目 录 第 1章第一章质 点 运 动 学目 录 第 1章
1.1.1 力学的研究对象
1、机械运动宏观物体之间 (或物体内各部分之间 )的相对位置运动。
2、力学分类运动学,仅描述运动，不涉及运动原因。
动力学,研究物体的运动与物体间相互作用的内在联系。
静力学,研究物体在相互作用下的平衡问题。
§ 1.1 引 言目 录 第 1章
1.1.2 质点 Partical
几何线度趋于无限小的物体。
任何物体可看成一大群质点的集合 。
可以将物体简化为质点的两种情况：
１、物体不变形，不作转动时 （此时物体上各点的速度及加速度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动）。
２、物体本身线度和它活动范围相比小得很多 （此时物体的变形及转动显得并不重要）
目 录 第 1章1.1.3 参考系和坐标系
１、参考系 Frame of reference
用以描写物体运动所选用的另一物体。
２、坐标系 Coordinate system
固定在参考系上以确定物体相对于参考系的位置。
常用的坐标系,直角坐标系、自然坐标系日心系
Z
X
Y
地心系
o
地面系目 录 第 1章牛顿,绝对,时间和空间观：
时间 Time 是绝对的 。时间一直向前
,流去,,与物体的存在以及物理现象的发生毫无关系。我们无法降低或加快时间流动的速度，并且在宇宙中任何一个地方时间流动的情形都是相同的。
空间 Space 也是绝对的,即空间的存在是永恒的，与空间里是否有物质存在毫无关系。假设我们所处的 空间是欧几里德空间 。
时间与空间毫无关联存在着 。
§ 1.2 时间和空间的计量目 录 第 1章如果我们把物体牵涉到里面，时间便似乎与空间有点关系，因为我们无法想象一个物体存在于空间内而不占据一段时间，
或者一个物体存在一段时间但并不占据空间内某一位置。
物理学家定义一个概念时是基于数量的度量，以及度量的方法，而不只是根据字典上的定义。
目 录 第 1章1.2.1 时间的计量定义时间概念时，我们说时间间隔几分钟或几秒钟便牵涉到如何做一个标准钟，以及如何用这一标准钟去度量时间。
所以，时间只是依照特定的方法用一标准钟量出来的具有单位的数字。
1967年规定时间计量基准：
1 秒 = 与铯 133 原子基态两个超精细能级之间跃迁相对应的辐射周期的
9192631770 倍。
目 录 第 1章1.2.2 长度的计量定义长度或空间间隔时，我们只叙述一把米尺使用的步骤，以及如何复制另一把良好的标准米尺，以便每个人所量得数据都是相同的。
因此，在物理学上一个物体的长度的概念只是以一标准米尺用特定的方法比较或度量出来的且有一定单位的数字。
1983 年规定长度计量基准：
1 米 = 光在真空中 1/299792458 秒的时间间隔内运行路程的长度。
目 录 第 1章§ 1.3 运动的描述
1.3.1 位置矢量与轨道方程
1、位置矢量（位矢） Position vecter
用以确定质点位置的矢量
r = r
kr = x i ++ y j z
222= x y z++
cos
coscos β
γ =
== r
r
r
x
z
ya ββk r
i j
γ
P
x
y
z
βO
a
目 录 第 1章２、运动方程,质点位矢随时间的变化分量形成,x = x(t),y = y(t),z = z(t).
３、轨道方程,坐标 x,y,z 之间的关系式运动方程是轨道的参数方程，消去 t 可得轨道方程例 1-1 运动方程 轨道方程
x = 3sin5t x2 + y2 = 9,圆柱面
y = 3cos5t z = 0,Oxy平面
z = 0 轨道为 交界为圆
kr (t ) = x(t) i ++y(t ) j z(t )矢量形成：
目 录 第 1章
X
Y
Z
z = 0
Oxy-plane
x2 + y2 = 9
目 录 第 1章
X
Y
Z
O
z = 0
Oxy-plane
trajectory
目 录 第 1章1.3.2 位移、速度、加速度为了与引起物体运动的原因联系起来，
物理学家引入了 位移、速度 和 加速度 等概念来描述运动性质，从而为研究物体的运动规律奠定基础。
1,位移和路程
（ 1） 位移 Displacement
设在时刻 t 质点在 A处，它的位矢为
r(t)，经过△ t时间该质点在 B处，此时位矢为
r(t+△ t)，则质点在△ t时间内位置矢量的变化量△ r称为质点的位移矢量、简称位移。
目 录 第 1章? r = r (t+? t)－ r(t)
在直角坐标系中,? r =? x i+? y j+? z k
（ 2） 路程 Distance
图中所示曲线 AB 的长度称为质点经过的路程? s，它是标量。 在
SI 中位移和路程的单位都为米 ( m )
r(t)
x
z
y
r(t+△ t)
A
B
△ s
o
△ r
目 录 第 1章
2,速度和速率
（ 1） 平均速度 Average velocity
平均速度 v =? r/? t =[ r(t +? t)－ r(t)]/? t
=? x/? t i +? y/? t j+? z/? t k
= vx i + vy j + vz k
因为? t 是标量，故 平均速度 v 的方向与?r 的方向相同 。
平均速度的大小,| v | = ( vx2 + vy2 + vz2 )1/2
目 录 第 1章（ 2） 速度 Velocity
瞬时速度、简称速度：
v = lim? t→ 0? r/? t = dr/dt
速度方向为所在点轨迹的切线方向，并指向质点前进的一方
v = dx/dt i + dy/dt j + dz/dt k
速度分量：
vx = dx/dt,vy = dy/dt,vz = dz/dt
速度的大小,| v | = ( vx2 + vy2 + vz2 )1/2
目 录 第 1章直线匀速运动已知：质点速度 vx = vo=常量，初始条件,t = 0,x = xo,求 t 时刻质点的位置。
dx/dt = v x = vo
dx = vo dt
两边定积分,? xox dx =? ot vo dt
x - xo = vo(t – 0)= vot
x = xo + vot
目 录 第 1章（ 3） 速率 Speed
平均速率,v =? s /? t
一般说来,v 不等于 dr/dt,v 也不等于 | v |
在 SI中，速度和速率的单位均为米 /秒 (m/s).
