 0F惯 θin
T mgc θ = 0os
例 2-8 加速运动中的一单摆处于平衡状态
θ。已知,a,m 求,T,
F
mg
T
惯
ma=F惯目 录 第 2 章2、惯性离心力地面观察者,物体作匀速圆周运动物体 m 受 弹簧拉力：
f = mv2/R = mR?2
又称向心力 (提供向心加速度 )。
R
f惯f
R f
以物体为观察者,物体静止应用牛顿定律解释：
物体 m 受 弹簧拉力 f 外还受与向心加速度方向相反的 惯性力 f惯 与其平衡，
f惯 = - mR?2,此 惯性力又 称 惯性离心力。
目 录 第 2 章3、科里奥利力若质点相对于转动的参考系运动，则质点还可能受到 科里奥利力。
设一圆盘绕铅直以角速度? 转动，盘心有一光滑小孔，沿半径方向有光滑槽，其中置一小球 m,以细线连之，
绕另一端穿过小孔，可控制小球在槽中作匀速运动。
m
目 录 第 2 章现令小球以匀速 v
相沿槽中向外运动，经很短时间?t,圆盘转过角
=t,而小球自 A 运动至 B,A’B = v?t
地面观察者解释：
在 A 点 小球具有径向速度 v相 和切向速度?r。
A A’
B
B’
O
此二速度合成应使小球在?t 时间内达到 B’，
但实际上到达 B,这表明槽对小球作用有切向方向的力，它使小球获得加速度，并使小球多走弧长 B’B。
目 录 第 2 章
A A’
B
B’
O
显然：弧长 B’B = (OA + A’B) - OA·
= (r + v相?t)t -?r?t
=? v相?t2
因?t 很短，可设小球以恒加速度 aC 多走出弧长 B’B,故：
弧长 B’B = aC?t2/2
于是有,aC = 2? v相一般形式,aC = 2 v相
aC 称为 科里奥利 加速度。
槽壁作用于小球的推力：
f = 2 m v相目 录 第 2 章f = 2 m v
相
ω右手法则
ωv相
f
m
v相
f
目 录 第 2 章旋转系中观察者,小球作惯性运动按牛顿定律解释：
小球受到槽的侧向推力 f,但并未发生与槽垂直运动，故必存在惯性力 fC,又称为科里奥利力,fC = - f = - 2 m v相
= 2 m v相
m
v相
f
fC
傅科摆实验直接证明了地球的自转例：在光滑水平直管中有一质量为 m 的小球。
此管以匀角速 ω绕通过其一端的竖直轴转动。开始时，球距转动轴的距离为 a,球相对管的速率为零，而的总长为 2a 。
o x
y
z
mg
Nz
Ny
Fc mω
2x
vvz
vx
ω
求球刚离开管口时的相对速度与绝对速度，并求球从开始运动到离开管口时所需时间。
k xm2i xj m2vm2F
i xm
NNj mg-
k x rvj i xvi xr
C
2
zy
相牵相科氏力惯性离心力
，，反约束力：重力受力：
。，，，解：
a7
a4a3vvv
a3xa3xx d xxdx
( 4 ) x d xxdxxx
dx
xd
dt
dx
dx
xd
x:)1(
)3( Nxm2zm
( 2 ) mgNym
( 1 ) xmxm
222222
222
a2
a
2
x
0
22
z
y
2
牵相绝对速度：
得由动力学方程：
o x
y
z
mg
Nz
Ny
Fc mω
2x
vvz
vx
ω
32ln
1
t
t
a)a(a
a)a2(a2
ln
dt
)ax(
dx
dt
)ax(
dx
)ax(x
)ax(xxd xxdx
xd xxdx
22
22
t
0
a2
a 2222
22
2222
x
a
2
x
0
2
