第三章 小结一,动能定理
1、概念：功 A,动能 Ek? (标量 )
2、动能定理积分形式,A = Ek2 - Ek1
微分形式,N = F? v
EK = EKi + MvC2/2
3、应用
(1) 已知 F(r)，求 v(r) 或 运动方程
(2) 已知运动方程 r(t),求力 F 或 功 A
二,功能原理
1、保守力与非保守力、势能、机械能势能,EP = EPo -?L:ro?r F?dr 积分关系
F = - grad Ep = -? Ep 微分关系重力 势能,EP = mgh
弹性势能,EP = kx2/2 注意零 势能位置引力势能,EP = -Gm1m2 /r
2、功能原理 Ae = U - U0
原能 U = EK + EPi
3、机械能 功能原理 Aed + Aid = EM - EMo
机械能 EM = EK + EP
O保守力,? F?dr = 0
三,能量 守恒 (Ae = 0? E = 恒量 )
1、基本概念总 势能,总能量,内动能、
内能、资用能,
2、克尼希定理
Ek = Eki + MvC2 / 2
3、理机械能守恒
Aed + Aid = 0? EM = 恒量四、碰 撞
1、基本概念,碰撞特征量 Q,恢复系数 e
2、碰撞分类,
（ 1）弹性碰撞
（ 2）非弹性碰撞：
a、第一类非弹性碰撞 Q ＜ 0
b、第二类非弹性碰撞 Q ＞ 0
（ 3）完全非弹性碰撞
3-1 下列叙述中正确的是
( A ) 物体的动量不变，动能也不变。
( B ) 物体的动能不变，动量也不变。
( C ) 物体的动量变化，动能也一定变化。
( D ) 物体的动能变化，动量却不一定变化。
解,Ek = |P|2/2m 答案 (A)
1,动量 P 不变,|P|也不变，动能也不变。
2,动能 Ek不变，即 |P|不变，但 P可以变。
3,动量 P 变化,|P|可不变，动能也可不变。
4,动能 Ek 变化,|P| 变化，动量一定变化。
3-2 一物体按规律 x =ct3在媒质中作直线运动，式中 c 为常数,t 为时间。设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为 k
,试求物体由 x =0 运动到 x = L 时，阻力所作的功。
解,v =dx/dt =3ct2 = 3c(x/c) 2/3 = 3c1/3 x2/3
f = - kv2 = - 9kc2/3x4/3
A =?oL fdx =?oL - 9kc2/3x4/3 dx
= - 9kc2/3 (3x7/3 /7)|oL
= -27kc2/3L7/3 /7
3-3 一质点在外力作用下运动时，下述哪种说法正确？
(A)质点动量改变时，质点动能一定改变。
(B)质点动能不变时，质点动量也一定不变。
(C)外力的冲量是零，外力的功一定为零。
(D)外力的功为零，外力的冲量一定为零。
解,Ek = |P|2/2m 答案 (C)
1,动量 P 改变，方向改变，大小 |P| 可不变。
动能 Ek不变，即 |P|不变，但动量 P可以变。
2,I外 是零,P 不变,Ek不变,A外 为零。
A外 为零,Ek不变,P可以变,I外 可不为零。
3-4 二质点的质量各为 m1,m2，当它们之间的距离由 a 缩短到 b 时，万有引力所做的功为 Gm1m2( 1/b - 1/a )。
解,A保 = - ( Ep末 - Ep初 )
= - ( - Gm1m2/b + Gm1m2/a )
= Gm1m2( 1/b - 1/a )
3-5 若质量为 m1 以速率 v10 运动的物体 A与质量为 m2 的静止物体 B 发生对心 完全弹性碰撞，如何选择 m2 的大小，使得 m2 在碰撞后具有 ( 1 ) 最大速率,( 2 ) 最大动量,( 3 )
最大动能。
解：动量守恒,m1 v10 = m1 v1 + m2 v2 (1)
动能守恒,m1 v102/2= m1 v12/2 + m2 v22/2 (2)
(1) v2 =2v10 /(1+ m2/m1)
当 m2/m1 <<1 时,v2max = 2v10,