速率,v = lim? t→ 0? s /? t = ds/dt
平均速率和速率是 标量,而平均速度和速度是 矢量,它们是两个不同的概念。
但在? t 趋于 0 极限情况下，因路程
s 和位移大小 |? r| 相等，所以 速度的大小和速率相等,即
v =lim? t→ 0? s /? t = lim? t→ 0 |? r| /? t =| v |
目 录 第 1章例 1-2,质点沿半径为 R 的圆周作匀速率运动，每 t 秒转一圈，求在 2t 时间间隔中，
其平均速度的大小与平均速率。
解,因质点在?t =2t 间隔中转了二圈，
位移? r = 0,所以
| v | = |? r /? t | = 0
路程?s = 4πR
v =? s /? t
= 4πR / 2t
= 2πR / t
目 录 第 1章3,加速度 Acceleration
(1)平均加速度,a =?v/?t =[(v(t+?t)-v(t)]/? t
它是平行于? v的矢量 。
(2)加速度,a=lim?t→ 0?v/?t=dv/dt= d2r/dt2
加速度与速度的瞬时变化的方向相同 。
由于速度是顺轨迹曲线弯曲的方向而改变的
,故 加速度永远指向曲线凹的方向,
在直角坐标中,a=dvx/dt i+ dvy/dt j+ dvz/dt k
= ax i + ay j + az k
加速度的大小,a =|a| =(ax2 + ay2 +az2 )1/2
在 SI中加速度的单位为米 /秒 2 ( m/s2 )
目 录 第 1章例 1-3 有一质点沿 x轴作直线运动为
x(t) =4.5t2－ 2t3 (SI),试求,
(1)第 2秒内的平均速度 v，
(2)第 2秒末的速度 v，
(3)第 2秒内经过的路程?s 及平均速率 v，
(4)第 2秒末的加速度 a 。
解,(1) vx =? x/? t
= [ x(2)- x(1)]/( 2 - 1)
= (4.5× 22- 2× 23 )-(4.5 - 2)
= - 0.5 m /s
v = - 0.5 i m /s
目 录 第 1章(2) v
x = dx/dt
= d(4.5t2 － 2t3)/dt
= 9t－ 6t2｜ t=2
= 9× 2－ 6× 22
= - 6 m/s
v = - 6 i m/s
目 录 第 1章(3) 当质点作直线运动发生来回运动时，必须先求出质点反向运动的时间，即 vx = 0
时刻，这样分段考虑才能正确求得一段时间内质点经过的路程 。
根据 vx = 9t - 6t2 = 0,可求出
t1 = 0 或 t2 = 1.5 s
由此可求得质点在第 2秒内经过的路程为：
s = | x(1.5) - x(1) | + | x(2.0) - x(1.5) |
= 2.25 (m)
平均速率为,v =? s /? t
= 2.25 /1 = 2.25 (m/s)
目 录 第 1章
vx = 9t－ 6t2
(4) 加速度
ax = dvx/dt
= 9 - 12t |t=2
= 9 - 12× 2
= - 15 ( m/s2 )
因为加速度 与 速度 方向相同，
所以 质点在２秒末作加速运动。
目 录 第 1章(３ )切向加速度和法向加速度有时我们根据需要把加速度分解二个分量：
A 切向加速度 Tangential acceleration
平行于质点运动轨迹的加速度切线分量 at
B 法向加速度 Normal acceleration
平行于质点运动轨迹的加速度法线分量 an
这样建立的坐标系称为自然坐标系 P
v(t)
O
no
目 录 第 1章质点作曲线运动时，其速度方向与曲线的切线方向相同。
PQ 曲线为一质点的路程，若此质点在 P点的速度为 v(t)，经过 dt
时间后质点移到 Q点，其速度变为 v( t + d t)。
质点的速度增量 dv 可被分解成一沿切线的分量和一沿法线的分量 。
QP
v(t)
v(t+dt)
O
ρ
dθ
no
目 录 第 1章
dv 沿切线分量为 dt 时间内质点的速率改变量
dv；若 d?为速度在 dt 时间内转过的角度,dv 沿法线的分量为 vd? 。
设曲线在 P点的切向单位矢量为 to,法向的单位矢量为 no,则 dv 可写成,
dv = dv to + vd? no
v(t)
dv
v(t+dt)
dv
vdθ
QP
v(t)
v(t+dt)
O
ρ
dθ
no
目 录 第 1章因为 P点与 Q点无限接近
,故 PQ弧可视为一圆弧的一段,此圆的半径称为曲线在 P点的 曲率半径 。
图中 P点与 Q点的法线相交于 O点,这一交点即为
PQ弧的曲率中心 。 OP或
OQ的长度 ρ 即为曲率半径
。
因质点由 P点移到 Q点费时 dt,故 PQ弧的长度为
vdt,而 弧长为 ρd?,
v(t)
dv
v(t+dt)
dv
vdθ
QP
v(t)
v(t+dt)
O
ρ
dθ
no
目 录 第 1章
dv = dv to + vd? no
所以 vdt =ρd?
故 d? /dt = v /ρ
将上式两边除以 dt可得质点在 P点的加速度
a = dv/dt
= dv/dt to + vd? /dt no
= dv/dt to + v2/ρ no
dv/dt 为沿切向分量，故称为 质点的切向加速度 at,其值等于速率的变化率，它表示速度变化的快慢 。
目 录 第 1章
v2/ρ 为 a 沿法向分量，故称为质点的法向加速度 an 。
因其方向指向 曲率中心，故又称为向心加速度，它 表示速度方向变化的快慢 。
因此,
at = dv/dt
an = v2/ρ
加速度的大小,a = ( at2 + an2 )1/2
目 录 第 1章例 1-4 已知质点在 Oxy平面内的运动方程为
r(t) = 2t i + (2 - t2 ) j ( SI ),求,(1)质点的轨迹方程； (2)质点的速度和速率； (3)质点在直角坐标系和自然坐标系中的加速度； (4)轨迹的曲率半径 ρ 。
解,(1)运动方程分量式,x = 2t,y = 2 - t2
消去 t 得轨迹方程：
y = 2 - x 2/4 ( 轨迹为抛物线 )
(2) vx = dx/dt = 2 (m/s)
vy = dy/dt = - 2t (m/s)
v = ( vx2 + vy2 ) 1/2 = 2( 1+ t2 ) 1/2 (m/s)
目 录 第 1章(3) 在直角坐标中在自然坐标系中,
ax = dvx/dt = d(2)/dt =0 (m/s2 )
ay = dvy/dt = d(-2t)/dt = - 2 (m/s2 )
at = dv/dt = d[2( 1+ t2 ) 1/2 ]/dt
= 2t/( 1 + t2 )1/2 (m/s2 )
an = ( a2 - at2 )1/2
= 2/(1 + t2 )1/2 (m/s2)
(4) ρ = v 2/an
= [2( 1 + t2 )1/2]2,( 1 + t2 )1/2/2
= 2(1 + t2 )3/2 (m)
第四节运动叠加原理抛体运动是竖直方向和水平方向两种运动叠加的结果。
1.4.1 运动叠加原理 Superposition Principle
在抛体运动中，水平方向的运动对竖直方向的运动丝毫没有影响。
反之亦然。两个运动是互相独立的。
0v
运动叠加原理 ——一个运动可以看成几个各自独立进行的运动叠加而成。
§ 1.4 运动叠加原理质点作任意曲线运动时，每个速度分量和加速度分量只与相应的坐标分量随时间的变化情况有关，与其他两个坐标分量无关。
这就是说，质点的运动可分解成沿 x,y、
z 三个方向的运动，每个方向上的运动是相互独立的,整个运动可看成是沿三个坐标轴直线运动的叠加，这就是运动的叠加原理，
它被无数实验所证实。
所以对一般曲线运动的研究都可归纳为
1.4.2 直线运动 Rectilinear Motion
运动方程,= t（ ）xx
x= =
d
d
d
d
tt加速度,a 2
2v
Δ位移,x
= ddt速度,xv
x
t t t1
1
2
2
0
x
x
割线斜率 （平均速度）tΔΔ x
切线斜率 （瞬时速度）dtdx
1,x ~ t 图
v ~ t 图线下的面积（位移）,
1
2
t tt 1 20
v
v
v
v ~ t 图割线斜率：
切线斜率：
d
td
v = a
tΔΔ
v = a
2,v ~ t 图及 a ~ t 图
t
tΔ = 1
2 d =
1
2 tdvx
xx
x
t
a
tt 1 20
a ~ t 图
a ~ t 图线下的面积（速度增量）
t
tΔ = 1
2 d =
1
2 tdav
vv
v
在求解第二类问题过程中还必须已知在 t = 0
时刻质点的速度及位置坐标，这一条件称为初始条件 。
第一类问题,(求导问题 )
第二类问题,(积分问题 )
初始条件：
t = 0
{ xyy zzx
=
=
=
=
=
= 0
0
0
v
v vv
v
v
0
0
0x x
yy
zz
va = (t )a = (t ) rr = (t )v求：(1) 已知：,
= a a =vv ( )t (t )求：轨迹rr = ( )t已知：,,
3、运动学的两类问题
v v at= +0
1
2x x v t at= + +0 0
2所以：
0t = 0 时刻，其 vx x == 0v,。
加速度为一常量 a,求其运动规律。已知在第二类问题的例子：一质点作直线运动，其
dv atvv =
00
dt
dx v dt at dttxx t v= = +0 0
00
( )因为,
目 录 第 1章
0已知 t = 0 时刻 vx x == 0v,。
加速度为一常量 a,求速度与位移关系。
第二类问题的例子：一质点作直线运动，其因为,a = dv/dt = (dv/dt)(dx/dx)
= vdv/dx
a dx = vdv →?xox adx =?vov vdv
a (x – xo) = (v2 –vo2 )/2
所以,v2 –vo2 = 2a (x – xo)
目 录 第 1章
(2) 已知,a = － kv （ k 为常数），求任意时刻速度和位置。
解,a = dv/dt = － kv
dv/v = － kdt
∫vov dv/v = ∫o t － kdt
ln(v/vo ) = － kt
v = vo e -k t
x = xo + ∫ot voe -k t dt
= xo+ vo( 1－ e -k t )/k
目 录 第 1章
(3) 已知,a = k x （ k 为常数），求任意位置与速度的关系。
解,a = dv/dt
= (dv/dx)(dx/dt)
= vdv/dx
= kx
vdv = kxdx
∫vov vdv = ∫ xo x kxdx
( v2－ vo2 ) /2 = k( x2－ xo2 )/2
h
0
r
X
Y
v
x
[例 ] 人以恒定速率 0
求,任一位置船之速度、加速度。
运动，船之初速为v 0
r x h= i j
rr x h22== +
r xx x
x
h
h tttd
d
d
d 2
2
2
2= == +
+
d
d
0v
r x
ttd
d d
d= = iv
h
O0
r
X
Y
v
x
h
t ii=a
d
d
d =
d
x
2
2
= x 30
2 2vv
t
ttd d
vr x
x h 2== i i+d d = 0 x 2v
1.4.3 圆周运动 Circular Motion
质点作 圆周运动 时,无论其速率是否变化,它总是被约束在圆周上运动,因此我们只须选定圆周上任意一点作为计算路程长度的起点,则质点在任意时刻的位置就可由质点从起点走过的 圆弧长度 s 或对应转过的 角度 θ来描述,因此它可以归纳为 一维运动 。
如果将 s 对时间求一次导数和二次导数
,则分别得质点的速率和切向加速度,而法向加速度也可随之确定：
1,线量描述 ( s,v,at,an )
v = ds /dt,
at = dv /dt = ds 2 /dt2,