v1 = (m1 - m2)v10 / (m1 + m2) (3)
(2) p2 =m2v2 =2m1v10 /(1+ m1/m2 )
当 m1/m2 <<1 时,p2max = 2m1v10。
(3) Ek2 = m2v2 2/2 = 2m2m12 v102/(m1+ m2)
dEk2/dm2 = 0? m2 = m1? Ek2max = m1v10 2/2
或 从 m1 v102/2= m1 v12/2 + m2 v22/2 (2)
Ek2 最大，要求 m1 v12/2 = 0? v1 = 0
由 (3)式，即 v1 = (m1 - m2)v10 / (m1 + m2) = 0
得 m2 = m1
3-6 两个质量为 m1和 m2的小球，在一直线上作完全弹性碰撞，碰撞前两小球的速度分别为 v10和 v20（同向），试求碰撞过程中两小球间的最大形变势能。
解：碰撞过程中 m1,m2 速度分别为 v1,v2
形变势能为 WP
动量守恒,m1v10+m2v20=m1v1+m2v2 = P (1)
机械能守恒,m1v102/2 + m2v202/2
= m1v12/2+ m2v22/2 +WP (2)
因为 m2v2 = P - m1v1,代入（ 2）则得
WP = m1v102/2 + m2v202/2 - m1v12/2
- m2[(P - m 1 v1)/m 2 ]2/2
求极值：
dWP/dv1= - m1v1 +m1(P - m 1 v1)/m 2
= m1[P -(m1+m2)v1]/m2 = 0
所以 v1 = P/(m1+m2)
=(m1v10+ m2v20)/(m1+ m2)= v2
故 WPmax = m1v102/2 + m2v202/2
-(m1+ m2)(m1v10+ m2v20)2/(m1+ m2)2/2
WPmax = m1m2(v10- v20)2/ 2(m1+ m2)
3-7 物体 A和 B，质量分别为 mA与 mB,用一劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，放在光滑水平面上，若用手推 B 使弹簧压缩了 xo 距离
，试问释放后，弹簧的最大伸长量是多大？
A B
A B
xo
3-7 物体 A和 B，质量分别为 mA与 mB,用一劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，放在光滑水平面上，若用手推 B 使弹簧压缩了 xo 距离
，试问释放后，弹簧的最大伸长量是多大？
解：弹簧恢复到原长时，
mB 的速度为 vo。 A B
A B
xo
A B
vo
3-7 物体 A和 B，质量分别为 mA与 mB,用一劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，放在光滑水平面上，若用手推 B 使弹簧压缩了 xo 距离
，试问释放后，弹簧的最大伸长量是多大？
解：弹簧恢复到原长时，
mB 的速度为 vo。
机械能守恒：
mBvo2/2 = kxo2/2
A B
A B
xo
A B
vo
3-7 物体 A和 B，质量分别为 mA与 mB,用一劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，放在光滑水平面上，若用手推 B 使弹簧压缩了 xo 距离
，试问释放后，弹簧的最大伸长量是多大？
解：弹簧恢复到原长时，
mB 的速度为 vo。
机械能守恒：
mBvo2/2 = kxo2/2
方法 1:当两物体速度 v 相等时,伸长量 x 最大
A B
A B
xo
A B
vo
动量守恒,mB vo = ( mA + mB ) v
机械能守恒,mBvo2/2=( mA+ mB )v2/2+kx2/2
x =[ mA /( mA+ mB )]1/2 xo < xo
L为弹簧原长方法 2,x = xA - xB - L,x 为最大的条件：
dx/dt = dxA /dt - dxB /dt = 0
即 vA = vB = v