an = v2 /R
其中 R 为圆周运动的半径,Δθ A
B
0 x
θ
2、角量描述 ( θ,ω,β)
（ 1） 角速度 ω = dθ/dt
ω的单位为弧度 /秒 ( rad/s )
（ 2） 角加速度 β = dω/dt = d2θ/dt2
β的单位为弧度 /秒 2 ( rad/s2 )
3、线速度与角速度之间的关系
s = Rθ
v = ds/dt = Rdθ/dt = Rω
at = dv/dt = Rdω/dt = Rβ
an = v2/R = Rω2
由于圆周运动可归纳为一维运动，因此
，匀速和匀加速圆周运动中关于路程 s 或角度 θ随时间 t的关系与匀速和匀加速直线运动的公式是相似的匀速圆周运动
β = 0
ω = 常数
θ=θo + ω（ ｔ -ｔ ｏ )
匀加速圆周运动
β = 常数
ω = ωo + β( t - to )
θ=θo+ ωo(ｔ -ｔ ｏ ) + β(ｔ -ｔ ｏ )2 / 2
例 1-5 某飞轮转速为 600转 /分,制动后转过
10圈后静止 。 设制动过程中飞轮作匀变速转动,试求制动过程中飞轮的角加速度及经过的时间 。
解,已知飞轮的初角速度
ωo = 2πno/60
= 2× 600π/60
= 20π(rad/s)
末角速度 ω= 0
转过角位移 θ-θ0 = 10× 2π
= 20π (rad)
ωo= 20π (rad/s) ω= 0
角加速度 β= (ω2 - ωo2 ) / 2(θ-θ0 )
= [ 0 - (20π)2 ] / 2× 20π
= - 10π (rad/s2)
负号表示飞轮作减速转动 。
由此可知制动过程所需的时间
△ t = t - to
= (ω - ωo ) /β
= ( 0 - 20π)/( - 10π)
= 2 (s)
第五节相对运动伽利略变换
1.5.1 相对运动 Relative Motion
考虑二个质点 A和 B以及一个观察者 O，
利用 xyz轴为参考坐标,A 和 B 对 O 的位矢分别为 rAO 和 rBO,B相对 A的位矢称为 相对位矢 用 rBA表示。由图可知：
rBA = rBO－ rAO
drBA/dt =drBO/dt-drAO/dt
即所以 相对速度 公式为：
vBA = vBO－ vAO
其中,vAO = drAO /dt
vBO = drBO /dt,vBA = drBA/dt，
o
x
y
z
A
Br
BO
rAO
rBA
vAO
vBA
vBO
vBO
vAO
vBA = vBO－ vAO
上式表示两质点之间的相对速度就是它们对观察者 O的速度相减。再取上式对时间求导可得：
dvBA /dt = dvBO /dt－ dvAO /dt
aBA = dvBA /dt 称为 B相对 A的加速度
aBO = dvBO /dt 称为 B相对 O的加速度
aAO = dvAO/dt 称为 A相对 O的加速度所以 aBA = aBO－ aAO
也就是说，两质点的相对加速度为它们对观察者的加速度之差。
例 1-6：一人骑自行车向东而行，当速度为
10 m/s 时，觉得有南风 ；当速度增至 15 m/s
，觉得有东南风，求风的速度 v 风对地 。
解：当 v1人对地 = 10 i 时 v1风对人 = v1 j
v风对地 = v1风对人 + v1人对地
= v1 j + 10 i =10 i + v1 j ( 1)
当 v2人对地 =15 i 时
v2风对人 = -0.707v2 i + 0.707v2 j
v风对地 = v2风对人 + v2人对地
= - 0.707v2 i + 0.707v2 j + 15 i
= ( 15 - 0.707v2 ) i + 0.707v2 j (2)
45o
i
j
v1风对人v2风对人
o
(1)与 (2)式相等：
10 i + v1 j = ( 15 - 0.707v2 ) i + 0.707v2 j
分量相等,10 =15 - 0.707v2? v2 =7.07 m/s
v1 = 0.707v2? v1 = 0.707? 7.07 = 5 m/s
v风对地 = 10 i + v1 j
= 10 i + 5 j m/s
v风对地 = ( 102 + 52 )1/2
= 11.2 m/s
tg? = 5/10 = 0.5
= 27o ( 东偏北 )
45o
i
j
v1风对人v2风对人
o
目 录 第 1章
i
j
v1wr
o
vwg
v1rg= 10 i
45o i
j
v2wr
o
vwg
v2rg = 15 i
Ans,while v1rg = 10 i,
we have
vwg = v1wr + v1rg
while v2rg = 15 i,
we have
vwg = v2wr + v2rg
5 i
vwg= 10 i + 5 j
解：设河岸为 S 系，河水为 S’
系,u’表示船相对河水速度,v
表示河水相对河岸的速度。船相对于河岸的速度为,
u = u’+ v
uv
u’
d
l
α
船例 1 - 7 设河面宽 l =1 km，河水由北向流动，流速
v = 2 m/s，一人相对河以 u’=1.5 m/s 的速率将船从西岸划向东岸，问：
(1)若要使船到达对岸的时间最短，船头与河岸应成多少角度? 最短时间等于多少?到达对岸时，船在下游何处?
(2)若要使船相对于岸走过的路程最短，船头应与岸成多大角度? 到达对岸时，船在下游何处?
要化多少时间?
(1) 如图可知，当船头与河岸的夹角 α
=π /2 时，时间最短，故船到达对岸所
tmin = l/u′
= 1000? 1.5
= 667 s
下游位置,
d = vtmin
= 2? 667
= 1334 m
uv
u’
d
l
α
船
(2) 船相对于河岸的速度 u 与河水相对河岸的速度 v 之间的夹角 θ越大，船相对于岸走过的路程就越短。以矢量 v 的终点为圆心，以矢量 u’ 的大小 u’ 为半径作圆。显然当 u 沿该圆的切线时，角度 θ最大，从而船走过的路程最短。从图可看出：
sinθ= u’/v
= 1.5/2 = 0.75
即 θ = 48° 30′
因而船头与河岸的夹角：
α=90° - 48° 30′= 41° 30′
α
u
v
u’
l
dθ
船到达对岸所化的时间：
t = l /u’sinα
= 1000?( 1.5? 0.6626 )
= 1006 秒
= 16 分 46
下游距离：
d = ( v - u’cosα ) t
= ( 2 - 1.5? 0.7490 )? 1006
= 882 米
α
u
v
u’
l
dθ
船
z
x tu
y
=
=
=
= x
y
z
tt
逆变换
+
z
x tu
y
=
=
=
= x
y
z
tt
伽利略坐标变换式正变换
，,,
X
Y
Z
O
s
tu
u P,zx ty( )，,，s
x
x
X
Y
Z
O
zx ty( )
1.5.2 伽利略变换 Galilean Transformation
r ’ = r - u tt =0 时,O 与 O
’ 重合伽利略速度变换式
z
x tu
y
=
=
=
= x
y
z
tt
由伽利略坐标变换式对时间求导可得速度变换式
vx
vy
vz
vx
vy
vz
=
=
=
u
d =y
td
dy
td
d =z
td
dz
td
d =x
td
dx
td u
vx
vy
vz
vx
vy
vz
=
=
=
u
由速度变换式对时间求导可得加速度变换式
ax
ay
az
ax
ay
az
=
=
=
a a=
1.1.1 力学的研究对象
1、机械运动宏观物体之间 (或物体内各部分之间 )的相对位置运动。
2、力学分类运动学,仅描述运动，不涉及运动原因。
动力学,研究物体的运动与物体间相互作用的内在联系。
静力学,研究物体在相互作用下的平衡问题。
§ 1.1 引 言目 录 第 1章
1.1.2 质点 Partical
几何线度趋于无限小的物体。
任何物体可看成一大群质点的集合 。
可以将物体简化为质点的两种情况：
１、物体不变形，不作转动时 （此时物体上各点的速度及加速度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动）。
２、物体本身线度和它活动范围相比小得很多 （此时物体的变形及转动显得并不重要）
目 录 第 1章1.1.3 参考系和坐标系
１、参考系 Frame of reference
用以描写物体运动所选用的另一物体。
２、坐标系 Coordinate system
固定在参考系上以确定物体相对于参考系的位置。
常用的坐标系,直角坐标系、自然坐标系日心系
Z
X
Y
地心系
o
地面系目 录 第 1章牛顿,绝对,时间和空间观：
时间 Time 是绝对的 。时间一直向前
,流去,,与物体的存在以及物理现象的发生毫无关系。我们无法降低或加快时间流动的速度，并且在宇宙中任何一个地方时间流动的情形都是相同的。
空间 Space 也是绝对的,即空间的存在是永恒的，与空间里是否有物质存在毫无关系。假设我们所处的 空间是欧几里德空间 。
时间与空间毫无关联存在着 。
§ 1.2 时间和空间的计量目 录 第 1章如果我们把物体牵涉到里面，时间便似乎与空间有点关系，因为我们无法想象一个物体存在于空间内而不占据一段时间，
或者一个物体存在一段时间但并不占据空间内某一位置。
物理学家定义一个概念时是基于数量的度量，以及度量的方法，而不只是根据字典上的定义。
目 录 第 1章1.2.1 时间的计量定义时间概念时，我们说时间间隔几分钟或几秒钟便牵涉到如何做一个标准钟，以及如何用这一标准钟去度量时间。
所以，时间只是依照特定的方法用一标准钟量出来的具有单位的数字。
1967年规定时间计量基准：
1 秒 = 与铯 133 原子基态两个超精细能级之间跃迁相对应的辐射周期的
9192631770 倍。
目 录 第 1章1.2.2 长度的计量定义长度或空间间隔时，我们只叙述一把米尺使用的步骤，以及如何复制另一把良好的标准米尺，以便每个人所量得数据都是相同的。
因此，在物理学上一个物体的长度的概念只是以一标准米尺用特定的方法比较或度量出来的且有一定单位的数字。
1983 年规定长度计量基准：
1 米 = 光在真空中 1/299792458 秒的时间间隔内运行路程的长度。
目 录 第 1章§ 1.3 运动的描述
1.3.1 位置矢量与轨道方程
1、位置矢量（位矢） Position vecter
用以确定质点位置的矢量
r = r
kr = x i ++ y j z
222= x y z++
cos
coscos β
γ =
== r
r
r
x
z
ya ββk r
i j
γ
P
x
y
z
βO
a
目 录 第 1章２、运动方程,质点位矢随时间的变化分量形成,x = x(t),y = y(t),z = z(t).
３、轨道方程,坐标 x,y,z 之间的关系式运动方程是轨道的参数方程，消去 t 可得轨道方程例 1-1 运动方程 轨道方程
x = 3sin5t x2 + y2 = 9,圆柱面
y = 3cos5t z = 0,Oxy平面
z = 0 轨道为 交界为圆
kr (t ) = x(t) i ++y(t ) j z(t )矢量形成：
目 录 第 1章
X
Y
Z
z = 0
Oxy-plane
x2 + y2 = 9
目 录 第 1章
X
Y
Z
O
z = 0
Oxy-plane
trajectory
目 录 第 1章1.3.2 位移、速度、加速度为了与引起物体运动的原因联系起来，
物理学家引入了 位移、速度 和 加速度 等概念来描述运动性质，从而为研究物体的运动规律奠定基础。
1,位移和路程
（ 1） 位移 Displacement
设在时刻 t 质点在 A处，它的位矢为
r(t)，经过△ t时间该质点在 B处，此时位矢为
r(t+△ t)，则质点在△ t时间内位置矢量的变化量△ r称为质点的位移矢量、简称位移。
目 录 第 1章? r = r (t+? t)－ r(t)
在直角坐标系中,? r =? x i+? y j+? z k
（ 2） 路程 Distance
图中所示曲线 AB 的长度称为质点经过的路程? s，它是标量。 在
SI 中位移和路程的单位都为米 ( m )
r(t)
x
z
y
r(t+△ t)
A
B
△ s
o
△ r
目 录 第 1章
2,速度和速率
（ 1） 平均速度 Average velocity
平均速度 v =? r/? t =[ r(t +? t)－ r(t)]/? t
=? x/? t i +? y/? t j+? z/? t k
= vx i + vy j + vz k
因为? t 是标量，故 平均速度 v 的方向与?r 的方向相同 。
平均速度的大小,| v | = ( vx2 + vy2 + vz2 )1/2
目 录 第 1章（ 2） 速度 Velocity
瞬时速度、简称速度：
v = lim? t→ 0? r/? t = dr/dt
速度方向为所在点轨迹的切线方向，并指向质点前进的一方
v = dx/dt i + dy/dt j + dz/dt k
速度分量：
vx = dx/dt,vy = dy/dt,vz = dz/dt
速度的大小,| v | = ( vx2 + vy2 + vz2 )1/2
目 录 第 1章直线匀速运动已知：质点速度 vx = vo=常量，初始条件,t = 0,x = xo,求 t 时刻质点的位置。
dx/dt = v x = vo
dx = vo dt
两边定积分,? xox dx =? ot vo dt
x - xo = vo(t – 0)= vot
x = xo + vot
目 录 第 1章（ 3） 速率 Speed
平均速率,v =? s /? t
一般说来,v 不等于 dr/dt,v 也不等于 | v |
在 SI中，速度和速率的单位均为米 /秒 (m/s).