A B
v v
xA xB
L
1、概念：功 A,动能 Ek? (标量 )
2、动能定理积分形式,A = Ek2 - Ek1
微分形式,N = F? v
EK = EKi + MvC2/2
3、应用
(1) 已知 F(r)，求 v(r) 或 运动方程
(2) 已知运动方程 r(t),求力 F 或 功 A
二,功能原理
1、保守力与非保守力、势能、机械能势能,EP = EPo -?L:ro?r F?dr 积分关系
F = - grad Ep = -? Ep 微分关系重力 势能,EP = mgh
弹性势能,EP = kx2/2 注意零 势能位置引力势能,EP = -Gm1m2 /r
2、功能原理 Ae = U - U0
原能 U = EK + EPi
3、机械能 功能原理 Aed + Aid = EM - EMo
机械能 EM = EK + EP
O保守力,? F?dr = 0
三,能量 守恒 (Ae = 0? E = 恒量 )
1、基本概念总 势能,总能量,内动能、
内能、资用能,
2、克尼希定理
Ek = Eki + MvC2 / 2
3、理机械能守恒
Aed + Aid = 0? EM = 恒量四、碰 撞
1、基本概念,碰撞特征量 Q,恢复系数 e
2、碰撞分类,
（ 1）弹性碰撞
（ 2）非弹性碰撞：
a、第一类非弹性碰撞 Q ＜ 0
b、第二类非弹性碰撞 Q ＞ 0
（ 3）完全非弹性碰撞
3-1 下列叙述中正确的是
( A ) 物体的动量不变，动能也不变。
( B ) 物体的动能不变，动量也不变。
( C ) 物体的动量变化，动能也一定变化。
( D ) 物体的动能变化，动量却不一定变化。
解,Ek = |P|2/2m 答案 (A)
1,动量 P 不变,|P|也不变，动能也不变。
2,动能 Ek不变，即 |P|不变，但 P可以变。
3,动量 P 变化,|P|可不变，动能也可不变。
4,动能 Ek 变化,|P| 变化，动量一定变化。
3-2 一物体按规律 x =ct3在媒质中作直线运动，式中 c 为常数,t 为时间。设媒质对物体的阻力正比于速度的平方，阻力系数为 k
,试求物体由 x =0 运动到 x = L 时，阻力所作的功。
解,v =dx/dt =3ct2 = 3c(x/c) 2/3 = 3c1/3 x2/3
f = - kv2 = - 9kc2/3x4/3
A =?oL fdx =?oL - 9kc2/3x4/3 dx
= - 9kc2/3 (3x7/3 /7)|oL
= -27kc2/3L7/3 /7
3-3 一质点在外力作用下运动时，下述哪种说法正确？
(A)质点动量改变时，质点动能一定改变。
(B)质点动能不变时，质点动量也一定不变。
(C)外力的冲量是零，外力的功一定为零。
(D)外力的功为零，外力的冲量一定为零。
解,Ek = |P|2/2m 答案 (C)
1,动量 P 改变，方向改变，大小 |P| 可不变。
动能 Ek不变，即 |P|不变，但动量 P可以变。
2,I外 是零,P 不变,Ek不变,A外 为零。
A外 为零,Ek不变,P可以变,I外 可不为零。
3-4 二质点的质量各为 m1,m2，当它们之间的距离由 a 缩短到 b 时，万有引力所做的功为 Gm1m2( 1/b - 1/a )。
解,A保 = - ( Ep末 - Ep初 )
= - ( - Gm1m2/b + Gm1m2/a )
= Gm1m2( 1/b - 1/a )
3-5 若质量为 m1 以速率 v10 运动的物体 A与质量为 m2 的静止物体 B 发生对心 完全弹性碰撞，如何选择 m2 的大小，使得 m2 在碰撞后具有 ( 1 ) 最大速率,( 2 ) 最大动量,( 3 )
最大动能。
解：动量守恒,m1 v10 = m1 v1 + m2 v2 (1)
动能守恒,m1 v102/2= m1 v12/2 + m2 v22/2 (2)
(1) v2 =2v10 /(1+ m2/m1)
当 m2/m1 <<1 时,v2max = 2v10,
v1 = (m1 - m2)v10 / (m1 + m2) (3)