速率,v = lim? t→ 0? s /? t = ds/dt
平均速率和速率是 标量,而平均速度和速度是 矢量,它们是两个不同的概念。
但在? t 趋于 0 极限情况下，因路程
s 和位移大小 |? r| 相等，所以 速度的大小和速率相等,即
v =lim? t→ 0? s /? t = lim? t→ 0 |? r| /? t =| v |
目 录 第 1章例 1-2,质点沿半径为 R 的圆周作匀速率运动，每 t 秒转一圈，求在 2t 时间间隔中，
其平均速度的大小与平均速率。
解,因质点在?t =2t 间隔中转了二圈，
位移? r = 0,所以
| v | = |? r /? t | = 0
路程?s = 4πR
v =? s /? t
= 4πR / 2t
= 2πR / t
目 录 第 1章3,加速度 Acceleration
(1)平均加速度,a =?v/?t =[(v(t+?t)-v(t)]/? t
它是平行于? v的矢量 。
(2)加速度,a=lim?t→ 0?v/?t=dv/dt= d2r/dt2
加速度与速度的瞬时变化的方向相同 。
由于速度是顺轨迹曲线弯曲的方向而改变的
,故 加速度永远指向曲线凹的方向,
在直角坐标中,a=dvx/dt i+ dvy/dt j+ dvz/dt k
= ax i + ay j + az k
加速度的大小,a =|a| =(ax2 + ay2 +az2 )1/2
在 SI中加速度的单位为米 /秒 2 ( m/s2 )
目 录 第 1章例 1-3 有一质点沿 x轴作直线运动为
x(t) =4.5t2－ 2t3 (SI),试求,
(1)第 2秒内的平均速度 v，
(2)第 2秒末的速度 v，
(3)第 2秒内经过的路程?s 及平均速率 v，
(4)第 2秒末的加速度 a 。
解,(1) vx =? x/? t
= [ x(2)- x(1)]/( 2 - 1)
= (4.5× 22- 2× 23 )-(4.5 - 2)
= - 0.5 m /s
v = - 0.5 i m /s
目 录 第 1章(2) v
x = dx/dt
= d(4.5t2 － 2t3)/dt
= 9t－ 6t2｜ t=2
= 9× 2－ 6× 22
= - 6 m/s
v = - 6 i m/s
目 录 第 1章(3) 当质点作直线运动发生来回运动时，必须先求出质点反向运动的时间，即 vx = 0
时刻，这样分段考虑才能正确求得一段时间内质点经过的路程 。
根据 vx = 9t - 6t2 = 0,可求出
t1 = 0 或 t2 = 1.5 s
由此可求得质点在第 2秒内经过的路程为：
s = | x(1.5) - x(1) | + | x(2.0) - x(1.5) |
= 2.25 (m)
平均速率为,v =? s /? t
= 2.25 /1 = 2.25 (m/s)
目 录 第 1章
vx = 9t－ 6t2
(4) 加速度
ax = dvx/dt
= 9 - 12t |t=2
= 9 - 12× 2
= - 15 ( m/s2 )
因为加速度 与 速度 方向相同，
所以 质点在２秒末作加速运动。
目 录 第 1章(３ )切向加速度和法向加速度有时我们根据需要把加速度分解二个分量：
A 切向加速度 Tangential acceleration
平行于质点运动轨迹的加速度切线分量 at
B 法向加速度 Normal acceleration
平行于质点运动轨迹的加速度法线分量 an
这样建立的坐标系称为自然坐标系 P
v(t)
O
no
目 录 第 1章质点作曲线运动时，其速度方向与曲线的切线方向相同。
PQ 曲线为一质点的路程，若此质点在 P点的速度为 v(t)，经过 dt
时间后质点移到 Q点，其速度变为 v( t + d t)。
质点的速度增量 dv 可被分解成一沿切线的分量和一沿法线的分量 。
QP
v(t)
v(t+dt)
O
ρ
dθ
no
目 录 第 1章
dv 沿切线分量为 dt 时间内质点的速率改变量
dv；若 d?为速度在 dt 时间内转过的角度,dv 沿法线的分量为 vd? 。
设曲线在 P点的切向单位矢量为 to,法向的单位矢量为 no,则 dv 可写成,
dv = dv to + vd? no
v(t)
dv
v(t+dt)
dv
vdθ
QP
v(t)
v(t+dt)
O
ρ
dθ
no
目 录 第 1章因为 P点与 Q点无限接近
,故 PQ弧可视为一圆弧的一段,此圆的半径称为曲线在 P点的 曲率半径 。
图中 P点与 Q点的法线相交于 O点,这一交点即为
PQ弧的曲率中心 。 OP或
OQ的长度 ρ 即为曲率半径
。
因质点由 P点移到 Q点费时 dt,故 PQ弧的长度为
vdt,而 弧长为 ρd?,
v(t)
dv
v(t+dt)
dv
vdθ
QP
v(t)
v(t+dt)
O
ρ
dθ
no
目 录 第 1章
dv = dv to + vd? no
所以 vdt =ρd?
故 d? /dt = v /ρ
将上式两边除以 dt可得质点在 P点的加速度
a = dv/dt
= dv/dt to + vd? /dt no
= dv/dt to + v2/ρ no
dv/dt 为沿切向分量，故称为 质点的切向加速度 at,其值等于速率的变化率，它表示速度变化的快慢 。
目 录 第 1章
v2/ρ 为 a 沿法向分量，故称为质点的法向加速度 an 。
因其方向指向 曲率中心，故又称为向心加速度，它 表示速度方向变化的快慢 。
因此,
at = dv/dt
an = v2/ρ
加速度的大小,a = ( at2 + an2 )1/2
目 录 第 1章例 1-4 已知质点在 Oxy平面内的运动方程为
r(t) = 2t i + (2 - t2 ) j ( SI ),求,(1)质点的轨迹方程； (2)质点的速度和速率； (3)质点在直角坐标系和自然坐标系中的加速度； (4)轨迹的曲率半径 ρ 。
解,(1)运动方程分量式,x = 2t,y = 2 - t2
消去 t 得轨迹方程：
y = 2 - x 2/4 ( 轨迹为抛物线 )
(2) vx = dx/dt = 2 (m/s)
vy = dy/dt = - 2t (m/s)
v = ( vx2 + vy2 ) 1/2 = 2( 1+ t2 ) 1/2 (m/s)
目 录 第 1章(3) 在直角坐标中在自然坐标系中,
ax = dvx/dt = d(2)/dt =0 (m/s2 )
ay = dvy/dt = d(-2t)/dt = - 2 (m/s2 )
at = dv/dt = d[2( 1+ t2 ) 1/2 ]/dt
= 2t/( 1 + t2 )1/2 (m/s2 )
an = ( a2 - at2 )1/2
= 2/(1 + t2 )1/2 (m/s2)
(4) ρ = v 2/an
= [2( 1 + t2 )1/2]2,( 1 + t2 )1/2/2
= 2(1 + t2 )3/2 (m)
第四节运动叠加原理抛体运动是竖直方向和水平方向两种运动叠加的结果。
1.4.1 运动叠加原理 Superposition Principle
在抛体运动中，水平方向的运动对竖直方向的运动丝毫没有影响。
反之亦然。两个运动是互相独立的。
0v
运动叠加原理 ——一个运动可以看成几个各自独立进行的运动叠加而成。
§ 1.4 运动叠加原理质点作任意曲线运动时，每个速度分量和加速度分量只与相应的坐标分量随时间的变化情况有关，与其他两个坐标分量无关。
这就是说，质点的运动可分解成沿 x,y、
z 三个方向的运动，每个方向上的运动是相互独立的,整个运动可看成是沿三个坐标轴直线运动的叠加，这就是运动的叠加原理，
它被无数实验所证实。
所以对一般曲线运动的研究都可归纳为
1.4.2 直线运动 Rectilinear Motion
运动方程,= t（ ）xx
x= =
d
d
d
d
tt加速度,a 2
2v
Δ位移,x
= ddt速度,xv
x
t t t1
1
2
2
0
x
x
割线斜率 （平均速度）tΔΔ x
切线斜率 （瞬时速度）dtdx
1,x ~ t 图
v ~ t 图线下的面积（位移）,
1
2
t tt 1 20
v
v
v
v ~ t 图割线斜率：
切线斜率：
d
td
v = a
tΔΔ
v = a
2,v ~ t 图及 a ~ t 图
t
tΔ = 1
2 d =
1
2 tdvx
xx
x
t
a
tt 1 20
a ~ t 图
a ~ t 图线下的面积（速度增量）
t
tΔ = 1
2 d =
1
2 tdav
vv
v
在求解第二类问题过程中还必须已知在 t = 0
时刻质点的速度及位置坐标，这一条件称为初始条件 。
第一类问题,(求导问题 )
第二类问题,(积分问题 )
初始条件：
t = 0
{ xyy zzx
=
=
=
=
=
= 0
0
0
v
v vv
v
v
0
0
0x x
yy
zz
va = (t )a = (t ) rr = (t )v求：(1) 已知：,
= a a =vv ( )t (t )求：轨迹rr = ( )t已知：,,
3、运动学的两类问题
v v at= +0
1
2x x v t at= + +0 0
2所以：
0t = 0 时刻，其 vx x == 0v,。
加速度为一常量 a,求其运动规律。已知在第二类问题的例子：一质点作直线运动，其
dv atvv =
00
dt
dx v dt at dttxx t v= = +0 0
00
( )因为,
目 录 第 1章
0已知 t = 0 时刻 vx x == 0v,。
加速度为一常量 a,求速度与位移关系。
第二类问题的例子：一质点作直线运动，其因为,a = dv/dt = (dv/dt)(dx/dx)
= vdv/dx
a dx = vdv →?xox adx =?vov vdv
a (x – xo) = (v2 –vo2 )/2
所以,v2 –vo2 = 2a (x – xo)
目 录 第 1章
(2) 已知,a = － kv （ k 为常数），求任意时刻速度和位置。
解,a = dv/dt = － kv
dv/v = － kdt
∫vov dv/v = ∫o t － kdt
ln(v/vo ) = － kt
v = vo e -k t
x = xo + ∫ot voe -k t dt
= xo+ vo( 1－ e -k t )/k
目 录 第 1章
(3) 已知,a = k x （ k 为常数），求任意位置与速度的关系。
解,a = dv/dt
= (dv/dx)(dx/dt)
= vdv/dx
= kx
vdv = kxdx
∫vov vdv = ∫ xo x kxdx
( v2－ vo2 ) /2 = k( x2－ xo2 )/2
h
0
r
X
Y
v
x
[例 ] 人以恒定速率 0
求,任一位置船之速度、加速度。
运动，船之初速为v 0
r x h= i j
rr x h22== +
r xx x
x
h
h tttd
d
d
d 2
2
2
2= == +
+
d
d
0v
r x
ttd
d d
d= = iv
h
O0
r
X
Y
v
x
h
t ii=a
d
d
d =
d
x
2
2
= x 30
2 2vv
t
ttd d
vr x
x h 2== i i+d d = 0 x 2v
1.4.3 圆周运动 Circular Motion
质点作 圆周运动 时,无论其速率是否变化,它总是被约束在圆周上运动,因此我们只须选定圆周上任意一点作为计算路程长度的起点,则质点在任意时刻的位置就可由质点从起点走过的 圆弧长度 s 或对应转过的 角度 θ来描述,因此它可以归纳为 一维运动 。
如果将 s 对时间求一次导数和二次导数
,则分别得质点的速率和切向加速度,而法向加速度也可随之确定：
1,线量描述 ( s,v,at,an )
v = ds /dt,
at = dv /dt = ds 2 /dt2,
an = v2 /R
其中 R 为圆周运动的半径,Δθ A
B
0 x
θ
2、角量描述 ( θ,ω,β)
（ 1） 角速度 ω = dθ/dt
ω的单位为弧度 /秒 ( rad/s )
（ 2） 角加速度 β = dω/dt = d2θ/dt2