(2) p2 =m2v2 =2m1v10 /(1+ m1/m2 )
当 m1/m2 <<1 时,p2max = 2m1v10。
(3) Ek2 = m2v2 2/2 = 2m2m12 v102/(m1+ m2)
dEk2/dm2 = 0? m2 = m1? Ek2max = m1v10 2/2
或 从 m1 v102/2= m1 v12/2 + m2 v22/2 (2)
Ek2 最大，要求 m1 v12/2 = 0? v1 = 0
由 (3)式，即 v1 = (m1 - m2)v10 / (m1 + m2) = 0
得 m2 = m1
3-6 两个质量为 m1和 m2的小球，在一直线上作完全弹性碰撞，碰撞前两小球的速度分别为 v10和 v20（同向），试求碰撞过程中两小球间的最大形变势能。
解：碰撞过程中 m1,m2 速度分别为 v1,v2
形变势能为 WP
动量守恒,m1v10+m2v20=m1v1+m2v2 = P (1)
机械能守恒,m1v102/2 + m2v202/2
= m1v12/2+ m2v22/2 +WP (2)
因为 m2v2 = P - m1v1,代入（ 2）则得
WP = m1v102/2 + m2v202/2 - m1v12/2
- m2[(P - m 1 v1)/m 2 ]2/2
求极值：
dWP/dv1= - m1v1 +m1(P - m 1 v1)/m 2
= m1[P -(m1+m2)v1]/m2 = 0
所以 v1 = P/(m1+m2)
=(m1v10+ m2v20)/(m1+ m2)= v2
故 WPmax = m1v102/2 + m2v202/2
-(m1+ m2)(m1v10+ m2v20)2/(m1+ m2)2/2
WPmax = m1m2(v10- v20)2/ 2(m1+ m2)
3-7 物体 A和 B，质量分别为 mA与 mB,用一劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，放在光滑水平面上，若用手推 B 使弹簧压缩了 xo 距离
，试问释放后，弹簧的最大伸长量是多大？
A B
A B
xo
3-7 物体 A和 B，质量分别为 mA与 mB,用一劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，放在光滑水平面上，若用手推 B 使弹簧压缩了 xo 距离
，试问释放后，弹簧的最大伸长量是多大？
解：弹簧恢复到原长时，
mB 的速度为 vo。 A B
A B
xo
A B
vo
3-7 物体 A和 B，质量分别为 mA与 mB,用一劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，放在光滑水平面上，若用手推 B 使弹簧压缩了 xo 距离
，试问释放后，弹簧的最大伸长量是多大？
解：弹簧恢复到原长时，
mB 的速度为 vo。
机械能守恒：
mBvo2/2 = kxo2/2
A B
A B
xo
A B
vo
3-7 物体 A和 B，质量分别为 mA与 mB,用一劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，放在光滑水平面上，若用手推 B 使弹簧压缩了 xo 距离
，试问释放后，弹簧的最大伸长量是多大？
解：弹簧恢复到原长时，
mB 的速度为 vo。
机械能守恒：
mBvo2/2 = kxo2/2
方法 1:当两物体速度 v 相等时,伸长量 x 最大
A B
A B
xo
A B
vo
动量守恒,mB vo = ( mA + mB ) v
机械能守恒,mBvo2/2=( mA+ mB )v2/2+kx2/2
x =[ mA /( mA+ mB )]1/2 xo < xo
L为弹簧原长方法 2,x = xA - xB - L,x 为最大的条件：
dx/dt = dxA /dt - dxB /dt = 0
即 vA = vB = v
A B
v v
xA xB
L