β的单位为弧度 /秒 2 ( rad/s2 )
3、线速度与角速度之间的关系
s = Rθ
v = ds/dt = Rdθ/dt = Rω
at = dv/dt = Rdω/dt = Rβ
an = v2/R = Rω2
由于圆周运动可归纳为一维运动，因此
，匀速和匀加速圆周运动中关于路程 s 或角度 θ随时间 t的关系与匀速和匀加速直线运动的公式是相似的匀速圆周运动
β = 0
ω = 常数
θ=θo + ω（ ｔ -ｔ ｏ )
匀加速圆周运动
β = 常数
ω = ωo + β( t - to )
θ=θo+ ωo(ｔ -ｔ ｏ ) + β(ｔ -ｔ ｏ )2 / 2
例 1-5 某飞轮转速为 600转 /分,制动后转过
10圈后静止 。 设制动过程中飞轮作匀变速转动,试求制动过程中飞轮的角加速度及经过的时间 。
解,已知飞轮的初角速度
ωo = 2πno/60
= 2× 600π/60
= 20π(rad/s)
末角速度 ω= 0
转过角位移 θ-θ0 = 10× 2π
= 20π (rad)
ωo= 20π (rad/s) ω= 0
角加速度 β= (ω2 - ωo2 ) / 2(θ-θ0 )
= [ 0 - (20π)2 ] / 2× 20π
= - 10π (rad/s2)
负号表示飞轮作减速转动 。
由此可知制动过程所需的时间
△ t = t - to
= (ω - ωo ) /β
= ( 0 - 20π)/( - 10π)
= 2 (s)
第五节相对运动伽利略变换
1.5.1 相对运动 Relative Motion
考虑二个质点 A和 B以及一个观察者 O，
利用 xyz轴为参考坐标,A 和 B 对 O 的位矢分别为 rAO 和 rBO,B相对 A的位矢称为 相对位矢 用 rBA表示。由图可知：
rBA = rBO－ rAO
drBA/dt =drBO/dt-drAO/dt
即所以 相对速度 公式为：
vBA = vBO－ vAO
其中,vAO = drAO /dt
vBO = drBO /dt,vBA = drBA/dt，
o
x
y
z
A
Br
BO
rAO
rBA
vAO
vBA
vBO
vBO
vAO
vBA = vBO－ vAO
上式表示两质点之间的相对速度就是它们对观察者 O的速度相减。再取上式对时间求导可得：
dvBA /dt = dvBO /dt－ dvAO /dt
aBA = dvBA /dt 称为 B相对 A的加速度
aBO = dvBO /dt 称为 B相对 O的加速度
aAO = dvAO/dt 称为 A相对 O的加速度所以 aBA = aBO－ aAO
也就是说，两质点的相对加速度为它们对观察者的加速度之差。
例 1-6：一人骑自行车向东而行，当速度为
10 m/s 时，觉得有南风 ；当速度增至 15 m/s
，觉得有东南风，求风的速度 v 风对地 。
解：当 v1人对地 = 10 i 时 v1风对人 = v1 j
v风对地 = v1风对人 + v1人对地
= v1 j + 10 i =10 i + v1 j ( 1)
当 v2人对地 =15 i 时
v2风对人 = -0.707v2 i + 0.707v2 j
v风对地 = v2风对人 + v2人对地
= - 0.707v2 i + 0.707v2 j + 15 i
= ( 15 - 0.707v2 ) i + 0.707v2 j (2)
45o
i
j
v1风对人v2风对人
o
(1)与 (2)式相等：
10 i + v1 j = ( 15 - 0.707v2 ) i + 0.707v2 j
分量相等,10 =15 - 0.707v2? v2 =7.07 m/s
v1 = 0.707v2? v1 = 0.707? 7.07 = 5 m/s
v风对地 = 10 i + v1 j
= 10 i + 5 j m/s
v风对地 = ( 102 + 52 )1/2
= 11.2 m/s
tg? = 5/10 = 0.5
= 27o ( 东偏北 )
45o
i
j
v1风对人v2风对人
o
目 录 第 1章
i
j
v1wr
o
vwg
v1rg= 10 i
45o i
j
v2wr
o
vwg
v2rg = 15 i
Ans,while v1rg = 10 i,
we have
vwg = v1wr + v1rg
while v2rg = 15 i,
we have
vwg = v2wr + v2rg
5 i
vwg= 10 i + 5 j
解：设河岸为 S 系，河水为 S’
系,u’表示船相对河水速度,v
表示河水相对河岸的速度。船相对于河岸的速度为,
u = u’+ v
uv
u’
d
l
α
船例 1 - 7 设河面宽 l =1 km，河水由北向流动，流速
v = 2 m/s，一人相对河以 u’=1.5 m/s 的速率将船从西岸划向东岸，问：
(1)若要使船到达对岸的时间最短，船头与河岸应成多少角度? 最短时间等于多少?到达对岸时，船在下游何处?
(2)若要使船相对于岸走过的路程最短，船头应与岸成多大角度? 到达对岸时，船在下游何处?
要化多少时间?
(1) 如图可知，当船头与河岸的夹角 α
=π /2 时，时间最短，故船到达对岸所
tmin = l/u′
= 1000? 1.5
= 667 s
下游位置,
d = vtmin
= 2? 667
= 1334 m
uv
u’
d
l
α
船
(2) 船相对于河岸的速度 u 与河水相对河岸的速度 v 之间的夹角 θ越大，船相对于岸走过的路程就越短。以矢量 v 的终点为圆心，以矢量 u’ 的大小 u’ 为半径作圆。显然当 u 沿该圆的切线时，角度 θ最大，从而船走过的路程最短。从图可看出：
sinθ= u’/v
= 1.5/2 = 0.75
即 θ = 48° 30′
因而船头与河岸的夹角：
α=90° - 48° 30′= 41° 30′
α
u
v
u’
l
dθ
船到达对岸所化的时间：
t = l /u’sinα
= 1000?( 1.5? 0.6626 )
= 1006 秒
= 16 分 46
下游距离：
d = ( v - u’cosα ) t
= ( 2 - 1.5? 0.7490 )? 1006
= 882 米
α
u
v
u’
l
dθ
船
z
x tu
y
=
=
=
= x
y
z
tt
逆变换
+
z
x tu
y
=
=
=
= x
y
z
tt
伽利略坐标变换式正变换
，,,
X
Y
Z
O
s
tu
u P,zx ty( )，,，s
x
x
X
Y
Z
O
zx ty( )
1.5.2 伽利略变换 Galilean Transformation
r ’ = r - u tt =0 时,O 与 O
’ 重合伽利略速度变换式
z
x tu
y
=
=
=
= x
y
z
tt
由伽利略坐标变换式对时间求导可得速度变换式
vx
vy
vz
vx
vy
vz
=
=
=
u
d =y
td
dy
td
d =z
td
dz
td
d =x
td
dx
td u
vx
vy
vz
vx
vy
vz
=
=
=
u
由速度变换式对时间求导可得加速度变换式
ax
ay
az
ax
ay
az
=
=
=
a a=
